安徽省黃山市2023屆三模數(shù)學(xué)試題 含解析

黃山市2023屆高中畢業(yè)班第三次質(zhì)量檢測

數(shù)學(xué)試題

(考試時間：120分鐘滿分：150分)

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填涂在答題卡上.

2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；如需改動，用

橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.寫在試卷上無效.

3.非選擇題必須用0.5毫米黑色簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)的

位置；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不能使用涂改液、膠帶紙、修

正帶.不按以上要求作答的答案無效.

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知復(fù)數(shù)z滿足zQ—2i)=i(其中i為虛數(shù)單位)，則卜卜()

A.1B.1C.—D,—

225

【答案】D

【解析】

【分析】把已知等式變形，再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化筒求得z,進(jìn)而得出I，然后利用復(fù)數(shù)模的計(jì)算

公式求解.

i(l+2i)i21

【詳解】因?yàn)閦(l—2i)=i,所以Z=F=八]=

1-21(1-21)(1+21)55

故選：D.

2.已知集合力=｛刈》〉。｝,8="次＜/｝,且於力加8=8,則實(shí)數(shù)。的取值范圍為()

A.[0,1]B.[0,1)

C.(0,1)D.

【答案】A

【解析】

【分析】求出a/，依題意可得8可得關(guān)于“的不等式，即可得解.

【詳解】因?yàn)?={x|x>a},所以"N={x|xMa},

又34)08=8,所以

又8=卜卜<。2},所以解得OWaWl,

即實(shí)數(shù)“的取值范圍為［0』］.

故選：A.

3.“a<1”是“函數(shù)/(x)=log2［(l-a)x-l］在區(qū)間(1,+8)上單調(diào)遞增”的()

A.充分不必要條件B.充要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】

【分析】結(jié)合對數(shù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性及充分條件、必要條件的定義，即可得答案.

【詳解】令"=(l-a)xT，y-log2u,

若/(x)=log2［(l-“)x—l］在(1,+8)上單調(diào)遞增，

因?yàn)榇?bg2〃是(1,+8)上的增函數(shù)，

則需使〃=(l—a)x—l是(1,+8)上的增函數(shù)且u>0，

則1—。>0且1—a—1?0,解得aWO.

因?yàn)?-8,0］呈(一*1),故a<1是aW0的必要不充分條件，

故選：C.

4.黃山市歙縣三陽鎮(zhèn)葉村歷史民俗“疊羅漢”已被列入省級非物質(zhì)文化遺產(chǎn)保護(hù)項(xiàng)目，至今已有500多年的

歷史，表演時由二人以上的人層層疊成各種樣式，魅力四射，光彩奪目，好看又壯觀.小明同學(xué)在研究數(shù)列

{%}時，發(fā)現(xiàn)其遞推公式%+2+%，(〃eN*)就可以利用“疊羅漢”的思想來處理，即

%=%+。2

32122,如果該數(shù)列{為}的前兩項(xiàng)分別為％=1嗎=2,其前〃項(xiàng)和記為5“，若

。5=。4+。3=+。2+。2+。3

。2023=m，則52021=（）

A.2mB.------C.m+2D.m—2

2

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)。“+2=?！?|+a”,(〃wN*),得=a,+2-a“+1,(〃eN*),將S2021中每一項(xiàng)逐一拆解，即可

求解.

【詳解】解：由。“+2=%+]+%,("wN*)得,%=%+2-%+「(〃eN*)

所以$202]="2021+“2020+020194F%+。2+

（。2023一。2022）+（%022―a2021）+（a2021~。2020）+,,,+（。5-）+（。4-）+（°3一°2）,

=42023—4二掰一2.

故選：D.

5.為紀(jì)念我國偉大數(shù)學(xué)家祖沖之在圓周率上的貢獻(xiàn)，國際上把3.1415926稱為“祖率”，某教師為了增加學(xué)

生對“祖率，，的印象，以“祖率”為背景設(shè)計(jì)如下練習(xí)：讓同學(xué)們把小數(shù)點(diǎn)后的7位數(shù)字1,4,1,5,9,2,6進(jìn)行隨

機(jī)排列，整數(shù)部分不變，那么可以得到小于3.14的不同數(shù)有()個

A.480B.120C.240D.720

【答案】C

【解析】

【分析】依照分步計(jì)數(shù)原理及排列計(jì)算即可.

【詳解】由題意先排十分位必為1,一種方法，再排百分位可以為1或2,兩種方法，最后排其余后面的數(shù)

位，余下的五個數(shù)字全排列即可，即不同種數(shù)有l(wèi)x2xA；=240.

故選：C

6.如圖，球。的表面積為60萬，四面體產(chǎn)一Z8C內(nèi)接于球。，&48C是邊長為6的正三角形，平面P8C1

平面Z8C,則該四面體體積的最大值為()

A.18B.27C.32D.81

【答案】B

【解析】

【分析】首先根據(jù)球的表面積求得求得半徑，再根據(jù)題意得出當(dāng)尸8=PC時，點(diǎn)？到底面的距離最大，求

出點(diǎn)P到底面的距離即可求出最大值.

【詳解】因?yàn)榍?。的表面積為60兀，所以區(qū)=」處=屈,

V4n

由題意知底面三角形的面積為定值，要使四面體體積的最大，只須頂點(diǎn)尸到底面的距離最大即可，

又因?yàn)槠矫媸?cl平面/BC，可知當(dāng)尸8=PC[1寸，點(diǎn)P到底面的距離最大，

“BC外接圓的半徑r=---=2G,則O到面ABC的距離為d=JR2f2=,且。到面PBC

2sin60°

的距離為h=-r=y/3,

2

設(shè)點(diǎn)尸到平面Z8C的距離為〃，則后=(〃-dy+〃2,解得"=3百，

此時體積最大值為Vmm=1xlx6x6xsin60°x3V3=27.

故選：B.

7.已知定義域?yàn)镽的函數(shù)/(x),其導(dǎo)函數(shù)為/'(x),且滿足/'⑺―2/(x)<0,/(0)=1,則()

A.e2/(-l)<lB./(l)>e2

C-嗎卜°/⑴〉呢)

【答案】C

【解析】

【分析】構(gòu)造函數(shù)g(x)=」里，由/'(x)-2/(x)<0得g'(x)<0,進(jìn)而判斷函數(shù)g(x)的單調(diào)性，判斷

各選項(xiàng)不等式.

f(\、r(x)-e2jt-2/(x)e2j(7")-2/(x)

【詳解】8(刈=冬x，則g(x)==人不5」乙-二

e(e)

因?yàn)?'(x)-2/(x)<0在R上恒成立，

所以g'(x)<0在R上恒成立，

故g(x)在R上單調(diào)遞減，

所以g(—l)>g(O)，與=e2/(—l)>犁=1

,故A不正確；

ee

所以g(l)<g(o)，即《<半，即/(l)<e2j

"(O)=e2,故B不正確；

e-e

g，［<g(0)，即吧<迪=］，即佃<

e,故C正確；

e1e°

g(;)>g。)，即U〉型，即/(i)<wt

),故D不正確；

e1e2

故選：C.

8.已知同=問==2,向量E滿足(。-a)_L(26,-C).則工在￡方向上的投影向量的模長的最大值為

()

.14-2721

B.2

7

C14+2收

D.2+6

7

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)數(shù)量即可求出33的夾角，然后設(shè)。=(2,0)花=(1,百)，c=(x,y),由(c—a)J_(26_c)

可得(X—2)2+(歹—百)=3，2—JIWX<2+6，再由投影向量的定義求解即可.

【詳解】因?yàn)橥?在二1=:2,,

設(shè)Z,書的夾角為6,a-b=|5|-|/?|cos^=2,解得：cos6=；,

因?yàn)椤?[0,可，貝iJ8=m，設(shè)c=(x,y),

所以設(shè)a=(2,0),3=(1,Ji)

c-a=(x-2,j/),2b-c=^2-%,2-^-yj,

因?yàn)?，則(％—2)(2-x)+y(26—y)=0,

化簡得：(x-2)2+(y—JJ)2=3，所以2-JJ?X42+6

c在a方向上的投影向量的模長為：°cosa-c=c曰百=下7=^2x=x,

同同同2

所以"在Z方向上的投影向量的模長的最大值為：2+百.

故選：D.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.下列命題中，正確的是()

A.在回歸分析中，可用決定系數(shù)及2的值判斷模型的擬合效果，斤越大，模型的擬合效果越好

B.對分類變量X與V的統(tǒng)計(jì)量％2來說，力2值越小，判斷“X與y有關(guān)系，，的把握程度越大

C.在回歸模型中，殘差是觀測值》與預(yù)測值j的差，殘差點(diǎn)所在的帶狀區(qū)域?qū)挾仍秸f明模型擬合精度

越高

D.一組數(shù)據(jù)88,90,90,91,92,93,95,96,98的第75百分位數(shù)為95

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據(jù)相關(guān)指數(shù)的定義確定A；

根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)確定B；

根據(jù)殘差的性質(zhì)確定C：

根據(jù)百分位數(shù)的運(yùn)算確定D.

【詳解】對于A,由相關(guān)指數(shù)的定義知：及2越大，模型的擬合效果越好，A正確；

對于B,由獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想知：??值越大，"x與y有關(guān)系,，的把握程度越大，B錯誤.

對于C,殘差點(diǎn)所在的帶狀區(qū)域?qū)挾仍秸瑒t殘差平方和越小，模型擬合精度越高，C正確;

對于D,???9x0.75=6.75,???第75百分位數(shù)為第7位95,D正確.

故選：ACD.

10,將函數(shù)/(x)=sin2x+G的圖象向左平移四個單位后，得到函數(shù)g(x)的圖象，則(〉

6

A.函數(shù)g(x)存在一個極值點(diǎn)X=2

B.函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱

Sjrjr\

[-上單調(diào)遞增

D.函數(shù)g(x)在區(qū)間|五,-1)上有兩個零點(diǎn)

【答案】AC

【解析】

【分析】由三角函數(shù)的平移求出函數(shù)g(x),由極值點(diǎn)的定義可判斷A；求=可判斷B；求出

g(x)的單調(diào)增區(qū)間可判斷C；g(x)=sin12x+gj+JJ>0可判斷D.

【詳解】函數(shù)/(x)=sin2x+g■的圖象向左平移二個單位后，得到函數(shù)g(x)的圖象,

6

則g(x)=sin2卜+看)+G=sin12x+6，

(_71

對于A,fH—令g'(x)=2cos2x+—j=0,

g(x)=2cosI2x3

jrjrKTV7T

則2x+—=E+—,左￡Z,所以x=—+一,kGZ

32212

所以g'd=0,且當(dāng)/意時,g'(x)＞。，當(dāng)xe信尚)時，g'(x)＜。

I7T7T1ITL7Ti

所以當(dāng)—g(x)單調(diào)遞增，在丘,1Jg(x)單調(diào)遞減,

所以X=E是函數(shù)g(x)的一個極值點(diǎn)，故A正確；

對于B,g（g）=sin;i+=0,故B不正確；

兀兀兀

對于C,令---F2kjt<2xH—<—F2/CRkeZ,

232F

57rit57t7i

解得：一衛(wèi)+而2+E,令人=0,則一

12121212

571兀、「5兀兀1~,一.A

則一一，一二q，所以C正確；

I126JL1212J

（兀5兀71（兀八、

對于D,因?yàn)長2X+yEI—,2nI,

所以-1<3山（2%+三]<1,一1+6<sin^2x+y^<1+G,

則8（》）=$皿（2%+m]+JJ>0，故g（x）無零點(diǎn)，故D不正確.

故選：AC.

11.在棱長為2的正四面體Z8CD中，過點(diǎn)。且與8。平行的平面a分別與棱交于點(diǎn)E,F,點(diǎn)、。

為線段CD上的動點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.ACA.EF

B.當(dāng)瓦。分別為線段Z8,C￡>中點(diǎn)時，C尸與E。所成角的余弦值為逅

6

C.線段E0的最小值為追

D.空間四邊形3CFE的周長的最小值為4+6

【答案】ABD

【解析】

【分析】A選項(xiàng)，先根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理推導(dǎo)出,然后利用向量證明ZC15。即可；B選

項(xiàng)，利用平移的辦法，將。廠與E。所成角放到三角形中，用余弦定理計(jì)算；C選項(xiàng)，根據(jù)B的中間步驟

可知C錯誤；D選項(xiàng)，可以分析出BCEE的周長為4+CF,故求CF最小值即可.

p

【詳

收個二.一WjEg

由題知，BD//平面CEF,而平面CEFc平面5。匚平面/8。，根據(jù)線面平行的性質(zhì)定

理可知，BD//EF,

又就.麗=（方+瑟）?麗=萬.麗+前?麗=2x2xcos洱2x2xcos-=0,

即/C工8。，故ZCJ.EE,A選項(xiàng)正確；

連接力。,8。，易得4Q=BQ=6=CF,又AE=EB=1，于是EQLZ8（三線合一），故

￡0=，（可-1=億

取ED中點(diǎn)尸，連接尸。，尸E,由中位線可知尸°=乎，在△&￡尸中由余弦定理，

EP2^AE2+AP2-2AE-AP-cos60°=~,即改=立，

42

由C尸〃尸。，CF與E0所成角即為NE。尸（或其補(bǔ)角），在△EQP中根據(jù)余弦定理，

2+—廠

cosNEQP=—產(chǎn)=亞,B選項(xiàng)正確；

V66

根據(jù)B選項(xiàng)分析，當(dāng)瓦。分別為線段/8,CZ）中點(diǎn)時，EQf<6C選項(xiàng)錯誤；

由BDHEF、由于△48。為正三角形，則也是正三角形，故EF=AE，故四邊形BCFE的周

長為：BC+BE+EF+CF=2+（BE+AE）+CF=4+CF,當(dāng)口為中點(diǎn)，即CRJ.Z。時，CE有

最小值

即空間四邊形8CFE的周長的最小值為4+6,D選項(xiàng)正確.

故選：ABD

12.已知E為拋物線C:/=4x的焦點(diǎn)，過戶的直線/與拋物線交于48兩點(diǎn)（點(diǎn)A在第一象限），過線

段的中點(diǎn)M作J，軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)P,交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)N,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列說法正

確的是（）

A.當(dāng)|/尸|=2忸可時,直線/的斜率為2J5

B.|PA/|>|P2V|

C.△尸Z8的面積不小于△0/6的面積

D.|PJ|2+|P5|2=IO|PA/|2

【答案】ACD

【解析】

【分析】由拋物線C:「=4x,得尸（1,0）,準(zhǔn)線為x=—1,設(shè)直線/的方程為》=叼+1,/（而,必），

B（x2,y2）,聯(lián)立直線與拋物線方程，結(jié)合韋達(dá)定理可得玉+起，須々，進(jìn)而得到,+外，乂％.進(jìn)而結(jié)

合拋物線定義可求解A；結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得”（1+2加2,2加），進(jìn)而得到P（〃/,2m），進(jìn)而判斷B；結(jié)

合弦長公式可求解C；結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式可求解D.

【詳解】由拋物線C:/=4x,得尸（1,0）,準(zhǔn)線為x=—l.

設(shè)直線/的方程為％=即+1,（加HO）,即x-強(qiáng)yT=O,設(shè)必）,B（x2,y2）,

聯(lián)立1+1,整理得/—（2+4加2）x+1=0,

y=4x

則再+>2=2+4加2,x}x2=1,

廣M—1X,—1X]+X,-2

所以乂+?2=———+———=-..=----=4加,

mmm

七一1x2一1須々一（再+工2）+1A

mmm

對于A,因?yàn)槭瑋=2忸尸],

所以$+1=2（々+1），即芯=2%2+1，

玉=2X2+1

聯(lián)立<玉+/=2+4/??2,解得m=——，

14

XjX2=I

所以直線/的方程為x=￥v+l，即》=2缶—20,

即直線/的斜率為2&，故A正確;

對于B,由X1+/=2+4〃J,yi+y2=4m,

所以+，則4=2"，

代入拋物線C：V=4x,得Xp=/,即。（加2,2同，

則\PM\=|1+2〃/—/??2|=1+/M2,|P7V|=m2+l,

所以1PM=|PN],故B錯誤；

對于C,14回=J1+J?J（X]+%2）2-4%產(chǎn)2=J1+3,J（2+4/〃2）2—4=4（1+）2），

Im2-2m2-11i-------

點(diǎn)P到直線/的距離為j?=J1+/??,

1

點(diǎn)O到直線/的距離為-/,,

y/1+m2

1_____3

則4（l+〃/）x2（1+加2）2,

=x41+ffl2x122

^g1（）-/=2（1+W）,

241+加

因?yàn)楹瘮?shù)y=a'（a〉l）在R上單調(diào)遞增，且1+加221,

所以故C正確；

2

對于D,歸+|PB|=（1-—I+（必_2fflJ+伍一加2）~+（_y2-2m）'，

2242

即+\PB\=（X1+x2）-2m（X]+x2）-2xtx2+（yt+y2）'_4m（yt+y2）-2yM+2w+8m,

即|"『+儼卻2=0+4加27_2加20+4加2）_2+（癡J_4m.癡+8+2/+8加2,

即|PJ|2+|尸8『=1Om4+20m2+10,

而PM=1+/，即|PA/『=1+2m2+一,

所以歸zf+儼肝=101PM2,故D正確.

故選：ACD.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決圓錐曲線與直線相交于兩點(diǎn)問題，常常聯(lián)立直線與曲線方程，利用設(shè)而不求的思

想，消元結(jié)合韋達(dá)定理可得西+々，否進(jìn)而求解問題即可.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.將(1-2x)(l+3x『展開后按x的升基排列，則第3項(xiàng)為.

【答案】30答

【解析】

【分析】(l-2x)(l+3x)4展開后按x的升基排列，則第3項(xiàng)即為含f的項(xiàng)，求出(l+3x)4的通項(xiàng)公式，令

尸=1和廠=2,求解即可得出答案.

【詳解】(1+3x『的通項(xiàng)公式為I”=C；(3x)'=C；，

(l-2x)(l+3x『展開后按x的升募排列，則第3項(xiàng)即為含/的項(xiàng)，

(1-2x)(1+3x)4=(l+3x)4-2x(l+3x)4,

令r=2,貝iJC；32/=54x2,令廠=1,則?3：口一,

所以f的系數(shù)為：54--2乂12》2=30》2.

故答案為：30X?

14.定義在R上的奇函數(shù)/(x),滿足對Va,be[0,+“)且/b,都有("b)[/(a)—/㈤]<0成立，

則當(dāng)不等式/(1+》)+/(—3x)20成立時，9、+姬的最小值為.

【答案】4

【解析】

【分析】由題設(shè)易知/(x)在R上遞減，利用單調(diào)性及已知不等式知結(jié)合對勾函數(shù)性質(zhì)求目標(biāo)式的

最小值.

【詳解】由題設(shè)/（X）在［0,+0。）上遞減，又在R上為奇函數(shù)，

所以/（工）在（一叫0）上遞減，則/（x）在R上遞減，

由/（1+%）2一/（一3工）=/（3》），WJ1+x<3x,可得xN；,

9X+—>2J9A--=273，僅當(dāng)92*=3，即x時等號成立，

9VV9V4

3

所以，上述等號取不到，而，=9、23,且^=/+7在［3,+8）上遞增，，=3時>=4,

3

所以9'+二的最小值為4.

9X

故答案為：4

15.設(shè)直線x+J￡—JJ=O與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為48,點(diǎn)C為線段的中點(diǎn)，若圓

0：/+/=/上〉0）上有且只有一個點(diǎn)「，使得直線尸。平分//P8,則r=.

【答案】y##0.5

【解析】

【分析】根據(jù)點(diǎn)C為線段Z8的中點(diǎn)，直線尸。平分NZP8可得尸在Z8的垂直平分線上，且垂直平分線

與圓相切可求解.

【詳解】/（6,0）,8（0』）,點(diǎn)C為線段的中點(diǎn)，直線PC平分/力尸8，

P在48的垂直平分線上，

因?yàn)樽蟆?-弓，所以中垂線的斜率為6，

AB的中點(diǎn)為，由點(diǎn)斜式得y—；=y/3（x--^-）>

化簡得y=VJx-1，

P在圓。：X?+/=/2滿足條件的P有且僅有一個，

?.?直線》=JL-1與圓相切，

故答案為：y.

16.已知/(x)=ln(3x—2)+G,若/(x)4：恒成立，則實(shí)數(shù)。的值為.

3

【答案】—

2

【解析】

【分析】根據(jù)必要性探路，構(gòu)造函數(shù)g(x)=In(3x-2)+ox-@,發(fā)現(xiàn)g(l)=0,故g(x)<g(l)，得a=-一,

x2

3

再證當(dāng)Q=-一時，g(X)<0,即可求解.

2

【詳解】解：/(x)〈巴恒成立，即ln(3x-2)+ax-@V0恒成立，

XX

☆g(x)=ln(3x_2)+ax，40,又g⑴=0,所以g(x)4g⑴，

故x=l是g(x)的極小值點(diǎn)，

又g'(x)=—+a+￡,所以g'⑴=0,3+2a=0,解得：a=--,

3x-2x2

3、

下證：當(dāng)。=一一時，g(x)<0,

2

/、33「3卜0-司(1),

所以()(一312-|-x_2)(x_

g(x)=ln3x-2-—x+—g'(、)=243/2)

2X2(3X-2)

2322

—<0恒成立，故當(dāng)一<x<l時g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x>l時,g'(x)<0,g(x)

1233

單調(diào)遞減，

所以g(x)<g⑴=0,

綜上，a——，

2

故答案為：-巳3

2

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：對于恒成立含參問題，可以采取必要性探路解決，即先通過特殊點(diǎn)，求出不等式成立的

必要條件，再證充分性，即可.

四、解答題:本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.已知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S,，q=4,S“=；a“+|+”—2(〃wN*).

(1)求證：數(shù)列｛氏-1｝為等比數(shù)列，并求出數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)若,求數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和7；.

(―1)"(2〃2+6〃+5)

從①〃這兩個條件中任意選擇一個填入上

log；(-T)log；(4+2-1)

面橫線上，并完成解答.注:若選擇多個條件作答，則按第一個解答計(jì)分.

【答案】（1）證明見解析,4=3"+1

（2）答案見解析

【解析】

【分析】（I）通過S“=1a?+1+〃—2消去S“，得至ij。用=3%—2從而得到證明；

（2）若選①，則要運(yùn)用錯位相減法求和，若選②，先化簡“，然后分奇數(shù)偶數(shù)，利用分組求和計(jì)算.

【小問1詳解】

依題意可得2S“=a“+|+2〃-4,;.2S“_i=a“+2〃-6（"N2）

兩式相減并化簡得??+1=3%-2,所以a?+1-l=3（a?-1）（?>2）

又q=4,2S]=4+2-4,解得4=10.

所以42T=3（%T）=9,故an+l-1=3（a?-1）（/7eN*）

Cl.11

由于％—1=9/0,所以見一1#0,于是*L_^=3.

an~l

故數(shù)列｛%-1｝是首項(xiàng)為3,公比為3的等比數(shù)列

.?.a”—1=3X3"T=3",即勺=3"+1

【小問2詳解】

選①：由⑴得%=3"+1,則〃=（4一l）log3（/，川T）=（2〃+l）x3"

7；,=3X3'+5X32+7X33+---+（2/7+1）X3M

37；=3x32+5x3'+???+（2〃-1）x3"+（2〃+1）x3"*

兩式相減得：

-27；,=3X3'+2X（32+33+---+3H）-伽+1卜3”“

=9+2x9b.1）

—（2〃+l）x3"“=—2〃x3”“

所以7；=〃x3向

選②：由（1）得%=3"+1,所以

(-1)[(〃+1『+(〃+2)2

(-1)"(2/+6〃+5)[1

b“=(?+l)21(n+2)2

畸(%-1)嗨(“"+2-1)(〃+1)2(〃+2)2㈠"

(i)當(dāng)〃為偶數(shù)時,

J__]]]_]1_

?2(“+1)2J+[(〃+l『+(“+2)2)(M+2)2

4

(ii)當(dāng)〃為奇數(shù)時,

1____J___J________1_T「

"+l-5+3)2-4-(n+2)2~(〃+3)2(n+2)2-4

(-IV11

綜上所述7；=''2__

"(〃+2)24

18.記A/IBC的內(nèi)角48,C的對邊分別為a,b,c,已知c=JJ，Z>(1+cosC)=-73csinB.

C

(1)求角C的大小和邊6的取值范圍；

(2)如圖，若。是“6C的外心，求雙.荏+畫.而的最大值.

7T

【答案】(1)C=一，0<Z)<2

3

⑵-

2

【解析】

IT

【分析】(1)根據(jù)題意利用正弦定理結(jié)合三角恒等變換可得C=—,再根據(jù)正弦定理求邊6的取值范圍；

3

uuiruuruuruur3

(2)解法一：根據(jù)數(shù)量積結(jié)合圓的性質(zhì)整理可得OC?Z3+C/?C8=〃一一,進(jìn)而可求取值范圍；解法

2

uuiiruuruuruur3

二：根據(jù)數(shù)量積結(jié)合余弦定理整理可得。。-力6+。?。8=〃-士，進(jìn)而可求取值范圍.

2

【小問1詳解】

在“BC中，由6(1+cosC)=GcsinB結(jié)合正弦定理可得：

sin5(1+cosC)=^3sinCsin5,

因?yàn)?e(O,冗)，則sinBoO,

化簡得GsinC-cosC=2sin|C--j=1,即sin(C-—)=—,

I6J62

又因?yàn)?。?0,兀)，則。一5/一?，學(xué)，

6I66J

TTTTTT

所以c一一二一,解得。=一，

663

__c_____b____V_3__.),

由正弦定理sinCsin5百一，化簡得b=2sin8,

T

2兀

因?yàn)?<8<5，所以0<sin8Wl,所以0<bW2.

【小問2詳解】

2兀

解法1：由正弦定理得。4R=l,且乙4。8=.

因?yàn)榉?7函+2.^月=反?餃》一方）+（O4-CC）-（OB-OC）

uuiruuruuwuuruuruuruurturuuwuuruur。

=OCOB-OCOA+OAOB-OAOC-OCOB+OC

當(dāng)點(diǎn)。不在448c外部時（如圖）AAOC=2B,

LOTuuruuruurii33

OCAB+CACB=——2cos28=——2（1-2sin2fi）=4sin25--=62--；

2222

當(dāng)點(diǎn)。在448C外部時（如圖），NAOC=2gB）=2n-2B,

uuuruuruuruurii3

OC-AB+CA-CB^--2cos（27i-2B）^--2cos2B=h2-

由（1）可知0<b<2,

即當(dāng)b=2時，則反?布+3的最大值為

,BA

解法2：由題可知：CA-CB=a-bcos—=—ab,

32

c

如圖，分別取線段8C,/C的中點(diǎn)。,E,

由于。是448c的外心，則。。，8。,?！辏篲14。，

uumuiuUULIUULUULuumUULuumUUL

則0C/8=—C0(C8—C4)=—C096+C0C4

uuuruuruuruur//

=-CDCB+CECA=-—+—,

22

uuuruuruuruurb2+ah-a2

所以O(shè)C-A8+C4-C8=

2

由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC，即3=/+/—ab，

整理得ab-a2=b2-3>

uuuruuiruuruurb2+ab-a2b~+b~—3,23

所以0C-A8+C/?C8=-------------=b—

222

由（1）可知0＜6W2,

即當(dāng)6=2時，則。心.刀+心，區(qū)的最大值為g.

19.英國數(shù)學(xué)家貝葉斯（1701-1763）在概率論研究方面成就顯著，創(chuàng)立了貝葉斯統(tǒng)計(jì)理論，對于統(tǒng)計(jì)決策

函數(shù)、統(tǒng)計(jì)推斷等做出了重要貢獻(xiàn).貝葉斯公式就是他的重大發(fā)現(xiàn)，它用來描述兩個條件概率之間的關(guān)系.

該公式為：設(shè)4,4,…，4是一組兩兩互斥的事件，，且尸（4）＞°，，=i,"??,，?，

則對任意的事件P（8）＞0,有P（4|8）=一尸后））=?尸⑷尸31［好12?.?,〃.

現(xiàn)有三臺車床加工同一型號的零件，第1臺加工的次品率為6%,每加工一個零件耗時35分鐘，第2,3臺

加工的次品率均為5%,每加工一個零件分別耗時32分鐘和30分鐘，加工出來的零件混放在一起.已知第1，

2,3臺車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的25%,30%,45%.

（1）任取一個零件，計(jì)算它是次品的概率；

（2）如果取到的零件是次品，計(jì)算加工這個零件耗時X（分鐘）的分布列和數(shù)學(xué)期望.

【答案】（1）0.0525

（2）分布列見解析，期望為32（分鐘）

【解析】

【分析】（1）設(shè)8=”任取一個零件為次品“，4=”零件為第1臺車床加工”（，=1,2,3）,根據(jù)題設(shè)確定對應(yīng)

事件的概率，進(jìn)而應(yīng)用全概率公式求概率即可；

（2）由題設(shè)知X=35,32,30,利用貝葉斯公式求對應(yīng)值的概率，寫出分布列，進(jìn)而求期望.

【小問1詳解】

設(shè)8=“任取一個零件為次品"，4="零件為第i臺車床加工”4=1,2,3）,

則。=4=〃2口4，且4,4,4兩兩互斥.

根據(jù)題意，P（4）=0.25,尸（4）=0.3,尸（4）=0.45,

P（8I4）=0.06,P（8I4）=P（BI4）=0.05.

由全概率公式，得P（8）=P（4）P（8|4）+P（4）P（8|4）+P（4）P（04）

=0.25x0.06+0.3x0.05+0.45x0.05=0.0525.

【小問2詳解】

由題意知X=35,32,30,則

「⑻一篇L胃鬻乩程鵬

0.0525

23

同理得尸（X=32）=尸（4|8）=],P（X=30）=P（4|8）=亍,

所以加工這個零件耗時X的分布列為：

X353230

223

P

777

223

￡m=35x-+32x-+30x-=32（分鐘）.

777

20.如圖，在直角梯形48。中，ADHBC,ADVCD,四邊形COE尸為平行四邊形，對角線CE和

相交于點(diǎn)"，平面CDEF工平面4BCD,BC=2AD,ZDCF=60°,G是線段BE上一動點(diǎn)（不含端

點(diǎn)）

F

（1）當(dāng)點(diǎn)G為線段BE的中點(diǎn)時，證明：ZG〃平面。E/7；

（2）若Z￡>=1,CD=DE=2,且直線。G與平面COER成45°角，求二面角E—OG—尸的正弦值.

【答案】（1）證明見解析

【解析】

【分析】（1）由線面平行的判定定理證明即可；

（2）以C為原點(diǎn)，C8,C。為xj軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)瑟=；1屜=卜2/1,3/1,6），求出直線。6

方向向量與平面COE/7的法向量，由線面角的向量公式求出％=；,即可求出再求出平面

FCG和平面￡Z）G的法向量，由二面角的向量公式代入即可得出答案.

【小問1詳解】

證明：因?yàn)樗倪呅蜟DEF為平行四邊形，所以〃是CE中點(diǎn)，

連接G",又G點(diǎn)為線段8E的中點(diǎn)，則GH//BC,且

2

又力。//8C且NO=LBC,所以GHNAD,GH=AD,

2

所以四邊形是平行四邊形，

所以ZG//DH,又/G<z平面C0EF,?！柏纹矫妗?。后產(chǎn)，

所以ZG//平面CQER.

【小問2詳解】

以。為原點(diǎn)，C8,C。為xj軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）.

則有0（020）,6（2,0,0）,E（0,3,6）,F（0,1,6卜

設(shè)86=48￡1=（-2九34,64）,0<2<1,

則而=蔗_而=（-2A,32,732）-（-2,2,0）=（2-22,32-2,&）,

工=（1,0,0）為平面CQEF的法向量,

|k-I\2-2A\V2

所以cosDG,e\=1二—,

yl（2-2A）~+（3A-2）'+3A22

解得4=；（其中2=0舍去）所以

設(shè)平面EOG的法向量為正=（X]，K，ZJ,

則有比?￡>E=（X],必,zj{o[,J5）=%+^Z|=0,

玩.麗=（占，,，zj-1,—；,曰=/一；必+*4=0,

故可取而=卜石,一班,1）.

設(shè)平面FDG的法向量為〃=（々,8/2），

則有萬?。尸=@2，%/2）-（0,-1,出）=一%+62=0>

萬?0G=（X2，y2，Z2）[l,-；，￥）=X2_gy2+*Z2=0,

故可取3=（0,、Q,1）

21.如圖，動雙曲線的一個焦點(diǎn)為尸（0,-百），另一個焦點(diǎn)為P,若該動雙曲線的兩支分別經(jīng)過點(diǎn)

M(1,O),N(—1,O).

（2）斜率存在且不為零的直線/過點(diǎn)加（1,0）,交（1）中尸點(diǎn)的軌跡于48兩點(diǎn)，直線x=/（/〉2）與x軸

交于點(diǎn)。，。是直線x=f上異于。的一點(diǎn)，且滿足4。_L。。.試探究是否存在確定的f值，使得直線6。

恒過線段。M的中點(diǎn)，若存在，求出，值，若不存在，請說明理由.

【答案】（1）工+2=1（xwO）

43

（2）存在，（=4

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合雙曲線的定義和橢圓的定義即可求解；

（2）設(shè)直線/的方程為：F=左（》一1）（左#0）,/（斗,凹）,8（w，%）（%產(chǎn)%），根據(jù)題意得出

2弘力+（左-幻（乂+%）=0,然后將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理即可求解.

【小問1詳解】

由題意以及雙曲線定義可得：|必|一|心|=|而|一|八研，

：.\MP\+\NP\=\NF\+\MF\=4>\MN\=2

由橢圓的定義可知，點(diǎn)尸的軌跡是以為焦點(diǎn)，a=2,c=l的橢圓（不含短軸端點(diǎn)），其方程為

22

土+匕=1（』）.

43

【小問2詳解】

設(shè)直線/的方程為：供=左0—1）（左為0）,次和必）,3（》2,%）&HQ）,

則由福.麗=0,知0&M)，所以乂=%M(x-f),

%2—t

令y=0,得x=乂(’二，)+t(*)

外一凹

因點(diǎn)8(X2，%)在直線/上，所以外=乂％-1)，變形得%2=及+1，代入(*)式化簡得

K

y,y2+ky.-kty.1+/

x=M…)'若直線吃恒過線段的中點(diǎn),0,則有

2

v,y7+ky.-kty^1+，(、,、,、

j(v二,，廣F,整理得2必%+(左一肉(必+%)=0(**)

y=k(x-V)

22

由X+y得(3+4左2)/+6勿_9公=o,所以

6k9k2

…2=一="跖=一強(qiáng)而

代入(**)整理得，一188一6左(左—4)=0,解得/=4,所以存在，=4,即直線x=4,使得直線30恒過

線段的中點(diǎn).

1,

22.已知函數(shù)/(x)=lnx+sinx,g(x)=tzlnx+—x-cz(x-l)

(1)試判斷函數(shù)F(x)=/(x)+ax在xe(0,兀］上是否存在極值.若存在，說出是極大值還是極小值；若不存

在，說明理由.

(2)設(shè)6(%)=80)-/0)+5畝》(&>2),若GO)=G(l)(mH1),證明:不等式x"T>e*T在

上恒成立.

【答案】(1)答案見解析

(2)證明見解析

【解析】

【分析】(1)F(x)=—+cosx+。,令左(x)=—+cosx+a,%'(x)=-4-sinx,因此/(x)在(0,兀］單

xxx

調(diào)遞減，F(xiàn)'(x)=F'(n)=a+--l,討論R'(x)正負(fù)即可判斷出極值的情況；

min兀