無錫市天一中學2021-2022學年高一平行班上學期期末數(shù)學試題（解析版）

第18頁/共18頁江蘇省天一中學2021~2022學年第一學期期末考試高一數(shù)學試題（平行班）注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用交集的定義可求得集合.【詳解】已知集合，集合，則.故選：B.2.已知角的終邊經(jīng)過點，則的值等于A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由三角函數(shù)的定義可求出的值.【詳解】由三角函數(shù)的定義可得，故選A.【點睛】本題考查三角函數(shù)的定義，解題的關鍵在于三角函數(shù)的定義進行計算，考查計算能力，屬于基礎題.3.（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先利用誘導公式進行變形，然后結合正弦和角公式即可求出結果.【詳解】故選：B.4.設實數(shù)滿足，則函數(shù)的最小值為（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】A【解析】【分析】將解析式變形，再利用基本不等式即可得出．【詳解】，函數(shù)，當且僅當，即時取等號．因此函數(shù)的最小值為3．故選：A．5.若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用倍角公式，以及同角三角函數(shù)關系，整理化簡即可求得正切值.【詳解】因為，即，解得.故選：C.6.已知函數(shù)是上的增函數(shù)，那么的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)在上的單調(diào)遞增，可知，由此即可求出結果.【詳解】因為函數(shù)是上的增函數(shù)，所以，解得.故選：D.7.四個函數(shù)：①；②；③；④的圖象(部分)如下，但順序被打亂，則按照從左到右將圖象對應的函數(shù)序號安排正確的一組是（）A.④①②③ B.①④②③ C.③④②① D.①④③②【答案】B【解析】【分析】根據(jù)各個函數(shù)的奇偶性、函數(shù)值的符號，判斷函數(shù)的圖象特征，即可得到．【詳解】解：①為偶函數(shù)，它的圖象關于軸對稱，故第一個圖象即是；

②為奇函數(shù)，它的圖象關于原點對稱，它在上的值為正數(shù)，

在上的值為負數(shù)，故第三個圖象滿足；

③為奇函數(shù)，當時，，故第四個圖象滿足；

④，為非奇非偶函數(shù)，故它的圖象沒有對稱性，故第二個圖象滿足，

故選：B．【點睛】思路點睛：函數(shù)圖象的辨識可從以下方面入手：(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置．(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢；(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性；(4)從函數(shù)的特征點，排除不合要求的圖象.8.高斯是世界著名的數(shù)學家之一，他一生成就極為豐碩僅以他的名字“高斯”命名的成果就多達110個，為數(shù)學家中之最．對于高斯函數(shù)，其中表示不超過的最大整數(shù)，如，，表示實數(shù)的非負純小數(shù)，即，如，．若函數(shù)（，且）有且僅有個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】將函數(shù)的零點問題轉(zhuǎn)化為的圖象與函數(shù)的圖象有且僅有個交點的問題，根據(jù)高斯函數(shù)的定義，求出的解析式，作出其圖象，數(shù)形結合即可得參數(shù)的取值范圍．【詳解】函數(shù)有且僅有3個零點，即的圖象與函數(shù)的圖象有且僅有個交點．而，畫出函數(shù)的圖象，易知當時，與的圖象最多有1個交點，故，作出函數(shù)的大致圖象，結合題意可得，解得：，所以實數(shù)的取值范圍是，故選：D．二、選擇題；本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知、、、均為非零實數(shù)，則下列一定正確的有（）A. B.C.若，則 D.若，，則【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)不等式可推出，由此可判斷A;利用基本不等式可判斷B;舉例可判斷C；利用不等式的性質(zhì)可判斷D.【詳解】、、、均為非零實數(shù),則，故，即，故A正確；由題意可知，故，當且僅當，即時取等號，故B正確；若，比如a=1，b=-1，則不成立，故C錯誤；若，，則若，，故，故D正確，故選：ABD10.關于函數(shù)，下列說法中正確的是（）A.最小正周期是 B.圖象關于點對稱C.圖象關于直線對稱 D.在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】AB【解析】【分析】利用正切函數(shù)的知識逐一判斷即可.【詳解】的最小正周期為，故選項A正確；由，故選項B正確；因為函數(shù)不存在對稱軸，故選項C錯誤；因為，所以，此區(qū)間不是函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，故選項D錯誤；故選：AB．11.如圖，摩天輪的半徑為，其中心點距離地面的高度為，摩天輪按逆時針方向勻速轉(zhuǎn)動，且轉(zhuǎn)一圈，若摩天輪上點的起始位置在最高點處，則摩天輪轉(zhuǎn)動過程中（）A.轉(zhuǎn)動后點距離地面B.若摩天輪轉(zhuǎn)速減半，則轉(zhuǎn)動一圈所需的時間變?yōu)樵瓉淼腃.第和第點距離地面的高度相同D.摩天輪轉(zhuǎn)動一圈，點距離地面的高度不低于的時間為【答案】AC【解析】【分析】求出摩天輪的周期，設出時間，求出點上升的高度，求出點距離地面的高度，再逐個分析判斷即可【詳解】解：摩天輪轉(zhuǎn)一圈，在內(nèi)轉(zhuǎn)過的角度為，建立平面直角坐標系，如圖，設是以軸正半軸為始邊，表示點起始位置為終邊的角，以軸正半軸為始邊，為終邊的角為，即點的縱坐標為，又由題知，點起始位置在最高點處，點距地面高度關于旋轉(zhuǎn)時間的函數(shù)關系式為：即當時，，故A正確；若摩天輪轉(zhuǎn)速減半，，則其周期變?yōu)樵瓉淼?倍，故B錯誤；第點距安地面的高度為第點距離地面的高度為第和第時點距離地面的高度相同，故C正確；摩天輪轉(zhuǎn)動一圈，點距離地面的高度不低于，即，即，，得，或，解得或，共，故D錯誤．故選：AC．12.已知函數(shù)，則（）A.對任意正奇數(shù)，為奇函數(shù)B.對任意正整數(shù)，的圖象都關于直線對稱C.當時，在上的最小值為D.當時，的單調(diào)遞增區(qū)間是【答案】BCD【解析】【分析】對A：取，易得不是奇函數(shù)，從而即可判斷；對B：利用誘導公式計算即可判斷；對C：利用三角函數(shù)的知識即可求解；對D：時，利用三角恒等變換化簡解析式得，從而即可求解.【詳解】解：對A：取，則，此時，所以不是奇函數(shù)，故選項A錯誤；對B：因為，所以的圖象關于直線對稱，故選項B正確；對C：當時，，因為，所以，所以，所以，所以在上的最小值為，故選項C正確；對D：當時，，由，可得，則的遞增區(qū)間為，故選項D正確．故選：BCD.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知扇形面積為，半徑是1，則扇形圓心角的弧度數(shù)是________.【答案】【解析】【分析】設扇形圓心角的弧度數(shù)是，利用扇形的面積公式即可求解.【詳解】設扇形圓心角的弧度數(shù)是，由扇形的面積公式可得：，解得：，故答案為：.14.求值：______.【答案】【解析】【分析】利用對數(shù)的運算性質(zhì)及指數(shù)冪的運算性質(zhì)即可求解.【詳解】解：原式，故答案為：.15.已知為第二象限角，，則___________.【答案】【解析】【分析】先利用誘導公式化簡求得，再結合角所在的象限，利用同角三角函數(shù)的平方關系求余弦即可.【詳解】依題意可得，，即，解得，又為第二象限角，，則，.故答案為：.16.已知為正數(shù)，函數(shù)在區(qū)間和上最大值分別記為和，若，則的取值范圍為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意分析可得，從而確定，則，再結合三角函數(shù)的性質(zhì)即可求得答案.【詳解】函數(shù)在區(qū)間和上的最大值分別記為和，則，若，則,與矛盾；若，則,則，與題意矛盾；故，則，則，則，而，故，即，故答案為：四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知全集，集合，.（1）若，求；（2）若，且“”是“”的必要不充分條件，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）或；（2）【解析】【分析】（1）先求得集合A，進而可得，當，可得集合B，根據(jù)并集的運算法則，即可求得答案；（2）“”是“”的必要不充分條件等價于，根據(jù)集合的包含關系，列出不等式組，即可求得答案.【詳解】（1）集合，所以或，當時，集合，所以或；（2）“”是“”的必要不充分條件等價于是真子集，因為，所以，解得，所以實數(shù)a的取值范圍為【點睛】解題的關鍵是根據(jù)題意，可得，再根據(jù)集合的包含關系，即可求得答案，易錯點為，要注意集合B中左右邊界的大小關系，考查分析理解，計算化簡的能力，屬基礎題.18.已知函數(shù)的圖象關于點對稱.（1）求的值；（2）將函數(shù)的圖象向右平移個單位，然后將所得的圖象上各點的橫坐標縮小到原來的倍（縱坐標不變），得到函數(shù)的圖象.當時，求函數(shù)的值域.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意，，又，從而即可求解；（2）由三角函數(shù)的圖象變換可得，由，即可求解函數(shù)的值域.【小問1詳解】解：因為函數(shù)的圖象關于點對稱，所以，又，所以；【小問2詳解】解：由（1）知，將的圖象向右平移個單位得，再將圖象上各點的橫坐標縮小到原來的倍（縱坐標不變）得，因為，所以，所以，所以函數(shù)的值域為.19.已知二次函數(shù)，當時，；當，.（1）求，的值；（2）解關于的不等式：.【答案】（1）（2）答案見解析【解析】【分析】（1）由題意可知方程的兩根，利用根與系數(shù)的關系即可求得答案；（2）利用（1）的結果整理不等式為，求出其兩根，分類討論可得結果.【小問1詳解】由題意可知：的兩根為，故，即得,即；【小問2詳解】由（1）可知：，即，解方程得兩根為，當，即時，解集為；當，即時，解集為；當，即時，解集為；故時，解集為；時，解集為；時，解集為.20.已知函數(shù).（1）設，求的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若，，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用兩角和、差的余弦公式和正弦公式將化為只含有一個三角函數(shù)的形式，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求得答案；（2）根據(jù)求得，結合，求得，再利用拆角的方法求得答案.【小問1詳解】;當時，，當即時，單調(diào)遞減，故的單調(diào)遞減區(qū)間為；【小問2詳解】，即，，故，所以.21.如圖是一個半圓和長方形組成的木塊，長方形的邊為半圓的直徑，為半圓的圓心，，，現(xiàn)要將此木塊鋸出一個等腰三角形，其底邊，點在半圓上，點在線段上，三角形木塊選的面積記為S.（1）①設點到底邊的距離為，將S表示為的函數(shù)；②設，將S表示為的函數(shù)；（2）從（1）中選擇一個合適的函數(shù)，解決以下問題：當點在何處時，三角形木塊的面積S最大？并求出該最大值.【答案】（1）①，（）；②，（）.（2）E位于半圓上，且時，三角形木塊的面積最大.【解析】【小問1詳解】①設，則（），所以,,,所以，（）.即，（）.②設，設，（），所以,,,所以，（）.所以，（）【小問2詳解】選擇函數(shù)②：.令，則，在上單調(diào)遞增，所以當，即時，最大.此時E位于半圓上，且.22.若函數(shù)對定義域內(nèi)的每一個值，在其定義域內(nèi)都存在，使成立，則稱該函數(shù)為“圓滿函數(shù)”.已知函數(shù)；（1）判斷函數(shù)是否為“圓滿函數(shù)”，并說明理由；（2）設，證明：有且只有一個零點，且.【答案】（1）不是“圓滿函數(shù)”，理由見解析；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）取特殊值，代入“圓滿函數(shù)”的定義，判斷是否有實數(shù)能滿足；（2）當時，利用零點存在性定理討論存在零點，以及當時，證明在上沒有零點，再化簡，轉(zhuǎn)化為證明不等式.【詳解】解：