2024屆安徽省程集中學(xué)高三下學(xué)期5月模擬考試數(shù)學(xué)試題試卷

2024屆安徽省程集中學(xué)高三下學(xué)期5月模擬考試數(shù)學(xué)試題試卷請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．一個四棱錐的三視圖如圖所示（其中主視圖也叫正視圖，左視圖也叫側(cè)視圖），則這個四棱錐中最最長棱的長度是（）．A． B． C． D．2．定義域為R的偶函數(shù)滿足任意，有，且當(dāng)時，.若函數(shù)至少有三個零點，則的取值范圍是（）A． B． C． D．3．已知數(shù)列的首項，且，其中，，，下列敘述正確的是（）A．若是等差數(shù)列，則一定有 B．若是等比數(shù)列，則一定有C．若不是等差數(shù)列，則一定有 D．若不是等比數(shù)列，則一定有4．設(shè)m，n為直線，、為平面，則的一個充分條件可以是()A．，， B．，C．， D．，5．已知圓M:x2+y2-2ay=0a>0截直線x+y=0A．內(nèi)切 B．相交 C．外切 D．相離6．已知函數(shù)，集合，，則（）A． B．C． D．7．波羅尼斯（古希臘數(shù)學(xué)家，的公元前262-190年）的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，它將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡，幾乎使后人沒有插足的余地．他證明過這樣一個命題：平面內(nèi)與兩定點距離的比為常數(shù)k（k＞0，且k≠1）的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓．現(xiàn)有橢圓=1（a＞b＞0），A，B為橢圓的長軸端點，C，D為橢圓的短軸端點，動點M滿足=2，△MAB面積的最大值為8，△MCD面積的最小值為1，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．8．很多關(guān)于整數(shù)規(guī)律的猜想都通俗易懂，吸引了大量的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)愛好者，有些猜想已經(jīng)被數(shù)學(xué)家證明，如“費馬大定理”，但大多猜想還未被證明，如“哥德巴赫猜想”、“角谷猜想”.“角谷猜想”的內(nèi)容是：對于每一個正整數(shù)，如果它是奇數(shù)，則將它乘以再加1；如果它是偶數(shù)，則將它除以；如此循環(huán)，最終都能夠得到.下圖為研究“角谷猜想”的一個程序框圖.若輸入的值為，則輸出i的值為（）A． B． C． D．9．下圖是來自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形，此圖由三個半圓構(gòu)成，三個半圓的直徑分別為直角三角形的斜邊、直角邊，已知以直角邊為直徑的半圓的面積之比為，記，則（）A． B． C．1 D．10．已知，，若，則向量在向量方向的投影為（）A． B． C． D．11．已知函數(shù)是奇函數(shù)，且，若對，恒成立，則的取值范圍是（）A． B． C． D．12．古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯在公元前六世紀(jì)發(fā)現(xiàn)了第一、二個“完全數(shù)”6和28，進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)后續(xù)三個“完全數(shù)”分別為496，8128，33550336，現(xiàn)將這五個“完全數(shù)”隨機(jī)分為兩組，一組2個，另一組3個，則6和28恰好在同一組的概率為A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，滿足約束條件，則的最大值為________．14．農(nóng)歷五月初五是端午節(jié)，民間有吃粽子的習(xí)慣，粽子又稱粽籺，俗稱“粽子”，古稱“角黍”，是端午節(jié)大家都會品嘗的食品，傳說這是為了紀(jì)念戰(zhàn)國時期楚國大臣、愛國主義詩人屈原.如圖，平行四邊形形狀的紙片是由六個邊長為1的正三角形構(gòu)成的，將它沿虛線折起來，可以得到如圖所示粽子形狀的六面體，則該六面體的體積為____；若該六面體內(nèi)有一球，則該球體積的最大值為____．15．已知雙曲線(a＞0，b＞0)的一條漸近線方程為，則該雙曲線的離心率為_______．16．若向量滿足，則實數(shù)的取值范圍是____________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓過點且橢圓的左、右焦點與短軸的端點構(gòu)成的四邊形的面積為.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程：（2）設(shè)A是橢圓的左頂點，過右焦點F的直線，與橢圓交于P，Q，直線AP，AQ與直線交于M，N，線段MN的中點為E.①求證：；②記，，的面積分別為、、，求證：為定值.18．（12分）已知拋物線Γ：y2＝2px（p＞0）的焦點為F，P是拋物線Γ上一點，且在第一象限，滿足（2，2）（1）求拋物線Γ的方程；（2）已知經(jīng)過點A（3，﹣2）的直線交拋物線Γ于M，N兩點，經(jīng)過定點B（3，﹣6）和M的直線與拋物線Γ交于另一點L，問直線NL是否恒過定點，如果過定點，求出該定點，否則說明理由．19．（12分）在三棱錐中，是邊長為的正三角形，平面平面，，M、N分別為、的中點.?（1）證明：；（2）求三棱錐的體積.20．（12分）已知.（1）求不等式的解集；（2）若存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍21．（12分）如圖，在四棱錐中，，，，底面為正方形，、分別為、的中點．（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．22．（10分）已知橢圓，左、右焦點為，點為上任意一點，若的最大值為3，最小值為1.（1）求橢圓的方程；（2）動直線過點與交于兩點，在軸上是否存在定點，使成立，說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】

作出其直觀圖，然后結(jié)合數(shù)據(jù)根據(jù)勾股定定理計算每一條棱長即可.【題目詳解】根據(jù)三視圖作出該四棱錐的直觀圖，如圖所示，其中底面是直角梯形，且，，平面，且，∴，，，，∴這個四棱錐中最長棱的長度是．故選．【題目點撥】本題考查了四棱錐的三視圖的有關(guān)計算，正確還原直觀圖是解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．2、B【解題分析】

由題意可得的周期為，當(dāng)時，，令，則的圖像和的圖像至少有個交點，畫出圖像，數(shù)形結(jié)合，根據(jù)，求得的取值范圍.【題目詳解】是定義域為R的偶函數(shù)，滿足任意，，令，又，為周期為的偶函數(shù)，當(dāng)時，，當(dāng)，當(dāng)，作出圖像，如下圖所示：函數(shù)至少有三個零點，則的圖像和的圖像至少有個交點，，若，的圖像和的圖像只有1個交點，不合題意，所以，的圖像和的圖像至少有個交點，則有，即，.故選:B.【題目點撥】本題考查函數(shù)周期性及其應(yīng)用，解題過程中用到了數(shù)形結(jié)合方法，這也是高考?？嫉臒狳c問題，屬于中檔題.3、C【解題分析】

根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義進(jìn)行判斷即可.【題目詳解】A：當(dāng)時，，顯然符合是等差數(shù)列，但是此時不成立，故本說法不正確；B：當(dāng)時，，顯然符合是等比數(shù)列，但是此時不成立，故本說法不正確；C：當(dāng)時，因此有常數(shù)，因此是等差數(shù)列，因此當(dāng)不是等差數(shù)列時，一定有，故本說法正確；D：當(dāng)時，若時，顯然數(shù)列是等比數(shù)列，故本說法不正確.故選：C【題目點撥】本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義，考查了推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題.4、B【解題分析】

根據(jù)線面垂直的判斷方法對選項逐一分析，由此確定正確選項.【題目詳解】對于A選項，當(dāng)，，時，由于不在平面內(nèi)，故無法得出.對于B選項，由于，，所以.故B選項正確.對于C選項，當(dāng)，時，可能含于平面，故無法得出.對于D選項，當(dāng)，時，無法得出.綜上所述，的一個充分條件是“，”故選：B【題目點撥】本小題主要考查線面垂直的判斷，考查充分必要條件的理解，屬于基礎(chǔ)題.5、B【解題分析】化簡圓M:x2+(y-a)2=a又N(1,1),r6、C【解題分析】

分別求解不等式得到集合,再利用集合的交集定義求解即可.【題目詳解】,，∴．故選C．【題目點撥】本題主要考查了集合的基本運(yùn)算,難度容易.7、D【解題分析】

求得定點M的軌跡方程可得，解得a，b即可.【題目詳解】設(shè)A（-a，0），B（a，0），M（x，y）．∵動點M滿足=2，則=2，化簡得.∵△MAB面積的最大值為8，△MCD面積的最小值為1，∴，解得，∴橢圓的離心率為．故選D．【題目點撥】本題考查了橢圓離心率，動點軌跡，屬于中檔題．8、B【解題分析】

根據(jù)程序框圖列舉出程序的每一步，即可得出輸出結(jié)果.【題目詳解】輸入，不成立，是偶數(shù)成立，則，；不成立，是偶數(shù)不成立，則，；不成立，是偶數(shù)成立，則，；不成立，是偶數(shù)成立，則，；不成立，是偶數(shù)成立，則，；不成立，是偶數(shù)成立，則，；成立，跳出循環(huán)，輸出i的值為.故選：B.【題目點撥】本題考查利用程序框圖計算輸出結(jié)果，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.9、D【解題分析】

根據(jù)以直角邊為直徑的半圓的面積之比求得，即的值，由此求得和的值，進(jìn)而求得所求表達(dá)式的值.【題目詳解】由于直角邊為直徑的半圓的面積之比為，所以，即，所以，所以.故選：D【題目點撥】本小題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，考查二倍角公式，屬于基礎(chǔ)題.10、B【解題分析】

由，，，再由向量在向量方向的投影為化簡運(yùn)算即可【題目詳解】∵∴，∴，∴向量在向量方向的投影為.故選：B.【題目點撥】本題考查向量投影的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題11、A【解題分析】

先根據(jù)函數(shù)奇偶性求得，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，利用函數(shù)單調(diào)性求解不等式即可.【題目詳解】因為函數(shù)是奇函數(shù)，所以函數(shù)是偶函數(shù).，即，又，所以，.函數(shù)的定義域為，所以，則函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù).又在上，，所以為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增.由，可得，對恒成立，則，對恒成立，，得，所以的取值范圍是.故選：A.【題目點撥】本題考查利用函數(shù)單調(diào)性求解不等式，根據(jù)方程組法求函數(shù)解析式，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，屬壓軸題.12、B【解題分析】

推導(dǎo)出基本事件總數(shù)，6和28恰好在同一組包含的基本事件個數(shù)，由此能求出6和28恰好在同一組的概率．【題目詳解】解：將五個“完全數(shù)”6，28，496，8128，33550336，隨機(jī)分為兩組，一組2個，另一組3個，基本事件總數(shù)，6和28恰好在同一組包含的基本事件個數(shù)，∴6和28恰好在同一組的概率．故選：B．【題目點撥】本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

根據(jù)題意，畫出可行域，將目標(biāo)函數(shù)看成可行域內(nèi)的點與原點距離的平方，利用圖象即可求解.【題目詳解】可行域如圖所示，易知當(dāng)，時，的最大值為．故答案為：9.【題目點撥】本題考查了利用幾何法解決非線性規(guī)劃問題，屬于中檔題.14、【解題分析】

(1)先算出正四面體的體積，六面體的體積是正四面體體積的倍，即可得出該六面體的體積；(2)由圖形的對稱性得,小球的體積要達(dá)到最大,即球與六個面都相切時，求出球的半徑，再代入球的體積公式可得答案.【題目詳解】(1)每個三角形面積是，由對稱性可知該六面是由兩個正四面合成的，可求出該四面體的高為，故四面體體積為，因此該六面體體積是正四面體的2倍，所以六面體體積是；(2)由圖形的對稱性得，小球的體積要達(dá)到最大，即球與六個面都相切時，由于圖像的對稱性，內(nèi)部的小球要是體積最大，就是球要和六個面相切，連接球心和五個頂點，把六面體分成了六個三棱錐設(shè)球的半徑為，所以，所以球的體積.故答案為：；.【題目點撥】本題考查由平面圖形折成空間幾何體、考查空間幾何體的的表面積、體積計算，考查邏輯推理能力和空間想象能力求解球的體積關(guān)鍵是判斷在什么情況下，其體積達(dá)到最大，考查運(yùn)算求解能力.15、【解題分析】

根據(jù)題意，由雙曲線的漸近線方程可得，即a＝2b，進(jìn)而由雙曲線的幾何性質(zhì)可得cb，由雙曲線的離心率公式計算可得答案．【題目詳解】根據(jù)題意，雙曲線的漸近線方程為y＝±x，又由該雙曲線的一條漸近線方程為x﹣2y＝0，即yx，則有，即a＝2b，則cb，則該雙曲線的離心率e；故答案為：．【題目點撥】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，關(guān)鍵是分析a、b之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．16、【解題分析】

根據(jù)題意計算，解得答案.【題目詳解】，故，解得.故答案為：.【題目點撥】本題考查了向量的數(shù)量積，意在考查學(xué)生的計算能力.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）①證明見解析；②證明見解析【解題分析】

（1）解方程即可；（2）①設(shè)直線，，，將點的坐標(biāo)用表示，證明即可；②分別用表示，，的面積即可.【題目詳解】（1）解之得：的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（2）①，，設(shè)直線代入橢圓方程：設(shè)，，，直線，直線，，，，，.②，所以.【題目點撥】本題考查了直接法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與橢圓位置關(guān)系中的定值問題，在處理此類問題一般要涉及根與系數(shù)的關(guān)系，本題思路簡單，但計算量比較大，是一道有一定難度的題.18、（1）y2＝4x；；（2）直線NL恒過定點（﹣3，0），理由見解析.【解題分析】

（1）根據(jù)拋物線的方程，求得焦點F（，0），利用（2，2），表示點P的坐標(biāo)，再代入拋物線方程求解.（2）設(shè)M（x0，y0），N（x1，y1），L（x2，y2），表示出MN的方程y和ML的方程y，因為A（3，﹣2），B（3，﹣6）在這兩條直線上，分別代入兩直線的方程可得y1y2＝12，然后表示直線NL的方程為：y﹣y1（x），代入化簡求解.【題目詳解】（1）由拋物線的方程可得焦點F（，0），滿足（2，2）的P的坐標(biāo)為（2，2），P在拋物線上，所以（2）2＝2p（2），即p2+4p﹣12＝0，p＞0，解得p＝2，所以拋物線的方程為：y2＝4x；（2）設(shè)M（x0，y0），N（x1，y1），L（x2，y2），則y12＝4x1，y22＝4x2，直線MN的斜率kMN，則直線MN的方程為：y﹣y0（x），即y①，同理可得直線ML的方程整理可得y②，將A（3，﹣2），B（3，﹣6）分別代入①，②的方程可得，消y0可得y1y2＝12，易知直線kNL，則直線NL的方程為：y﹣y1（x），即yx，故yx，所以y（x+3），因此直線NL恒過定點（﹣3，0）．【題目點撥】本題主要考查了拋物線的方程及直線與拋物線的位置關(guān)系，直線過定點問題，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.19、（1）證明見解析；（2）.【解題分析】

（1）取中點，連接，，證明平面，由線面垂直的性質(zhì)可得；（2）由，即可求得三棱錐的體積．【題目詳解】解：（1）證明：取中點D，連接，.因為，，所以且，因為，平面，平面，所以平面.又平面，所以；（2）解：因為平面，平面，所以平面平面，過N作于E，則平面，因為平面平面，，平面平面，平面，所以平面，又因為平面，所以，由于，所以所以，所以.【題目點撥】本題考查線面垂直，考查三棱錐體積的計算，解題的關(guān)鍵是掌握線面垂直的判定與性質(zhì)，屬于中檔題．20、（1）.（2）.【解題分析】試題分析：（Ⅰ）通過討論x的范圍，得到關(guān)于x的不等式組，解出取并集即可；（Ⅱ）求出f（x）的最大值，得到關(guān)于a的不等式，解出即可．試題解析：（1）不等式等價于或或，解得或，所以不等式的解集是；（2），，，解得實數(shù)的取值范圍是．點睛：含絕對值不等式的解法有兩個基本方法，一是運(yùn)用零點分區(qū)間討論，二是利用絕對值的幾何意義求解．法一是運(yùn)用分類討論思想