初中數學：重點知識總結

初中數學：專題重點知識總結

姓名：__________

指導：一-------

日期：___________

專題一實數

知識要點

1.實數的有關概念

（1）實數分類

正整數

零

仃理數負整數

（有限小數和無限循環(huán)小數）

無理數一無限不循環(huán)小數

實數還可以分為：正實數、專、負實數；有理數還可以分為：正有理數、零、負有理數.解題

中而考慮數的取值范第時，常常用到這種分類方法.特別要注意。是自然數。

（2）數軸

數軸的三要素：一點、正方向和單位長度.實數與數軸上的點於?對應的，這種一對應關

系是數學中把數和形結合起來的耐要基礎.在數軸上表示的兩個數，右邊的

數總比左邊的數大。fa（a>0）

⑶絕對值|a|=0（a=0）

-a(a<0)

絕對值的代數意義：

絕對值的兒何意義：個數的絕對值是這個數在數軸上的對應點到原點的距離。

（4）相反數、倒數

相反數以及倒數都是成對出現的.專的相反數是零，零沒仃倒數.“任意對相反數的和是零”

和“".為倒數的兩個數的枳是1”的特性常作為計算與變形的技巧。

（5）三種非負數

同、a,Va（a>0）形式的數都表示“負數?！皟簜€小負數的和（枳）仍是||負數"?！皫?/p>

個非負數的和等廣岑.則必定每個非負數都同時為零”的結論常用于化簡求值.

（6）平方根、算術平方根、立方根的概念

（7）易借知識辨析

（I）近似數、彳i效數字如0.030是2個仃效數字（3.0）楮確到千分位：3.1.1X10Ji3個有

效數字；精確到T?位.3.14萬是3個仃效數字（3,1,4）精確到百位.

⑵絕對值兇=2的辨為x=±2：而|-2|=2,但少部分同學寫成|-2|=±2.

（3）在已知中,以非負數a；、al、*（a>0）之和為零作為條件,解決有關問題.

2.實數的運算

（1）實數的加、減、乘、除、乘方、開方運打.整數指數衰的運兒.

（2）仃理數的運算法則在實數范國仍然適用；實數的運算律、運算順序。

（3）加法及乘法的運算律可用f實數運算的巧算。

（4）近似數的精確度、有效數字、科學記數法的形式為ax10"（其:中1傘|<10.為整數）.

專題二代數式

知識要點:

知識點1整式的概念

［單項式——單項式的次數系數

Y多項式——多項式的次數項數系數——升降琳排列

（1）贅式中只含療項的是單項式,否則是多項式，單獨的字母或常數是單項式:

（2）單項式的次數是所行字母的指數之和；

多項式的次數是多項式中最高次項的次數：

（3）單項式的系數.多項式中的神頻的系數均包括它前面的符號

（4）同類項概念的兩個相同與兩個無關:

兩個相同：?是所含字母相同，二是相同字母的指數相同：

兩個無關：?是“系數的大小無關，：是與字母的順序無關；

（5）恪式加減的實質是合并同類項：

（6）因式分解。盛式乘法的過程恰為相反。

知識點2整式的運算（如結構圖）

6)"=a"m

融的運算

(所=a"b"

單項式乘以單項式

單項式乘以多項式提公囚式法

-＞閃式分解

多項式乘以多項式公式法

(a+b\a-b)=a2-h2

乘法公式

(“+h)2=az+lab+b

知識點3因式分解

多項式的因式分解,就是把?個多項式化為幾個整式的枳.分解因式要進行到每?個因式都不

能再分解為止.分解因式的常用方法有：

(1)提公因式法

如多項式am+bin+cm=m(a+b+c),

其中m叫做這個多項式各項的公因式，m既可以是一個單項式,也可以是?個多項式.

(2)運用公式法,即用

a:-b2=(a+b)(a-b),

a:±2ab+bJ=(a±b)\力出結果.

aJ±bs=(a±bXa:Tab+b')

(3)十字相乘法

對廣：次項系數為I的：次:Mx2+px+q,才找滿足ab=q.a+b=p的a.b,如化則

/+內+g=(x+a)(x+6);對于??般的二次三項式Of。+bx+c(a*0),/找滿足

2x+c

aia2=a.cic：=c.aiC2+ag=b的a”a?.C|.c：＞如有，WJax+bx+c=(o(x+ct)(a22)-

(4)分組分解法：把各項適當分組,先使分解因式能分組進行，再使分解因式在各組之間進行.

分組時要用到添括號：括號前而是“+”號，括到括號里的各項都不變符號：括號前面是“一”

號.括到括號里.的各項都改變符號.

(5)求根公式法：如果亦2+/>*+。=0(“#0),有兩個根內，*2.那么

2

ax+bx+c=a(x-xt)(x-x2).

知識點4分式的概念

A

(1)分式的定義:一式A除以整式B.可以裹示成2的形式.如果除式B中含有？母，那么

B

稱4為分式，其中A稱為分式的分子,B為分式的分母。

B

對「任意個分式，分母都不能為零。

(2)分式的約分

(3)分式的通分

知識點5分式的性質

(1)業(yè)=4,"())(2)己知分式？，分式的做為正：aOb同號；分式的值為負：a0b異號:

BnBb

分式的值為零：a=0且bHO；分式有意義:b*0.

(3)零指數a°=\(a*0)

(4)負整數指數aP=-V(a*O.p為正整數).

ap

am-an=am*\

(5)整數硼運算性質a"=am"(a*0).

(am)n=a?,

(ab)B=anbn

上述等式中的m、n可以是0或負整數.

知識點6根式的有關概念

1.平方根:若xj(a>0),則x叫做a的平方根，記為±Va.

注意：①正數的平方根右兩個，它們“為相反數：②0的平方根是0:③負數沒有平方根：

2.算術平方根：個數的正的平方根叫做尊術平方根：

3.0：方根：若x'=a(a>0),則x叫做a的'工方根，記為新.

4.最簡：次根式

被開方數所含因數是整數，因式是修式，不含能開得盡方的因數或因式的：次根式，叫做破簡

:次根式.

5.同類:次根式：化簡根被開方數相同的：次根式.

知識點7:次根式的性質

①JZ(aNO)是個小負數；②(/?)?=u(a>0)

a(a>0)

③(4)，=|a|=0(a=0)哦=親“加力>。)

-a(a<0)

⑤=4a4b(a>0,/>>0)

知識點8..次根式的運兌

(1)二次根式的加減

.次根式相加減.先把各個.次根式化成最簡：次根式，可把同類.次根式分別公井.

(2)?.次根式的乘法

:次根式相乘,等;各個因式的被開方數的枳的算術平方根,即

Ja-y/b=Vab(aS0,b>0).

.次根式的和相乘，可參照多項式的乘法進行.

兩個含仃.次根式的代數式相乘,如果它們的積不含有：次根式,那么這兩個:次根式互為有

理化因式.

(3):次根式的除法

:次根式相除,通常先”成分式的形式，然后分J1分母都乘以分母的仃理化閃式，把分母的

根號化去(或分子、分母約分).把分母的根號化去，叫做分母有理化.

專題三不等式和不等式組

知識要點；

知識點1、不等式的解：能使不等式成立的未知數的值叫做不等式的解。

知識點2、不等式的解集：個含有未知數的不等式的解的全體叫做這個不等式的解集。

知識點3、不等式的解集在數軸I:的表示：

(1)x>a：數軸上衰示a的點畫成空心圜圈,表示a的點的右邊部分來表示；

(2)x<a：數軸I：表示a的點畫成空心網圈，衣示a的點的左邊部分來表示：

(3)x0a：數軸上表示a的點畫成實心上點,表示a的點及表示a的點的右邊部分來去示：

(4)x<a：數軸上.表示a的點畫成實心，點,表示a的點及表示a的點的左邊部分來襲示.

在數軸上表示大尸3的數的點應該是數3所對應點的右邊.畫圖時要注意方向(向右)和揣點

(不包括數3,在對應點畫空心網圈).如圖所示：

-10I2345

同樣，如果某個不等式的解案為后一2.那么它表示x取一2左邊的點

間實心網點.如圖所示:

-3-2-101

總結：在數軸上.衣示不等式解集的要點：

小于向左網,大于向燈畫：無等號㈣空心網圈，仃等號畫網點.

知識點4、不等式的性質：

（I）不等式的兩邊都加上（或減去）同?個數或同一個整式,不等號的方向不變;

（2）不等式的兩邊都乘以（或除以）同?個正數,不等號的方向不變;

（3）不等式的兩邊都乘以（或除以）同?個負數.不等號的方向改變.

知識點5、兀?次不等式：只含有個未知數,并”.未知數的坡島次數是1,系數不等于。的

不等式,叫做?元?次不等式.

知識點6、解元一次不等式的一般步驟：

（1）去分母：（2）去括號:（3）移項；（4）合并同類項：（5）未知數的系數化為1.

通過這些步驟可以把?元次不等式轉化為x>a（x》a）或x<a（xWa）的形式.

知識點7、元?次不等式組：由兒個含有同?個未知數的次不等式組成的不等式組叫做

元一次不等式組.

知識點8、不等式組的解集：不等式組中所有的不等式的解集的公共部分叫做這個不等式組的

解集.

不等式組（a<b）數軸表示解集記憶口訣

x>a

(1)<x>b同大取大

x>h—ab-------->

x<a

⑵<—H~kx<a同小取小

x<b

x>a

(3)<a<x<b大小取中

x<b

x<a

(4),-i-\------?無解兩邊無解

x>bab

知識點9、解不等式組：求不等式組解集的過程叫做解不等式組.

知識點10、解?元?次不等式組的一般步驟:先分別解不等式組中的各個不等式,然后再求出

這幾個不等式解集的公共部分.

知識點11、應用?元?次不等式（組）的知識解決簡單的數學問趣和實際問題。

專題四方程和方程組

知識要點

一、方程有關概念

1.方程：含有未知數的等武叫做方程.

2、方程的解：使方程左右西邊的值相等的未知數的位叫方程的解,含有個未知數的方程的解

也叫做方程的根。

3、解方程：求方程的解或方判斷方程無解的過程叫做解方程。

4,方程的增根：在方程變出時，產生的不適合原方程的根叫做原方程的增根.

二、一元方程

1、一元次方程

(1)一元次方程的標準形式：ax+b=O(其中x是未知數，a、b是己知數，a*0)

(2)一玩次方程的最簡形式：ax=b(其中x是未知數，a、b足已知數，aXO)

(3)解?元-次方程的檄步驟:去分母、去括號、移項、合并同類項和系數化為1.

（4）?元一次方程為唯一的一個解.

2.?元：次方程

（1）?元次方程的般形式：ad+〃x+c=O（其中x是未知數，a、b、c是己知數，aX

（2）?元:次方程的解法：在接開平方法、配方法、公式法、因式分解法

（3）?元次方程解法的選擇順序是：先特殊后般，如沒有要求，般不用￡方法.

（4）?元二次方程的根的判別式:A=h2-4ac

節(jié)A>0時O方程仃兩個不相等的實數根：

"IA=0時O方程有兩個相等的實數根：

W|A<0時。方程沒有實數根.無解：

"IA20時o方程仃兩個實數根

（5）元:次方程根與系數的關系:

be

若Xi，x,是JL:次方程ad+/>x+c=0的兩個根.那么：再+x,=—.x「x、=—

aa

（6）以兩個數為,與為根的?兀二次方程（二次項系數為1）是：x2-（.V1+.r,）x+x,x,=0

三、分式方程

（I）定義:分母中含有未知數的方程叫做分式方程。

（2）分式方程的解法：

?股解法：去分母法，方程兩邊都乘以最簡公分母.

特殊方法：換元法.

（3）檢驗方法：般把求得的未知數的值代入最簡公分母,使坡簡公分母不為0的就是原方用

的根：使用此簡公分母為0的就足奴方程的增根，增根必須公去，也可以把求得的未知數的值代入

原方程檢驗。

四、方程組

1、方程組的解：方程組中各方程的公共解叫做方程組的解.

2.斛方程組：求方程組的解或判廝方程組無解的過程叫做解方程組

3、一次方程組：

（I）:元詼方程組：

,般形式：,''（6，。,c”c,不全為0）

a2x+b2y=c2

解法：代入消遠法和加減消元法

解的個數：有唯一的解.或無解，當兩個方程相同時行無數的解.

（2）三元次方程組：

解法：代入消元法和加減消元法

4、二元二次方程組：

（I）定義：由?個.元?次方程和個二元二次方程組成的方程組以及由兩個二元:次方程組

成的方程組叫做二元二次方程組.，

（2）解法：消元，轉化為解元：次方程，或不降次，轉化為：元?次方程組.

專題五函數

知識要點:

知識點1、平面宜角坐標系與點的坐標

?個平面被平面H角坐標分成四個象限，平面內的點可以用?對有序實數來表示平面內的點，

行序實數對是對應美系，各象限內點都仃自己的特征,特別要:注意坐標軸上的點的特征.點P

（x、y）/Ex軸上oy=0,x為任意實數，

點P（X、y）在y軸I、u>x=O.y為任意實數，點P（x、y）在坐標原點ox=0.y=0.

知識點2、對稱點的坐標的特征

.友P（x、y）美「x軸的對稱點Pi的坐標為（x.—y）：美）-y軸的對■稱軸點P?的坐標為（~~x,

y）：關J?原點的對稱點l為（-x,-y）

知識點3、距離與點的坐標的關系

點P（a,b）到x軸的距離等廣點P的縱坐標的小對值,即IbI

P（a.b）到y軸的距離等J：點P的橫坐標的絕對值,即IaI

點P（a.b）到原點的距高等于：yla2+b2

知識點4、與函數有關的概念

函數的定義，函數自變狀及函數值：函數白變玳的取值必須使解析式仃意義”1解析式是整式時.

自變盤取切實數,當解析式是分式時，要使分母不為岑，當解析式是根式時,自變班的取值要使

被開方數為非負數,特別地.在個函數關系中,同時有幾種代數式,函數自變盤的取值范圍應是

各種代數式中自變革取值范圍的公共部分.

知識點5、己知函數解析式，判斷點P（X.y）是否在函數圖像I：的方法，P（X,y）的坐

標適合函數解析式，則點P在其圖象匕若點P/E圖象匕則P（x,y）的坐標適合函數解析式.

知識點6、列函數解析式解決實際問題

設x為自變V.y為x的函數，先列出關于x.y的：元方程,再川x的代數式表示y.坡后寫

出自變1&的取值范圉，要注意使自變量在實際問題中有意義.

知識點7、次函數與正比例函數的定義：

例如：y=kx+b（k,b也常數，kXO）那么y叫做x的,次函數，特別地“ib=0時.一次函

數y=kx+b就成為y=kx（k是常數.kHO）這時，y叫做x的1E比例函數。

知識點8、,次函數的圖象和件質

次函數y=kx+b的圖象是經過點（0,b）和點（-Lo）的條廣［線，k值決定直線門

k

左向右是上升還是卜降.b值決定H線交J：y軸的正半軸還是貨￥?軸或過原點.

知識點9、兩條直線的位置關系

設一線￡?和，，的解析式為y=k,x+b|和y2=k2x+bj則它們的位置關系由系數關系確定

ki-o（?與f,相交，

kj=k2,biWb^og，￡?平行

ki=k2,bi=b?o『|與，:乖合.

知識點10,k的求法

知識點1】、反比例函數的定義

形如：y=4或y=kx?(k是常數IL20)叫做反比例函數.也可以寫成xy=k(kWO)形式,

x

它衣明在反比例函數中H變量x與其對應的函數值y之枳等「己知常數k.

知識點12、反比例函數的圖像和性質

反比例函數的圖像是雙曲線，它是以原點為對稱中心的中心對稱圖形,同時乂是H線y=x或y

=-x為對稱軸的軸對稱圖形,當k>0時.圖像的兩個分支分別在?、：象限，在每個象限內y劭

x的增大而戰(zhàn)小，"ikVO時，圖象的兩個分支分別在.、四象限，在每個象限內，y隨x的增大而

增大.

知識點13、反比例函數中比例系數k的幾何意義.

過雙曲線上任意一點P作x軸、y軸的乖線PA、PB所得矩形的PAOB的面枳為|k|.

知識點14、二次函數的定義

形如：y=ax?+bx+c<a、b、c是常數，aXO)那么y叫做x的二次函數，它常用的,:種我本

形式.

?般式：y=ax*+bx+c(a#0)

頂點式：y=a(x—h)'+k(a^O)

交點式：y=a(x—X|)(x-x2)(a#0,x卜Xi是交點與x軸交點的橫坐標)

知識點15,二次函數的圖象與性質

:次函數y=ax?+bx+c(a#0)的圖象是以(-2,處二絲)為頂點，以匕線y=-2為

2a4。2a

對稱軸的拋物線。

在a>0時,拋物線開門向上,在對稱軸的左側,l!|Jx<-y-Ht，y隨x的增大而減小：在對稱

軸的右側，即當x>-2時,的增大而增大.

2a

6-a<0ll-r,拋物線開11向卜，在對稱軸的左側，即x<-2時，y的/fx的增大而增大。任對

2a

稱軸的公側,即當x>-—時,y隨著x的增大而減小.

2a

a>0.在x=—=b時.y仃最小值，…二Actc，-b"?

2a4。

a<0,在x=-3時，yYfWXffi.y*"

2a4a

知識點】6、二次函次圖象的平移

二次函數圖象的平移只要移動頂點坐標即可.

知識點17、二次函數y=ax2+bx+c的圖象，坐標軸的交點.

(1)9y軸永遠仃交點(0,c)

(2)在『-4ac>0時，拋物線與X軸有兩個交點.A(xi，0),B<x2.0)這兩點距離為AB

=|x(—x2|.<xi>xz是ax?+bx+c=0的兩個根).

/I；b2-4ac=0H,拋物線與x軸只有個交點.

2

在b-4ac<0時.則拋物線*3x軸沒有交點.

知識點18、求二次函數的最大值

b-b~

常見的有兩種方法：<1)H接代入頂點坐標公式,■),

2a4a

(2)將丫=a*2+6*+<:限方,利用非負數的性質進行數值分析.

兩種方法各有所長,第?種方法過程簡單,第:種方法有技巧.

知識點19.拋物線y=ax'+6x+c中，a,6,c的作用

(Da決定開U方向及開I」大小，這與>?=冰2中的a完全?樣.

⑵6和a共同決定拋物線時稱軸的位優(yōu)由廣拋物絞尸加+&+c的對稱軸是H線._幺故：

2a

①6=0時，對稱軸為y軸：②2>o(即。、人同?力時,對楞第軸左儲；

a

③2<o(即a、〃片號)時，對稱軸在y軸右側.

a

(3)c的大小決定拋物線y=ax2+hx+c'jy軸交點的位置.

當工=0時，y=c,???拋物線,=ar：+bx+c軸有IL只行個交點(0,c)：

@c=0,拋物線經過原點；②c>0,Oy軸交HE半:軸：③c<0,軸交廠?負步軸.

以I：三點中，當結論和條件”:換時，仍成讓如拋物線的對稱軸O軸而側，則-<0-

知識點20.n線號拋物線的交點

(1)y軸。拋物線y=ax2+bx+c得交點為(0,c)

(2)與y軸平行的白紋x=〃叮拋物線)，=ad+/n+c有旦只仃個交點(力，Hz?+hh+c)t

(3)拋物線與x軸的交點

:次函數y=ad+fex+c的圖像。x軸的兩個交點的橫坐標王、是時應?元次方程

at-+bx+c=0的兩個實數根.拋物線9x軸的交點情況可以由時應的元:次方程的根的判別式

判定：

①仃兩個交點oA>0o拋物線Ox軸相交：

②有一個交點(頂點在x軸I:)oA=0。拋物線。x軸相切：

③沒有交點=△<()=拋物線與.V軸相離.

(4)平行「X軸的自線，拋物線的交點

同(3)一③可能有。個交點、1個交點、2個交點.行2個交點時，兩交點的縱坐標相等,設縱

坐標為4.則橫坐標是ad+hx+c=k的兩個實數根.

(5)詼函數y=h+Mkw0)的圖像/與二次函數y=a/+〃x+c(aw0)的圖像G的交點，由方

程組

[''=京+"的解的數目來確定：

=av2+bx+c

①方程組仃兩組不同的解時o/9G仃兩個交點：

②方程綱只有?組解時o/與G只有一個交點:③方程綱無解時o/，G沒仃交點.

2

⑹拋物線Ljx軸兩交點之間的距題若拋物線），=ar+/>x+c與x軸兩交點為J（.vt,0）,8（七,0）,

,hc

由于*、X,是方程ab+6.r+c=0的兩個根，故%+為=-//再=一

aa

AB=k-x」=血=v了=V（X|-.r,）*-4.r,.r,=4c_4b’-4(ic_TA

a1414

知識點21...次函數9?元：次方程的關系：

（1）?元：次方程y=ax2+bx+c就是.次函數y=av:+6x+c當函數y的值為0時的情況.

（2）二次函數^=。/+加r+c的圖象與x軸的交點行?:種情況：有兩個交點、行一個交點、沒仃

交點；當二次函數），=ad+/>x+c的圖象，x軸仃交點時，交點的橫坐標就是巧j，=0時門變

累x的值，即一元：次方程a/+6x+c=0的根.

⑶當：次函數y=ad+6x+c的圖紛Jx軸行兩個交點時,則一元二次方程y=a/+bx+c有

兩個不相等的實數根：當：次函數），=以2+尿+c的圖象9x軸有個交點時，則無：次方

程ax?+Z>x+c=0仃兩個相等的實數根：當.次函數y=a，+Z>x+c的圖象Ljx軸沒有交點

時.則一元二次方程ad+/w+c=0沒仃實數根

專題六統計與概率

知識要點：

知識點1、調查收集數據過程的一般步驟

調代收集數據的過程般仃卜.列六步：明確調代問題、確定調唐對軟、選擇調點方法、展開調

介、記錄結果、得出結論.

知識點2、調查收集數據的方法

普代是通過調音總體的方式來收集數據的，抽樣調長是通過謝介樣本方式來收集數據的.

知識點3、統計圖

條形統計圖、折線統計圖、扇形統計圖加：種最常用的統計圖.這三種統計圖各具特點:條形

統計圖可以宜觀地反映出數據的數量特征:折線統計圖可以貪觀地反映出數據的數盤變化規(guī)律：扇

形統計圖可以fi觀地反映出各部分數設在總址中所占的份額.

知識點4、總體、個體、樣本、樣本容量

我們把所要考育的對象的全體叫做總體，把組成總體的許?個號魚對象叫做個體.從總體中取

出的部分個體叫做總體的?個樣本.樣本中包含的個體的個數叫做樣本容|七

知識點5、簡單的隨機抽樣

用抽簽的辦法決定哪些個體進入樣本.統計學家們稱這種理想的抽樣方法為簡單的隨機抽樣.

知識點6、頻數、頻率

在記錄實驗數據時，許個對象出現的次數稱為頻數.每個對象出現的次數q總次數的比值(或

者百分比)稱為頻率.

知識點7、繪制頻數分布直方圖的步驟

①計克最大值。最小值的23②決定組距和組數;③決定分點;④畫頻數分布表;⑤畫出頻數

分布H方圖.

知識點8、平均數

在組數據中.用數據的總和除以數據的總個數就得到這組數據的平均數.

知識點9、中位數

將?組數據從小到大依次排列，位于正中間位置的數(或正中間兩個數據的平均數)叫做這組

數據的中位數.

知識點10、眾數

在組數據中，出現頻數最多的數叫做這組數據的眾數.

知識點11、加權平均數.

在組數據中，各個數在總結果中所占的仃分比稱為這個數的權，除保個數乘以它相應的權幣:

后所得的平均數叫做這組數據的加權平均數.

知識點12、極差

?組數據中的以大值減去以小值所得的△稱為極差..

知識點13、方差：

我們可以用“先平均，再求利,然后平方,最后再平均”得到的結果/示?組數據偏離平均值

的情況，這個結果通常稱為方差.

計算方差:的公式：設組數據是X?.X2,X3,…Xn,7是這組數據的平均數。則這組數據的方星是:

22222

s=-[(X)-x)+(x,-x)+(Xj-x)+…+(xn-5c)]

n

知識點14、標準差:

?組數據的方差的駕術平方HM叫做這組數據的標準差.

用公式可表示為:

:22

S=-x)+(x,-x)+…+(xn-x)]

知識點15、確定事件

那些無需通過實驗就能夠預先確定它們在每次實驗中都?定會發(fā)生的事件稱為必然獷件.那

些在每一次實驗中都定不會發(fā)生的解件稱為不可能小件.必然羿件和不可能小件統稱為確定小件.

知識點16、隨機事件

無法預先確定在次實驗中會不會發(fā)生的獷件稱為不確定獷件或隨機事件.

知識點17,概率

表示一個任件發(fā)生的可能性大小的數，叫做該小件的概率.

知識點18、概率的理論計算方法有：①樹狀圖法；②列表法.

專題七圖形的認識

知識要點：

知識點I、生活中的立體圖形

1.生活中的常見立體圖形有：球體、柱體、鑲體，它們之間的關系如下所示

［圓柱

■:枝柱

四棱柱

五棱柱

窗錐

三極錐

立體圖形錐體6

極錐ttt四棱錐

五極錐

球體

2.多面體：由平面圍成的立體圖彩叫做多面體

知識點2、由立體圖形到視圖

I.視圖：（1）H棱柱、一柱、圓錐、球的三視圖（主視圖、左視圖、俯視圖）

（2）簡一的幾何體與其三視圖、展開圖

（3）由三視圖猜想物體的形狀

2.通過典型實例，知道這種美系在現實生活中的應川（如物體的包裝）.

俯視圖反映物體的長和寬,卜:視圖反映J'它的長和高.左視圖反映了寬利高.所以1：視圖和俯

視圖的長度相等,且瓦相對正,即“氏對正”等視圖與左視圖的高度相等,且互相平齊,即“高平

齊”俯視圖。左視圖的寬度相等，即“寬相等”

知識點3、立體圖形的展開圖

惻柱的側面展開圖是一個矩形,-邊長為母線的長,另一邊是底面的周長.

同惟的側向展開圖是個扇形，其中蛇形的半徑是卜鑲的母線長,瓠長是底而倒的周長

正方形的展開圖的形狀比較多

知識點4、平行投影和中心投影

平行投影:在平行光線的照射下,物體所產生的影稱為平行投影.

1.隹平行光線的照射3不同物體的物高U影長成比例.

2.物體在陽光卜?的影長與方向的時間的變化而變化

3.太陽光可以看作是一束平行光線

中心投影：住點光源的照射下，物體所產生.的影稱為中心投影.

I.在點光源的照射下,不同物體的物高9影長不成比例.

2.在燈光下,不同位置的物體,影子的長短和方向都是不同的,但是任何物體上的一點與其影廣

的對應點的連線?定經過光源所在的點.

知識點5、線段、射線、直線

（1）連接兩點的所有線中,線段坡短.

線段的乖白平分線上的點到這條線段的兩端的距商相等

（2）射線、線段可以看作11（線的部分

知識點6、角

111公共端點的兩條射線所組成的圖形叫做用

I周角=2平角=4/角=360度

女余和五補:如果兩個角之和是一個直角,那么這兩個角互余

如果兩個角之和是個平角.那么這兩個角"補

知識點7、垂直

<1）兩條直線相交的四個角中有一個為直角時,稱這兩條直線互相垂直,交點叫垂足.

（2）在同一平面內,經過直線外（h>?點，有且只有一?條直線與已知電線垂直.

（3）直線外這個點到垂足間的線段叫做點到直線的距離.

知識點8、平行線

I.平行線：在同?平面內，不相交的兩條直線.

2.兩條直線被第1條直線所截，出現的沿角:同位角.內借角,同旁內角.

直線m-直線a,b成如圖所示的8個角,在圖中:

同位角：N1和N5,N2和Z6,N3和N7,N4和N8：

內錯角：N3和N5./4和/6：

同旁內用：N3和N6.N4和N5.

3.平行公理經過已知直線外?點有且只有條直線與已知宜線平行.

4.平行線的判定方法：

同位角相等，兩咒線平行;內錯角相等,兩立線平行;同旁內角互補,兩直線平行.

另外,平行于同H線的兩條直線互相平行.一宜于同一直或的兩條直線互相平行.

5.平行線的性質：

兩直線平行,同位角相等.兩直線平行,內錯角相等.兩苴線平行,同旁內角互補.

過宜線外一點有且僅有一條直線平行F已知直線.

專題八解直角三角形和三角函數

知識要點：

知識點1三角形的邊、角關系

①二角形任何兩邊之和大廠第?:邊：

②三角形任何兩邊之差小于第?:邊:

③三角形三個內角的和等『180°：

④.：角形三個外角的和等于360°：

⑤二角形一個外向等于和它不相鄰的兩個內向的和：

⑥三角形個外角大于任何一個和它不相鄰的內角.

知識點2三角形的主要線段和外心、內心

①三角形的角平分線、中線、衙:

②三角形三邊的垂直平分線交J-點,這個點叫做?:角形的外心,?:角形的外心到各頂點的撩

離相等：

③?:角形的：條向平分線交廣一點,這個點叫做三角形的內心,次形的內心到?:邊的即離相

等；

④連結三角形兩邊中點的線段叫做?:角形的中位線，?:角形的中位線平行了第1邊且等戶第三

邊的一半.

知識點3等腰三角形

等股?:角形的識別：

①有兩邊相等的三角形是等腰?:角形：

②有兩例相等的形足等腰:用形（等角對等邊）：

③三邊相等的三角形是等邊三角形：

④二個角都相等的：角形是等邊:角形；

⑤仃?個角是60?的等腰三角形是等邊V角形.

等腰三角形的性質：

①等邊對等角；

②等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的平互相重合:

③等腰三角形是軸對稱圖形，底邊的中垂紋是它的對稱軸；

④等邊?:角形的三個內角都等于60°.

知識點4直角三角形

直用三角形的識別：

①W個角等于90°的三角形是直角三角形;

②有兩個角互余的?:一形是直角三角形:

③勾股定理定逆定理:如果一個三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方,那么這個-：角形是直

角三名形.

汽用三角形的性質：

①直加i角形的兩個銳角互余;

②直角:角形斜邊上的中線等于斜邊的?半,：

③勾股定理：fiffj?:向形兩??［角邊的平方和等廣斜邊的平方.

知識點5全等三角形

定義、判定、性質

知識點6相似三角形

流義

皿,■〃W［兩對應邊的比相等，夾角相等

相似二知形判定方法兩個對應角相等

■:條而應邊的比相等

對應邊的比

對應高的比等廣相似比

相似三角形的性質

周長比

面積比=相以比平方

知識點7銳角三角函數與解直角三角形

[-ES-1

sina=COA(90-a)

|銳3M角函數

HSPtanQ=cot(90-a)

pl三邊關系I

一4兩銳角關系I

-I邊與鬲關索I

轉化——直角三角形

視角

問題

常用術語坡度

方位角

1、勾股定理：I'［向?:知形兩"角邊”、■的平方和等r斜邊c的平方.|/+/=國

2、如下圖,在RtZXABC中，NC為此加，則NA的銳角?:角函數為（NA可換成NB）：

\定義表達式取值范圍關系（A+B=90）

正.乙4的對邊0<sin>1<1

sinA=——r------sinJ=cosfl

弦斜邊（為銳角）

NAcos/=sin8

余.44的鄰邊0<cos/<122

8d斜邊sin/44-cosA=1

弦（ZA為銳角）

tanA=cotB

正.4的府邊tan/i>0

lanA-------；,；-；；?

切/A的鄰邊（NA為銳角）cot/=tan8

tan/=」一（倒數）

cotA

余.‘的鄰邊cotA>0

切乙4的對應（/A為銳角）tanJ-cotJ=1

3、任意銳用的正弦值等J-它的余用的余弦優(yōu)i：任意銳角的余弦值等「它的余知的正弦值.

o

sinA=cosB__l_ll_Z__/（_+__Z_B__=__9_0_sinA=cos（900-A）

cosJ=sinB得NB=9（T-NA'cosA=sin（900-A）立

a

A/_

c

4、任意銳角的正切值等J?它的余角的余切值；任意銳角的余切位等「它的余角的正切值。

tan4=cot8由4+N8=90°tanA=cot（90°-A）

cot4=tan8-得/|j=90。_NA_cotA=tan（90°-A）

5、0。、30°、45°、60。、90°特殊角的三角函數值（重要）

三角函數0。30°45。60°90°

sina

cosa

tana

cota-

6、正弦、余弦的增減性:

"'i0"Wa（90°時，sina隨a的增大而增大，cosa隨a的增大而減小.

7、正切、余切的增減性:

當0。<a<90。時,tana-a的增大而增大,cola隨a的增大而減小.

8、解江第三角形的定義:已知邊和角（兩個,其中必書一邊）一所有未知的邊和角.

依據：①邊的關系：a2+b2=c\②用的美系：A+B=90。：③邊角關系：：角函數的定義.

（注意:盡情避免使用中間數據和除法）

9、應用舉例：

⑴仰角:視線在水平線上方的角:俯角：視線在水平線下方的角.

（2）坡面的鉛HR,度h和水平寬度/的比叫做坡度（坡比）。用字母i表示，即，=彳.坡度般寫成

l:m的形式,如i=1:5等.

把坡面，水平面的夾角記作a（叫做坡角）,那么，=，=tana.

10、從一點的指北方向按順時針轉到「I標方向的水平角,叫做方位角.如圖3,OA、OB、OC、

OD的方向角分別是：45、135°、225°.

II、指北或指南方向線與目標方向線所成的小廣90°的水平角,叫做方向角.如圖4.OA.OB、

OC、OD的方向角分別是：北偏東30°（東北方向）.南偏東45°（東南方向），

南偏西60°（西南方向），北偏西60°（西北方向）.

12已知個三角函數值，求其他三角函數位.

2

例：sin4=w,則cos4tan4cotA

13?:用形面枳公式：

s=-ah=-ahcosC（C為a.b邊的夾角）

22

（1）某?時刻測得大樹AB.教學樓ED在陽光卜的投影K分別是BC=2.5米，DF=7.5米，

求大樹AB的高度：

（2）現有皮尺和高為h米的測向儀,由你設計另種測吊:大樹AB高度的方案，要求：

①在圖中，中出你設計的圖形（長度用字母m,n……表示,角度用希腑字/a,3……表示）;

②根據你所畫出的示意圖和標注的數據，求出大根據高度并用字母意示.

專題九四邊形

知識要點：

知識點1:圖形的變換與鑲嵌

產活中的對稱現研一

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革環(huán)詞T平移作圖1欣