2023人教A版高中數(shù)學(xué)精講1

第一章集合與常用邏輯用語(yǔ)

1.1集合的概念

例1用列舉法表示下列集合：

（I）小于10的所有自然數(shù)組成的集合；

（2）方程/=x的所有實(shí)數(shù)根組成的集合.

解：⑴設(shè)小于10的所有自然數(shù)組成的集合為A,那么A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.

（2）設(shè)方程所有實(shí)數(shù)根組成的集合為8,那么8={0,1}.

由于元素完全相同的兩個(gè)集合相等，而與列舉的順序無(wú)關(guān)，因此一個(gè)集合可以有不同的列

舉方法.例如，例1（1）的集合還可以寫成A={9,8,7,6,5,4,3,2,1,0}等.

例2試分別用描述法和列舉法表示下列集合：

（1）方程V—2=0的所有實(shí)數(shù)根組成的集合A；

（2）由大于10且小于20的所有整數(shù)組成的集合B.

解：（1）設(shè)xeA,則x是一個(gè)實(shí)數(shù)，且/一2=0.因此，用描述法表示為

A=|XGR|X2-2=0|.

方程V一2=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根0,一日因此，用列舉法表示為人={也,一血}.

（2）設(shè)xeB,則x一個(gè)整數(shù)，即xeZ,且10<x<20.因此，用描述法表示為

B={XGZ|10<X<20}.

大于10且小于20的整數(shù)有11,12,13,14,15,16,17,18,19,因此，用列舉法表示

為

B=1,12,13,14,15,16,17,18,19}.

練習(xí)

1.判斷下列元素的全體是否組成集合，并說明理由：

（1）與定點(diǎn)A,B等距離的點(diǎn)；（2）高中學(xué)生中的游泳能手.

【答案】（1）是，理由見解析；（2）不是，理由見解析.

【解析】

【分析】

(1)與定點(diǎn)A,B等距離的這些點(diǎn)是確定的，根據(jù)集合的確定性判斷；

(2)游泳能手沒有一個(gè)固定的標(biāo)準(zhǔn)，即不滿足集合的確定性.

【詳解】(1)與定點(diǎn)A,8等距離的點(diǎn)可以組成集合，因?yàn)檫@些點(diǎn)是確定的.

(2)高中學(xué)生中的游泳能手不能組成集合，因?yàn)榻M成它的元素是不確定的.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了判斷是否構(gòu)成集合，一般從集合的確定性進(jìn)行判斷，屬于

基礎(chǔ)題.

2.用符號(hào)“e”或“青'填空：

0N；-3N；0.5Z；V2Z；；Q；冗R.

【答案】①.e②.至③.史④.史⑤.e(6).e

【解析】

【分析】

根據(jù)自然數(shù)，整數(shù)，有理數(shù)，實(shí)數(shù)的定義即可判斷.

【詳解】0是自然數(shù)，則OeN；-3不是自然數(shù)，則—3/N；0.5,拒不是整數(shù)，則

0.5Z,>/2Z；

g是有理數(shù)，則geQ；乃是無(wú)理數(shù)，則%GE

故答案為：(1)G;(2)史;(3)史;(4)自(5)e.(6)e

【點(diǎn)睛】本題主要考查了元素與集合間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

3.用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?/p>

(1)由方程爐-9=0的所有實(shí)數(shù)根組成的集合；

(2)一次函數(shù)丁=x+3與y=-2x+6圖象的交點(diǎn)組成的集合；

(3)不等式4尤-5<3的解集.

【答案】(I){-3,3}；(2){(1,4)};(3){x\x<2}.

【解析】

【分析】

(1)求出方程的根，用列舉法表示即可；

(2)求出交點(diǎn)，用列舉法表示即可；

(3)化簡(jiǎn)不等式，用描述法表示即可.

【詳解】(1)f_9=0nx=±3,則該方程所有實(shí)數(shù)根組成的集合為{-3,3}；

y=x+3fx=i

(2)由If，c/解得：4,則圖象的交點(diǎn)組成的集合為{(1,4)}；

f>=-2x+6[y=*4

(3)不等式4x-5<3可化為x<2,則該集合為{x|x<2}

【點(diǎn)睛】本題主要考查了用列舉法以及描述法表示集合，屬于基礎(chǔ)題.

習(xí)題1.1

復(fù)習(xí)鞏固

4.用符號(hào)“e”或“右”填空：

(1)設(shè)A為所有亞洲國(guó)家組成的集合，則中國(guó)______________4美國(guó)

A,印度A,英國(guó)_____________A；

(2)若A={x|x2=x},則-1A；

⑶若6={X|X2+X-6=O},貝1J3B；

(4)^C={XGN|M10},則8C,9.1C.

【答案】(1)片包e,住

(2)出

(3)史

(4)。史

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)國(guó)家的地理位置直接得到答案.

(2)計(jì)算得到4={x\x2=x}={0,1},再判斷關(guān)系.

(3)計(jì)算得到3={%，+尸6=0}={2,_3},再判斷關(guān)系.

(4)計(jì)算得到。={%€?^|1<%<10}={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},再判斷關(guān)系.

【詳解】(1)根據(jù)國(guó)家的地理位置直接得到答案：中國(guó)美國(guó)任A,印度

GA,英國(guó)任A；

(2)A={x|x2=x}={0,1},故一1，A；

(3)B={x|/+x-6=0}={2,-3},故3eA；

(4)C={XGN|1<X<10}={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10),故8eA,9.1eA；

故答案為：([)w,區(qū)w,史；(2)匕(3)￡；(4)e,史

【點(diǎn)睛】本題考查了元素和集合的關(guān)系，屬于簡(jiǎn)單題.

5.用列舉法表示下列集合：

(1)大于1且小于6的整數(shù)；

(2)A={x|(x-l)(x+2)=0}；

(3)8={xeZ卜3<2x-1<3}.

【答案】⑴{2,3,4,5}

(2)A={1,-2}

(3)8={0,1}

【解析】

【分析】(1)根據(jù)描述直接列舉出集合中的元素即可；

(2)求出一元二次方程的解，即可得出結(jié)果；

(3)解一元一次不等式組，進(jìn)而結(jié)合整數(shù)集的概念即可得出結(jié)果.

【小問1詳解】

大于I且小于6的整數(shù)組成的集合為{2,3,4,5}；

【小問2詳解】

A={x|(x_l)(x+2)=0}={1,-2}

【小問3詳解】

B={%eZ|-3<2x-l<3}={xeZ|-l<x<2}={0,l}

綜合運(yùn)用

6.把下列集合用另一種方法表示出來(lái)：

(I){2,4,6,8,10)；

(2)由1,2,3這三個(gè)數(shù)字抽出一部分或全部數(shù)字(沒有重復(fù))所組成的一切自

然數(shù)；

⑶{xeN|3cx<7}；

（4）中國(guó)古代四大發(fā)明

【答案】（1）{xeN|x=2左，女eZ且

（2）{1,2,3,12,21,13,31,23,32,123,132,213,231,312,321）

（3）（4,5,6）

（4）{造紙術(shù)，印刷術(shù)，指南針，火藥}

【解析】

【分析】

（1）用描述法寫出集合得到答案.

（2）用列舉法寫出集合得到答案.

（3）用列舉法寫出集合得到答案.

（4）用列舉法寫出集合得到答案.

【詳解】（I）（2,4,6,8,10}={%6%次=2匕女€2且1<%<11}.

（2）由1,2,3這三個(gè)數(shù)字抽出一部分或全部數(shù)字（沒有重復(fù)）所組成的一切自

然數(shù)：

{1,2,3,12,21,13,31,23,32,123,132,213,231,312,321}.

（3）{xeN[3<x<7}={4,5,6}.

（4）中國(guó)古代四大發(fā)明：{造紙術(shù)，印刷術(shù)，指南針，火藥}

【點(diǎn)睛】本題考查了集合的表示方法，意在考查學(xué)生對(duì)于集合表示方法的理解和掌

握.

7.用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?/p>

（1）二次函數(shù)）=/-4的函數(shù)值組成的集合；

2

（2）反比例函數(shù)>=一的自變量組成的集合；

x

（3）不等式3x24-2%的解集

【答案】（1）[y\y>-^]

(2){x|x*O}

⑶卜1臼

【解析】

【分析】

(1)求二次函數(shù)的值域得到答案.

(2)求反比例函數(shù)的定義域得到答案.

(3)解不等式得到答案.

【詳解】(1)二次函數(shù)丁=爐一4的函數(shù)值為

...二次函數(shù)y=f-4的函數(shù)值y組成的集合為{y|y=x2-4,xeR}={)，|y?T}.

2

(2)反比例函數(shù)y=—的自變量為x

x

2

..?反比例函數(shù)丁=—的自變量組成的集合為{幻工工0}.

x

(3)由3x24—2x,Mx>|,不等式3尤24—2x的解集為

【點(diǎn)睛】本題考查了集合的表示方法，意在考查學(xué)生對(duì)于集合表示方法的應(yīng)用.

拓廣探索

8.集