2024屆新教材二輪復(fù)習(xí) 　離散型隨機(jī)變量的均值 學(xué)案

2024屆新教材二輪復(fù)習(xí)離散型隨機(jī)變量的均值學(xué)案素養(yǎng)導(dǎo)引1.理解離散型隨機(jī)變量的均值的概念、意義及性質(zhì).(數(shù)學(xué)抽象)2.會根據(jù)簡單離散型隨機(jī)變量的分布列求均值.(數(shù)學(xué)運算)3.會利用離散型隨機(jī)變量的均值解決簡單的實際問題.(數(shù)學(xué)建模)一、離散型隨機(jī)變量的均值1.定義:一般地,若離散型隨機(jī)變量X的分布列為:Xx1x2…xnPp1p2…pn則稱E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn=∑i=1nxipi為隨機(jī)變量2.意義:它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平.3.性質(zhì):E(aX+b)=aE(X)+b.【批注】(1)均值是算術(shù)平均值概念的推廣,是概率意義下的平均數(shù).(2)離散型隨機(jī)變量的均值E(X)是一個數(shù)值,是隨機(jī)變量X的一個數(shù)字特征,反映隨機(jī)變量取值的平均水平.二、兩點分布的均值如果隨機(jī)變量X服從兩點分布,那么E(X)=p.[診斷]1.辨析記憶(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)離散型隨機(jī)變量的均值E(X)是一個隨機(jī)數(shù)值. (×)提示:離散型隨機(jī)變量的均值E(X)是一個常數(shù).(2)隨機(jī)變量的均值相同,則兩個分布列也一定相同. (×)提示:兩個隨機(jī)變量的分布列不同也可以得到相同的均值.(3)若X服從兩點分布,則E(X)=p. (√)提示:根據(jù)兩點分布的均值公式,可得E(X)=p.2.(教材改編題)已知隨機(jī)變量X的分布列為:X123P212則X的數(shù)學(xué)期望E(X)= ()A.85 B.95 C.2 D【解析】選C.E(X)=1×25+2×15+3×23.(教材改編題)已知離散型隨機(jī)變量X的期望E(X)=1,則E(2X+1)等于 ()A.1 B.2 C.3 D.4【解析】選C.因為E(X)=1,所以E(2X+1)=2E(X)+1=3.學(xué)習(xí)任務(wù)一求離散型隨機(jī)變量的均值(數(shù)學(xué)運算)【典例1】(1)已知某隨機(jī)變量X的分布列為X-101P0.30.2m則E(X)等于 ()A.0.5 B.0.3 C.0.2 D.無法確定【解析】選C.由分布列的性質(zhì)得0.3+0.2+m=1,所以m=0.5.根據(jù)隨機(jī)變量的期望公式,得E(X)=-1×0.3+0×0.2+1×0.5=0.2.(2)某綜藝節(jié)目中有一個環(huán)節(jié)叫“超級猜猜猜”,規(guī)則如下:在這一環(huán)節(jié)中嘉賓需要猜三道題目,若猜對一道題目可得1分,猜對兩道題目可得3分,若三道題目全部猜對可得6分,若三道題目全部猜錯,則扣掉4分.如果嘉賓猜對這三道題目的概率分別為23,12,13,且三道題目之間相互獨立.求嘉賓在該“猜題【解析】根據(jù)題意,設(shè)X表示“所得分?jǐn)?shù)”,則X的可能取值為-4,1,3,6.P(X=-4)=13×12×23P(X=1)=23×12×23+13×12×23+13P(X=3)=23×12×23+23×12×13+13P(X=6)=23×12×13所以X的分布列為:X-4136P1771所以E(X)=(-4)×19+1×718+3×718+6×1【思維提升】求離散型隨機(jī)變量X的均值的步驟(1)根據(jù)題意,寫出X的所有可能取值;(2)求出X取每個值對應(yīng)的概率;(3)寫出X的分布列;(4)由均值的定義求出E(X).【即學(xué)即練】1.設(shè)隨機(jī)變量X服從兩點分布,若P(X=1)-P(X=0)=0.4,則E(X)= ()A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7【解析】選D.由題意得P(X=1)+P(X=0)=1,因為P(X=1)-P(X=0)=0.4,所以解得P(X=1)=0.7,P(X=0)=0.3,所以E(X)=1×0.7+0×0.3=0.7.2.甲、乙兩人獨立地從物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理6門課程中任選3門進(jìn)行選修,若記兩人所選課程相同的門數(shù)為X,則X的期望等于 ()A.1 B.1.5 C.2 D.2.5【解析】選B.X的可能取值為0,1,2,3,P(X=0)=C63CP(X=1)=C61·P(X=2)=C62·P(X=3)=C63C所以E(X)=0×120+1×920+2×920+3×1學(xué)習(xí)任務(wù)二離散型隨機(jī)變量均值性質(zhì)的應(yīng)用(數(shù)學(xué)運算)【典例2】(1)已知隨機(jī)變量ξ滿足E(ξ)=2,則E(2ξ+3)= ()A.2 B.4 C.6 D.7【解析】選D.因為隨機(jī)變量ξ滿足E(ξ)=2,所以E(2ξ+3)=2E(ξ)+3=4+3=7.(2)已知隨機(jī)變量X,Y滿足Y=2X+3,Y的期望E(Y)=73,X的分布列為X-101P1ab則a,b的值分別為 ()A.16,13 B.1C.13,16 D.3【解析】選C.因為E(Y)=2E(X)+3=73所以E(X)=-13則有-解得a=13,b=1【思維提升】離散型隨機(jī)變量均值性質(zhì)的應(yīng)用對于aX+b型的隨機(jī)變量的均值,可以先求E(X),然后利用均值的性質(zhì)進(jìn)行求解,即E(aX+b)=aE(X)+b.【即學(xué)即練】已知隨機(jī)變量X的分布列如下:X-2-1012P111m1(1)求m的值;(2)求E(X);(3)若Y=2X-3,求E(Y).【解析】(1)由隨機(jī)變量分布列的性質(zhì),得14+13+15+m+120=1,解得(2)E(X)=(-2)×14+(-1)×13+0×15+1×16+2×(3)由公式E(aX+b)=aE(X)+b,得E(Y)=E(2X-3)=2E(X)-3=2×(-1730)-3=-62學(xué)習(xí)任務(wù)三離散型隨機(jī)變量均值在決策中的應(yīng)用(數(shù)據(jù)分析)【典例3】某一部件由4個電子元件按如圖方式連接而成,4個元件同時正常工作時,該部件正常工作,若有元件損壞則部件不能正常工作,每個元件損壞的概率為p(0<p<1),且各個元件能否正常工作相互獨立.(1)當(dāng)p=15時,求該部件正常工作的概率(2)使用該部件之前需要對其進(jìn)行檢測,有以下2種檢測方案:方案甲:將每個元件拆下來,逐個檢測其是否損壞,即需要檢測4次;方案乙:先將該部件進(jìn)行一次檢測,如果正常工作則檢測停止,若該部件不能正常工作則需逐個檢測每個元件;進(jìn)行一次檢測需要花費a元.①求方案乙的平均檢測費用;②若選方案乙檢測更劃算,求p的取值范圍.【解析】(1)各個元件能正常工作的概率均為1-15=4且4個元件正常工作相互獨立,4個元件同時正常工作的概率為(45)4=256即該部件正常工作的概率為256625(2)①設(shè)X為檢測費用,則有:當(dāng)部件正常工作時,只需檢測一次,則X=a,P(X=a)=(1-p)4,當(dāng)部件不能正常工作時,需檢測5次,則X=5a,P(X=5a)=1-(1-p)4,所以X的分布列為Xa5aP(1-p)41-(1-p)4E(X)=a(1-p)4+5a[1-(1-p)4]=5a-4a(1-p)4,故方案乙的平均檢測費用為5a-4a(1-p)4;②方案甲的平均檢測費用為4a,若選方案乙檢測更劃算,則5a-4a(1-p)4<4a,因為a>0,且0<p<1,解得0<p<1-22故p的取值范圍是(0,1-22)【思維提升】離散型隨機(jī)變量均值在決策中的應(yīng)用首先應(yīng)把實際問題概率模型化,然后分析相應(yīng)的各個事件,并求出概率,列出分布列,最后利用公式求出相應(yīng)的數(shù)學(xué)期望,再根據(jù)期望的大小作出判斷.【即學(xué)即練】甲、乙兩射擊運動員進(jìn)行射擊比賽,射擊相同的次數(shù),已知兩運動員擊中的環(huán)數(shù)X穩(wěn)定在7,8,9,10環(huán),將他們的比賽成績畫成頻率分布直方圖如圖甲和圖乙所示.(1)根據(jù)這次比賽的成績頻率分布直方圖推斷乙擊中8環(huán)的概率P(X乙=8),以及甲擊中9環(huán)以上(包括9環(huán))的概率;(2)根據(jù)這次比賽的成績估計甲、乙誰的水平更高(即平均每次射擊的環(huán)數(shù)誰大).【解析】(1)由題圖乙可知P(X乙=7)=0.2,P(X乙=9)=0.2,P(X乙=10)=0.35.P(X乙=8)=1-0.2-0.2-0.35=0.25.同理P(X甲=7)=0.2,P(X甲=8)=0.