2023年江西省高安高考仿真卷數(shù)學(xué)試卷含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再

選涂其它答案標(biāo)號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.正四棱錐P-ASCO的五個頂點在同一個球面上，它的底面邊長為逐，側(cè)棱長為26，則它的外接球的表面積

為（）

A.4冗B.8乃C.16〃D.20%

2.設(shè)。、beR：數(shù)列｛4｝滿足4=2,an+i=a-a；t+b,〃eN*，則（）

A.對于任意a,都存在實數(shù)使得?！埃技雍愠闪?/p>

B.對于任意匕，都存在實數(shù)M,使得。恒成立

C.對于任意旅（2-4a,+oo）,都存在實數(shù)使得％恒成立

D.對于任意he（0,2—4a）,都存在實數(shù)M，使得。“＜知恒成立

3.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的結(jié)果為（）

4.已知過點P。/）且與曲線y=V相切的直線的條數(shù)有（）.

A.0B.1C.2D.3

5.設(shè)i為虛數(shù)單位，z為復(fù)數(shù)，若m+i為實數(shù)相，則洸=()

Z

A.-1B.0C.1D,2

6.若不等式aln(x+l)-1+2/＞。在區(qū)間(0,+8)內(nèi)的解集中有且僅有三個整數(shù)，則實數(shù)”的取值范圍是()

F932](932]

A.一21n2'ln5_B'(21n2‘ln5)

(932](9)

c.不D-亍FT+0°

121n21n5」12In2)

7.已知棱錐的三視圖如圖所示，其中俯視圖是等腰直角三角形，則該三棱錐的四個面中，最大面積為()

△他

A.272B.2A/3C.4D.2娓

8.已知定義在R上函數(shù)〃x)的圖象關(guān)于原點對稱，且/(1+力+〃2-力=0,若/⑴=1,則

〃1)+八2)+八3)+-一+/(2020)=()

A.0B.1C.673D.674

|log3(x+l)|,xe(-l,8)

9.已知/(x)=4r若/[(機(jī)一1)/(力]—2?0在定義域上恒成立，則〃?的取值范圍是(

----,xe|8,+oo)

[x-6

A.(O,+8)B.[1,2)C.[1,4-00)D.(0,1)

10.已知復(fù)數(shù)二滿足*-N=2—i(其中1為z的共朝復(fù)數(shù))，貝！|忖的值為()

1—1

A.1B.2C.>/3D.75

11.已知函數(shù)/(x)=eh~X-尸+cCh,c均為常數(shù))的圖象關(guān)于點(2,1)對稱，則/(5)+/(-1)=()

A.-2B.-1C.2D.4

b+ca+b、

12.在三角形ABC中，a]-1,二,求。sin4A-()

sinAsinA+sinB-sinC

A.gB.

絲C,1D.國

2322

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知向量汗，b滿足1創(chuàng)=2,|Z?|=3,且已知向量萬，B的夾角為60°,(a-c).(/?-c)=0,貝!IQI的最小值是一.

14.一個四面體的頂點在空間直角坐標(biāo)系。一孫z中的坐標(biāo)分別是A(0,0,石)，S(V3,0,0),C(O,1,O),D(瓜1,亞),

則該四面體的外接球的體積為.

15.已知x,ye/?,i為虛數(shù)單位，J@L(%-2)/-y=-l+z,貝1］x+y=.

16.已知函數(shù)y=〃x)為R上的奇函數(shù)，滿足/'(x)>—2.則不等式“X—l)<f(3-21nx)+3(l—2月的解集為

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

22Q?

17.(12分)已知耳,工分別是橢圓。：=+4=1(。>人>0)的左、右焦點，直線y=下與C交于A5兩點，

ab-3

20

NAKB=90。，且&居即=石?

-9

(1)求C的方程；

(2)已知點P是C上的任意一點，不經(jīng)過原點。的直線/與C交于M,N兩點，直線PM,PN,MN,OP的斜率都存

在，且k1vN+k0p=0,求kpM,kpN的值.

18.（12分）在四棱錐P—ABC。中，底面ABC。為直角梯形，BC//AD,/BCD=90。,PA1CD,

BC=CD=^-AD=1,PA=PD,E,廠分別為AZ）,PC的中點.

2

(1)求證：PC=2EF.

(2)若EF上PC,求二面角尸-BE—尸的余弦值.

19.(12分)為了加強(qiáng)環(huán)保知識的宣傳，某學(xué)校組織了垃圾分類知識競賽活動.活動設(shè)置了四個箱子，分別寫有“廚余垃

圾，，、“有害垃圾，，、，，可回收物，，、“其它垃圾，，；另有卡片若干張，每張卡片上寫有一種垃圾的名稱.每位參賽選手從所

有卡片中隨機(jī)抽取2()張，按照自己的判斷將每張卡片放入對應(yīng)的箱子中.按規(guī)則，每正確投放一張卡片得5分，投放

錯誤得0分.比如將寫有“廢電池”的卡片放入寫有“有害垃圾”的箱子，得5分，放入其它箱子，得0分.從所有參賽選手

中隨機(jī)抽取2()人，將他們的得分按照［0,20］、(20,40］、(40,60］、(60,8()］、(80,100］分組，繪成頻率分布直方圖

如圖:

（1）分別求出所抽取的20人中得分落在組［。，20］和（20,40］內(nèi)的人數(shù)；

（2）從所抽取的20人中得分落在組［0,40］的選手中隨機(jī)選取3名選手，以X表示這3名選手中得分不超過20分的

人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

20.（12分）對于正整數(shù)〃，如果個整數(shù)"，%，…，見滿足IWqK/W…

且4+外+-+4=",則稱數(shù)組（《，&，…，％）為〃的一個“正整數(shù)分拆”.記如/，…，《均為偶數(shù)的“正整數(shù)分

拆”的個數(shù)為，，％，%，…，《均為奇數(shù)的“正整數(shù)分拆”的個數(shù)為g“.

（I）寫出整數(shù)4的所有“正整數(shù)分拆”；

（11）對于給定的整數(shù)〃（〃》4）,設(shè)（如物…，％）是”的一個“正整數(shù)分拆”，且弓=2,求攵的最大值；

（III）對所有的正整數(shù)〃，證明:力4g”;并求出使得等號成立的〃的值.

（注:對于〃的兩個“正整數(shù)分拆”（4，%，…，4）與（白，%…，"”），當(dāng)且僅當(dāng)女=，"且4=4，。2=仇，…，4=2”

時，稱這兩個“正整數(shù)分拆”是相同的.）

21.（12分）為了整頓道路交通秩序，某地考慮將對行人闖紅燈進(jìn)行處罰.為了更好地了解市民的態(tài)度，在普通行人中

隨機(jī)選取了200人進(jìn)行調(diào)查，當(dāng)不處罰時，有80人會闖紅燈，處罰時，得到如表數(shù)據(jù)：

處罰金額X（單位：元）5101520

會闖紅燈的人數(shù)y50402010

若用表中數(shù)據(jù)所得頻率代替概率.

(I)當(dāng)罰金定為10元時，行人闖紅燈的概率會比不進(jìn)行處罰降低多少？

(2)將選取的200人中會闖紅燈的市民分為兩類：A類市民在罰金不超過10元時就會改正行為；B類是其他市民.

現(xiàn)對A類與3類市民按分層抽樣的方法抽取4人依次進(jìn)行深度問卷，則前兩位均為3類市民的概率是多少？

22.(10分)在AABC中，ZB=-,cosC=—.

43

(1)求cosA的值；

(2)點。為邊8c上的動點(不與。點重合)，設(shè)=求4的取值范圍.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.C

【解析】

如圖所示，在平面A3CD的投影為正方形的中心E,故球心。在PE上，計算長度，設(shè)球半徑為R,則

(PE-R)2+BE2=R2,解得R=2,得到答案.

【詳解】

如圖所示：P在平面ABCQ的投影為正方形的中心E,故球心。在PE上，

BD=>/2AB=2百，故BE=；BD=-Ji,PE=NPB?-BE。=3，

設(shè)球半徑為R,貝!J(PE—/?『+8E2=/?2,解得R=2,故S=4%R2=i6萬.

故選：C.

【點睛】

本題考查了四棱錐的外接球問題，意在考查學(xué)生的空間想象能力和計算能力.

2.D

【解析】

取。=8=1,可排除AB；由蛛網(wǎng)圖可得數(shù)列｛《,｝的單調(diào)情況，進(jìn)而得到要使4<M,只需2<1+"一4"，由此

2a

可得到答案.

【詳解】

取。=匕=1,。向=d+1,數(shù)列｛4｝恒單調(diào)遞增，且不存在最大值，故排除AB選項；

由蛛網(wǎng)圖可知，存在兩個不動點，且工匕@三還，1+J1-4吃,

'2a2a

因為當(dāng)0<%<再時，數(shù)列｛%｝單調(diào)遞增，則見<內(nèi)

當(dāng)王<4<W時，數(shù)列｛4｝單調(diào)遞減，則玉<an<4；

所以要使4＜M,只需要0＜q＜無2,故+4"",化簡得匕＜2-4。且。＞0.

2a

故選：D.

【點睛】

本題考查遞推數(shù)列的綜合運用，考查邏輯推理能力，屬于難題.

3.D

【解析】

由程序框圖確定程序功能后可得出結(jié)論.

【詳解】

執(zhí)行該程序可得s=o+*!+!15

16,

故選：D.

【點睛】

本題考查程序框圖.解題可模擬程序運行，觀察變量值的變化，然后可得結(jié)論，也可以由程序框圖確定程序功能，然

后求解.

4.C

【解析】

設(shè)切點為々。，丫。），則yo=x03,由于直線]經(jīng)過點（1,1）,可得切線的斜率，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出曲線在點X。處

的切線斜率，建立關(guān)于X。的方程，從而可求方程.

【詳解】

V—1v—1

若直線與曲線切于點（Xo,y0）（x0。0）,則k=-=x"X。+1,

X0-lX0-1

又：y'=3x2,.,.y]x=Xo=3x（）2,二？*。？-*。-「。，解得x（）=l,x0=-；,

二過點P（U）與曲線C:y=x、相切的直線方程為3x—y-2=0或3x—4y+l=0,

故選C.

【點睛】

本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過某點切線方程的斜率，求解曲線的切線的方程，其中解答中熟記利用導(dǎo)數(shù)的幾何

意義求解切線的方程是解答的關(guān)鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

5.B

【解析】

可設(shè)z=a+勿將且+，化簡，得至產(chǎn)+人叫i,由復(fù)數(shù)為實數(shù)，可得廬"_匕=0,解方程即

zy/a2+b2

可求解

【詳解】

設(shè)2=。+勿,(0,06/?),則目+j=杼+6+i=J"+/(；_〃)+.="+('：+'一郎.

222

za+bia+b^a+

由題意有6+12-6=0=4=0,所以機(jī)=0.

故選：B

【點睛】

本題考查復(fù)數(shù)的模長、除法運算，由復(fù)數(shù)的類型求解對應(yīng)參數(shù)，屬于基礎(chǔ)題

6.C

【解析】

由題可知，設(shè)函數(shù)/(x)=aln(x+l),g(x)=x3-2x2,根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出g(x)的極值點，得出單調(diào)性，根據(jù)

aln(x+1)-d+2/>0在區(qū)間(0,+刃)內(nèi)的解集中有且僅有三個整數(shù)，轉(zhuǎn)化為/(%)>g(x)在區(qū)間((),+8)內(nèi)的解集

中有且僅有三個整數(shù)，結(jié)合圖象，可求出實數(shù)”的取值范圍.

【詳解】

設(shè)函數(shù)/(x)=aln(x+l),g(x)=x3-2x2,

因為g'(x)=3x2-4x,

所以g'(x)=0,

-4

x=0X=9

3

4

因為0vi<1時，g'(x)<0,

4

或尤<0時，g'*)>0,g(0)=g(2)=0,其圖象如下：

/(3)>g(3)

當(dāng)。>0時，/(x)>g(x)在(0,+8)內(nèi)的解集中僅有三個整數(shù)，只需

J(4),,g(4)

<zln4>33-2x32

,aln5?43-2X42，

932

所以---<a,—?

21n2In5

故選：C.

【點睛】

本題考查不等式的解法和應(yīng)用問題，還涉及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性和函數(shù)圖象，同時考查數(shù)形結(jié)合思想和解題能力.

7.B

【解析】

由三視圖可知，該三棱錐如圖，其中底面A8C是等腰直角三角形，PC，平面A8C,結(jié)合三視圖求出每個面的面積即

可.

【詳解】

由三視圖可知，該三棱錐如圖所示:

B

其中底面ABC是等腰直角三角形，PC_L平面ABC,

由三視圖知，PC=2,AB=2叵,

因為PC，BC,PC_LAC,AC=BC,AC_LC8,

所以AC=BC=2,PA=PB=AB=20，

所以SAPAC=SAPCB=SdACB=/X2X2=2,

因為AR43為等邊三角形，

所以S"AB=曰AB，=號義替西=26，

所以該三棱錐的四個面中，最大面積為26.

故選：B

【點睛】

本題考查三視圖還原幾何體并求其面積；考查空間想象能力和運算求解能力;三視圖正確還原幾何體是求解本題的關(guān)

鍵;屬于中檔題、?？碱}型.

8.B

【解析】

由題知/(x)為奇函數(shù)，且〃l+x)+/(2-x)=0可得函數(shù)“X)的周期為3,分別求出

/(0)=0,/。)=1,/(2)=-1,知函數(shù)在一個周期內(nèi)的和是0,利用函數(shù)周期性對所求式子進(jìn)行化簡可得.

【詳解】

因為/(%)為奇函數(shù)，故/(0)=0；

因為/(l+x)+/(2—x)=0,故/(1+力=一/(2-力=/(%-2),

可知函數(shù)”力的周期為3；

在f(l+x)+/(2-x)=0中,令％=1,故

故函數(shù)/(x)在一個周期內(nèi)的函數(shù)值和為0,

故/(1)+/(2)+〃3)+…+/(2020)=/(I)=1.

故選：B.

【點睛】

本題考查函數(shù)奇偶性與周期性綜合問題.其解題思路：函數(shù)的奇偶性與周期性相結(jié)合的問題多考查求值問題，常利用

奇偶性及周期性進(jìn)行變換，將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解.

9.C

【解析】

oo

先解不等式〃X)<2,可得出無求出函數(shù),V=〃X)的值域，由題意可知，不等式(加-1)/(月2-§在定義

域上恒成立，可得出關(guān)于〃?的不等式，即可解得實數(shù)機(jī)的取值范圍.

【詳解】

|log3(X+1)|,X€(-1,8)

??,〃x)=4r\，先解不等式〃x)W2.

----[8,4-00)

lx-6

①當(dāng)一時，由解得一此時

l<x<8/(x)=|log3(x+l)|<2,^-2<log3(x+l)<2,-，Wx<8；

4

②當(dāng)xN8時，由f(x)=--<2,得xN8.

x-6

所以，不等式/(x)W2的解集為-

下面來求函數(shù)y=/(x)的值域.

當(dāng)一1cx<8時，0<x+l<9,則log3(x+l)<2,此時.f(x)=|k)g3(x+l)|N0；

4

當(dāng)x28時，x-6>2,此時/(x)=--G(O,21.

x-6

綜上所述，函數(shù)y=/(x)的值域為[0,+8),

由于/-1)/(%)]-24。在定義域上恒成立，

Q

則不等式(機(jī)-1)/(月2-§在定義域上恒成立，所以，機(jī)—12(),解得機(jī)21.

因此，實數(shù)〃7的取值范圍是[1,+8).

故選：C.

【點睛】

本題考查利用函數(shù)不等式恒成立求參數(shù)，同時也考查了分段函數(shù)基本性質(zhì)的應(yīng)用，考查分類討論思想的應(yīng)用，屬于中

等題.

10.D

【解析】

按照復(fù)數(shù)的運算法則先求出再寫出z,進(jìn)而求出忖.

【詳解】

1+z_(l+i)2_2i__.

,口—(l-z)(l+z)-5-'，

---z=2—z=>z-z=2—z=>z==—z'(2—Z)=—1—2/,

1-zi

.?.z=T+2in|z|=’(-1)2+22=瓜

故選：D

【點睛】

本題考查復(fù)數(shù)的四則運算、共扼復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)的模，考查基本運算能力，屬于基礎(chǔ)題.

11.C

【解析】

根據(jù)對稱性即可求出答案.

【詳解】

解：,:點(5,f(5))與點(-1,/(-1))滿足(5-1)+2=2,

故它們關(guān)于點(2,1)對稱，所以/(5)4/(-1)=2,

故選：C.

【點睛】

本題主要考查函數(shù)的對稱性的應(yīng)用，屬于中檔題.

12.A

【解析】

利用正弦定理邊角互化思想結(jié)合余弦定理可求得角B的值，再利用正弦定理可求得力sinA的值.

【詳解】

b+ca+h——Fyq8+ca+b,,,

~~,由正弦定理得——=---,整理得

sinAsmA+sinB-sinCaa+b-c

由余弦定理得cos8=巴上--—,,.?()<B<7i,=—.

lac23

由正弦定理”=人得IsinA=asinB=1xsin—=-

sinAsinB32

故選：A.

【點睛】

本題考查利用正弦定理求值，涉及正弦定理邊角互化思想以及余弦定理的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中等題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

1Q719-77

2

【解析】

求SI的最小值可以轉(zhuǎn)化為求以A〃為直徑的圓到點。的最小距離，由此即可得到本題答案.

【詳解】

如圖所示，設(shè)麗=2,礪=瓦西="，

由題，得N40B=q,|。彳|=2,|0畫=3,8=4—乙C豆=5一口無5=2x3xcos60°=3,

又3-為?(5-0=0,所以誣，而，則點C在以A3為直徑的圓上，

取AB的中點為M,則。麻=!(。4+。田，

2

設(shè)以A5為直徑的圓與線段0M的交點為E,則Ie|的最小值是|0E|,

因為|0而|=、l-(OA+OB)2=->loA2+2OAOB+OB2=-x74+2x3+9=叵,

V4222

^AB=yj0A1+OB2-20A-OB-cos600=^4+9-2x2x3x1=77,

所以I司的最小值是|詬|=QM—加￡=。加一，46=典口勺.

22

故答案為：巫二女

2

【點睛】

本題主要考查向量的綜合應(yīng)用問題，涉及到圓的相關(guān)知識與余弦定理，考查學(xué)生的分析問題和解決問題的能力，體現(xiàn)

了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.

94

14.—

2

【解析】

將四面體補(bǔ)充為長寬高分別為6』,逐的長方體，體對角線即為外接球的直徑，從而得解.

【詳解】

采用補(bǔ)體法，由空間點坐標(biāo)可知，該四面體的四個頂點在一個長方體上，該長方體的長寬高分別為6,1,石，長方體

的外接球即為該四面體的外接球，外接球的直徑即為長方體的體對角線行E=3,所以球半徑為|,體積為

439兀

—nr-——.

32

【點睛】

本題主要考查了四面體外接球的常用求法：補(bǔ)體法，通過補(bǔ)體得到長方體的外接球從而得解，屬于基礎(chǔ)題.

15.4

【解析】

解：利用復(fù)數(shù)相等，可知由x-2=l,y=l有x+y=4.

16.(0,1)

【解析】

構(gòu)造函數(shù)g(x)=/(x-l)-x2(3-21nx)-3(l-2x),利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)y=g(x)的單調(diào)性，再將所求不等式變

形為g(x)<g(l)，利用函數(shù)夕=g(x)的單調(diào)性即可得解.

【詳解】

設(shè)g(x)=/(x-l)-%2(3-21nx)-3(l-2x),則=/〈x-l)+4xlnx-4x+6,

設(shè)〃(x)=4xlnx-4x+6,則〃'(x)=41nx.

當(dāng)0<x<l時，〃'(x)<0,此時函數(shù)y=〃(x)單調(diào)遞減；當(dāng)%>1時，〃'(％)>0,此時函數(shù)y=/z(x)單調(diào)遞增.

所以，函數(shù)y=%(x)在x=l處取得極小值，也是最小值，即〃(x)而。=〃(1)=2,

,/

1//(x-l)>-2>/;(x)>2,."./(x-l)+/z(x)>0,即g<x)>0,

所以，函數(shù)y=g(x)在(0,+。)上為增函數(shù)，

???函數(shù)y=/(x)為R上的奇函數(shù)，則/⑼=0,

???g(l)=/(o)-3+3=0,則不等式/(x-l)<f(3-21nx)+3(l-2x)等價于g(x)<g(l),

又,.,x>0,解得Ovxvl.

因此,不等式“X-1)<爐(3—21nx)+3(l—2x)的解集為(0,1).

故答案為：(0,1).

【點睛】

本題主要考查不等式的求解，構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.綜合

性較強(qiáng).

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

x224

17.（1）二+2v_=1（2）-

545

【解析】

（1）不妨設(shè)A一乎8（半。，|人，計算得到4/=5/,根據(jù)面積得到計算得到答案.

22

（2）設(shè)P（Xo，y。），M（%，x），N（X2，%），聯(lián)立方程利用韋達(dá)定理得到西+￡="盧，玉片，代

24

入化簡計算得到答案.

【詳解】

(1)由題意不妨設(shè)A—~a^~^

I33J

vrT(y/5a2h、亞a2〃、

nl

貝!J《A=-c--—一。+--3--,一3J

37

2222

'：ZAF2B=90,：，F(xiàn)^.F\B^c--a+—=O,：.4a^5b.

2-99

又S“A8=LX拽土”=也，二。m=2不，

"用2339

22

:.a<,b=2,故C的方程為士+二=1.

54

(2)設(shè)P伉,%),用(內(nèi)，乂)，N(x2,y2),貝()如=紅.Vkop+kMN=0,

x()

:小=一迎,設(shè)直線腦V的方程為，=一比尤+機(jī)(m#0),

%。Xo

y=--x+m,

聯(lián)立，,整理得（4芯+5北卜2-10叫仇》+5片（M-4）=0.

廠+丁-1

[54

2P在C上，,4%+5y：=20,.,.上式可化為4匹-2血0yo尤+君"-4）=0.

22

2

+%2=，x,x2,A=4%o(rr^yl-4m+16)>0,

24

???x+%=一資(西+9)+2"=")=^y2-，

2

y{y2-+7nY-—x2+m+x2)+m

x

lX。A0)X。-Xo

%)(%-%)=X%-%(%+%)+$=^-^-y?_2q%+y：

,"片一2/腐先

5

(占一%)(々一%)=%%2一%o(%+%)+%；=m/一：叫??

.._X一.%力一)'。_4

??KkpMkKpN一—u.

XfX2-X05

【點睛】

本題考查了橢圓方程，定值問題，意在考查學(xué)生的計算能力和綜合應(yīng)用能力.

18.(1)見解析(2)如

3

【解析】

(1)由已知可證明CD,平面2LD,從而得證面面垂直，再由/石_LAZ),得線面垂直，從而得PE上EC,由直角

三角形得結(jié)論；

(2)以E4,E&EP為x，%z軸建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法示二面角.

【詳解】

(1)證明：連接EC,?_-ZBCD=ZADC=90°,：.ADVCD.

-.-PA1CD,PAr^AD^A,\。人平面PAO.

;CDu平面ABC。，二平面ABC￡>_L平面PAD.

?：PA=PD,E為AO的中點，：.PE±AD.

?.?平面ABC。n平面E4￡>=4),PEJ_平面ABC。.

QECu平面A3CD,:.PELEC.

?「尸為MAPEC斜邊PC的中點，:.PC=2EF,

(2)?.?EF_LPC,.,.由(1)可知，APEC為等腰直角三角形,

則PE=EC=y[i.以E為坐標(biāo)原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則E(0,0,0),P(0,0,V2),5(0,1,0),F,

———(11拒1/、

則￡8=(0,1,0)￡/=,記平面EBE的法向量為比=(x,y,z)

\7

(■----[V=0

-m-EB=0^,"「

由-得到〈11J2，

m-EF=0—x+—yH------z=0

11222

取x=2,可得z=0,則比=(2,0,夜).

易知平面PEB的法向量為為=EA=(1,0,0).

記二面角P-8E-尸的平面角為。，且由圖可知。為銳角，

則cose=?￡l=2=4l,所以二面角P-BE-尸的余弦值為逅.

|m||n|V633

【點睛】

本題考查用面面垂直的性質(zhì)定理證明線面垂直，從而得線線垂直，考查用空間向量法求二面角.在立體幾何中求異面

直線成的角、直線與平面所成的角、二面角等空間角時，可以建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法求解空間角，可避

免空間角的作證過程，通過計算求解.

19.(1)所抽取的20人中得分落在組［0,20］和(20,40］內(nèi)的人數(shù)分別為2人、3人；(2)分布列見解析，EX=1.2.

【解析】

(1)將2()分別乘以區(qū)間［0,20］、(20,40］對應(yīng)的矩形面積可得出結(jié)果；

(2)由題可知，隨機(jī)變量X的可能取值為0、1、2,利用超幾何分布概率公式計算出隨機(jī)變量X在不同取值下的

概率，可得出隨機(jī)變量X的分布列，并由此計算出隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望值.

【詳解】

（1）由題意知，所抽取的20人中得分落在組［0,20］的人數(shù)有0.0050x20x20=2（人），得分落在組（20,40］的人數(shù)

有0.0075x20x20=3（人）.

因此，所抽取的20人中得分落在組［0,20］的人數(shù)有2人，得分落在組（20,40］的人數(shù)有3人；

（2）由題意可知，隨機(jī)變量X的所有可能取值為0、1、2,

「（x=。吟出P（XT=警端尸（x=2）=等

所以，隨機(jī)變量X的分布列為:

X012

163

P

wlo10

所以，隨機(jī)變量X的期望為EX=0X\+1X［+2XK=L2.

【點睛】

本題考查利用頻率分布直方圖計算頻數(shù)，同時也考查了離散型隨機(jī)變量分布列與數(shù)學(xué)期望的求解，考查計算能力，屬

于基礎(chǔ)題.

20.（I）（1,1,1,1）,（1,1,2）,（1,3）,（2,2）,（4）；（II）〃為偶數(shù)時，kg,〃為奇數(shù)時，k=（叫證明

見解析，n-2,“=4

【解析】

（I）根據(jù)題意直接寫出答案.

YL/7—1

（II）討論當(dāng)〃為偶數(shù)時，k最大為k=三,當(dāng)〃為奇數(shù)時，k最大為k=—^,得到答案.

22

（in）討論當(dāng)〃為奇數(shù)時，￡=o,至少存在一個全為1的拆分，故＜＜g"，當(dāng)”為偶數(shù)時，

根據(jù)對應(yīng)關(guān)系得到力＜g“，再計算力=82=1,A=g&=2,得到答案.

【詳解】

（I）整數(shù)4的所有“正整數(shù)分拆”為：（1,1,1/），（1,1,2）,（1,3）,（2,2）,（4）.

fl

（II）當(dāng)“為偶數(shù)時，4=4=%=???=%=2時，女最大為％=5；

〃一1

當(dāng)〃為奇數(shù)時，4=。2=%=2,%=3時，k最大為k=------；

nn—1

綜上所述：〃為偶數(shù)，女最大為左=7,〃為奇數(shù)時，女最大為％==.

(JU)當(dāng)〃為奇數(shù)時，/；=0,至少存在一個全為1的拆分，故力<g,；

當(dāng)〃為偶數(shù)時，設(shè)(4,出,…,4)是每個數(shù)均為偶數(shù)的“正整數(shù)分拆”，

則它至少對應(yīng)了(1,1,…,1)和(1,1,…,4-1,a2T…,％--1)的均為奇數(shù)的“正整數(shù)分拆”，

故，<g“.

綜上所述：fn<gn.

當(dāng)〃=2時，偶數(shù)“正整數(shù)分拆”為(2),奇數(shù)“正整數(shù)分拆”為(1,1),為=g2=l；

當(dāng)〃=4時,偶數(shù)“正整數(shù)分拆”為(2,2),(4),奇數(shù)“正整數(shù)分拆”為(1,1,1,1),(1,3)

故力=g4=2；

當(dāng)〃26時，對于偶數(shù)“正整數(shù)分拆”，除了各項不全為1的奇數(shù)拆分外，至少多出一項各項均為1的“正整數(shù)分拆”，故

fn<g".

綜上所述：使力=g,成立的"為："=2或〃=4.

【點睛】

本土考查了數(shù)列的新定義問題，意在考查學(xué)生的計算能力和綜合應(yīng)用能力.

21.(1)降低—(2)—

56

【解析】

(1)計算出罰金定為10元時行人闖紅燈的概率，和不進(jìn)行處罰時行人闖紅燈的概率，求解即可；

(2)闖紅燈的市民有80人，其中A類市民和3類市民各有40人，根據(jù)分層抽樣法抽出4人依次排序，計算所求的

概率值.

【詳解】

401

解：(1)當(dāng)罰金定為10元時，行人闖紅燈的概率為麗=g；

ono

不進(jìn)行處罰，行人闖紅燈的概率為訴=二；