復(fù)變函數(shù)第2講

§3

復(fù)數(shù)的乘冪與方根運(yùn)算1．乘積與商：設(shè)有兩個(gè)復(fù)數(shù)則結(jié)論：兩個(gè)復(fù)數(shù)乘積的模等于各自模的乘積，乘積的幅角等于各自幅角之和；兩個(gè)復(fù)數(shù)商的模等于各自模的商，商的幅角等于被除數(shù)與除數(shù)的幅角之差。Arg(z1z2)=Argz1+Argz2，Arg(z1/z2)=Argz1-Argz2，若記則有集合等式xyO判斷下列說(shuō)法是否正確？乘法的幾何解釋(T)(F)2.冪與根定義z的n次冪：定義z的負(fù)整數(shù)次冪則有—棣美弗公式：定義z的n次根：若有wn=z,則稱(chēng)w為z的n次根，記為如何求出z的n次根？比較，得由此得到方根公式令則注：1．任一非零復(fù)數(shù)開(kāi)n次方，有且僅有n個(gè)不同的根；

2．它們均勻分布在以原點(diǎn)為中心，r1/n為半徑的圓周上。

例題：2.1.§4復(fù)平面上的點(diǎn)集本節(jié)內(nèi)容：介紹復(fù)平面上的幾個(gè)常見(jiàn)概念與術(shù)語(yǔ)1.鄰域：平面上以z0為中心，半徑為δ的圓內(nèi)所有點(diǎn)的集合稱(chēng)為z0的一個(gè)鄰域,記為2.內(nèi)點(diǎn)：設(shè)G為一平面點(diǎn)集，z0為G中一點(diǎn)，若存在z0的某個(gè)鄰域，該鄰域內(nèi)的所有點(diǎn)都屬于G，則稱(chēng)z0為G的一個(gè)內(nèi)點(diǎn)。去心鄰域：由不等式0<|z-z0|<δ所確定的點(diǎn)集。注：離散的點(diǎn)集沒(méi)有內(nèi)點(diǎn)

4.

連通集:如果點(diǎn)集D中任何兩點(diǎn)都可以用完全屬于D的一條折線(xiàn)連接起來(lái)。

3.

開(kāi)集：如果G內(nèi)的每個(gè)點(diǎn)都是它的內(nèi)點(diǎn)，那么稱(chēng)G為開(kāi)集。5.區(qū)域:

連通的開(kāi)集稱(chēng)為區(qū)域。6.邊界點(diǎn)與邊界：設(shè)D為復(fù)平面內(nèi)的一個(gè)區(qū)域，如果點(diǎn)p

不屬于D，但p的任意小的鄰域內(nèi)總包含有D中的點(diǎn)，這樣的點(diǎn)p稱(chēng)為D的邊界點(diǎn)。

D的所有邊界點(diǎn)組成D的邊界。區(qū)域的邊界可能是有幾條曲線(xiàn)和一些孤立的點(diǎn)組成。7.閉區(qū)域:區(qū)域D與它的邊界一起構(gòu)成閉區(qū)域或閉域，記作。8.有界域：如果區(qū)域D可以包含在一個(gè)以原點(diǎn)為中心的圓里面，則稱(chēng)D為有界的。否則稱(chēng)為無(wú)界的。有界性的數(shù)學(xué)描述:若存在正數(shù)M,使區(qū)域D的每個(gè)點(diǎn)z都滿(mǎn)足|z|<M,則稱(chēng)D為有界的。9.連續(xù)曲線(xiàn):如果實(shí)函數(shù)x=x(t).y=y(t),(a≤t≤b)連續(xù)，則稱(chēng)曲線(xiàn)c:z(t)=x(t)+iy(t)為復(fù)平面上的一條連續(xù)曲線(xiàn)。

z(a)與z(b)分別稱(chēng)為c的起點(diǎn)和終點(diǎn)。在平面直角坐標(biāo)系中表示一條曲線(xiàn)，自然地，復(fù)數(shù)方程就表示復(fù)平面上的一條曲線(xiàn)。我們知道，實(shí)變量參數(shù)方程11.簡(jiǎn)單曲線(xiàn)與簡(jiǎn)單閉曲線(xiàn)：連續(xù)但自身不相交的曲線(xiàn)稱(chēng)為簡(jiǎn)單曲線(xiàn)或若當(dāng)（Jardan)曲線(xiàn)。如果簡(jiǎn)單曲線(xiàn)的起點(diǎn)與終點(diǎn)重合，即z(a)＝z(b)，則稱(chēng)此曲線(xiàn)為簡(jiǎn)單閉曲線(xiàn)。12.

簡(jiǎn)單閉曲線(xiàn)的內(nèi)部與外部：復(fù)平面中的任一條簡(jiǎn)單閉曲線(xiàn)c把整個(gè)平面唯一地分成三個(gè)部分，一個(gè)是有界區(qū)域，稱(chēng)為c的內(nèi)部，另一個(gè)是無(wú)界區(qū)域，稱(chēng)為c的外部，

c為它們的公共邊界。10.光滑曲線(xiàn)：若x(t)和y(t)的導(dǎo)數(shù)也是連續(xù)的，且滿(mǎn)足，稱(chēng)此曲線(xiàn)為是光滑的。13.單連通、多連通區(qū)域：復(fù)平面上的一個(gè)區(qū)域D,如果在其中任作一條簡(jiǎn)單閉曲線(xiàn),而曲線(xiàn)的內(nèi)部仍屬于D，則稱(chēng)D

為單連通域，不是單連通域的都叫多連通域。注：1.多連通區(qū)域的一個(gè)顯著特點(diǎn)：內(nèi)部含有洞或裂縫。

2.任一簡(jiǎn)單閉曲線(xiàn)將復(fù)平面分為內(nèi)、外兩部分，內(nèi)部