立體幾何核心考點歸納講義（一）-2024屆高三數(shù)學一輪復習

2024屆立體幾何核心考點（一）立體圖形的展開立體圖形的展開是指將空間圖形沿某一條棱長展開為平面圖形，研究其面積或者距離的最小值，把幾何體中的最短路線問題利用展開圖轉化為平面上兩點距離.1.如圖所示，正四面體中，是棱的中點，是棱上的一動點，的最小值為，求該正四面體的外接球表面積.2．如圖：正三棱錐中，，側棱，平行于過點的截面，則平面與正三棱錐側面交線的周長的最小值為（）A． B． C． D．分析：如圖所示：沿著側棱把正三棱錐展開在一個平面內，則即為截面周長的最小值，且，在中，由余弦定理得：，.故選：B.3.如圖,已知圓柱體底面圓的半徑為,高為2,分別是兩底面的直徑,是母線．若一只小蟲從A點出發(fā),從側面爬行到點,求小蟲爬行的最短路線的長度．分析：如圖,將圓柱的側面展開,其中為底面周長的一半,即,.則小蟲爬行的最短路線為線段.在矩形中,.所以小蟲爬行的最短路線長度為.【點評】幾何體表面上的最短距離需要將幾何體的表面展開,將其轉化為平面內的最短距離,利用平面內兩點之間的距離最短求解.但要注意棱柱的側面展開圖可能有多種展開圖,如長方體的表面展開圖等,要把不同展開圖中的最短距離進行比較,找出其中的最小值.二．平面圖形的折疊4.如圖，在中，，在邊上取一點（不含），將沿線段折起，得到，當平面垂直于平面時，則到平面距離的最大值為_______.5．如圖所示，是等腰直角三角形，，在中，且．將沿邊翻折，設點在平面上的射影為點，若，那么（）A．平面平面 B．平面平面C． D．分析：翻折后圖形如下：因為，是等腰直角三角形且，所以點M是BC邊上的中點，因為點在平面上的射影為點，所以平面，又因為平面，所以，又因為，所以，又，AM，平面，所以平面，又平面，所以.故選：C.6．如圖，圓形紙片的圓心為，半徑為，該紙片上的正方形的中心為，、、、為圓上點，，，，分別是以，，，為底邊的等腰三角形，沿虛線剪開后，分別以，，，為折痕折起，，，，使得、、、重合，得到四棱錐.當該四棱錐體積取得最大值時，正方形的邊長為______.解：連接交CB于點M，則⊥CB，點M為CB的中點，連接OC，

△OCM為直角三角形，設正方形的邊長為2x，則OM＝x，由圓的半徑為4，則＝4?x，設點，，，重合于點P，則PM＝＝4?x＞x則x＜2，高，四棱錐體積，

設，當時，單調遞增；當時，單調遞減，所以當時，V取得最大值，此時，．即正方形ABCD的邊長為時，四棱錐體積取得最大值．故答案為：練習題1．如圖，在正三棱錐PABC中，∠APB=∠BPC=∠CPA=30°，PA=PB=PC=2，一只蟲子從A點出發(fā)，繞三棱錐的三個側面爬行一周后，又回到A點，則蟲子爬行的最短距離是（）A． B． C． D．【答案】D2．如圖，空間四邊形中，平面，為1的等邊三角形，，，為棱AC上的一個動點，則的最小值為_____________【答案】3.如圖，在三棱錐P–ABC的平面展開圖中，AC=1，，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，則cos∠FCB=______________.4．在三棱錐中，，在底面上的投影為的中點，.有下列結論：①三棱錐的三條側棱長均相等；②的取值范圍是；③若三棱錐的四個