2023年衡水市第十三高三沖刺模擬數(shù)學(xué)試卷含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

考生須知：

1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色

字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。

2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。

3.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.下圖為一個(gè)正四面體的側(cè)面展開圖，G為8b的中點(diǎn)，則在原正四面體中，直線EG與直線8C所成角的余弦值為

2.框圖與程序是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要手段，實(shí)際生活中的一些問(wèn)題在抽象為數(shù)學(xué)模型之后，可以制作框圖，編寫程序,

得到解決，例如，為了計(jì)算一組數(shù)據(jù)的方差，設(shè)計(jì)了如圖所示的程序框圖，其中輸入西=15,々=16,￡=18,無(wú)4=20,

毛=22,4=24,今=25,則圖中空白框中應(yīng)填入（）

ss

A.i>6,S=-B.i..6S=-C.i>6,S=7SD.i..6,S=7S

77

3.已知集合A={x|/og2X<l}，集合B={y|y=,2-“,則A|J8=()

A.(F,2)B.(-oo,2]C.(0,2)D.[0,+oo)

4.已知函數(shù)/(》)=(2。+2)皿》+2公2+5.設(shè)。<一1,若對(duì)任意不相等的正數(shù)芭，/，恒有,(")二Ng,

%1—%2

則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.(-3,-1)B.(-2,-1)

C.(ro,-3]D.(-oo,-2]

22122

5.設(shè)雙曲線與一1=1（?！?,人＞0）的一條漸近線與拋物線y=Y+—有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，且橢圓=+[=

a'b-3a-b-

的焦距為2,則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

A.二上=1B.q-蘭=1C.工-￡=1D.亡-蘭=1

43432332

6.某校在高一年級(jí)進(jìn)行了數(shù)學(xué)競(jìng)賽（總分100分），下表為高一?一班40名同學(xué)的數(shù)學(xué)競(jìng)賽成績(jī)：

55575961686462598088

98956073887486777994

971009997898180607960

82959093908580779968

如圖的算法框圖中輸入的處為上表中的學(xué)生的數(shù)學(xué)競(jìng)賽成績(jī)，運(yùn)行相應(yīng)的程序，輸出加，〃的值，則加一〃=（

/整Aflt.a】.….g<o/

/輸出m.n/

，*：

（l束）

B.8C.10D.12

7.在明代程大位所著的《算法統(tǒng)宗》中有這樣一首歌謠，“放牧人粗心大意，三畜偷偷吃苗青，苗主扣住牛馬羊，要

求賠償五斗糧，三畜戶主愿賠償，牛馬羊吃得異樣.馬吃了牛的一半，羊吃了馬的一半.”請(qǐng)問(wèn)各畜賠多少？它的大意

是放牧人放牧?xí)r粗心大意，牛、馬、羊偷吃青苗，青苗主人扣住牛、馬、羊向其主人要求賠償五斗糧食（1斗=10升）,

三畜的主人同意賠償，但牛、馬、羊吃的青苗量各不相同.馬吃的青苗是牛的一半，羊吃的青苗是馬的一半.問(wèn)羊、

馬、牛的主人應(yīng)該分別向青苗主人賠償多少升糧食？（）

2550100252550、10020040050100200

A?，，B■，，C?，，D.—,-----,------

7771477777777

8.已知某幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體的體積為（)

9.總體由編號(hào)01,,02,…，19,20的20個(gè)個(gè)體組成.利用下面的隨機(jī)數(shù)表選取5個(gè)個(gè)體，選取方法是隨機(jī)數(shù)表第1

行的第5列和第6列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個(gè)數(shù)字，則選出來(lái)的第5個(gè)個(gè)體的編號(hào)為

78166572080263140702436997280198

32049234493582003623486969387481

A.08B.07C.02D.01

'2x+y-2<0

10.已知xj滿足不等式組x-2y-140,則點(diǎn)P（x,y）所在區(qū)域的面積是（）

x>0

54

A.1B.2C.-D.-

45

11.由實(shí)數(shù)組成的等比數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和為S”則“ai>0”是“S9>S8”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

12.下圖是來(lái)自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形，此圖由三個(gè)半圓構(gòu)成，三個(gè)半圓的直徑分別為直角三角

形A8C的斜邊8C、直角邊A3、AC,已知以直角邊AC、A8為直徑的半圓的面積之比為上，記NA8C=a,則

4

cos2a+sin2a=（）

38

C.1D.-

55

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知函數(shù)“X）在定義域R上的導(dǎo)函數(shù)為r（x）,若函數(shù)y=/'（x）沒有零點(diǎn)，且/[“X）-2019[=2019,當(dāng)

冗兀

g（x）=sinx—cosx—辰在上與“X）在R上的單調(diào)性相同時(shí)，則實(shí)數(shù)4的取值范圍是.

14.已知實(shí)數(shù)a,b滿足6=/39。為虛數(shù)單位），則。+力的值為.

15.已知函數(shù)y=/（x+l）—2為奇函數(shù)，g（x）=-且"％）與g（x）圖象的交點(diǎn)為（3,%）,（電,%），…,

x—1

（%6，%），則%+馬+…+/+%+%+,?,+%=?

,、3x2-|1-1,x<0,、

16.已知函數(shù)/(x)=x，若關(guān)于x的方程〃x)x+/(—x)=0恰有四個(gè)不同的解，則實(shí)數(shù)。的取值范

21nx-6x,x>0

圍是.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(12分)已知AABC是等腰直角三角形,NACB=JVT,AC=2.O,E分別為AC,AB的中點(diǎn)，沿將AAD￡折起,

2

得到如圖所示的四棱錐A-BCDE.

K

c&：..”七_(dá)_

(I)求證：平面平面ABC.

(n)當(dāng)三棱錐C-A.BE的體積取最大值時(shí),求平面a。。與平面\BE所成角的正弦值.

18.(12分)已知函數(shù)f(x)=e*+加-*-2asinx(a,bGR).

(1)若a=O,b=l,求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)/?=—1時(shí)，若/(x)>0對(duì)一切xe(O,萬(wàn))恒成立，求a的取值范圍.

19.(12分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓三+==1(。>匕>0)的離心率為:，且過(guò)點(diǎn)F為

橢圓的右焦點(diǎn)，A8為橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，連接AE,3廠分別交橢圓于C,。兩點(diǎn).

⑴求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵若Ab=FC,求”BF的值；

FD

⑶設(shè)直線AB，C。的斜率分別為匕，％2,是否存在實(shí)數(shù)團(tuán)，使得％2=加勺，若存在，求出，"的值；若不存在，

請(qǐng)說(shuō)明理由.

20.（12分）已知橢圓。:1+￡=1（?！等?gt;0）的離心率為@,橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4.

a'b-2

（1）求橢圓C的方程；

（2）已知直線=與橢圓C交于兩點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)"使得以線段A3為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)

。？若存在，求出左的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

21.（12分）已知拋物線。：^=2內(nèi)（0>0）的焦點(diǎn)為/，直線/交C于A5兩點(diǎn)（異于坐標(biāo)原點(diǎn)。）.

（1）若直線/過(guò)點(diǎn)/，方.礪=一12，求C的方程；

（2）當(dāng)麗.麗=0時(shí)，判斷直線/是否過(guò)定點(diǎn)，若過(guò)定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，說(shuō)明理由.

22.（10分）已知函數(shù)/（x）=lnx-or+。，其中a>0.

（1）討論函數(shù)/（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

（2）求證：ex+sinx>xlnx+l.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.C

【解析】

將正四面體的展開圖還原為空間幾何體，A。,廠三點(diǎn)重合，記作。，取。。中點(diǎn)”，連接EG,EH,GH,NEGH即

為EG與直線8c所成的角，表示出三角形EG”的三條邊長(zhǎng)，用余弦定理即可求得cosNEG”.

【詳解】

將展開的正四面體折疊，可得原正四面體如下圖所示，其中AD,尸三點(diǎn)重合，記作。:

DUE)

則G為8。中點(diǎn)，取。。中點(diǎn)H,連接EG,EH,GH,設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)均為。，

由中位線定理可得//8C且G"='8C=，。，

22

所以/EGH即為EG與直線8c所成的角,

由余弦定理可得cosZEGH=EG二G"二一E"二

2EGGH

321232

-a+-a--a右

444=g

0百1一6

2x—ci,—a

22

所以直線EG與直線8C所成角的余弦值為立

6

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了空間幾何體中異面直線的夾角，將展開圖折疊成空間幾何體，余弦定理解三角形的應(yīng)用，屬于中檔題.

2.A

【解析】

依題意問(wèn)題是S=g［（七一20『十（%一a。）？+…+（七—20）1，然后按直到型驗(yàn)證即可.

【詳解】

根據(jù)題意為了計(jì)算7個(gè)數(shù)的方差，即輸出的S=；［（西-20）2+（々-20『+…+（與—20月，

s

觀察程序框圖可知，應(yīng)填入i〉6,S=—,

7

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查算法與程序框圖，考查推理論證能力以及轉(zhuǎn)化與化歸思想，屬于基礎(chǔ)題.

3.D

【解析】

可求出集合A,B,然后進(jìn)行并集的運(yùn)算即可.

【詳解】

解：A={x|0<x<2},B={y|y>0}；

AUB=[O,同.

故選。.

【點(diǎn)睛】

考查描述法、區(qū)間的定義，對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，以及并集的運(yùn)算.

4.D

【解析】

求解/(x)的導(dǎo)函數(shù)，研究其單調(diào)性，對(duì)任意不相等的正數(shù)Ax?,構(gòu)造新函數(shù)，討論其單調(diào)性即可求解.

【詳解】

〃力的定義域?yàn)?0,+。)，/⑴二紅+皿/即+則,

XX

當(dāng)"T時(shí)，/'(尤)<。故"X)在(0,+8)單調(diào)遞減；

不妨設(shè)西<々，而a<-1，知/(X)在(o,+8)單調(diào)遞減，

從而對(duì)任意占、x2e(O,+8),恒有小卜,⑷>8,

一XL/

即|/(%)-/(%2)花8卜1一引，

/(5)一/(工2)二8(工2-E)，/(與)+8占之/'(七)+8工,

令g(x)=/(x)+8x,貝!|g，(x)=W^+4or+8,原不等式等價(jià)于g(x)在(0,+紇)單調(diào)遞減，即

四+2ox+4?0,

X

從而。＜奔11=住』一2,因?yàn)椋?1）

-2>-2?

lx2+1lx2+12x2+1

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-叫-2]

故選：D.

【點(diǎn)睛】

此題考查含參函數(shù)研究單調(diào)性問(wèn)題，根據(jù)參數(shù)范圍化簡(jiǎn)后構(gòu)造新函數(shù)轉(zhuǎn)換為含參恒成立問(wèn)題，屬于一般性題目.

5.B

【解析】

設(shè)雙曲線的漸近線方程為y=丘，與拋物線方程聯(lián)立，利用△=（）,求出上的值，得到巴的值，求出。為關(guān)系，進(jìn)而判

b

22

斷。力大小，結(jié)合橢圓二+當(dāng)=1的焦距為2,即可求出結(jié)論.

a2b2

【詳解】

設(shè)雙曲線的漸近線方程為y=履，

代入拋物線方程得x2-kx+^=Q,

42

依題意八=公一3==土方,

---^=,a--y=b>b

bV3百

22________

二橢圓2+本=1的焦距2行萬(wàn)=2，

—b2—h2=—h2=1,Z?2=3,4=4,

33

22

雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為匯-'=1.

43

故選:B.

【點(diǎn)睛】

本題考查橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，要注意雙曲線焦點(diǎn)位置，屬于中檔題.

6.D

【解析】

根據(jù)程序框圖判斷出〃，〃7的意義，由此求得加，〃的值，進(jìn)而求得的值.

【詳解】

由題意可得n的取值為成績(jī)大于等于90的人數(shù)，m的取值為成績(jī)大于等于60且小于90的人數(shù)，故加=24,〃=12,

所以m―“=24-12=12.

故選：D

【點(diǎn)睛】

本小題考查利用程序框圖計(jì)算統(tǒng)計(jì)量等基礎(chǔ)知識(shí)；考查運(yùn)算求解能力，邏輯推理能力和數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí).

7.D

【解析】

設(shè)羊戶賠糧4升，馬戶賠糧a2升，牛戶賠糧的升,易知4，4，4成等比數(shù)列,4=2,q+4+%=50，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)

可求出答案.

【詳解】

設(shè)羊戶賠糧4升，馬戶賠糧a2升，牛戶賠糧a3升，則4,4,生成等比數(shù)列，且公比q=2,%+々+%=5。,則

“2、s450501005200

q(l+q+q-)=50,故q-——-1a2=2at=—,a3=2-^

故選:D.

【點(diǎn)睛】

本題考查數(shù)列與數(shù)學(xué)文化，考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

8.B

【解析】

由三視圖知：幾何體是直三棱柱消去一個(gè)三棱錐，如圖:

1112

直三棱柱的體積為qx2x2x2=4,消去的三棱錐的體積為；x-x2xlx2=4,

2323

2IQ

,幾何體的體積V=4——=、，故選B.

33

點(diǎn)睛：本題考查了由三視圖求幾何體的體積，根據(jù)三視圖判斷幾何體的形狀及相關(guān)幾何量的數(shù)據(jù)是解答此類問(wèn)題的關(guān)

鍵；幾何體是直三棱柱消去一個(gè)三棱錐，結(jié)合直觀圖分別求出直三棱柱的體積和消去的三棱錐的體積，相減可得幾何

體的體積.

9.D

【解析】

從第一行的第5列和第6列起由左向右讀數(shù)劃去大于20的數(shù)分別為：08,02,14,07,01,所以第5個(gè)個(gè)體是01,選D.

考點(diǎn)：此題主要考查抽樣方法的概念、抽樣方法中隨機(jī)數(shù)表法，考查學(xué)習(xí)能力和運(yùn)用能力.

10.C

【解析】

畫出不等式表示的平面區(qū)域，計(jì)算面積即可.

【詳解】

不等式表示的平面區(qū)域如圖：

y

C(0,2),忸必=。，忸。=石所以陰影部分面積%8=，忸⑼.忸C|=，x@x石=9.

222224

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查不等式組表示的平面區(qū)域面積的求法，考查數(shù)形結(jié)合思想和運(yùn)算能力，屬于?？碱}.

11.C

【解析】

根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)以及充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可.

【詳解】

解：若｛〃〃｝是等比數(shù)列，則與一§8=4。0,

若4>0,則§9一§8=%=>0,即$9>$8成立,

若S9>Sg成立，則S9-Ss=a9=ax(f>0,即q>0,

故“q>0”是“S9>$8”的充要條件，

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是解決本題的關(guān)鍵.

12.D

【解析】

根據(jù)以直角邊AC、A8為直徑的半圓的面積之比求得一上=一，即tana的值，由此求得sina和cosa的值，進(jìn)而求

AB2

得所求表達(dá)式的值.

【詳解】

1Ar]112

由于直角邊AC、A8為直徑的半圓的面積之比為一，所以一=-,即tana=-,所以5皿。=一點(diǎn),<：05。=-7=,

4AB22V5V5

“4cl28

所以cos-a+sin2c=g+2x--^=x-j==—.

故選：D

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，考查二倍角公式，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.(-oo,-l]

【解析】

由題意可知：f(x)為R上的單調(diào)函數(shù)，則/(x)-2019'為定值，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知f(x)為R上的增函數(shù)，則g(x)

在唱，多單調(diào)遞增，求導(dǎo)，則g'(x)..O恒成立，則上,&sin(x+5小根據(jù)函數(shù)的正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求得攵的

取值范圍.

【詳解】

若方程/'(?=0無(wú)解，

則/'(x)>0或f'M<。恒成立，所以f(x)為R上的單調(diào)函數(shù),

VxeR都有/[/(x)-2019v]=2019,

則/(x)-2019'為定值，

設(shè)f=〃x)-2019”,則/(x)=1+2019”,易知Ax)為R上的增函數(shù)，

=sinx-cosx-kx,

g'(x)=sinx+cosx-k=41sin(x+—')-k,

4

又g(X)與f(x)的單調(diào)性相同，

?..g(x)在R上單調(diào)遞增，則當(dāng)g],g'(x)..O恒成立，

7,r"=idL71,兀3n、71「

當(dāng)xel-彳，7：]時(shí)，^+―e[--,—],sin(x+—)e[--,”,

2244442

\/2sin(x+—)G[-1,V2],

4

此時(shí)鼠-1,

故答案為：(-°0,-1]

【點(diǎn)睛】

本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，正弦函數(shù)的性質(zhì)，輔助角公式，考查計(jì)算能力，屬于中檔

題.

14.-1

【解析】

由虛數(shù)單位i的性質(zhì)結(jié)合復(fù)數(shù)相等的條件列式求得。，人的值，則答案可求.

【詳解】

解：由"=j,r=—1>F=—i,z1—1

所以“+次=嚴(yán)19=(1)5(>4.『=一"

得a=0,b=—l.

a+Z?=-1>

故答案為：一1.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查虛數(shù)單位i的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

15.18

【解析】

由題意得函數(shù)f(X)與g(x)的圖像都關(guān)于點(diǎn)(1,2)對(duì)稱，結(jié)合函數(shù)的對(duì)稱性進(jìn)行求解即可.

【詳解】

2r—1]

函數(shù)y=/(x+l)—2為奇函數(shù)，函數(shù),y=/(x)關(guān)于點(diǎn)(1,2)對(duì)稱，?.?g(x)==--=2+-/.函數(shù)y=g(x)

X—LX—1

關(guān)于點(diǎn)(1,2)對(duì)稱，所以兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)也關(guān)于點(diǎn)(1,2)對(duì)稱，???“X)與g(尤)圖像的交點(diǎn)為(XQJ,

h%++

(x2,y2),...?(%6，%)，兩兩關(guān)于點(diǎn)(1，2)對(duì)稱，-X|+x2H---63^2---1■然=3x2+3x4=18.

故答案為：18

【點(diǎn)睛】

本題考查了函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用，結(jié)合函數(shù)奇偶性以及分式函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的對(duì)稱性是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔

題.

16.(-2,0)

【解析】

設(shè)g(x)=/(x)+/(—力，判斷g(x)為偶函數(shù)，考慮x>0時(shí)，g(x)的解析式和零點(diǎn)個(gè)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單

調(diào)性，作函數(shù)大致圖象，即可得到。的范圍.

【詳解】

設(shè)g(x)=/(x)+/(-x)，

則g(x)在(9,0)5。，”)是偶函數(shù)，

當(dāng)x〉0時(shí)，g(x)=21nx-6x+312-0+1,

由g(x)=0得a=2xlnx—6x2+3d+1,

=2xlnx—6x2+3/+x,

2

/Z(x)=21nx-12x+9x2+3,^(x)=—+18x-12>0,

故函數(shù)1(%)在(0,+。)增，而〃(l)=0,

所以在(0,1)減，在(1,+00)增，Ml)=-2,

當(dāng)％—時(shí)，/z(x)->-+w,當(dāng)X-0+時(shí)，0一，

因此g(x)的圖象為

因此實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-2,0).

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題，涉及構(gòu)造函數(shù)，函數(shù)的奇偶性，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，考查了數(shù)形結(jié)合

思想方法，以及化簡(jiǎn)運(yùn)算能力和推理能力，屬于難題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(I)見解析.(II)逅.

3

【解析】

⑴證明平面4。。得出8CJL平面4。。，根據(jù)面面垂直的判定定理得到結(jié)論；(II)當(dāng)A。上平面BCOE時(shí)，棱

錐體積最大，建立空間坐標(biāo)系，計(jì)算兩平面的法向量，計(jì)算法向量的夾角得出答案.

【詳解】

兀

⑴證明：-.-ZACB=-:.AC±BC

2

分別為AC,AB的中點(diǎn)DEIIBC：.DE±AC

:.DE人CD,DE1A.D,又A￡>nco=Z)

.?.Z)E_L平面\CD

.?.3。_1平面4。。，又BCu平面ABC

/.平面A。。，平面ABC

(II)：=9一ECE，SABCE為定值

，當(dāng)AO_L平面8C￡>E時(shí)，三棱錐C-ABE的體積取最大值

以。為原點(diǎn)，以DC,DE,DA,為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz

z

則8(L2,O),E(O,LO)，A(O,O，1)

.-.BE=(-1,-1,O),可=(O,T,1)

m-BE=0

設(shè)平面AfE的法向量為而=(x,y,z),貝卜

所夙=0

—x—y=0/、

即《R+z=0'令可得”(LTT)

?;DE±平面\CDn=(0,1,0)是平面A.CD的一個(gè)法向量

m-n-1_V3

cos<m,n>=

H|?|~\/3xl一3

二.平面\CD與平面ABE所成角的正弦值為一旦

X一3

【點(diǎn)睛】

本題考查了面面垂直的判定，二面角的計(jì)算，關(guān)鍵是能夠根據(jù)體積的最值確定垂直關(guān)系，從而可以建立起空間直角坐

標(biāo)系，利用空間向量法求得二面角，屬于中檔題.

18.(1)單調(diào)遞減區(qū)間為單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+8);(2)(-oo,l]

【解析】

(1)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性關(guān)系即可求出.

(2)解法一：分類討論：當(dāng)“40時(shí)，觀察式子可得/(另＞0恒成立；當(dāng)0＜。41時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)為單調(diào)遞增,

可知/(x)>/(0)=0；當(dāng)4>1時(shí)，令g(x)=/'(x)=e'+e-'—2acosx,由/'(0)=2—2a<(),/'(]]>(),根

據(jù)零點(diǎn)存在性定理可得./■'(%)=0,進(jìn)而可得在(0,%)上，/(X)單調(diào)遞減，即/(x)＜/(o)=o不滿足題意；解法

二：通過(guò)分離參數(shù)可知條件等價(jià)于2a＜上“恒成立，進(jìn)而記g(x)Je,,問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求g(x)在(0,乃)上的

sinxsinx

最小值問(wèn)題，通過(guò)二次求導(dǎo)，結(jié)合洛比達(dá)法則計(jì)算可得結(jié)論.

【詳解】

(1)當(dāng)a=0,b=l,f(x)=e'+e-x,

f'^-ex-e~x,

令/'(x)=0,解得x=0,

當(dāng)x>()時(shí)，/'(x)>0,當(dāng)x<0時(shí)，/'(x)<0,

二/(x)在(f,0)上單調(diào)遞減，在(0,+紡)上單調(diào)遞增.

(2)解法一：當(dāng)〃=一1時(shí)，函數(shù)-2〃sinx,/X(x)=ex+e~x-2acosx

若時(shí)，此時(shí)對(duì)任意x￡(。,乃)都有"—e—x>0，sinx>0

所以y(x)>o恒成立；

若0<。41時(shí)，對(duì)任意xe(0,%)都有"+"*>2，2acosx<2,

所以f'(x)=ex+e-x-2acosx>0,所以/(x)在(0,萬(wàn))上為增函數(shù)，

所以“力>/(0)=0,即0<aKl時(shí)滿足題意；

若時(shí)，令g(x)=f\x)=ex+e~'-2acosx,

則g'(x)="-二+勿sinx>0,所以/'(x)在(0,萬(wàn))上單調(diào)遞增，

r(o)=2—2a<o,r圖>0，

可知，一定存在x°e(0段)使得/'小)=0,

且當(dāng)xe(O,x。)時(shí)，/'(x)<0,所以在(0,毛)上，/(x)單調(diào)遞減，

從而有xe(O,x°)時(shí)，/(x)</(0)=0,不滿足題意；

綜上可知，實(shí)數(shù)”的取值范圍為(-8,1].

解法二:當(dāng)〃=一1時(shí)，函數(shù)/(x)=6"一""-2asinx,

又,?,當(dāng)4￡(0,1)時(shí),sinx>0,

/(%)>0對(duì)一切xG(0,7T)恒成立等價(jià)于2a<之二二恒成立，

sinx

「/、e-e廿4八.i、e(sinx-cosx)+e(sinx+cosx)

記g(x)=---------,其中OVXVTT,貝n！|g'(x)=---------------->—_--------------L,

sinxsin-x

--t

令〃(x)=e*(sinx-cosx)+e'(sinx+cosx),則〃'(x)=2(e*-e)sinx>0>

〃(x)在(0,4)上單調(diào)遞增，/?(%)>/z(0)=0,

???g'(x)>0恒成立，從而g(x)在(0,4)上單調(diào)遞增,g(x)>g(0),

由洛比達(dá)法則可知，g(O)=lim^---------=~~—=2,

3(sin4z°cosx

/.2a<2,解得aKl.

實(shí)數(shù)。的取值范圍為(-8』］.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與不等式恒成立問(wèn)題，考查了分類與整合的解題思想，涉及分離參數(shù)法等技巧、

涉及到洛比達(dá)法則等知識(shí)，注意解題方法的積累，屬于難題.

丫2275

19.(1)一+工=1(2)-(3)m=-

4333

【解析】

試題分析：(1)—+^=1；(2)由橢圓對(duì)稱性，知A［二］,所以從-1一］，此時(shí)直線"方程為3x-4.y-3=0,

43

BF1-(-1)7

故ED-13,-3.(3)設(shè)東龍0，%)，則3(一毛,-%),通過(guò)直線和橢圓方程，解得

-----1

7

3yo-3%

Q8-5九0,0(8+5%03%

15-2%'5-2xJ5+2x5+2A).所以—左滬-汨即存在

00o3+M占一乂3x033

5+2x05-2x0

試題解析：

c_1

222

(1)設(shè)橢圓方程為三+%=l(a>/?>0),由題意知：

-4-——=1

1/4b2

a=222

解之得:廠，所以橢圓方程為:J匕=1

b=643

(2)若AF=/C,由橢圓對(duì)稱性，知所以1,一

此時(shí)直線方程為3x-4y-3=0,

'3x-4y-3=0,

由x2/，得7f_6x—13=0,解得x=：(%=—1舍去)，

I43

BF1-(-1)7

故而一13一§.

------1

7

(3)設(shè)東%,％),則8(一七,一%),

直線A尸的方程為，=工片(》-1),代入橢圓方程《+片=1,得

%T43

(15—6xo)f-8y：-15x；+24%=0,

8—5x

因?yàn)閤=%是該方程的一個(gè)解，所以C點(diǎn)的橫坐標(biāo)％二三￡n,

又。(毛,生)在直線.xE'G-i)上，所以此=青;(/一1)=苫卜，

,8+5/3yo、

同理,。點(diǎn)坐標(biāo)為(E‘塞

3yo-3%

所以e=比“：一『。

8+5Ao8-5x03

5+2x05-2x0

即存在，"=3,使得公=3人.

3-3

20.(1)—+/=!；(2)存在，當(dāng)々=±姮時(shí)，以線段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)。

42

【解析】

(1)設(shè)橢圓的焦半距為c,利用離心率為且，橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為1.列出方程組求解。，推出匕，即可得到橢圓的

2

方程.

(2)存在實(shí)數(shù)我使得以線段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)。.設(shè)點(diǎn)&斗，y),B5,y2),將直線/的方程

y=代入工+產(chǎn)=1,化簡(jiǎn)，利用韋達(dá)定理，結(jié)合向量的數(shù)量積為()，轉(zhuǎn)化為：x,x2+yiy2=O.求解即可.

4

【詳解】

a=2(c

a=2

解：(1)設(shè)橢圓的焦半距為C,則由題設(shè)，得cG，解得r

———c-V3

2

所以從=/一。2=4-3=1,故所求橢圓C的方程為二+丁=1

4

(2)存在實(shí)數(shù)k使得以線段A3為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)0.理由如下:

設(shè)點(diǎn)A(x，y),將直線/的方程^=履一6代入工+V=i,

4

并整理，得(1+4公)*2-8&+8=0.(*)

8

則…=4病-2

1+4二

因?yàn)橐跃€段A8為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)0,所以闞.麗=0,即%/+乂％=0?

8止一3

又X%=公玉馬-6%(玉+々)+3,于是=0,

1+4/1+4公

解得&=±?

2

經(jīng)檢驗(yàn)知：此時(shí)(*)式的△>(),符合題意.

所以當(dāng)Z=±?時(shí)，以線段為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O