天津市七區(qū)2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（含解析）

高二數(shù)學(xué)第Ⅰ卷（36分）一、選擇題：本大題共9小題，每小題4分，共36分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知空間向量，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求解.【詳解】，，故選：A2.直線的傾斜角為（）A.45° B.90° C.135° D.150°【答案】C【解析】【分析】求出直線的斜率，根據(jù)斜率的定義即可得出傾斜角.【詳解】直線化為，則斜率，又傾斜角，所以傾斜角為.故選：C.3.拋物線的準(zhǔn)線方程為A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用的準(zhǔn)線方程為，能求出拋物線的準(zhǔn)線方程.【詳解】，拋物線的準(zhǔn)線方程為，即，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單性質(zhì)，意在考查對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握與應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.4.在等差數(shù)列中,,,則公差（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】設(shè)公差為,根據(jù)題意將已知條件化為和的形式,解方程組即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)公差為,則,解得.故選:C.5.若雙曲線與橢圓有公共焦點(diǎn)，且離心率為，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)橢圓確定雙曲線焦點(diǎn)，再由離心率求出，即可求出雙曲線漸近線方程.【詳解】由橢圓知，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，即，又，所以，所以，所以雙曲線的漸近線方程為，故選：D6.在棱長(zhǎng)為1的正方體中，為線段的中點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】建立如圖所示，以為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S，軸，軸正方向得空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)公式點(diǎn)到直線的距離為計(jì)算即可解決.【詳解】由題知，棱長(zhǎng)為1的正方體中，為線段的中點(diǎn)，所以建立如圖所示，以為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S，軸，軸正方向得空間直角坐標(biāo)系，所以,所以,所以點(diǎn)到直線的距離為,故選：B7.數(shù)列中，，且，則A.1024 B.1023 C.510 D.511【答案】D【解析】【分析】由題意結(jié)合遞推關(guān)系求解的值即可.【詳解】由題意可得：，則：.本題選擇D選項(xiàng).【點(diǎn)睛】數(shù)列的遞推關(guān)系是給出數(shù)列的一種方法，根據(jù)給出的初始值和遞推關(guān)系可以依次寫(xiě)出這個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)，由遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式，常用的方法有：①求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，再歸納猜想出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式；②將已知遞推關(guān)系式整理、變形，變成等差、等比數(shù)列，或用累加法、累乘法、迭代法求通項(xiàng)．8.已知直線與圓相交于A，B兩點(diǎn)，若，則m的值為（）A. B. C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】求出圓心和半徑，再利用圓心到直線的距離求得，由即可解得的值.【詳解】，化簡(jiǎn)，可得圓心，半徑為，圓心到直線的距離，，即，或（舍去）故選：D.9.已知F是橢圓的左焦點(diǎn)，點(diǎn)，若P是橢圓上任意一點(diǎn)，則的最大值為（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，，計(jì)算得到答案.【詳解】設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，，當(dāng)三點(diǎn)共線，且在之間時(shí)等號(hào)成立.故選：A第Ⅱ卷（共84分）二、填空題：本大題共6小題，每小題4分，共24分．試題中包含兩個(gè)空的，每個(gè)空2分．10.已知空間向量，，且與是共線向量，則實(shí)數(shù)x的值為_(kāi)______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)向量共線得到，列出方程組，求出答案.【詳解】設(shè)，則，解得：.故答案為：-611.已知的三個(gè)頂點(diǎn)，，，則邊上的高所在直線方程為_(kāi)______．【答案】【解析】【分析】求出直線的斜率，進(jìn)而由垂直關(guān)系得到所求直線的斜率，由直線方程點(diǎn)斜式得到答案.【詳解】直線的斜率為，故邊上的高所在直線的斜率為，則邊上的高所在直線方程為，整理得.故答案為：12.在平行六面體中，，，，，則的長(zhǎng)為_(kāi)______．【答案】【解析】【分析】由空間向量基本定理得到，平方后得到，得到的長(zhǎng).【詳解】由題意得：，故，故.故答案為：13.已知等比數(shù)列滿足，，則_______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解即可.【詳解】，，解得，，故答案為：14.過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)作x軸的垂線，交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，以為直徑的圓恰好過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn)，則雙曲線的離心率為_(kāi)______．【答案】##【解析】【分析】設(shè)雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，根據(jù)題意可得，從而建立方程，即可求得雙曲線的離心率.【詳解】設(shè)雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)做x軸的垂線，交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，則，又因?yàn)橐詾橹睆降膱A恰好過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn)，所以，即，所以，則，解得：或（舍去），故答案為：.15.已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最小值是_______．【答案】【解析】【分析】設(shè)，轉(zhuǎn)化為直線與圓有公共點(diǎn)，只需聯(lián)立方程有解，利用判別式即可求出.【詳解】令，即，聯(lián)立，消元得，由題意，，解得，故的最小值為.故答案為：三、解答題：本大題共5小題，共60分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．16.已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，等差數(shù)列滿足，是和的等差中項(xiàng)，求和的通項(xiàng)公式．【答案】，.【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式列方程求解即可.【詳解】設(shè)的公比為，顯然.由題意解得所以的通項(xiàng)公式為.設(shè)數(shù)列的公差為，則所以，所以，即，解得，.17.已知圓心為C的圓經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，且圓心C在直線上．（1）求圓C的方程；（2）已知點(diǎn)，點(diǎn)N在圓C上運(yùn)動(dòng)，求線段中點(diǎn)P的軌跡方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)出圓標(biāo)準(zhǔn)方程，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的方程，結(jié)婚圓心在直線上，列出方程組，解之即可求解；（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)的坐標(biāo)是，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式和點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)即可求解.【小問(wèn)1詳解】設(shè)圓的方程為，由題意得，解得所以圓的方程為.【小問(wèn)2詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)的坐標(biāo)是，由于點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，所以，于是因?yàn)辄c(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，所以點(diǎn)的坐標(biāo)滿足圓的方程，即所以，整理得所以，線段中點(diǎn)的軌跡方程.18.如圖，在四棱錐中，底面，，，，E為中點(diǎn)，作交于點(diǎn)F．（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法證明線面垂直；（2）把二面角計(jì)算問(wèn)題轉(zhuǎn)化為法向量夾角問(wèn)題.【小問(wèn)1詳解】證明：依題意得，以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.，因?yàn)辄c(diǎn)為中點(diǎn)，所以，所以，，又，而，所以.由已知，且，在平面內(nèi),所以平面.【小問(wèn)2詳解】由（1）知為平面的一個(gè)法向量，又，,設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則平面與平面的夾角就是與的夾角或其補(bǔ)角.，所以，所以取，則.所以平面與平面的夾角的余弦值為.19.已知橢圓過(guò)點(diǎn)，且離心率為．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F的直線l與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，且，求直線l的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓的離心率公式，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程，即可求得a和b的值，即可求得橢圓方程；（2）設(shè)直線l的方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及向量的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求得直線l的方程．【小問(wèn)1詳解】由橢圓過(guò)點(diǎn)可知，，又得，即，所以，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，解得，所以，由得，即，所以，所以，，所以，化簡(jiǎn)得，所以，所以直線的方程20.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．（1）求證：是等比數(shù)列；（2）在與之間插入n個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.