等腰三角形大題專練八年級數(shù)學(xué)上冊尖子生培優(yōu)題典2

2021-2022學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊尖子生同步培優(yōu)題典【人教版】專題等腰三角形大題專練〔重難點(diǎn)培優(yōu)〕姓名：__________________班級：______________得分：_________________考前須知：本試卷總分值試題共24題．解答24道..答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、解答題〔本大題共24題．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟〕1．〔2021春?興化市月考〕如圖，等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＜90°，CD是△ABC的高，BE是△ABC的角平分線，CD與BE交于點(diǎn)P．〔1〕當(dāng)∠A＝44°時(shí)，求∠BPD的度數(shù)；〔2〕設(shè)∠A＝x°，∠EPC＝y(tǒng)°，請用含x的代數(shù)式表示y，并說明理由．【分析】〔1〕根據(jù)等邊對等角求出等腰△ABC的底角度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義得到∠ABE的度數(shù)，再根據(jù)高的定義得到∠BDC＝90°，從而可得∠BPD；〔2〕按照〔1〕中計(jì)算過程，即可得到∠A與∠EPC的關(guān)系，即可得到結(jié)果．【詳解】解：〔1〕∵AB＝AC，∠A＝44°，∴∠ABC＝∠ACB＝〔180﹣44〕°÷2＝68°，∵CD⊥AB，∴∠BDC＝90°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE＝34°，∴∠BPD＝90°﹣34°＝56°；〔2〕∵∠A＝x°，∴∠ABC＝〔180﹣x〕°÷2＝〔90-x由〔1〕可得：∠ABP=12∠ABC＝〔45-x4〕°，∠∴∠EPC＝y(tǒng)°＝∠BPD＝90°﹣〔45-x4〕°＝〔45即y與x的關(guān)系式為y＝45+x2．〔2021春?崇川區(qū)校級月考〕等腰三角形的周長為30cm，其底邊長為x，腰長為y．〔1〕請寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式，并求其中自變量x的取值范圍；〔2〕當(dāng)這個(gè)三角形中有一個(gè)角為60°時(shí)，求x的值．【分析】〔1〕根據(jù)等腰三角形的周長公式求出y與x的函數(shù)關(guān)系式，由三角形三邊的關(guān)系可得取值范圍；〔2〕假設(shè)有一個(gè)角是60°那么三角形是等邊三角形，進(jìn)而可得x的值．【詳解】解：〔1〕∵等腰三角形的周長為30cm，腰長為ycm，底邊長為xcm，∴2y+x＝30，∴y＝15-12x〔0＜x＜〔2〕假設(shè)有一個(gè)角是60°那么三角形是等邊三角形，所以x＝30×13=10答：x的值是10cm．3．〔2021秋?邗江區(qū)期末〕如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線EF交BC于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)F，D為線段CE的中點(diǎn)，BE＝AC．〔1〕求證：AD⊥BC．〔2〕假設(shè)∠BAC＝75°，求∠B的度數(shù)．【分析】〔1〕連接AE，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，可知BE＝AE＝AC，根據(jù)等腰三角形三線合一即可知AD⊥BC〔2〕設(shè)∠B＝x°，由〔1〕可知∠BAE＝∠B＝x°，然后根據(jù)三角形ABC的內(nèi)角和為180°列出方程即可求出x的值．【詳解】解：〔1〕連接AE，∵EF垂直平分AB∴AE＝BE∵BE＝AC∴AE＝AC∵D是EC的中點(diǎn)∴AD⊥BC〔2〕設(shè)∠B＝x°∵AE＝BE∴∠BAE＝∠B＝x°∴由三角形的外角的性質(zhì)，∠AEC＝2x°∵AE＝AC∴∠C＝∠AEC＝2x°在三角形ABC中，3x°+75°＝180°x°＝35°∴∠B＝35°4．〔2021秋?常熟市期中〕如圖，△ABC中，∠ABC＝∠ACB，點(diǎn)D、E分別是AC、AB上兩點(diǎn)，且AD＝AE．CE、BD交于點(diǎn)O．〔1〕求證：OB＝OC；〔2〕連接ED，假設(shè)ED＝EB，試說明BD平分∠ABC．【分析】〔1〕AB＝AC，可得∠ABC＝∠ACB，欲求OB＝OC，需先求出∠OBC＝∠OCB，就必須得到∠ABE＝∠ACD，因此結(jié)合條件證△ABD≌△ACE即可．〔2〕先證明∠AED＝∠ABC，得到ED∥BC，那么∠EDB＝∠DBC，再根據(jù)等邊對等角得出∠EDB＝∠EBD，等量代換即可得出∠EBD＝∠DBC．【詳解】證明：〔1〕∵∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC．在△ABD和△ACE中，AB=∴△ABD≌△ACE〔SAS〕，∴∠ABD＝∠ACE，∴∠ABC﹣∠ABD＝∠ACB﹣∠ACE，即∠DBC＝∠ECB，∴OB＝OC；〔2〕如圖，連接ED，∵AD＝AE，∴∠AED＝∠ADE，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，又∵∠A+∠AED+∠ADE＝∠A+∠ABC+∠ACB，∴∠AED＝∠ABC，∴ED∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，∵ED＝EB，∴∠EDB＝∠EBD，∴∠EBD＝∠DBC，∴BD平分∠ABC．5．〔2021春?東坡區(qū)期末〕如圖1，點(diǎn)A、B分別在射線OM、ON上運(yùn)動(dòng)〔不與點(diǎn)O重合〕，AC、BC分別是∠BAO和∠ABO的角平分線，BC延長線交OM于點(diǎn)G．〔1〕假設(shè)∠MON＝60°，那么∠ACG＝60°；〔直接寫出答案〕〔2〕假設(shè)∠MON＝n°，求出∠ACG的度數(shù)；〔用含n的代數(shù)式表示〕〔3〕如圖2，假設(shè)∠MON＝x°，過點(diǎn)C作CF∥OA交AB于點(diǎn)F，求∠BGO﹣∠ACF的度數(shù)．〔用含x的代數(shù)式表示〕【分析】〔1〕根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BAO+∠ABO，根據(jù)角平分線的定義、三角形的外角性質(zhì)計(jì)算，得到答案；〔2〕仿照〔1〕的解法解答；〔3〕根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠ACF＝∠CAG，根據(jù)〔2〕的結(jié)論解答．【詳解】解：〔1〕∵∠MON＝60°，∴∠BAO+∠ABO＝120°，∵AC、BC分別是∠BAO和∠ABO的角平分線，∴∠CBA=12∠ABO，∠CAB=1∴∠CBA+∠CAB=12〔∠ABO+∠BAO〕＝∴∠ACG＝∠CBA+∠CAB＝60°，故答案為：60°；〔2〕∵∠MON＝n°，∴∠BAO+∠ABO＝180°﹣n°，∵AC、BC分別是∠BAO和∠ABO的角平分線，∴∠CBA=12∠ABO，∠CAB=1∴∠CBA+∠CAB=12〔∠ABO+∠BAO〕＝90°-∴∠ACG＝∠CBA+∠CAB＝90°-12〔3〕∵CF∥OA，∴∠ACF＝∠CAG，∴∠BGO﹣∠ACF＝∠BGO﹣∠CAG＝∠ACG＝90°-126．〔2021春?舞鋼市期末〕如圖，點(diǎn)D，E分別是△ABC的邊BA和BC延長線上的點(diǎn)，作∠DAC的平分線AF，假設(shè)AF∥BC．〔1〕求證：△ABC是等腰三角形；〔2〕作∠ACE的平分線交AF于點(diǎn)G，假設(shè)∠B＝40°，求∠AGC的度數(shù)．【分析】〔1〕根據(jù)角平分線定義得到∠DAF＝∠CAF，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠DAF＝∠B，∠CAF＝∠ACB，于是得到結(jié)論；〔2〕根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠BAC＝100°，由三角形的外角的性質(zhì)得到∠ACE＝∠BAC+∠B＝140°，根據(jù)角平分線定義得到∠ACG=12【詳解】〔1〕證明：∵AF平分∠DAC，∴∠DAF＝∠CAF，∵AF∥BC，∴∠DAF＝∠B，∠CAF＝∠ACB，∴∠B＝∠ACB，∴△ABC是等腰三角形；〔2〕解：∵AB＝AC，∠B＝40°，∴∠ACB＝∠B＝40°，∴∠BAC＝100°，∴∠ACE＝∠BAC+∠B＝140°，∵CG平分∠ACE，∴∠ACG=12∵AF∥BC，∴∠AGC＝180°﹣∠BCG＝180°﹣40°﹣70°＝70°．7．〔2021秋?下城區(qū)期末〕如圖，在△ABC中，AB＝AC．過點(diǎn)A作BC的平行線交∠ABC的角平分線于點(diǎn)D，連接CD．〔1〕求證：△ACD為等腰三角形．〔2〕假設(shè)∠BAD＝140°，求∠BDC的度數(shù)．【分析】〔1〕利用平行線的性質(zhì)得出∠1＝∠3，進(jìn)而利用等腰三角形的性質(zhì)得出AC＝AD即可；〔2〕由〔1〕知∠1＝∠2＝∠3，根據(jù)條件得到∠1＝∠2＝∠3=12〔180°﹣∠BAD〕＝20°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠ACB＝∠ABC＝40°，根據(jù)平行線的選擇得到∠ADC+∠ACD＝【詳解】〔1〕證明：∵BD平分∠ABC，∴∠1＝∠2．∵AD∥BC，∴∠2＝∠3．∴∠1＝∠3．∴AB＝AD．∵AB＝AC，∴AC＝AD，∴△ACD為等腰三角形；〔2〕解：由〔1〕知，∠1＝∠2＝∠3，∵∠BAD＝140°，∠BAD+∠1+∠3＝180°，∴∠1＝∠2＝∠3=12〔180°﹣∠BAD〕＝∠ABC＝40°，∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC＝40°，由〔1〕知，AD＝AC，∴∠ACD＝∠ADC＝∠BDC+∠3＝∠BDC+20°，∵AD∥BC，∴∠ADC+∠ACD＝180°，∴40°+〔∠BDC+20°〕+〔∠BDC+20°〕＝180°，∴∠BDC＝50°．8．〔2021?富陽區(qū)二?！橙鐖D，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，CE⊥AD，分別交AB，AD于點(diǎn)E，F(xiàn)．〔1〕求證：EF＝CF；〔2〕假設(shè)∠ACB＝60°，∠BCE＝20°，求∠ABC的度數(shù)．【分析】〔1〕先根據(jù)全等三角形的判定證得△AEF≌△ACF，由全等三角形的性質(zhì)即可得到EF＝CF；〔2〕由全等三角形的性質(zhì)可得AE＝AC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠AEC，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可求出∠ABC．【詳解】〔1〕證明：∵AD平分∠BAC，CE⊥AD，∴∠EAF＝∠CAF，∠AFE＝∠AFC＝90°，在△AEF和△ACF中，∠EAF∴△AEF≌△ACF〔ASA〕，∴EF＝CF；〔2〕解：∵ACB＝60°，∠BCE＝20°，∴∠ACE＝∠ACB﹣∠BCE＝40°，∵△AEF≌△ACF，∴AE＝AC，∴∠AEC＝∠ACE＝40°，∵∠AEC＝∠ABC+∠BCE，∴∠ABC＝∠AEC﹣∠BCE＝40°﹣20°＝20°．9．〔2021?江干區(qū)二?！常喝鐖D，在△ABC中，AB＞AC，∠B＝45°，點(diǎn)D是BC邊上一點(diǎn)，且AD＝AC，過點(diǎn)C作CF⊥AD于點(diǎn)E，與AB交于點(diǎn)F．〔1〕假設(shè)∠CAD＝α，求：①∠BCA的大??；②∠BCF的大?。弧灿煤恋氖阶颖硎尽场?〕求證：AC＝FC．【分析】〔1〕①關(guān)鍵等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；②過點(diǎn)A作AG⊥BC于點(diǎn)G，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠CAG＝∠DAG=12∠CAD=12α，求出∠DCE＝∠DAG=1〔2〕由直角三角形的性質(zhì)得出∠BAG＝45°，證出∠BAC＝∠AFC，即可得出結(jié)論【詳解】〔1〕解：①∵AD＝AC，∠CAD＝α，∴∠BCA=12〔180°﹣α〕＝90°②過點(diǎn)A作AG⊥BC于點(diǎn)G，如下圖：∴∠DAG+∠ADG＝90°，∴∠CAG＝∠DAG=12∠CAD=∵CF⊥AD于點(diǎn)E，∴∠DCE+∠ADG＝90°，∴∠DCE＝∠DAG=12∠CAD=即∠BCF=12〔2〕證明：∵∠B＝45°，AG⊥BC，∴∠BAG＝45°，∵∠BAC＝45°+∠CAG，∠AFC＝45°+∠DCE，∠DCE＝∠DAG，∠CAG＝∠DAG，∴∠BAC＝∠AFC，∴AC＝FC．10．〔2021秋?下城區(qū)期末〕在△ABC中，點(diǎn)E，點(diǎn)F分別是邊AC，AB上的點(diǎn)，且AE＝AF，連接BE，CF交于點(diǎn)D，∠ABE＝∠ACF．〔1〕求證：△BCD是等腰三角形．〔2〕假設(shè)∠A＝40°，BC＝BD，求∠BEC的度數(shù)．【分析】〔1〕根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AB＝AC，∠ABE＝∠ACF，根據(jù)角的和差得到∠DBC＝∠DCB，于是得到結(jié)論；〔2〕根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠ABC=12〔180°﹣40°〕＝70°，推出△DBC是等邊三角形，求得∠DBC＝【詳解】〔1〕證明：∵AE＝AF，∠A＝∠A，∠ABE＝∠ACF，∴△ABE≌△ACF〔AAS〕，∴AB＝AC，∠ABE＝∠ACF，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ABC﹣∠ABE＝∠ACB﹣∠ACF，即∠DBC＝∠DCB，∴△BCD是等腰三角形；〔2〕解：∵AB＝AC，∠A＝40°，∴∠ABC=12〔180°﹣40°〕＝∵BD＝BC，∴∠BDC＝∠BCD，∵∠DBC＝∠DCB，∴△DBC是等邊三角形，∴∠DBC＝60°，∴∠ABE＝10°，∴∠BEC＝∠A+∠ABE＝50°．11．〔2021春?未央?yún)^(qū)校級月考〕如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC的平分線BE交AC于點(diǎn)D，AF⊥AB交BE于點(diǎn)F．〔1〕如圖1，假設(shè)∠BAC＝40°，求∠AFE的度數(shù)．〔2〕如圖2，假設(shè)BD⊥AC，垂足為D，BF＝8，求DF的長．【分析】〔1〕由角平分線求出∠ABF的度數(shù)，再利用外角的性質(zhì)即可；〔2〕證出△ABD≌△CBD，得出△ABC是等邊三角形即可解決問題．【詳解】解：〔1〕∵AB＝AC，∠BAC＝40°，∴∠ABC＝70°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABF＝35°，∵AF⊥AB，∴∠BAF＝90°，∴∠AFE＝125°．〔2〕∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵BD⊥AC，∴∠ADB＝CDB＝90°，∴△ABD≌△CBD〔ASA〕，∴AB＝BC，∵AB＝AC，∴三角形ABC是等邊三角形，∴∠ABF＝30°，∴AF＝4，在Rt△ADF中，DF＝2．12．〔2021春?南海區(qū)校級月考〕如圖，在△ABC中，∠B＝2∠C，且AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E是BC上一點(diǎn)，AE＝AB．求證：〔1〕BD＝ED；〔2〕CD＝AB+BD．【分析】〔1〕通過等腰三角形三線合一證明．〔2〕由三角形外角等于不相鄰兩內(nèi)角和及∠B＝2∠C得到AE＝CE＝AB再通過等量代換證明CD＝AB+BD．【詳解】證明：〔1〕∵AB＝AE，∴∠B＝∠AEB，∵AD⊥BC，∴DE＝BD．〔2〕在△ACE中，∠AEB＝∠C+∠CAE＝∠B，又∵∠B＝2∠C，∴2∠C＝∠C+∠CAE，∴∠C＝∠CAE，∴CE＝AE＝AB，∴CD＝CE+DE＝AB+BD．13．〔2021秋?淅川縣期末〕如圖，點(diǎn)O是△ABC邊AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過O點(diǎn)作MN∥BC．設(shè)MN交∠ACB的平分線于點(diǎn)E，交∠ACB的外角∠ACD的平分線于點(diǎn)F．〔1〕求證：OE＝OF；〔2〕假設(shè)CE＝16，CF＝12，求OC的長．【分析】〔1〕根據(jù)平行線的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)得出∠1＝∠2，∠3＝∠4，進(jìn)而得出答案；〔2〕根據(jù)得出∠2+∠4＝∠5+∠6＝90°，進(jìn)而利用勾股定理求出EF的長，即可得出CO的長．【詳解】證明：〔1〕如圖，∵M(jìn)N交∠ACB的平分線于點(diǎn)E，交∠ACB的外角平分線于點(diǎn)F，∴∠2＝∠5，∠4＝∠6，∵M(jìn)N∥BC，∴∠1＝∠5，∠3＝∠6，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴EO＝CO，F(xiàn)O＝CO，∴OE＝OF；〔2〕解：∵∠2＝∠5，∠4＝∠6，∴∠2+∠4＝∠5+∠6＝90°，∵CE＝16，CF＝12，∴EF=EC2∴OC=12EF＝14．〔2021秋?路北區(qū)期末〕如圖，在△ABC中，AB＝AC，M，N分別是AB，AC邊上的點(diǎn)，并且MN∥BC．〔1〕△AMN是否是等腰三角形？說明理由；〔2〕點(diǎn)P是MN上的一點(diǎn)，并且BP平分∠ABC，CP平分∠ACB．①求證：△BPM是等腰三角形；②假設(shè)△ABC的周長為a，BC＝b〔a＞2b〕，求△AMN的周長〔用含a，b的式子表示〕．【分析】〔1〕由等腰三角形的性質(zhì)得到∠ABC＝∠ACB，由平行線的性質(zhì)得到∠AMN＝∠ABC，∠ANM＝∠ACB，于是得到∠AMN＝∠ANM，根據(jù)等角對等邊即可證得結(jié)論；〔2〕①由角平分線的定義得到∠PBM＝∠PBC，由平行線的性質(zhì)得到∠MPB＝∠PBC，于是得到∠PBM＝∠MPB，根據(jù)等角對等邊即可證得結(jié)論；②由①知MB＝MP，同理可得：NC＝NP，故△AMN的周長＝AB+AC，再根據(jù)條件即可求出結(jié)果．【詳解】〔1〕解：△AMN是是等腰三角形，理由如下：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵M(jìn)N∥BC，∴∠AMN＝∠ABC，∠ANM＝∠ACB，∴∠AMN＝∠ANM，∴AM＝AN，∴△AMN是等腰三角形；〔2〕①證明：∵BP平分∠ABC，∴∠PBM＝∠PBC，∵M(jìn)N∥BC，∴∠MPB＝∠PBC∴∠PBM＝∠MPB，∴MB＝MP，∴△BPM是等腰三角形；②由①知MB＝MP，同理可得：NC＝NP，∴△AMN的周長＝AM+MP+NP+AN＝AM+MB+NC+AN＝AB+AC，∵△ABC的周長為a，BC＝b，∴AB+AC+b＝a，∴AB+AC＝a﹣b∴△AMN的周長＝a﹣b．15．〔2021秋?北海期末〕如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D、E、F分別在AB、BC、AC上，且BD＝CE，BE＝CF．〔1〕求證：△DEF是等腰三角形；〔2〕猜測：當(dāng)∠A滿足什么條件時(shí)，△DEF是等邊三角形？并說明理由．【分析】〔1〕首先根據(jù)條件證明△DBE≌△ECF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得DE＝FE，進(jìn)而可得到△DEF是等腰三角形；〔2〕∠A＝60°時(shí)，△DEF是等邊三角形，首先根據(jù)△DBE≌△ECF，再證明∠DEF＝60°，可以證出結(jié)論．【詳解】〔1〕證明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△DBE和△ECF中，BD=∴△DBE≌△ECF，∴DE＝FE，∴△DEF是等腰三角形；〔2〕當(dāng)∠A＝60°時(shí)，△DEF是等邊三角形，理由：∵△BDE≌△CEF，∴∠FEC＝∠BDE，∴∠DEF＝180°﹣∠BED﹣∠EFC＝180°﹣∠DEB﹣∠EDB＝∠B要△DEF是等邊三角形，只要∠DEF＝60°．所以，當(dāng)∠A＝60°時(shí)，∠B＝∠DEF＝60°，那么△DEF是等邊三角形．16．〔2021春?淄川區(qū)期末〕如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，E是BC上一點(diǎn)，BE＝CD，EF∥AD交AB于點(diǎn)F，交CA的延長線于點(diǎn)P，CH∥AB交AD的延長線于點(diǎn)H．〔1〕求證：△APF是等腰三角形；〔2〕求證：AB＝PC．【分析】〔1〕根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠1＝∠4，同位角相等可得∠2＝∠P，再根據(jù)角平分線的定義可得∠1＝∠2，然后求出∠4＝∠P，根據(jù)等角對等邊的性質(zhì)即可得證；〔2〕根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠5＝∠B，再求出∠H＝∠1＝∠3，然后利用“AAS〞證明△BEF和△CDH全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得BF＝CH，再根據(jù)∠1＝∠2＝∠H，得出AC＝CH，再根據(jù)AB＝AF+BF，PC＝AP+AC，整理即可得解．【詳解】證明：如圖：〔1〕∵EF∥AD，∴∠1＝∠4，∠2＝∠P，∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2，∴∠4＝∠P，∴AF＝AP，即△APF是等腰三角形；〔2〕∵CH∥AB，∴∠5＝∠B，∠H＝∠1，∵EF∥AD，∴∠1＝∠3，∴∠H＝∠3，在△BEF和△CDH中，∠B∴△BEF≌△CDH〔AAS〕，∴BF＝CH，∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2，∴∠2＝∠H，∴AC＝CH，∴AC＝BF，∵AB＝AF+BF，PC＝AP+AC，AF＝AP，∴AB＝PC．17．〔2021秋?開福區(qū)校級期中〕：如圖，在△ABC中，AB＞AC，∠B＝45°，點(diǎn)D是BC邊上一點(diǎn)，且AD＝AC，過點(diǎn)C作CF⊥AD于點(diǎn)E，與AB交于點(diǎn)F．〔1〕假設(shè)∠CAD＝α，求∠ACD的度數(shù)．〔2〕在〔1〕的條件下，求∠BCF的大?。弧灿煤恋氖阶颖硎尽场?〕判斷△ACF的形狀，并說明理由．【分析】〔1〕由等腰三角形的性質(zhì)得出∠ACD＝∠ADC，由三角形的內(nèi)角和定理可求出答案；〔2〕過點(diǎn)A作AG⊥BC于點(diǎn)G，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠CAG＝∠DAG=12∠CAD=12α，求出∠DCE＝∠DAG=1〔3〕由直角三角形的性質(zhì)得出∠BAG＝45°，證出∠BAC＝∠AFC，即可得出結(jié)論．【詳解】解：〔1〕∵AD＝AC，∴∠ACD＝∠ADC，∵∠CAD＝α，∴∠ACD=12〔180°﹣∠CAD〕＝90〔2〕過點(diǎn)A作AG⊥BC于點(diǎn)G，如下圖：∴∠DAG+∠ADG＝90°，∵AD＝AC，∴∠CAG＝∠DAG=12∠CAD=∵CF⊥AD于點(diǎn)E，∴∠DCE+∠ADG＝90°，∴∠DCE＝∠DAG=12∠CAD=即∠BCF=12〔3〕△ACF是等腰三角形．理由：∵∠B＝45°，AG⊥BC，∴∠BAG＝45°，∵∠BAC＝45°+∠CAG，∠AFC＝45°+∠DCE，∠DCE＝∠DAG，∠CAG＝∠DAG，∴∠BAC＝∠AFC，∴AC＝FC，∴△ACF是等腰三角形．18．〔2021?恩施州模擬〕如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是BC邊上的中點(diǎn)，連接AD，BE平分∠ABC交AC于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF∥BC交AB于點(diǎn)F．〔1〕假設(shè)∠C＝36°，求∠BAD的度數(shù)．〔2〕求證：FB＝FE．【分析】〔1〕利用等腰三角形的三線合一的性質(zhì)證明∠ADB＝90°，再利用等腰三角形的性質(zhì)求出∠ABC即可解決問題．〔2〕只要證明∠FBE＝∠FEB即可解決問題．【詳解】解：〔1〕∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC，∵∠C＝36°，∴∠ABC＝36°，∵D為BC的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，∴∠BAD＝90°﹣∠ABC＝90°﹣36°＝54°．〔2〕∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC，又∵EF∥BC，∴∠EBC＝∠BEF，∴∠EBF＝∠FEB，∴BF＝EF．19．〔2021秋?增城區(qū)期中〕如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝90°，DE∥AB交BC于E，交AC于F，∠CDE＝∠ACB＝30°．〔1〕求證：△FCD是等腰三角形；〔2〕假設(shè)BC＝DE，求∠CAD的度數(shù)．【分析】〔1〕由平行可求得∠EFC，由三角形的外角可求得∠FCD，那么可證明FD＝FC，可證得結(jié)論；〔2〕根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】〔1〕證明：∵∠B＝90°，∠ACB＝30°，∴∠BAC＝60°∵AB∥DE，∴∠EFC＝∠BAC＝60°，∵∠CDE＝30°，∴∠FCD＝∠EFC﹣∠CDE＝60°﹣30°＝30°，∴∠FCD＝∠FDC，∴FD＝FC，即△FCD為等腰三角形；〔2〕解：∵DE∥AB，∴∠DEC＝∠B，在△DCE和△CAB中，∠CDE∴△DCE≌△CAB，〔ASA〕，∴CA＝CD，∴∠CAD＝∠ADC=180°-30°220．〔2021秋?鎮(zhèn)原縣期末〕如圖，點(diǎn)A、C分別在∠GBE的邊BG、BE上，且AB＝AC，AD∥BE，∠GBE的平分線與AD交于點(diǎn)D，連接CD．〔1〕求證：①AB＝AD；②CD平分∠ACE．〔2〕猜測∠BDC與∠BAC之間有何數(shù)量關(guān)系？并對你的猜測加以證明．【分析】〔1〕①根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠ADB＝∠DBC，由角平分線的定義得到∠ABD＝∠DBC，等量代換得到∠ABD＝∠ADB，根據(jù)等腰三角形的判定即可得到AB＝AD；②根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠ADC＝∠DCE，由①知AB＝AD，等量代換得到AC＝AD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠ACD＝∠ADC，求得∠ACD＝∠DCE，即可得到結(jié)論；〔2〕根據(jù)角平分線的定義得到∠DBC=12∠ABC，∠DCE=12∠ACE，由于∠BDC+∠DBC＝∠DCE于是得到∠BDC+12∠ABC＝∠ACE，由∠BAC+∠ABC＝∠ACE，于是得到∠DC+12∠【詳解】解：〔1〕①∵AD∥BE，∴∠ADB＝∠DBC，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∴∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD；②∵AD∥BE，∴∠ADC＝∠DCE，由①知AB＝AD，又∵AB＝AC，∴AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC，∴∠ACD＝∠DCE，∴CD平分∠ACE；〔2〕∠BDC=12∠∵BD、CD分別平分∠ABE，∠ACE，∴∠DBC=12∠ABC，∠DCE=1∵∠BDC+∠DBC＝∠DCE，∴∠BDC+12∠ABC=1∵∠BAC+∠ABC＝∠ACE，∴∠BDC+12∠ABC=12∠ABC∴∠BDC=12∠21．〔2021秋?播州區(qū)期末〕△ABC中，∠ACB的平分線CD交AB于點(diǎn)D，DE∥BC．〔1〕如圖1，如果點(diǎn)E是邊AC的中點(diǎn)，AC＝8，求DE的長；〔2〕如圖2，假設(shè)DE平分∠ADC，∠ABC＝30°，在BC邊上取點(diǎn)F使BF＝DF，假設(shè)BC＝9，求DF的長．【分析】〔1〕根據(jù)角平分線定義得到∠BCD＝∠ACD，由于DE∥BC，根據(jù)平行線性質(zhì)得∠EDC＝∠BCD，那么∠EDC＝∠ACD，然后根據(jù)等腰三角形的判定得ED＝EC，由點(diǎn)E是邊AC的中點(diǎn)，AC＝8，得EC＝4，所以DE＝4；〔2〕作DG⊥BC于點(diǎn)G，易求GB、GF的長，再根據(jù)在直角三角形中30°的銳角所對的直角邊是斜邊的一半即可求出DF的長．【詳解】解：〔1〕∵DC平分∠ACB，∴∠BCD＝∠ACD，∵DE∥BC，∴∠EDC＝∠BCD，∴∠EDC＝∠ACD，∴ED＝EC，∵點(diǎn)E是邊AC的中點(diǎn)，AC＝8，∴EC=12AC＝∴DE＝4；〔2〕∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠CDE＝∠BCD，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE，∴∠B＝∠BCD，∴DB＝DC．如圖2，作DG⊥BC于點(diǎn)G，∵DB＝DC，DG⊥BC，∴GB=12BC=∵∠ABC＝30°，BF＝DF，∴∠BDF＝∠B＝30°，∴∠DFG＝∠B+∠BDF＝60°，∴∠FDG＝30°，∴BF＝DF＝2FG，∴GF＝，∴DF＝2FG＝3．22．〔2021春?漢陽區(qū)校級期中〕如圖，在△ABC中，CF平分∠ACB，且AF⊥CF于點(diǎn)F，BE平分△ABC的一個(gè)外角，且AE⊥BE于點(diǎn)E．〔1〕求證：EF∥BC．〔2〕假設(shè)BC＝5，AC＝4，EF＝4，求AB的長．【分析】〔1〕延長AF交BCA于M，延長AE交CB的延長線與N，根據(jù)角平分線的定義得到∠ACF＝∠MCF，根據(jù)全等三角形的選擇得到AF＝NF，同理AE＝NE，于是得到結(jié)論；〔2〕根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】〔1〕證明：延長AF交BCA于M，延長AE交CB的延長線與N，∵AF⊥CF，∴∠AFC＝∠MFC＝90°，∵CF平分∠ACB，∴∠ACF＝∠MCF，在△ACF和△MCF中，∠AFC∴△ACF≌△MCF〔ASA〕，∴AF＝MF，同理AE＝NE，∴EF∥MN，∴EF∥BC；〔2〕解：∵AF＝MF，AE＝NE，∴MN＝2EF＝2×4＝8，∵AC＝4，∴CM＝AC＝4，∴CN＝MN+CM＝12，∵BC＝5，∴AB＝BN＝CN﹣BC＝7．23．〔2021秋?溫州期中〕如圖1，△ABC中，BE平分∠ABC交AC邊于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作DE∥BC交AB于點(diǎn)D，〔1〕求證：△BDE為等腰三角形；〔2〕假設(shè)點(diǎn)D為AB中點(diǎn)，AB＝6，求線段BC的長；〔3〕在圖2條件下，假設(shè)∠BAC＝60°，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿射線BE運(yùn)動(dòng)，請直接寫出圖3當(dāng)△ABP為等腰三角形時(shí)t的值．【分析】〔1〕由角平分線和平行線的性質(zhì)可得到∠BDE＝∠DEB，可證得結(jié)論；〔2〕由條件可知BD＝DE＝DA＝3，且DE為△ABC的中位線，可求得BC長；〔3〕分BP＝AP、BP＝AB、AP＝AB三種情況