《離散數(shù)學》題庫及答案

1《離散數(shù)學》題庫與答案答234）可用蘊含等值式證明3、設(shè)有下列公式，請問哪幾個是永真蘊涵式?()26、命題“存在一些人是大學生”的否定是(答：所有人都不是大學生，有些人不會死（命題在哪個個體域中為真?()312、永真式的否定是()<4且xER},Q={x|5<x2+16且xER},則下列命題哪個正確()422、判斷下列命題哪個為真?()27、A,B,C是三個集合，則下列哪幾個推理正確：528、設(shè)A=｛1,2,3,4,5,6B={1,2,3}，從A到B的關(guān)系R=｛〈x,y〉|x=y2-1。R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<5,5>,<6,6>,<1,2>,<1,3>,<1,4>,<160| 0| 0| 0]R-1的關(guān)系矩陣=|0036、集合A={1,2,…,10}上的關(guān)系R={<x,y>|x+y=10,x,yeA}，則R的性質(zhì)(2)若a,b,x∈G，a*x=a*b，則x=()。7等元）44、素數(shù)階群一定是()群,它的生成元是答：循環(huán)群，任一非單位元（證明如下：任一元46、<H,,*>是<G,,*>的子群的充分必要條件是()。答：<H,,*>是群或a，bG，a*bH，a-1H或a,bG，a*b-1H49、在自然數(shù)集N上，下列哪種運算是可結(jié)合的？()852、下列哪個偏序集構(gòu)成有界格()n92）（）（）（BC(8)RSCP18）（3）R（12）（7）Q（15）（8）S（36）（12）W（710）（13）X（811）（14）W^X（1213）（5）U（34）M^NM（5）R（24）（7）Q→S（56）（8）S（27）CP28）CP19）（5）P（34）=P喻(Q喻P)P常S(1)（P喻Q）^（P喻R）前提（3）Q（12）（8）RR（57）17、用真值表法證明PQ(PQ)(QP)PQPQPQ（PQQP）BC（12）C（14）B（35）四、設(shè)A,B,C是三個集合，證明：3、AB=AC，AB=AC，則C=B4、AB=A(B-A)5、A=BAB=設(shè)A=B，則AB=（A-BB-A）==。設(shè)AB=，則AB=（A-BB-A）=。故A-B=，B-A=，從而AB，BA，故A=B。6、AB=AC，AB=AC，則C=B7、AB=AC，AB=AC，則C=B9、(A－B)(A－C)=A－(BC)11、A=(A-B)(A-C)ABC=12、(A-B)(A-C)=ABC所以=A-(BC)，故ABC。x(A-B)-C，有xA-B且xC，即xA，xB且xC。從而xA，xB-C，故xA-(B-C)。從而(A-B)-CA-(B-C)15、P(A)P(B)P(AB)（P(S)表示S的冪集）SP(A)P(B)，有SP(A)或SP(B)，所以SA或SB。16、P(A)P(B)=P(AB)（P(S)表示S的冪集）SP(A)P(B)，有SP(A)且SP(B)，所以SA且SB。從而SP(A)且SP(B)，故SP(A)P(B)。即P(AB)P(A)P(B)。(1)xy（xy=1）;(2)xy(xy=1);（2）vxvyvz((L(x,y)^L(y,z))喻L(x,z))（3）vxvy((L(x,y)喻二z(L(z,0)^G(xz,yz)))（2）A={1,2,3,4,5}，B={1,2}，R={<x,y>|2<x+y<4且xEA且yEB};（3）A={1,2,3}，B={-3,-2,-1,0,1}，R={<x,y>||x|=|y|且xeA且yeB};4、對任意集合A,B，證明：若AxA=BxB，則B=B。對vxeB,<x,x>eBxB。因為AxA=BxB，則<x,x>eAxA。從而xeA。故B堅A。對vxeB,因為A子Φ,所以存在yeA,使<y,x>eAxB。因為AxB=AxC，則<y,x>eAxC。從而xeC。故B堅C。(1)Ax{0,1}xB；(2)B2xA；（1）Ax{0,1}xB={<a,0,c>,<a,1,c>,<b,0,c>,<b,1,c>};（3）(AxB)2={<a,c,a,c>,<a,c,b,c>,<b,c,a,c>,<b,c,b（1）ABC2）ABC3）(AB)UC;（4）P(A)-P(B);（5）(A-B)U(B-C);（6）(AB)C;（1）若AB，且BC，則AC；（2）若AB，且BC，則AC;（3）若AB，且BC，則AC；（4）若AB，且BC，則AC；對xA,因為AB，所以xB。又因為BC，所以xC。即AC。但AC。但AC。(4)成立。因為AB,且BC，所以AC。AxAR是自反的，xRx。即<x,x>R，故IR。AxAIR，<x,x>R。即xRx，故R是自反的。Ax，yA，若<x,y>R，即<y,x>R-1。：R=R-1，<y,x>R。即yRx，故（1）<x，z>R。(ST)，則由合成關(guān)系的定義知yB，使得<x，y:R|（1）B={{1,3,6},{2,8,10（2）C={{1,5,7},{2,4,8,9},{3,（3）D={{1,2,7},{3,5,10},{4A<10,3>,<10,5>,<5,10>,<4,6>,<6,4>,<Aaaeb5,a9},{a2,a6,a10},{a3,a7,a11}。35264-1=c-1-1H。3354。45（1）a,b,cI，(a*b)*c=(a*b（3）對vaeI，因為a*（4-a）=a+4-a-2=2=e=4-a+a-2=(4-a)*a。故4-a是al=ak+l2。a,bSa·b）2=(a·b)·(a·b)=((a·b)·a)·b仁va,b=S，因為（a·b）2=a2·b2，所以(a·b)·(a·b)=(a·a)·(b·b)。40、設(shè)*是集合A上可結(jié)合的二元運算，且va,b=A,若a*b=b*a，則a=（1）va=A,a*a=a，即a是等冪元；（2）va,b=A,a*b*a=a;（3）va,b,c=A,a*b*c=a*c。（1）va=A,記b=a*a。因為*是可結(jié)合的，故有b*a=(a*a)*a=a*(a*a)=a*b。（2）va,b=A,因為由（1a*(a*b*a)=(a*a)*(b*a)=a*(b*a),（3）va,b,c=A,（a*b*c）*（a*c）=a*b*c）*a）*c=(a*(b*c)*a)*c且(a*c)*(a*b*c)=a*(c*(a*b*c))且(a*c)*(a*b*c)=a*(c-1)-1=(f(b)-1-1=a-1-1對aG，若aH，則aH=H,Ha=H。否則因為aG-H，故aHH,HaH。從而-1-1對aG，hC(G)，記b=a·h·a-1。下證bC(G)。因為hC(G)，所以-1-1=h·(a·a-1)=hC(G)。-1：e?e=e，eT，即T是S的非空子集。a,bT,：<S，?>是可交換獨異點,(a?b)?(a?b)=((a?b)?a)?b=(a?(b?a))?b=（a?(a?b)）?b=((a?a)?b)?b=(a?a)?(b?b)=a?b,即a?bT。nr=ak-mq=ak.a-mq=b.(am)-q。d1nnm則1（4）若h為單一同態(tài)，則vaeG，|h(a)|=|a|。1(1)因為h(e).h(e)=h(e.e)=h(e)=e.h(e)(2)va∈G，h(a).h(a-1)=h(a.a-1)=h(e)=e,h(a-1).h(a)=h(a-1.a)=h(e)=e,故h(a-1)=h(a)-1。(3)vc,d∈h(H),二a,b∈H，使得c=h(a),d=h(b)。故c.d=h(a).h(b)=h(a*b)。因為H<G，所以a*b∈H，故c.d∈h(H)。又c-1=(h(a))-1=h(a-1)設(shè)|G|=n，vaeG，則|a|=m。令H={e,a,a2,…,am-1}。a.b=c。同理可得a.c=c.a=b,c.b=b.c=a,b.a=c。是k。-1故a,beG，從而a*beG。有（2）a∈G，a?H?a-1H；（3）a∈G，a-1?H?aH；（4）a∈G，h∈G，a?h?a-1H。1a-1?H?aH。(4)(1)a∈G，對b∈a?H，則h∈H，使得b=a?h。故b=(a?h)-1?a)=(a?h?a-1)?a。由于a?h?a-1∈H，所以b∈H?a。即a?HH?a。-1)即H?aa?H。Rb*e=(y*a)*e=y*(a*e)=y*a=b。Le*b=e*(a*x)=(e*a)*x=a*x=b。-1。因為H和K都是G的子群，所以a-1H,b-1K，即cKH。-1-1HK。從而KHHK。-1=(a-1=b-1-1。因為H和K都是G的子群，故a-1H,b-1K。從而-1KH。因為HK=KH，所以c-1HK。=(c*b)2*a*bn2=(c*b)2*(a*b)*bn3=(c*b)2*(c*b*a)*bn3=(c*b)3*a*bn3=…=(c*b)n*a,=am2*b*(a*c)2=am3*(a*b)*(a*c)=am3*b*(a*c)3=…=b*(a*c)m,n69、設(shè)(L,≤)是格，若a,b,ceL，a≤b≤c，則72、在布爾代數(shù)中，證明恒等式(a*c)①(a,*b)①(b*c)=(a*c)①(a,*b)((a*c)①(a,*b))*(b*c)=((a*c)*(b*c))①((a,*b)*(b*c))=(a*b*c)①(a,*b*c)=(a①a,)*b*c=1*b*c=b*c,故b*c<(a*c)①(a,*b)，從而(a*c)①(a,*b)①(b*c)=(a*c)①(a,*b)。73、在布爾代數(shù)中，證明恒等式(a*b)①(a,*c)①(b,*c)=(a*b)①c(a*c)*(b*d)=((a*c)*b)*d=(b*(a*c))*d=((b*a)*c)*d=a*(c*d)=a*c，所以a*c<b*d。n.....5.2.1....9.9.=(a*b*c)①(a*b*a,)①(a*c,*a,)①(a*c,*c)①(b,*b*c)①(b,*c,*c)①(b,*c,*a,)①(b,*b*a,)=(a*b*c)=(a,*b,*c,)①(a,*b,*a)①(a,*c*c,)①(a,*c*a)①(b*b,*c,)I[a,b]={xEL|a≤x≤b}83、證明：在有補分配格中，每個元素的補元一定惟一。84、設(shè)<L,,>是格，則L是分配格當且僅當a,b,cL，有(ab)ca(bc)設(shè)L是分配格。對a,b,cL，有85、設(shè)<S,,⊙,′,0,1>是一布爾代數(shù)，則<S,＋>是一個交換群，其中+a,bSS,,⊙,′,0,1>是一布爾代數(shù)，aSS,,⊙,′,0,1>是一布爾代數(shù)，，：veVveV解veVkkveVkveVΣdeg(v)>2n>2n-2。veVveVΣdeg(v)>2(n-1)+1>2n-2,veV則m<k(n-2)／(k-2)。feFk所以m<k(n-2)／(k-2)。fF298、證明對于連通無向簡單平面圖，當邊數(shù)e＜30時由歐拉握手定理得Σdeg(v)=2|E|得5n<2m。所以對每個面f,deg(f)3。fF-6。:d(f)之3，vfeF。feF3:|E|<3|V|－6。feF,d(f)=3。所以對任一feF，deg(f)之3。再由公式Σdeg(f)=2|E|，Σdeg(f)=24。feFfeF101、設(shè)G=<V,E>是n個頂點的無向圖(n>2)，若對任意u,veV，有2將每個人對應(yīng)成相應(yīng)的頂點，若兩人是朋友，則從而存在哈密爾頓回路。任取一條哈密爾頓回路，將每個人對應(yīng)成相應(yīng)的頂點，若兩人是朋友，則1（1）A=|000022=|0A3=|00110043014=4104]1..v4.v2.v.v31ea..dec○.b.fbffa?c?b?fcbdaabdbbcdafbf●??d?a47b??f13v16422vvdedeS13443344m5mmmm6v2v3t34v6v65779996aab |10A=|01|00則c0|0|0000000004|||||||||430001ΣiiΣdeg(v)=2|E|veV常設(shè)G=<V,E>是強連通圖。任取u,veV，則u和v相互可達，1