2024屆江蘇省鹽城市示范名校全國高三沖刺考(三)全國I卷數(shù)學(xué)試題試卷_第1頁
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文檔簡介

2024屆江蘇省鹽城市示范名校全國高三沖刺考(三)全國I卷數(shù)學(xué)試題試卷注意事項1.考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑;如需改動,請用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.執(zhí)行下面的程序框圖,如果輸入,,則計算機輸出的數(shù)是()A. B. C. D.2.已知,,,若,則正數(shù)可以為()A.4 B.23 C.8 D.173.復(fù)數(shù)的模為().A. B.1 C.2 D.4.若的展開式中的系數(shù)為150,則()A.20 B.15 C.10 D.255.在中,,,,若,則實數(shù)()A. B. C. D.6.已知與函數(shù)和都相切,則不等式組所確定的平面區(qū)域在內(nèi)的面積為()A. B. C. D.7.一個由兩個圓柱組合而成的密閉容器內(nèi)裝有部分液體,小圓柱底面半徑為,大圓柱底面半徑為,如圖1放置容器時,液面以上空余部分的高為,如圖2放置容器時,液面以上空余部分的高為,則()A. B. C. D.8.定義,已知函數(shù),,則函數(shù)的最小值為()A. B. C. D.9.設(shè)集合則()A. B. C. D.10.某設(shè)備使用年限x(年)與所支出的維修費用y(萬元)的統(tǒng)計數(shù)據(jù)分別為,,,,由最小二乘法得到回歸直線方程為,若計劃維修費用超過15萬元將該設(shè)備報廢,則該設(shè)備的使用年限為()A.8年 B.9年 C.10年 D.11年11.“且”是“”的()A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件12.已知,,,則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若函數(shù)(a>0且a≠1)在定義域[m,n]上的值域是[m2,n2](1<m<n),則a的取值范圍是_______.14.如圖,是圓的直徑,弦的延長線相交于點垂直的延長線于點.求證:15.已知復(fù)數(shù),其中是虛數(shù)單位.若的實部與虛部相等,則實數(shù)的值為__________.16.古代“五行”學(xué)認(rèn)為:“物質(zhì)分金、木、土、水、火五種屬性,金克木,木克土,土克水,水克火,火克金.”將五種不同屬性的物質(zhì)任意排成一列,但排列中屬性相克的兩種物質(zhì)不相鄰,則這樣的排列方法有_________種.(用數(shù)字作答)三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,已知在三棱錐中,平面,分別為的中點,且.(1)求證:;(2)設(shè)平面與交于點,求證:為的中點.18.(12分)如圖,在中,角的對邊分別為,且滿足,線段的中點為.(Ⅰ)求角的大小;(Ⅱ)已知,求的大小.19.(12分)如圖,在四棱錐中,底面為菱形,為正三角形,平面平面分別是的中點.(1)證明:平面(2)若,求二面角的余弦值.20.(12分)已知函數(shù),.(1)當(dāng)時,求不等式的解集;(2)若函數(shù)的圖象與軸恰好圍成一個直角三角形,求的值.21.(12分)下表是某公司2018年5~12月份研發(fā)費用(百萬元)和產(chǎn)品銷量(萬臺)的具體數(shù)據(jù):月份56789101112研發(fā)費用(百萬元)2361021131518產(chǎn)品銷量(萬臺)1122.563.53.54.5(Ⅰ)根據(jù)數(shù)據(jù)可知與之間存在線性相關(guān)關(guān)系,求出與的線性回歸方程(系數(shù)精確到0.01);(Ⅱ)該公司制定了如下獎勵制度:以(單位:萬臺)表示日銷售,當(dāng)時,不設(shè)獎;當(dāng)時,每位員工每日獎勵200元;當(dāng)時,每位員工每日獎勵300元;當(dāng)時,每位員工每日獎勵400元.現(xiàn)已知該公司某月份日銷售(萬臺)服從正態(tài)分布(其中是2018年5-12月產(chǎn)品銷售平均數(shù)的二十分之一),請你估計每位員工該月(按30天計算)獲得獎勵金額總數(shù)大約多少元.參考數(shù)據(jù):,,,,參考公式:相關(guān)系數(shù),其回歸直線中的,若隨機變量服從正態(tài)分布,則,.22.(10分)2019年是中華人民共和國成立70周年.為了讓人民了解建國70周年的風(fēng)雨歷程,某地的民調(diào)機構(gòu)隨機選取了該地的100名市民進行調(diào)查,將他們的年齡分成6段:,,…,,并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.(1)現(xiàn)從年齡在,,內(nèi)的人員中按分層抽樣的方法抽取8人,再從這8人中隨機選取3人進行座談,用表示年齡在)內(nèi)的人數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望;(2)若用樣本的頻率代替概率,用隨機抽樣的方法從該地抽取20名市民進行調(diào)查,其中有名市民的年齡在的概率為.當(dāng)最大時,求的值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】

先明確該程序框圖的功能是計算兩個數(shù)的最大公約數(shù),再利用輾轉(zhuǎn)相除法計算即可.【題目詳解】本程序框圖的功能是計算,中的最大公約數(shù),所以,,,故當(dāng)輸入,,則計算機輸出的數(shù)是57.故選:B.【題目點撥】本題考查程序框圖的功能,做此類題一定要注意明確程序框圖的功能是什么,本題是一道基礎(chǔ)題.2、C【解題分析】

首先根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出的取值范圍,再代入驗證即可;【題目詳解】解:∵,∴當(dāng)時,滿足,∴實數(shù)可以為8.故選:C【題目點撥】本題考查對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.3、D【解題分析】

利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡,再由復(fù)數(shù)模的計算公式求解.【題目詳解】解:,復(fù)數(shù)的模為.故選:D.【題目點撥】本題主要考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算,考查復(fù)數(shù)模的求法,屬于基礎(chǔ)題.4、C【解題分析】

通過二項式展開式的通項分析得到,即得解.【題目詳解】由已知得,故當(dāng)時,,于是有,則.故選:C【題目點撥】本題主要考查二項式展開式的通項和系數(shù)問題,意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.5、D【解題分析】

將、用、表示,再代入中計算即可.【題目詳解】由,知為的重心,所以,又,所以,,所以,.故選:D【題目點撥】本題考查平面向量基本定理的應(yīng)用,涉及到向量的線性運算,是一道中檔題.6、B【解題分析】

根據(jù)直線與和都相切,求得的值,由此畫出不等式組所表示的平面區(qū)域以及圓,由此求得正確選項.【題目詳解】.設(shè)直線與相切于點,斜率為,所以切線方程為,化簡得①.令,解得,,所以切線方程為,化簡得②.由①②對比系數(shù)得,化簡得③.構(gòu)造函數(shù),,所以在上遞減,在上遞增,所以在處取得極小值也即是最小值,而,所以有唯一解.也即方程③有唯一解.所以切線方程為.即.不等式組即,畫出其對應(yīng)的區(qū)域如下圖所示.圓可化為,圓心為.而方程組的解也是.畫出圖像如下圖所示,不等式組所確定的平面區(qū)域在內(nèi)的部分如下圖陰影部分所示.直線的斜率為,直線的斜率為.所以,所以,而圓的半徑為,所以陰影部分的面積是.故選:B【題目點撥】本小題主要考查根據(jù)公共切線求參數(shù),考查不等式組表示區(qū)域的畫法,考查圓的方程,考查兩條直線夾角的計算,考查扇形面積公式,考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法,考查分析思考與解決問題的能力,屬于難題.7、B【解題分析】

根據(jù)空余部分體積相等列出等式即可求解.【題目詳解】在圖1中,液面以上空余部分的體積為;在圖2中,液面以上空余部分的體積為.因為,所以.故選:B【題目點撥】本題考查圓柱的體積,屬于基礎(chǔ)題.8、A【解題分析】

根據(jù)分段函數(shù)的定義得,,則,再根據(jù)基本不等式構(gòu)造出相應(yīng)的所需的形式,可求得函數(shù)的最小值.【題目詳解】依題意得,,則,(當(dāng)且僅當(dāng),即時“”成立.此時,,,的最小值為,故選:A.【題目點撥】本題考查求分段函數(shù)的最值,關(guān)鍵在于根據(jù)分段函數(shù)的定義得出,再由基本不等式求得最值,屬于中檔題.9、C【解題分析】

直接求交集得到答案.【題目詳解】集合,則.故選:.【題目點撥】本題考查了交集運算,屬于簡單題.10、D【解題分析】

根據(jù)樣本中心點在回歸直線上,求出,求解,即可求出答案.【題目詳解】依題意在回歸直線上,,由,估計第年維修費用超過15萬元.故選:D.【題目點撥】本題考查回歸直線過樣本中心點、以及回歸方程的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.11、A【解題分析】

畫出“,,,所表示的平面區(qū)域,即可進行判斷.【題目詳解】如圖,“且”表示的區(qū)域是如圖所示的正方形,記為集合P,“”表示的區(qū)域是單位圓及其內(nèi)部,記為集合Q,顯然是的真子集,所以答案是充分非必要條件,故選:.【題目點撥】本題考查了不等式表示的平面區(qū)域問題,考查命題的充分條件和必要條件的判斷,難度較易.12、B【解題分析】

利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,將數(shù)據(jù)和做對比,即可判斷.【題目詳解】由于,,故.故選:B.【題目點撥】本題考查利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小,屬基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、(1,)【解題分析】

在定義域[m,n]上的值域是[m2,n2],等價轉(zhuǎn)化為與的圖像在(1,)上恰有兩個交點,考慮相切狀態(tài)可求a的取值范圍.【題目詳解】由題意知:與的圖像在(1,)上恰有兩個交點考查臨界情形:與切于,.故答案為:.【題目點撥】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,把已知條件進行等價轉(zhuǎn)化是求解的關(guān)鍵,側(cè)重考查數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).14、證明見解析.【解題分析】試題分析:四點共圓,所以,又△∽△,所以,即,得證.試題解析:A.連接,因為為圓的直徑,所以,又,則四點共圓,所以.又△∽△,所以,即,∴.15、【解題分析】

直接由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運算化簡,結(jié)合已知條件即可求出實數(shù)的值.【題目詳解】解:的實部與虛部相等,所以,計算得出.故答案為:【題目點撥】本題考查復(fù)數(shù)的乘法運算和復(fù)數(shù)的概念,屬于基礎(chǔ)題.16、1.【解題分析】試題分析:由題意,可看作五個位置排列五種事物,第一位置有五種排列方法,不妨假設(shè)排上的是金,則第二步只能從土與水兩者中選一種排放,故有兩種選擇不妨假設(shè)排上的是水,第三步只能排上木,第四步只能排上火,第五步只能排上土,故總的排列方法種數(shù)有5×2×1×1×1=1.考點:排列、組合及簡單計數(shù)問題.點評:本題考查排列排列組合及簡單計數(shù)問題,解答本題關(guān)鍵是理解題設(shè)中的限制條件及“五行”學(xué)說的背景,利用分步原理正確計數(shù),本題較抽象,計數(shù)時要考慮周詳.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析;(2)證明見解析.【解題分析】

(1)要做證明,只需證明平面即可;(2)易得∥平面,平面,利用線面平行的性質(zhì)定理即可得到∥,從而獲得證明【題目詳解】證明:(1)因為平面,平面,所以.因為,所以.又因為,平面,平面,所以平面.又因為平面,所以.(2)因為平面與交于點,所以平面.因為分別為的中點,所以∥.又因為平面,平面,所以∥平面.又因為平面,平面平面,所以∥,又因為是的中點,所以為的中點.【題目點撥】本題考查線面垂直的判定定理以及線面平行的性質(zhì)定理,考查學(xué)生的邏輯推理能力,是一道容易題.18、(Ⅰ);(Ⅱ).【解題分析】

(Ⅰ)由正弦定理邊化角,再結(jié)合轉(zhuǎn)化即可求解;(Ⅱ)可設(shè),由,再由余弦定理解得,對中,由余弦定理有,通過勾股定理逆定理可得,進而得解【題目詳解】(Ⅰ)由正弦定理得.而.由以上兩式得,即.由于,所以,又由于,得.(Ⅱ)設(shè),在中,由正弦定理有.由余弦定理有,整理得,由于,所以.在中,由余弦定理有.所以,所以.【題目點撥】本題考查正弦定理和余弦定理的綜合運用,屬于中檔題19、(1)詳見解析;(2).【解題分析】

(1)連接,由菱形的性質(zhì)以及中位線,得,由平面平面,且交線,得平面,故而,最后由線面垂直的判定得結(jié)論.(2)以為原點建平面直角坐標(biāo)系,求出平面平與平面的法向量,,最后求得二面角的余弦值為.【題目詳解】解:(1)連結(jié)∵,且是的中點,∴∵平面平面,平面平面,∴平面.∵平面,∴又為菱形,且為棱的中點,∴∴.又∵,平面∴平面.(2)由題意有,∵四邊形為菱形,且∴分別以,,所在直線為軸,軸,軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè),則設(shè)平面的法向量為由,得,令,得取平面的法向量為∴二面角為銳二面角,∴二面角的余弦值為【題目點撥】處理線面垂直問題時,需要學(xué)生對線面垂直的判定定理特別熟悉,運用幾何語言表示出來方才過關(guān),一定要在已知平面中找兩條相交直線與平面外的直線垂直,才可以證得線面垂直,其次考查了學(xué)生運用空間向量處理空間中的二面角問題,培養(yǎng)了學(xué)生的計算能力和空間想象力.20、(1)(2)【解題分析】

(1)當(dāng)時,,由可得,(所以,解得,所以不等式的解集為.(2)由題可得,因為函數(shù)的圖象與軸恰好圍成一個直角三角形,所以,解得,當(dāng)時,,函數(shù)的圖象與軸沒有交點,不符合題意;當(dāng)時,,函數(shù)的圖象與軸恰好圍成一個直角三角形,符合題意.綜上,可得.21、(Ⅰ)(Ⅱ)7839.3元【解題分析】

(Ⅰ)由題意計算x、y的平均值,進而由公式求出回歸系數(shù)b和a,即

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