浙江省嘉興市2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（含解析）

嘉興市2022~2023學(xué)年第一學(xué)期期末檢測高三數(shù)學(xué)試題卷2023.1本試題卷共6頁，滿分150分，考試時間120分鐘.考生注意：1.答題前，請務(wù)必將自己的姓名?準(zhǔn)考證號用黑色字跡的簽字筆或鋼筆分別填寫在試題卷和答題紙上規(guī)定的位置.2.答題時，請按照答題紙上“注意事項”的要求，在答題紙上的相應(yīng)位置規(guī)范作答，在本試題卷上的作答一律無效.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設(shè)全集，集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】直接根據(jù)補集和交集的定義求解即可.【詳解】全集，集合，集合，，.故選：B2.若復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則（）A. B.1 C. D.2【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)條件求出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，進(jìn)而直接求模即可.【詳解】，，.

故選：A.3.已知向量，若與平行，則實數(shù)（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先將與的坐標(biāo)表示出來，再根據(jù)向量平行的充要條件列出方程，解方程即可求解．【詳解】已知向量，，，由與平行，有，解得.故選：B4.袋中裝有大小相同的2個白球和5個紅球，從中任取2個球，則取到的2個球顏色相同的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用組合數(shù)及古典概型的概率的計算公式即可求解.【詳解】設(shè)“取到的2個球顏色相同”為事件為,則，所以取到的2個球顏色相同的概率為.故選：D.5.已知圓過點，且圓心在軸的正半軸上，直線被圓所截得的弦長為，則過圓心且與直線垂直的直線的方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用已知弦長先求圓心坐標(biāo)，然后可求過圓心與直線L垂直的直線的方程.【詳解】由題意，設(shè)所求的直線方程為，并設(shè)圓心坐標(biāo)為，則由題意知：解得或，又因為圓心在軸的正半軸上，所以，故圓心坐標(biāo)為，∵圓心在所求的直線上，所以有，即，故所求直線方程為．故選∶A．6.在某校的“迎新年”歌詠比賽中，6位評委給某位參賽選手打分，6個分?jǐn)?shù)的平均分為分，方差為，若去掉一個最高分分和一個最低分分，則剩下的4個分?jǐn)?shù)滿足（）A.平均分分，方差 B.平均分分，方差C.平均分分，方差 D.平均分分，方差【答案】C【解析】【分析】利用平均數(shù)和方差公式即可求解.【詳解】設(shè)這個數(shù)分別為，平均數(shù)為，方差為，的平均數(shù)為，方差為，則由題意可知，，所以，即，所以，所以，即，所以，所以剩下的4個分?jǐn)?shù)滿足平均分分，方差.故選：C.7.若，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知等式解出，通過構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性比較大小.【詳解】，可得由已知得，，，比較和，構(gòu)造函數(shù)，當(dāng)，，在上單調(diào)遞增，故，即.同理比較和，構(gòu)造函數(shù)，當(dāng)，，所以在上單調(diào)遞增，所以，即.綜上.故選：A.8.如圖，在棱長為2的正方體中，為棱的中點，分別是底面與側(cè)面的中心，為該正方體表面上的一個動點，且滿足，記點的軌跡所在的平面為，則過四點的球面被平面截得的圓的周長是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，找到球心O和點的軌跡，求出到平面的距離，利用幾何法求截面圓的半徑和周長.【詳解】取面對角線中點，連接，，，，分別在上，且，以為原點，的方向分別為軸，軸，軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，，，，，，，，，，，，，三棱錐中，為直角三角形，所以，因此點即為三棱錐的外接球球心，球半徑長為，，，，，，共面，，，，，平面，，平面，平面，點的軌跡為矩形的四邊，如圖所示，，為平面的法向量，則球心到平面的距離為，球面被平面截得的圓的半徑，圓的周長為.故選：B【點睛】本題找球心O考查學(xué)生的空間想象能力，其余的計算和證明問題，則利用空間向量法.二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.若實數(shù)滿足，則（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】運用不等式的性質(zhì)，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、作差比較法逐一判斷即可.【詳解】A：由，因此本選項不正確；B：由，因此本選項正確；C：因為，所以，因此本選項正確；D：因為，所以，因此本選項正確，故選：BCD10.在正四棱臺中，分別是棱的中點，則（）A.與是異面直線B.與平面所成的角為C.正四棱臺的體積為D.正四棱臺的表面積為【答案】BC【解析】【分析】對于A：根據(jù)已知結(jié)合棱臺的性質(zhì)得出與交于一點，即可判斷；對于B：根據(jù)已知設(shè)在平面中的投影為，則平面，且，即與平面所成的角為，即可計算得出，即可得出答案來判斷；對于C：根據(jù)正四棱臺的體積求法得出即可判斷；對于D:根據(jù)正四棱臺的表面積求法得出即可判斷；【詳解】對于A：為正四棱臺，四條側(cè)棱所在直線交于一點，記為，分別是棱中點，也過點，，與屬于同一平面，故A錯誤；對于B：為正四棱臺，點在平面上的射影一定在上，記為，則平面，且，與平面所成的角為，，，，，，，故B正確；對于C：根據(jù)選項B中可得，即正四棱臺的高，設(shè)分別為正四棱臺上、下底面積，，故C正確；對于D：正四棱臺是四個全等的等腰梯形，梯形的上、下底分別為1、3，高為，則面積為，根據(jù)選項C可得，，則正四棱臺的表面積為，故D錯誤；故選：BC.11.設(shè)為拋物線的焦點，點在上且在軸上方，點，，若，則（）A.拋物線的方程為B.點到軸的距離為8C.直線與拋物線相切D.三點在同一條直線上【答案】ACD【解析】【分析】由，先求設(shè)點坐標(biāo)，得拋物線方程，再驗證每個選項.【詳解】拋物線的焦點，由，有，解得，所以拋物線的方程為，A選項正確；，點在拋物線上且在軸上方，到焦點距離為8，到準(zhǔn)線距離也為8，所以點到軸的距離為6，B選項錯誤；點在拋物線上且在軸上方，到軸的距離為6，有點橫坐標(biāo)為6，代入拋物線方程，可得，則直線的方程為，由消去得，，所以直線與拋物線相切，C選項正確；由，，，得，則三點在同一條直線上，D選項正確.故選：ACD.12.已知定義在上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)分別為，若，，則（）A.是奇函數(shù) B.是周期函數(shù)C. D.【答案】BCD【解析】【分析】通過函數(shù)的奇偶對稱性和圖像的平移，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的運算，得到函數(shù)的對稱性，得到周期，再由周期計算函數(shù)值驗證選項.【詳解】由知函數(shù)為偶函數(shù)，又，，則的圖像關(guān)于軸對稱，所以的圖像關(guān)于直線對稱，有，即，設(shè)，則，（c為常數(shù)），，，所以；由，兩邊同時求導(dǎo)，有，可知為奇函數(shù)，函數(shù)仍然是奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點對稱，又，所以的圖像關(guān)于點中心對稱，有；函數(shù)滿足以上函數(shù)的性質(zhì)，但不是奇函數(shù)，A選項錯誤；和，得，令，則有，所以函數(shù)為周期函數(shù)，B選項正確；為的一個周期，則，所以，，所以，D選項正確；由周期為4知也是的一個周期，所以，即，即，C選項正確.故選：BCD.【點睛】此題通過函數(shù)的奇偶性和對稱性，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的運算，尋找函數(shù)圖像的對稱中心是解題關(guān)鍵，原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖像的聯(lián)系，奇偶性的聯(lián)系，都是解題的思路.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.的展開式中的系數(shù)為__________（用數(shù)字作答）.【答案】【解析】【分析】利用二項式定理求所需項的系數(shù)即可得出.【詳解】的展開式中的系數(shù)，是的展開式中的系數(shù)與的展開式中的系數(shù)之積，即故答案：14.中國古代數(shù)學(xué)著作《增減算法統(tǒng)宗》中有這樣一段記載：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，如此六日過其關(guān).”則此人在第五天行走的路程是__________里（用數(shù)字作答）.【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用等比數(shù)列前n項和公式求出第1天行走的路程，即可計算作答.【詳解】將這個人行走的路程依次排成一列得等比數(shù)列，，其公比，令數(shù)列的前n項和為，則，而，因此，解得，所以此人在第五天行走的路程（里）.故答案為：1215.若函數(shù)在區(qū)間上有3個零點，則實數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)零點的定義，結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)性利用轉(zhuǎn)化法、數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行求解即可.【詳解】，由函數(shù)在區(qū)間上有3個零點，可以轉(zhuǎn)化為直線和函數(shù)在上有三個不同的交點，因為，所以，當(dāng)時，即當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，函數(shù)值從增加到；當(dāng)時，即當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減，函數(shù)值從減少到；當(dāng)時，即當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，函數(shù)值從增加到，當(dāng)時，即當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減，函數(shù)值從減小到，所以函數(shù)在上的函數(shù)圖象如下圖所示：因此要想直線和函數(shù)在上有三個不同的交點，只需，故答案為：16.已知橢圓的左?右焦點分別為是上的一個動點，直線分別交于兩點.設(shè)，則當(dāng)取最小值時，的離心率為__________.【答案】##【解析】【分析】設(shè)，則，設(shè)，聯(lián)立與的方程根據(jù)韋達(dá)定理結(jié)合條件可得，進(jìn)而得出，然后根據(jù)基本不等式得出取最小值時的值，即可根據(jù)橢圓離心率的計算得出答案.【詳解】設(shè)，則所以，故可設(shè)，則點坐標(biāo)滿足，消去整理得，故，設(shè)，同理可得，得，所以，又，故，而，故，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，此時，離心率為.故答案為：.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.記為數(shù)列的前項和，已知，且對于任意，都有.（1）求實數(shù)及；（2）令，求數(shù)列的前項和.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）令中的，得出，根據(jù)已知即可得出，則，當(dāng)時，，兩式相減根據(jù)數(shù)列和與通項的關(guān)系得出，注意驗證符不符合求出的式子；（2）根據(jù)小問一與等比數(shù)列求和公式得出，即可根據(jù)分組求和法得出答案.【小問1詳解】在中令，得，即，又，則，所以，當(dāng)時，，得，即，又，故；【小問2詳解】因為，所以，故得.18.記的內(nèi)角的對邊分別為，已知三角形，角的平分線交邊于點.（1）證明：；（2）若，求的周長.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由結(jié)合三角形面積公式和余弦定理，解得，再根據(jù)角平分線和面積公式由得，化簡既可；（2）由內(nèi)角平分線定理結(jié)合（1）中的結(jié)論，求出，再由余弦定理求，可得三角形周長.【小問1詳解】由可知，，所以，又，故，如圖所示，所以，得，化簡整理得；【小問2詳解】因為，故，所以，又，化簡得，解得，又，故，所以的周長為.19.為積極響應(yīng)“反詐”宣傳教育活動的要求，某企業(yè)特舉辦了一次“反詐”知識競賽，規(guī)定：滿分為100分，60分及以上為合格.該企業(yè)從甲?乙兩個車間中各抽取了100位職工的競賽成績作為樣本.對甲車間100位職工的成績進(jìn)行統(tǒng)計后，得到了如圖所示的成績頻率分布直方圖.

（1）估算甲車間職工此次“反詐”知識競賽的合格率；（2）若將頻率視為概率，以樣本估計總體.從甲車間職工中，采用有放回的隨機抽樣方法抽取3次，每次抽1人，每次抽取的結(jié)果相互獨立，記被抽取的3人次中成績合格的人數(shù)為.求隨機變量的分布列；（3）若乙車間參加此次知識競賽的合格率為，請根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有的把握認(rèn)為此次職工“反計”知識競賽的成績與其所在車間有關(guān)?2×2列聯(lián)表甲車間乙車間合計合格人數(shù)不合格人數(shù)合計附參考公式：①，其中.②獨立性檢驗臨界值表【答案】（1）（2）分布列見解析（3）表格見解析，有【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)，可得答案；（2）根據(jù)二項分布的分布列的解題步驟，可得答案；（3）由題意，補全列聯(lián)表，利用獨立性檢驗的解題步驟，可得答案.【小問1詳解】根據(jù)頻率分布直方圖可求得甲車間此次參加“反詐”知識競賽的合格率，即.【小問2詳解】由題意可知，由于每次抽取的結(jié)果是相互獨立的，故，所以，故隨機變量的分布列為0123【小問3詳解】根據(jù)題中統(tǒng)計數(shù)據(jù)可填寫列聯(lián)表如下，甲車間乙車間合計合格人數(shù)8060140不合格人數(shù)204060合計100100200所以有的把握認(rèn)為“此次職工‘反計’知識競賽的成績與職工所在車間有關(guān)系”.20.如圖，在三棱錐中，平面平面，，點在棱上，且.（1）證明：平面；（2）設(shè)是的中點，點在棱上，且平面，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用余弦定理求出，利用勾股定理可證得，再利用面面垂直的性質(zhì)的定理可證得結(jié)論成立；（2）推導(dǎo)出點為的中點，然后以點為坐標(biāo)原點，以、所在直線分別為、軸，過點且垂直于平面的直線作軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出點的坐標(biāo)，利用空間向量法可求得二面角的余弦值.【小問1詳解】證明：由得，，，，由余弦定理可得，，則，因為平面平面，平面平面，平面，平面.【小問2詳解】解：因為平面，平面，平面平面，故，而是的中點，故為中位線，得，又，故中點，由（1）可知平面，以點為坐標(biāo)原點，以、所在直線分別為、軸，過點且垂直于平面的直線作軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、，設(shè)點，其中，，，，所以，，解得，則，解得，故點，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，可得，設(shè)平面的法向量為，，則，取，可得，所以，.由圖可知，二面角的平面角為銳角，故二面角的余弦值為.21.已知雙曲線過點，左?右頂點分別是，右焦點到漸近線的距離為，動直線與以為直徑的圓相切，且與的左?右兩支分別交于兩點.（1）求雙曲線C的方程；（2）記直線的斜率分別為，求的最小值.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）由點在雙曲線上，以及焦點到漸近線的距離得出雙曲線C的方程；（2）由直線與圓的位置關(guān)系得出，聯(lián)立