江蘇省五市十一校2024屆高三上學期12月階段聯(lián)測 數(shù)學試題（含解析）

2023～2024學年度第一學期階段聯(lián)測高三數(shù)學試題考試時間120分鐘總分150分一、單選題（本大題共8小題，共40分.在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1．設集合，，則（

）A． B． C． D．2．若復數(shù)，則實數(shù)（

）A． B．0 C．1 D．23．已知實數(shù)滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．4．函數(shù)的圖象如下圖所示，則的解析式可能為（

）

A． B．C． D．5．若，則（

）A． B． C． D．6．已知數(shù)列滿（），且對任意，恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．7．已知，，，則（

）A．a(chǎn)＞b＞c B．a(chǎn)＞c＞bC．b＞c＞a D．c＞b＞a8．已知函數(shù)，若函數(shù)有三個不同的零點，則實數(shù)m的取值范圍為（

）A． B．C． D．二、多選題（本大題共4小題，共20分.在每小題有多項符合題目要求）9．在中，角，，所對的邊分別為，，，已知，則下列結論正確的是（

）A． B．C．若，則的面積是15 D．若，則外接圓半徑是10．設正項等差數(shù)列滿足，則（

）A．的最大值為 B．的最大值為C．的最大值為 D．的最小值為11．如圖，棱長為6的正方體中，點、滿足，，其中、，點是正方體表面上一動點，下列說法正確的是（

）

A．當時，∥平面B．當時，若∥平面，則的最大值為C．當時，若，則點的軌跡長度為D．過A、、三點作正方體的截面，截面圖形可以為矩形12．已知函數(shù)（），（），則下列說法正確的是（

）A．若有兩個零點，則B．若且，則C．函數(shù)在區(qū)間有兩個極值點D．過原點的動直線l與曲線相切，切點的橫坐標從小到大依次為：，，…，.則三、填空題（本大題共4小題，共20分）13．已知，且在區(qū)間有最小值無最大值，則.14．定義運算則不等式對任意恒成立，則實數(shù)的取值范圍是.15．正的三個頂點都在球O的球面上，，若三棱錐的體積為2，則該球的表面積為．16．對于數(shù)列{an}，使數(shù)列{an}的前k項和為正整數(shù)的k的值叫做“幸福數(shù)”．已知，則在區(qū)間[1，2021]內(nèi)的所有“幸福數(shù)”的個數(shù)為．四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17．在中，，，分別是角A，，的對邊，且.(1)若，求的值；(2)若，求的面積的最大值.18．如圖，在四棱錐中，平面，，且，，，，，為的中點．(1)求證：平面；(2)求二面角的正弦值．19．設是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，公比大于，已知，，.（Ⅰ）求和的通項公式；（Ⅱ）設數(shù)列滿足求.20．已知函數(shù)1)若a=1,求曲線在點處的切線方程(2)若在R上單調(diào)遞增,求實數(shù)a的取值范圍21．設是首項為1的等比數(shù)列，數(shù)列滿足．已知，，成等差數(shù)列．（1）求和的通項公式；（2）記和分別為和的前n項和．證明：．22．已知函數(shù).（1）若在時有極值，求a的值；（2）在直線上是否存在點P，使得過點P至少有兩條直線與曲線相切？若存在，求出P點坐標；若不存在，請說明理由.1．B【分析】解一元二次不等式得集合，然后由集合的運算法則計算．【詳解】由題意，，所以．故選：B．2．C【分析】根據(jù)復數(shù)的乘法運算結合復數(shù)相等列式求解.【詳解】因為，可得，解得.故選：C.3．A【解析】所求的分母特征，利用變形構造，再等價變形，利用基本不等式求最值.【詳解】解：因為滿足，則，當且僅當時取等號，故選：．【點睛】本題考查通過拼湊法利用基本不等式求最值.拼湊法的實質(zhì)在于代數(shù)式的靈活變形，拼系數(shù)、湊常數(shù)是關鍵.(1)拼湊的技巧，以整式為基礎，注意利用系數(shù)的變化以及等式中常數(shù)的調(diào)整，做到等價變形;(2)代數(shù)式的變形以拼湊出和或積的定值為目標(3)拆項、添項應注意檢驗利用基本不等式的前提.4．D【分析】由圖知函數(shù)為偶函數(shù)，應用排除，先判斷B中函數(shù)的奇偶性，再判斷A、C中函數(shù)在上的函數(shù)符號排除選項，即得答案.【詳解】由圖知：函數(shù)圖象關于y軸對稱，其為偶函數(shù)，且，由且定義域為R，即B中函數(shù)為奇函數(shù)，排除；當時、，即A、C中上函數(shù)值為正，排除；故選：D5．C【分析】將式子先利用二倍角公式和平方關系配方化簡，然后增添分母()，進行齊次化處理，化為正切的表達式，代入即可得到結果．【詳解】將式子進行齊次化處理得：．故選：C．【點睛】易錯點睛：本題如果利用，求出的值，可能還需要分象限討論其正負，通過齊次化處理，可以避開了這一討論．6．D【分析】根據(jù)數(shù)列單調(diào)性結合二次函數(shù)的性質(zhì)分析求解.【詳解】由題意可知：，且開口向上，對稱軸為，可得，解得，所以實數(shù)的取值范圍為.故選：D.7．A【分析】對兩邊取對數(shù)，得到，，，構造，，求導后再令，研究其單調(diào)性，得到在上單調(diào)遞增，從而得到，結合在上的單調(diào)性求出答案.【詳解】，，兩邊取對數(shù)得：，，，令，，則，令，，則在上恒成立，所以在上為增函數(shù)，因為當時，恒成立，所以在上恒成立，故在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，所以，故，即，因為在上單調(diào)遞增，所以.故選：A【點睛】構造函數(shù)比較大小是高考熱點和難點，結合代數(shù)式的特點，選擇適當?shù)暮瘮?shù)，通過導函數(shù)研究出函數(shù)的單調(diào)性，從而比較出代數(shù)式的大小，本題中，對，，兩邊取對數(shù)得：，，前后兩個對數(shù)中真數(shù)之和為11，從而達到構造出適當函數(shù)的目的.8．C【分析】把函數(shù)有3個不同零點問題轉化成方程有兩個不同解，再利用導數(shù)結合函數(shù)圖象求解作答.【詳解】函數(shù)的定義域為R，求導得，當時，，當時，，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，且，恒有，由，得，即或，由，得，于是函數(shù)有3個不同零點，當且僅當方程有2個不同的解，即直線與圖象有2個公共點，在同一坐標系內(nèi)作出直線與的圖象，如圖，

觀察圖象知，當，即時，直線與的圖象有2個公共點，所以實數(shù)m的取值范圍為.故選：C【點睛】思路點睛：涉及給定函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)范圍問題，可以通過分離參數(shù)，等價轉化為直線與函數(shù)圖象交點個數(shù)，數(shù)形結合推理作答.9．ABD【分析】先利用已知條件設，進而得到，利用正弦定理可判定選項A；利用向量的數(shù)量積公式可判斷選項B；利用余弦定理和三角形的面積公式可判定選項C；利用余弦定理和正弦定理可判斷選項D.【詳解】依題意，設，所以，由正弦定理得：，故選項A正確；，故,選項B正確；若，則，所以，所以，所以，故的面積是：，故選項C不正確；若，則，所以，所以，所以，則利用正弦定理得：的外接圓半徑是：，故選項D正確.故選：ABD10．ABD【解析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，求得的關系式，由此結合基本不等式，判斷出正確選項.【詳解】因為正項等差數(shù)列滿足，所以，即.①，當且僅當時成立，故A選項正確.②由于，所以，當且僅當時成立，故B選項正確.③，當且僅當時成立，所以的最小值為，故C選項錯誤.④結合①的結論，有，當且僅當時成立，故D選項正確.故選：ABD【點睛】本小題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查基本不等式求最值，屬于中檔題.11．ABC【分析】以點為原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，利用空間向量法可判斷AC選項；分別取、中點、，連接、、、、，，找出點P的軌跡，結合圖形求出的最大值，可判斷B選項；作出截面，分析截面的形狀，可判斷D選項.【詳解】以點為原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，則、、、、、，

對于A選項：當時，則，因為，，設平面的法向量為，則，取，則，可得，所以，則，因為平面，所以當時，∥平面，故A正確；對于B選項：當時，為中點，分別取、中點、，連接、、、、，因為、分別為、的中點，所以∥，又因為∥且，則四邊形為平行四邊形，可得∥，所以∥，且平面，平面，所以∥平面，同理可得，∥平面，

因為，、平面，所以平面∥平面，當點為的邊上一點（異于點）時，則平面，則∥平面，故點的軌跡為的邊（除去點），則，同理可得，結合圖形可得，故B正確；對于選項C：當時，、分別為、的中點，如圖所示：此時點、、，，

當點在平面內(nèi)運動時，設點，其中，，則，因為，則，解得，設點的軌跡分別交棱、于點、，則、，當點在平面內(nèi)運動時，設點，其中，，則，則，設點的軌跡交棱于點，則，設點的軌跡交棱于點，因為平面∥平面，平面平面，平面平面，所以∥，同理可得∥，所以四邊形為平行四邊形，且，，因此點的軌跡的長度即為平行四邊形的周長，故C正確；對于D選項：設截面交棱于點，連接、，由題意可知，截面與平面重合，因為平面∥平面，平面平面，平面平面，所以∥，同理可得∥，所以四邊形為平行四邊形，

因為，其中，則，，且，即與不可能垂直，所以平行四邊形不可能為矩形，即過A、、三點的截面不可能是矩形，故D錯誤.故選：ABC.12．ABD【分析】A項：方法1：分離參數(shù)畫圖即可求得m的范圍；方法2：研究原圖的圖象與x軸交點即可；B項：由極值點偏移的證明步驟即可證得結果；C項：應用輔助角公式化簡，求的極值點可得；D項：由化簡可得.【詳解】A項：方法1：∵有兩個零點，即：方程有兩個根.令∴有兩個交點.∵∴令，解得，當，，在單調(diào)遞減，當，，在單調(diào)遞增.當，，當，.如圖所示，

又∵∴，A正確.方法2：，則，令，解得，當，，在單調(diào)遞減，當，，在單調(diào)遞增，所以是的極小值點同時也是最小值點，即，當時，，，所以在只有一個零點，又因為，只需證明恒成立，即可得到在內(nèi)只有一個零點.令，∵∴在上單調(diào)遞增.∴∴恒成立得證.∴在R上有兩個零點，A正確；B項：方法1：由A項知∵∴且m>1且在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.不妨設：，要證：只需證：又∵，∴又∵在單調(diào)遞減.∴只需證：又∵∴只需證：，令∴只需證：，∵=當，恒成立，所以，∴在上單增∴∴原命題得證.B正確.C項：∵∴，解得：，即為的極值點.∴在區(qū)間有1個極值點為.C項錯誤.D.∵，，則，設切點坐標為，則切線斜率為，則，即，D正確.故選：ABD.【點睛】函數(shù)零點的求解與判斷方法：(1)直接求零點：令，如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點．(2)零點存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且，還必須結合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個零點．(3)利用圖象交點的個數(shù)：將函數(shù)變形為兩個函數(shù)的差，畫兩個函數(shù)的圖象，看其交點的橫坐標有幾個不同的值，就有幾個不同的零點．極值點偏移問題的解法：(1)(對稱化構造法)構造輔助函數(shù)：對結論型，構造函數(shù)；對結論型，構造函數(shù)，通過研究F(x)的單調(diào)性獲得不等式．(2)(比值代換法)通過代數(shù)變形將所證的雙變量不等式通過代換化為單變量的函數(shù)不等式，利用函數(shù)單調(diào)性證明．13．【詳解】試題分析：因為，所以直線是函數(shù)的一條對稱軸，又因為在區(qū)間有最小值無最大值，所以，解得；故填．考點：三角函數(shù)的性質(zhì)．14．【分析】由題意可得：對任意恒成立，分和兩種情況，結合一元二次不等式恒成立問題分析求解.【詳解】由題意可得對任意恒成立，若，則，符合題意，即成立；若，則，解得；綜上所述：實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.15．【詳解】由題可知截面小圓的半徑,又,所以16．5【分析】求得數(shù)列的前項和，結合對數(shù)運算列不等式，由此求得“幸福數(shù)”的個數(shù).【詳解】，設的前項和為，則，為整數(shù)，設為，，，，可取1，2，3，4，5共5個數(shù)，∴“幸福數(shù)”有5個．故答案為：17．(1)(2)【分析】（1）由可知，，由同角三角關系可得，進而可求得結果；（2）由結合正弦定理可得，在中利用余弦定理和同角三角函數(shù)的關系可得，然后利用三角形面積公式和基本不等式可求得結果.【詳解】（1）因為，可知，，由已知可得，又因為所以.（2）在中，，因為，則，即，則，可得，由正弦定理可得得若，則，在中，由余弦定理，且，則，可得，當且僅當時，等號成立，所以的面積的最大值是．18．(1)證明見解析(2)【分析】（1）取中點為，連接，，進而證明四邊形為平行四邊形即可證明結論；（2）取中點為，以為空間直角坐標系原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，利用坐標法求解即可；【詳解】（1）證明：取中點為，連接，，如圖所示，因為，分別是，的中點，所以且，又因為且，所以，，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因為平面，平面，所以平面．（2）解：取中點為，以為空間直角坐標系原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，則，，，，，設平面的法向量為，因為，，所以，令，解得，即，設平面的法向量為，因為，，所以，令，解得，即，記平面與平面夾角為，，則，，所以二面角的正弦值為．19．（I），；（II）【分析】（I）首先設出等差數(shù)列的公差，等比數(shù)列的公比，根據(jù)題意，列出方程組，求得，進而求得等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式；（II）根據(jù)題中所給的所滿足的條件，將表示出來，之后應用分組求和法，結合等差數(shù)列的求和公式，以及錯位相減法求和，最后求得結果.【詳解】（I）解：設等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，依題意，得，解得，故，，所以，的通項公式為，的通項公式為；（II），記

①則

②②①得，，所以.【點睛】本小題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式及前項和公式等基礎知識，考查數(shù)列求和的基本方法和運算求解能力，屬于中檔題目.20．（1）（2）【詳解】分析：（1）求出導數(shù)，求出切點和切線的斜率，由點斜式方程，即可得到切線方程；（2）求出導數(shù)，若是單調(diào)遞增函數(shù)，則恒成立，分離參數(shù)構造函數(shù)，求出函數(shù)的最值即可得到實數(shù)的取值范圍．詳解：(1)（2）所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減所以.點睛：本題主要考查導數(shù)的幾何意義以及函數(shù)單調(diào)性和導數(shù)之間的關系，綜合考查導數(shù)的應用，屬于中檔題．21．（1），；（2）證明見解析.【分析】（1）利用等差數(shù)列的性質(zhì)及得到，解方程即可；（2）利用公式法、錯位相減法分別求出，再作差比較即可.【詳解】（1）因為是首項為1的等比數(shù)列且，，成等差數(shù)列，所以，所以，即，解得，所以，所以.（2）[方法一]：作差后利用錯位相減法求和，，．設，

⑧則．

⑨由⑧-⑨得．所以．因此．故．[方法二]【最優(yōu)解】：公式法和錯位相減求和法證明：由（1）可得，，①，②①②得，所以，