實(shí)驗(yàn)二自適應(yīng)信號(hào)濾波

數(shù)字信號(hào)處理實(shí)驗(yàn)二班級(jí)：電信碩3122學(xué)號(hào)：3113313052姓名：王曉杰實(shí)驗(yàn)二自適應(yīng)信號(hào)濾波一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康睦米赃m應(yīng)LMS算法實(shí)現(xiàn)FIR最正確維納濾波器。觀察影響自適應(yīng)LMS算法收斂性，收斂速度以及失調(diào)量的各種因素，領(lǐng)會(huì)自適應(yīng)信號(hào)處理方法的優(yōu)缺點(diǎn)。通過實(shí)現(xiàn)AR模型參數(shù)的自適應(yīng)估計(jì)，了解自適應(yīng)信號(hào)處理方法的應(yīng)用。二、實(shí)驗(yàn)原理如果信號(hào)是由有用信號(hào)和干擾信號(hào)組成，即 〔2－1〕利用維納濾波方法可以從信號(hào)中得到有用信號(hào)的最正確估計(jì)。假設(shè)最正確維納濾波器由一個(gè)FIR濾波器所構(gòu)成，那么其最正確權(quán)系數(shù)向量h可表示為 〔2－2〕其中 〔2－3〕〔2－4〕 〔2－5〕 〔2－6〕但是實(shí)際中，一般很難知道準(zhǔn)確的統(tǒng)計(jì)量R和r，因此，假設(shè)設(shè)計(jì)一個(gè)維納濾波器,事先要估計(jì)出R和r。同時(shí)，當(dāng)R和r改變時(shí)〔如果信號(hào)或干擾是非平穩(wěn)的〕，需要重新計(jì)算h，這是非常不方便的。雖然卡爾曼濾波方法無需事先知道R和r，但它必須知道系統(tǒng)的狀態(tài)方程和噪聲的統(tǒng)計(jì)特性，這在實(shí)際中也是很難辦到的。根據(jù)卡爾曼濾波的思想，Widrow等提出了一種自適應(yīng)最小均方誤差算法(LMS)，這種算法不需要事先知道相關(guān)矩陣R和r，當(dāng)?shù)玫揭粋€(gè)觀察值，濾波器自動(dòng)“學(xué)習(xí)〞所需要的相關(guān)函數(shù)，從而調(diào)整FIR濾波器的權(quán)系數(shù)，并最終使之收斂于最正確值，即維納解。下面是自適應(yīng)FIR維納濾波器的LMS算法公式： 〔2－7〕〔2－8〕〔2－9〕因此，給定初始值，每得到一個(gè)樣本，可以遞歸得到一組新的濾波器權(quán)系數(shù)，只要步長滿足 〔2－10〕其中為矩陣R的最大特征值，當(dāng)時(shí)，收斂于維納解。為說明自適應(yīng)濾波方法的根本原理，我們首先考察一個(gè)最簡單的濾波器，它僅有一個(gè)權(quán)系數(shù)〔如圖2.1所示〕。假設(shè)信號(hào)由下式確定:〔2－11〕〔2－12〕圖2.1其中為常數(shù)，與互不相關(guān)，我們希望利用和得到的估計(jì)。利用公式〔2-7〕，〔2-8〕和〔2-9〕，我們可以得到下面的自適應(yīng)估計(jì)算法： 〔2－13〕 〔2－14〕其框圖如圖2.2所示。圖2.2選擇的初始值為，對(duì)式〔2-14〕取數(shù)學(xué)期望可得： 〔2－15〕其中 〔2－16〕因此，只要滿足 〔2－17〕的條件，總歸可以收斂于最正確值h，從而也逐漸地收斂于。自適應(yīng)信號(hào)處理方法的應(yīng)用十分廣泛，其中一個(gè)非常重要的方面是用來進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。本實(shí)驗(yàn)第二局部就是利用LMS算法實(shí)現(xiàn)AR模型參數(shù)的估計(jì)。我們已經(jīng)知道，如果信號(hào)為一個(gè)M階的AR模型，即 〔2－18〕通過解Yule-Walker方程可以得到AR模型的參數(shù)估計(jì)，同樣，利用LMS算法，我們也可以對(duì)AR模型的參數(shù)估計(jì)進(jìn)行自適應(yīng)估計(jì)，其算法如下： 〔2－19〕 〔2－20〕〔2－21〕這種算法的實(shí)現(xiàn)框圖如圖2.3所示。圖2.3同樣可以證明，只要步長值選擇適宜，當(dāng)時(shí)，上述自適應(yīng)算法得到的也收斂于AR模型的參數(shù)。三、實(shí)驗(yàn)步驟及結(jié)果分析仔細(xì)閱讀有關(guān)自適應(yīng)濾波的內(nèi)容，根據(jù)圖2.4給出的框圖，編制自適應(yīng)濾波的通用程序?！渤绦蛞姼戒浺弧尺\(yùn)行自適應(yīng)濾波程序，觀察并記錄：和有何差異，分析原因。答：實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖1：〔為藍(lán)色點(diǎn)圖，為紅色線圖〕圖SEQ圖\*ARABIC1如下圖，從0開始遞減，逐漸穩(wěn)定在h=-0.8處，由于，其中，所以此時(shí)必然收斂于h。最終在0.8周圍波動(dòng)，由于，隨著n的增大的在-0.8周圍的波動(dòng)范圍會(huì)不斷減小，對(duì)于的近似程度越來越好。自適應(yīng)濾波效果如何〔比擬和〕？答：實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖2：〔為藍(lán)色線圖，為紅色點(diǎn)圖〕圖SEQ圖\*ARABIC2如上圖所示，隨著L的增大和的相似程度在提高，在經(jīng)過適應(yīng)階段以后濾波效果較好。但在值變化較大時(shí)，自適應(yīng)濾波的略有增大。根據(jù)框圖2.4產(chǎn)生100個(gè)樣本和，利用實(shí)驗(yàn)一維納濾波估計(jì)和，即將作為自適應(yīng)濾波系統(tǒng)的輸入，作為參考信號(hào)，自適應(yīng)估計(jì)得出，再將與估計(jì)出的相卷積得到的估計(jì)。并與步驟2中的結(jié)果比擬。答：編程計(jì)算可得1000次的維納濾波算法估計(jì)的的均值為-0.7996，自適應(yīng)濾波方法1000次的均值為-0.7907。維納濾波器的結(jié)果由于自適應(yīng)濾波方法，但是維納濾波器所需要的條件更加嚴(yán)格。改變，其它條件同步驟2，運(yùn)行自適應(yīng)濾波程序，觀察并記錄值的大小對(duì)的收斂性，收斂速度以及失調(diào)量的影響。答：當(dāng)時(shí)，和如圖3所示，和如圖4所示：圖SEQ圖\*ARABIC3圖SEQ圖\*ARABIC4當(dāng)時(shí)，和如圖5所示，和如圖6所示：圖SEQ圖\*ARABIC5圖SEQ圖\*ARABIC6當(dāng)時(shí)，和如圖7所示，和如圖8所示：圖SEQ圖\*ARABIC7圖SEQ圖\*ARABIC8可見：隨著步長因子越小時(shí)，收斂于h的速度越慢，但失調(diào)量變??；對(duì)于的近似方面，步長因子越大能以更快的速度近似，但是步長因子過大、過小都將不利于最終的濾波效果。因?yàn)镽約為1且時(shí)才收斂，所以當(dāng)μ=1時(shí)，不在收斂。步長因子μ決定了每次轉(zhuǎn)移的長度，失調(diào)量M隨著的增大而變大。改變，其它條件同步驟2，運(yùn)行程序，觀察的方差對(duì)自適應(yīng)算法的收斂性，收斂速度以及失調(diào)量的影響。答：與時(shí)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果分別如圖9、10所示：圖SEQ圖\*ARABIC9圖SEQ圖\*ARABIC10對(duì)收斂速度沒有影響。這是因?yàn)闀r(shí)間常數(shù)只取決于和，是特征值，其中與不相關(guān)，R與無關(guān)。對(duì)收斂性無影響。收斂性取決于步長因子的取值，必然收斂，與的取值無關(guān)。對(duì)失調(diào)量M沒有影響。失調(diào)量，只與步長因子和輸入的自相關(guān)函數(shù)有關(guān)，與噪聲功率無關(guān)。仔細(xì)閱讀有關(guān)自適應(yīng)系統(tǒng)仿真的內(nèi)容，按照?qǐng)D2.5給出的框圖,編制自適應(yīng)AR模型參數(shù)估計(jì)程序?！渤绦蛞姼戒浂尺\(yùn)行自適應(yīng)AR模型參數(shù)估計(jì)程序,選擇,，觀察并記錄的收斂情況及和。答：參數(shù)取時(shí)，的收斂情況如圖11所示：圖SEQ圖\*ARABIC11可見：a1與a2的估計(jì)值分別收斂于0.8與-1.3，在收斂值上下波動(dòng)。利用100個(gè)，通過實(shí)驗(yàn)一解Yule-Walker方程的方法，得和估計(jì)和，與步驟7中的和比擬，有什么差異？為什么？答：使用實(shí)驗(yàn)一的解Yule-Walker方程方法，作1000次實(shí)驗(yàn)取平均獲得的估計(jì)如下：，而用自適應(yīng)的參數(shù)估計(jì)方法進(jìn)行1000次的參數(shù)估計(jì)值平均值為?？梢娫摴烙?jì)值比自適應(yīng)系統(tǒng)仿真算法得到的和要更接近理想值和。9.改變?cè)肼暤姆讲?，其它條件同步驟7，觀察的方差對(duì)自適應(yīng)算法的收斂性，收斂速度以及失調(diào)量的影響。答：時(shí)，的收斂情況如圖12：圖SEQ圖\*ARABIC12當(dāng)樣本個(gè)數(shù)L=10000時(shí)，的收斂情況如圖13：圖SEQ圖\*ARABIC13〔1〕可見：的改變對(duì)于收斂性沒有影響，收斂性仍然取決于步長因子取值?！?〕變小，使收斂時(shí)間大幅上升。時(shí)間常數(shù)變大，AR模型中的大小直接影響了輸入的相關(guān)性，從而影響了特征值。當(dāng)變小時(shí)，變小，時(shí)間常數(shù)變大?！?〕變小，使收斂時(shí)間大幅上升，而，大幅上升會(huì)使失調(diào)量下降。另一方面，超調(diào)量決定于步長設(shè)定是否合理以及輸入的波動(dòng)大小，變小意味著輸入的波動(dòng)變小，從而也能提高估計(jì)準(zhǔn)確度，降低失調(diào)量。四、思考題在公式〔2-11〕中，和的方差變化對(duì)自適應(yīng)算法的收斂性，收斂速度，失調(diào)量以及值的選擇范圍有何影響？答：〔1〕和的方差變化不會(huì)對(duì)收斂性產(chǎn)生影響，僅有步長因子決定。〔2〕的方差增大會(huì)導(dǎo)致自相關(guān)矩陣的跡的增大，由于，增大進(jìn)而使得收斂速度變快。的方差對(duì)于無影響，所以對(duì)收斂速度無影響?！?〕由上可知的方差增大使得變小，，當(dāng)收斂速度變小時(shí)，失調(diào)量不可防止的增大。的方差對(duì)于無影響，所以對(duì)于失調(diào)量也沒有影響。推導(dǎo)公式〔2-19〕至公式〔2-21〕答：推導(dǎo)過程如下：附錄一clearallL=100;%根據(jù)實(shí)驗(yàn)要求變動(dòng)h=-0.8;u=0.03;sigma=1;h_e=zeros(L,1);%定義h的估計(jì)矩陣h1=0;%賦值h_e(0)w=sqrt(sigma)*(randn(L,1));%生成高斯分布的wnx=sqrt(1)*(randn(L,1));%生成高斯分布的xns=h*x;y=s+w;R=xcorr(x,x','unbiased');r=R(L);%計(jì)算自相關(guān)%%%%%%%%%%%%%%h估計(jì)值計(jì)算%%%%%%%%%%%h_e(1)=h1+2*u*(y(1)-h1*x(1))*x(1);fori=1:Ls_e(i)=h_e(i)*x(i);h_e(i+1)=h_e(i)+2*u*(y(i)-h_e(i)*x(i))*x(i);E(i)=h+(1-2*u*r)^i*(h1-h);end%%%%%%%作圖%%%%%figure(1),clfstem(s,'r')%畫出理論sholdonplot(s_e,'b')%畫出s的估計(jì)值title('理想情況下的s與自適應(yīng)估計(jì)下的s')figure(2),clfplot(h_e,'r')%畫出h的估計(jì)值holdonstem(E,'b')%h的期望值title('h估計(jì)值與h的期望值')附錄二clearallL=100;%根據(jù)實(shí)驗(yàn)要求變動(dòng)M=2;%階數(shù)p=2;a1=-1.3;a2=0.8;u=0.01;%步長因子sigma=1;%噪聲功率a10=0;a20=0;%令a1_e(0)、a2_e(0)為0al_e=zeros(1,L);a2_e=zeros(1,L);e=zeros(1,L);y=zeros(1,L);w=sqrt(sigma)*(randn(L,1));%生成高斯分布的wny(1)=0;y(2)=0;fori=3:Ly(i)=-a1*y(i-1)-a2*y(i-2)+w(i);%計(jì)算理論輸出yend%%%%%%%%%%%估計(jì)值計(jì)算%%%%%%%%%%y_e(1)=0;y_e(2)=0;a1_e(1)=a10;a1_e(2)=a10;a1_e(3)=a10;a2_e(1)=a10;a1_e(2)=a10;a2_e(3)=a10;%估計(jì)值初值設(shè)定fori=3:Ly_e(i)=-a1_e(i)*y(i-1)-a2_e(i)*y(i-2);e(i)=y(i)-y_e(i);a1_e(i+1)=a1_e(i)-2*u*e(i)*y(i-1);a2_e(i+1)=a2_e(i)-2*u*e(i)*y(i-2);enda1_e=a1_e(1:L);a2_e=a2_e(1:L);%%%%%%%作圖%%%%%figure(1),clfstem(y,'r')h