第一章復(fù)數(shù)講義-高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第一章復(fù)數(shù)第一部分：知識點精準記憶1?復(fù)數(shù)的概念我們把形如的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中叫做虛數(shù)單位，滿足.全體復(fù)數(shù)所構(gòu)成的集合叫做復(fù)數(shù)集.復(fù)數(shù)的表示：復(fù)數(shù)通常用字母表示，即，其中的與分別叫做復(fù)數(shù)的實部與虛部.2?復(fù)數(shù)相等在復(fù)數(shù)集中任取兩個數(shù)，，（），我們規(guī)定.3?復(fù)數(shù)的分類對于復(fù)數(shù)（），當且僅當時，它是實數(shù)；當且僅當時，它是實數(shù)0；當時，它叫做虛數(shù)；當且時，它叫做純虛數(shù).這樣，復(fù)數(shù)（）可以分類如下：4?復(fù)數(shù)的幾何意義（1）復(fù)數(shù)的幾何意義——與點對應(yīng)復(fù)數(shù)的幾何意義1：復(fù)數(shù)復(fù)平面內(nèi)的點（2）復(fù)數(shù)的幾何意義——與向量對應(yīng)復(fù)數(shù)的幾何意義2：復(fù)數(shù)平面向量5?復(fù)數(shù)的模向量的模叫做復(fù)數(shù)）的模，記為或公式：，其中復(fù)數(shù)模的幾何意義：復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點到原點的距離；特別的，時，復(fù)數(shù)是一個實數(shù)，它的模就等于（的絕對值）.6?共軛復(fù)數(shù)（1）定義一般地，當兩個復(fù)數(shù)的實部相等，虛部互為相反數(shù)時，這兩個復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù)；虛部不等于0的兩個共軛復(fù)數(shù)也叫共軛虛數(shù).（2）表示方法表示方法：復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)用表示，即如果，則.7?復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加法（減法）運算（1）復(fù)數(shù)的加法法則設(shè)，，（）是任意兩個復(fù)數(shù)，那么它們的和：顯然：兩個復(fù)數(shù)的和仍然是一個確定的復(fù)數(shù)（2）復(fù)數(shù)的減法法則類比實數(shù)集中減法的意義，我們規(guī)定，復(fù)數(shù)的減法是加法的逆運算，即把滿足：的復(fù)數(shù)叫做復(fù)數(shù)減去復(fù)數(shù)的差，記作注意：①兩個復(fù)數(shù)的差是一個確定的復(fù)數(shù)；②兩個復(fù)數(shù)相加減等于實部與實部相加減，虛部與虛部相加減.第二部分：課前自我評估測試1．已知復(fù)數(shù)，則實數(shù)x，y分別為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)相等的條件可得結(jié)果.【詳解】因為，所以，所以，得.故選：D2．已知復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點分別為，，則（

）A．1 B． C．2 D．3【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)模的幾何意義計算．【詳解】由題意，故選：B．3．若，則=（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意得，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義求解即可.【詳解】，所以.故選：C.4．復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（

）A．實軸 B．虛軸 C．第一象限 D．第四象限【答案】B【分析】利用復(fù)數(shù)的乘除運算可解.【詳解】解：由題意得：所以復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于虛軸上故選：B5．若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實數(shù)的值為（

）A． B．C．或 D．或【答案】A【分析】根據(jù)純虛數(shù)的定義列出式子即可求出.【詳解】因為是純虛數(shù)，所以，則，所以.故選：A.第三部分：典型例題剖析高頻考點一：復(fù)數(shù)的概念例題1.（2022·河南·高二階段練習(xí)（理））6．若復(fù)數(shù)，則的虛部為（

）A．2 B．1 C．0 D．【答案】A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算可得，再根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運算，可得，由此即可得到復(fù)數(shù)的虛部.【詳解】因為，所以，所以，所以的虛部為.故選：A.例題2.（2022·山西現(xiàn)代雙語學(xué)校高一階段練習(xí)）7．已知i是虛數(shù)單位，，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)的虛部為（

）A．1 B．C．2 D．－2【答案】C【分析】先求出復(fù)數(shù)，再由共軛復(fù)數(shù)及虛部的定義即可求解.【詳解】由題意知：，故的共軛復(fù)數(shù)，虛部為2.故選：C.例題3.（2022·河南南陽·高二期中（理））8．已知i為虛數(shù)單位，a，b∈R，若，則（

）A． B．0 C．2 D．4【答案】A【分析】結(jié)合復(fù)數(shù)乘法、復(fù)數(shù)相等、復(fù)數(shù)的模的知識求得正確答案.【詳解】依題意，所以，所以.故選：A例題4.（2022·河南新鄉(xiāng)·高一期中）9．若復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)單位的周期性，結(jié)合復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點的特征進行判斷即可.【詳解】因為，所以在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，它位于第三象限.故選：C題型歸類練（2022·廣東·華南師范大學(xué)第二附屬中學(xué)高一期中）10．已知，若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則（

）A．0 B．2 C．0或 D．【答案】D【分析】根據(jù)純虛數(shù)的概念直接得出，解之即可.【詳解】由復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，得，解得.故選：D.（2022·山西省長治市第二中學(xué)校高一期中）11．已知若（為虛數(shù)單位）是純虛數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的分類和性質(zhì)可得答案.【詳解】若（為虛數(shù)單位）為純虛數(shù)，則，得，故選：A.（2022·廣東·廣州市育才中學(xué)高一期中）12．復(fù)數(shù)滿足，為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意得到，計算求解即可.【詳解】因為，所以，所以，即，所以復(fù)數(shù)的虛部為：.故選：D.（2022·山西·一模（理））13．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則（

）A．-i B．-1 C．0或-1 D．0或-i【答案】D【分析】設(shè)出，得到方程組，求出，進而求出復(fù)數(shù).【詳解】設(shè)，則，則，所以，所以，解得：或，故或0故選：D（2022·遼寧沈陽·模擬預(yù)測）14．已知為復(fù)數(shù)，，則（

）A． B． C．3 D．5【答案】B【分析】由已知求出復(fù)數(shù)，根據(jù)模長公式即可求解.【詳解】解：因為為復(fù)數(shù)，，即，所以，所以，故選：B.（2022·安徽合肥·高三期末（文））15．若（i為虛數(shù)單位），則實數(shù)a的值為（

）A．－3 B．－1 C．1 D．3【答案】A【分析】由已知可得，根據(jù)復(fù)數(shù)乘法運算法則，和復(fù)數(shù)相等的充要條件，即可求解.【詳解】，∴.故選：A.（2022·廣西廣西·一模（理））16．已知復(fù)數(shù)的實部與虛部的和為12，則（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】先把已知化簡，整理出復(fù)數(shù)的實部與虛部，接下來去求即可解決.【詳解】，則有，，解得，則，，故．故選：C（2022·全國·高一課時練習(xí)）17．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的坐標是，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】若，，由即可求，寫出.【詳解】由題意，，若，，∴，則，即.故選：D高頻考點二：復(fù)數(shù)的四則運算例題1.（2022·山東·模擬預(yù)測）18．若復(fù)數(shù)，則的模為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算求出，得到即可求解.【詳解】解，則，所以故選：C例題2.（2022·河北唐山·高一期中）19．已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則（

）A． B． C． D．0【答案】C【分析】先由復(fù)數(shù)的除法運算計算出，再按照乘方運算計算即可.【詳解】，則，，，故.故選：C.例題3.（2022·北京海淀·二模）20．已知均為實數(shù).若，則．【答案】0【分析】直接由復(fù)數(shù)的乘法及復(fù)數(shù)相等求解即可.【詳解】，故，.故答案為：0.例題4.（2022·全國·高一課前預(yù)習(xí)）21．若復(fù)數(shù)（），復(fù)數(shù)．(1)求；(2)若，求實數(shù)a的值．【答案】(1)5(2)【分析】（1）直接計算即可；（2）先計算，再由虛部為0求出a即可.【詳解】（1）因為，所以；（2），由可得，解得.題型歸類練（2022·浙江·模擬預(yù)測）22．已知，其中，i為虛數(shù)單位，則（

）A． B．1 C． D．2【答案】A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運算結(jié)合復(fù)數(shù)相等的概念，列出方程，從而可得出答案.【詳解】解：因為，所以，所以，解得.故選A．（2022·四川省瀘縣第二中學(xué)模擬預(yù)測（理））23．復(fù)數(shù)z滿足（i為虛數(shù)單位），則z的虛部為（

）A．i B．-i C．-1 D．1【答案】D【分析】由已知等量關(guān)系，應(yīng)用復(fù)數(shù)的除法、加法求復(fù)數(shù)z，即可確定虛部.【詳解】由題設(shè)，，所以z的虛部為1.故選：D（2022·河南·民權(quán)縣第一高級中學(xué)模擬預(yù)測）24．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點的坐標是，則（

）A．2 B．3 C． D．1【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義及復(fù)數(shù)的模性質(zhì)計算即可【詳解】復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點的坐標是，∴，則.故選：D（2022·河北·高三期中）25．若，則（

）A．16 B．6 C．12 D．10【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法及加法運算化簡，再根據(jù)復(fù)數(shù)模的計算公式計算可得；【詳解】解：因為，所以故選：D（2022·吉林一中高一期中）26．已知復(fù)數(shù)z滿足，則的最大值為．【答案】##【分析】令且，將問題轉(zhuǎn)化為到圓上點的最大距離，再轉(zhuǎn)化為到圓心的距離加半徑即可得結(jié)果.【詳解】令且，則表示圓，所以圓心為，半徑為，由得表示圓上點到的距離，所以的最大值為.故答案為：.（2022·廣西·浦北中學(xué)高二期中（文））27．已知i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的模.【答案】【分析】由復(fù)數(shù)乘法化簡復(fù)數(shù)，再求其模長.【詳解】由，則.故答案為：2023年12月28日高中數(shù)學(xué)作業(yè)學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________小題狂練一、單選題1．已知復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法運算化簡即可求解.【詳解】,故對應(yīng)的點為，在第三象限，故選：C2．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用復(fù)數(shù)的除法化簡復(fù)數(shù)，利用復(fù)數(shù)的模長公式可求得的值.【詳解】因為，則，所以，.故選：C.3．復(fù)數(shù)，為虛數(shù)單位，則A． B． C． D．【答案】D【分析】利用復(fù)數(shù)的模長公式可求得結(jié)果.【詳解】，因此，.故選：D.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)模長的計算，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.4．若復(fù)數(shù)的模為1，則不可能是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運算化簡，再利用復(fù)數(shù)模長公式求出結(jié)果【詳解】選項A:；選項B:選項C:；選項D:故選：B【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運算和復(fù)數(shù)的模長運算.復(fù)數(shù)的除法運算關(guān)鍵是分母“實數(shù)化”，其一般步驟如下：(1)分子、分母同時乘分母的共軛復(fù)數(shù)；(2)對分子、分母分別進行乘法運算；(3)整理、化簡成實部、虛部分開的標準形式．復(fù)數(shù)的模等于復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點到原點的距離，也等于復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量的模．5．已知復(fù)數(shù)滿足：，且的實部為2，則A．3 B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意設(shè)，得到，求出，再根據(jù)復(fù)數(shù)的模的概念得到結(jié)果.【詳解】設(shè)，則由，得到，則=.故選：B.6．已知復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位),則對應(yīng)的點在A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】化簡,可得,即可求得對應(yīng)的點.【詳解】對應(yīng)的點為,故在第四象限故選:D.【點睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的四則運算,以及復(fù)數(shù)的基本概念的應(yīng)用,其中解答中熟練應(yīng)用復(fù)數(shù)的運算法則化簡是解答的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.7．是虛數(shù)單位，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)運算確定正確選項.【詳解】依題意.故選：A8．i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則（

）A． B．2 C． D．【答案】A【分析】先求出復(fù)數(shù)z，再求.【詳解】因為i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，所以，所以.故選：A9．復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標為（

）A．(1，0) B．(0，1) C．(，0) D．(0，)【答案】D【分析】求出左邊復(fù)數(shù)的模，利用除法運算化簡復(fù)數(shù)z，可得復(fù)數(shù)z的坐標，從而可得答案.【詳解】因為，所以，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標為，故選：D．【點睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的模與復(fù)數(shù)的除法運算，考查了復(fù)數(shù)的坐標表示，屬于基礎(chǔ)題.10．設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，則(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出復(fù)數(shù)，然后化簡即可【詳解】由題意可得，所以，故選：D11．已知，i為虛數(shù)單位，則（

）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】把z值代入z2+z中計算即可得解.【詳解】因，則故選：B12．設(shè)是虛數(shù)，是實數(shù)，則的值為（

）A．1 B．2 C． D．無法確定【答案】A【分析】利用復(fù)數(shù)和模的定義，即可求解【詳解】設(shè)，且，，為實數(shù)，則，得則，則的值為故選：A13．已知復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，則，代入原式，利用復(fù)數(shù)相等求出，進而可得答案.【詳解】設(shè)，則，由可得：，則，，所以，故選：A．14．復(fù)數(shù)的虛部為（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】利用復(fù)數(shù)的除法和乘法算出，即得.【詳解】，其虛部為.故選：C.15．已知復(fù)數(shù)滿足(為虛數(shù)單位)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法運算法則，求出，即可得出結(jié)論.【詳解】.故選：B.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)運算和共軛復(fù)數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.16．復(fù)數(shù)的虛部是（

）A．1 B． C．2 D．【答案】A【分析】由復(fù)數(shù)除法法則化簡復(fù)數(shù)后可得虛部．【詳解】，虛部為1．故選：A．17．已知a，b∈R，i為虛數(shù)單位，(2a+i)(1+3i)=3+bi，則a+b=A．22 B．-16 C．9 D．-9【答案】A【分析】直接利用復(fù)數(shù)的乘法運算及復(fù)數(shù)相等的條件列式求得a，b的值．【詳解】∵（2a+i）（1+3i）＝3+bi，∴2a﹣3+（6a+1）i＝3+bi，∴，解得a＝3，b＝19，∴a+b＝3+19＝22，故選A．【點睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查了復(fù)數(shù)相等的條件，是基礎(chǔ)題．18．若復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z的虛部為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運算，結(jié)合復(fù)數(shù)的定義即可得解.【詳解】因為，所以復(fù)數(shù)z的虛部為.故選：C.19．復(fù)數(shù)，則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第（

）象限．A．一 B．二 C．三 D．四【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義求解即可【詳解】，故z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限故選：D20．復(fù)數(shù)的虛部是A．—1 B． C．1 D．【答案】B【詳解】的虛部為.應(yīng)選B.二、多選題21．若，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．若，則或C． D．若，則或【答案】ACD【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義和共軛復(fù)數(shù)的定義，結(jié)合復(fù)數(shù)的乘法運算依次判斷選項即可.【詳解】A：設(shè)，則，所以，又，所以，故A對；B：設(shè)，滿足，此時且，故B錯；C：設(shè)，，，，，，所以，故C對；D：若，則或，故D對.故選：ACD.22．已知復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．z的共軛復(fù)數(shù)為 D．z的虛部為【答案】AD【分析】化簡復(fù)數(shù)，利用復(fù)數(shù)的模、乘方運算、共軛復(fù)數(shù)、虛部概念逐一判斷即可.【詳解】∵，∴，A正確；，B錯誤；z的共軛復(fù)數(shù)為，C錯誤；z的虛部為，正確.故選：AD23．設(shè)是復(fù)數(shù)，則下列說法中正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】BC【分析】由復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)的乘法、共軛復(fù)數(shù)依次判斷4個選項即可.【詳解】對于A，由得，即，錯誤；對于B，若，則互為共軛復(fù)數(shù)，故，正確；對于C，設(shè)，若，則，又，故，正確；對于D，若，則，而，錯誤.故選：BC.24．已知是復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，下列式子中與相等的有（

）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】設(shè)（），分別利用復(fù)數(shù)的運算法則和模長公式逐一計算四個選項即可得正確選項.【詳解】設(shè)（），對于A：，故選項A不正確；對于B：，故選項B正確；對于C：，故選項C正確；對于D：，，故選項D正確，故選：BCD.25．下列命題中正確的是（

）A．若，，，則B．若復(fù)數(shù)，滿足，則C．若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則D．若復(fù)數(shù)滿足，則的最大值為【答案】AD【分析】A由復(fù)數(shù)相等條件即可判斷正誤；B、C應(yīng)用特殊值法，代入驗證即可；D根據(jù)的幾何含義：以為圓心2為半徑