第一節(jié)微分方程基本概念

第七章常微分方程本章學(xué)習(xí)要求：了解微分方程、解、通解、初始條件和特解的概念.了解下列幾種一階微分方程：變量可分離的方程、齊次方程、一階線(xiàn)性方程、伯努利（Bernoulli）方程和全微分方程.熟練掌握分離變量法和一階線(xiàn)性方程的解法.會(huì)利用變量代換的方法求解齊次方程和伯努利方程.知道下列高階方程的降階法：了解高階線(xiàn)性微分方程階的結(jié)構(gòu)，并知道高階常系數(shù)齊線(xiàn)性微分方程的解法.熟練掌握二階常系數(shù)齊線(xiàn)性微分方程的解法.掌握自由項(xiàng)（右端）為多項(xiàng)式、指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)以及它們的和或乘積的二階常系數(shù)非齊線(xiàn)性微分方程的解法.

微分方程是精確表示自然科學(xué)中各種基本定律和各種問(wèn)題的基本工具之一。

現(xiàn)代建立起來(lái)的自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)中的數(shù)學(xué)模型大多都是微分方程。例列車(chē)在平直線(xiàn)路上以20m/s（相當(dāng)于72km/h）的速度行駛，當(dāng)制動(dòng)時(shí)，列車(chē)獲得加速度-0.4m/s2.問(wèn)開(kāi)始制動(dòng)后多少時(shí)間列車(chē)才能停住以及列車(chē)在這段時(shí)間里行駛了多少路程？分析：設(shè)列車(chē)在開(kāi)始制動(dòng)后t

秒時(shí)行駛了s

米，根據(jù)題意，反映制動(dòng)階段列車(chē)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的函數(shù)s=s(t)應(yīng)滿(mǎn)足關(guān)系式：（含有未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式）此外未知函數(shù)s(t)還應(yīng)滿(mǎn)足下列條件：時(shí)，（初始條件）在許多物理、力學(xué)、生物等現(xiàn)象中，不能直接找到聯(lián)系所研究的那些量的規(guī)律，但卻容易建立起這些量與它們的導(dǎo)數(shù)或微分間的關(guān)系。

含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）的關(guān)系式。第一節(jié)微分方程的基本概念常微分方程方程的階數(shù)線(xiàn)性方程、非線(xiàn)性方程方程的解、通解、特解、所有解初始條件（定解條件）積分曲線(xiàn)（解的幾何意義）初值問(wèn)題、初值問(wèn)題的解齊次方程、非齊次方程常微分方程含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）的方程，稱(chēng)為微分方程。未知函數(shù)可以不出現(xiàn)，但其導(dǎo)數(shù)一定要出現(xiàn)。未知函數(shù)為一元函數(shù)的微分方程，稱(chēng)為常微分方程。未知函數(shù)為多元函數(shù)的微分方程，稱(chēng)為偏微分方程。例1常微分方程偏微分方程常微分方程的階數(shù)微分方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）的最高階數(shù)，稱(chēng)為微分方程的階。一階二階一階線(xiàn)性方程、非線(xiàn)性方程若一個(gè)方程對(duì)未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的全體而言是一次的，且系數(shù)只與自變量有關(guān)（與未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)無(wú)關(guān)），則稱(chēng)該方程為線(xiàn)性方程，否則，稱(chēng)之為非線(xiàn)性方程。一階二階一階線(xiàn)性線(xiàn)性非線(xiàn)性齊方程、非齊次方程在方程中，不含未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的項(xiàng)，稱(chēng)為自由項(xiàng)。自由項(xiàng)為零的方程，稱(chēng)為齊方程。自由項(xiàng)不為零的方程，稱(chēng)為非齊方程。一階齊線(xiàn)性方程二階非齊線(xiàn)性方程一階非齊非線(xiàn)性方程微分方程的一般表示形式方程的解、通解、特解、所有解能使微分方程成為恒等式的函數(shù)，稱(chēng)為方程的解。如果n階微分方程的解中含有n個(gè)相互獨(dú)立的任意常數(shù)，則稱(chēng)此解為n階微分方程的通解。一般說(shuō)來(lái)，不含有任意常數(shù)的解，稱(chēng)為方程的特解。通常由一定的條件出發(fā)，確定方程通解中的任意常數(shù)來(lái)得到特解。但有些特解不能由通解求出，必須利用其它方法直接由方程解出。所有解＝通解＋不能包含在通解內(nèi)的所有特解。例2解代入方程，得微分方程的解不一定都能用初等函數(shù)表示出來(lái)。此時(shí)可求數(shù)值解初始條件（定解條件）由自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)以及數(shù)學(xué)本身建立微分方程時(shí)，往往同時(shí)知道微分方程的解應(yīng)滿(mǎn)足某些已知的條件。這些已知條件就稱(chēng)為微分方程的初始條件或定解條件。常微分方程初始條件稱(chēng)為初值問(wèn)題（柯西問(wèn)題）微分方程的初值問(wèn)題(一階方程的初值問(wèn)題）(二階方程的初值問(wèn)題）微分方程的邊值問(wèn)題例3解微分方程初始條件通解特解例3解微分方程初始條件通解特解有何想法？積分曲線(xiàn)（解的幾何意義）常微分方程解的幾何圖形稱(chēng)為它的積分曲線(xiàn)。通解的圖形是一族積分曲線(xiàn)。特解是這族積分曲線(xiàn)中過(guò)某已知點(diǎn)的那條曲線(xiàn)。o在求微分方程數(shù)值解時(shí)，往往需要研究解的存在性、唯一性和穩(wěn)定性。求所滿(mǎn)足的微分方程.已知曲線(xiàn)上點(diǎn)

P(x,y)處的法線(xiàn)與x

軸交點(diǎn)為

Q解:如圖所示,令Y=0,得

Q

點(diǎn)的橫坐標(biāo)即點(diǎn)P(x,y)處的法線(xiàn)方程為且線(xiàn)