湖北省孝感市2022-2023學年高二上學期1月期末數(shù)學試題（含解析）

湖北省孝感市2022-2023年高二上學期1月期末考試數(shù)學試卷注意事項:1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在試卷上無效.3.考試結(jié)束后，本試卷和答題卡一并交回.第I卷（選擇題）一、單選題（本大題共8小題，共40.0分.在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.已知空間向量，若，則（

）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)空間向量平行的坐標運算，即可進一步求解.【詳解】根據(jù)題意，由，設，即解得：，則有，由此得．故選：B.2.設不同直線：，：，則“”是“”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【詳解】當m＝2時，代入兩直線方程中，易知兩直線平行，即充分性成立．當l1∥l2時，顯然m≠0，從而有＝m－1，解得m＝2或m＝－1，但當m＝－1時，兩直線重合，不合要求，故必要性成立，故選C.點睛：充分、必要條件的三種判斷方法．1．定義法：直接判斷“若則”、“若則”的真假．并注意和圖示相結(jié)合，例如“?”為真，則是的充分條件．2．等價法：利用?與非?非，?與非?非，?與非?非的等價關系，對于條件或結(jié)論是否定式的命題，一般運用等價法．3．集合法：若?，則是的充分條件或是的必要條件；若＝，則是的充要條件．3.將字母，，分別填入標號為，，的三個方格里，每格填上一個字母，則每個方格的標號與所填的字母均不相同的概率是（

）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)古典概率的運算公式進行求解即可.【詳解】將字母，，填入標號為，，的三個方格里有種不同的填法，這種情況發(fā)生的可能性是相等的而每個方格的標號與所填的字母均不相同只有兩種不同的填法故所求概率．故選：B4.過點，，且圓心在直線上的圓的方程是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先求得線段AB的中垂線的方程，再根據(jù)圓心又在直線上求得圓心，圓心到點A的距離為半徑，可得圓的方程．【詳解】因為過點與，所以線段AB的中點坐標為，，所以線段AB的中垂線的斜率為，所以線段AB的中垂線的方程為，又因為圓心在直線上，所以，解得，所以圓心為，所以圓的方程為.故選：A5.已知直三棱柱中，，，，則異面直線與所成角的余弦值為A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】如圖所示，設分別為，和的中點則,夾角為和夾角或其補角因異面直線所成角的范圍為可知，作中點，則直角三角形,中，由余弦定理得：,在中，在中，由余弦定理得

又異面直線所成角的范圍為異面直線與所成角的余弦值為故選6.已知雙曲線的漸近線方程為，則雙曲線的離心率為（

）A. B. C.或 D.或【答案】D【解析】【分析】分兩種情況焦點在軸上與焦點在軸上，再根據(jù)離心率公式即可得到答案.【詳解】當雙曲線的焦點在軸上時，離心率；當焦點在軸上時．故選：D.7.在等差數(shù)列中，其前項和為，若，，則中最大的是（

）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求得數(shù)列的首項和公差的關系式，然后結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求得正確答案.【詳解】設等差數(shù)列的公差為，由得，所以，由，得到所以，，從而當時有最大值．故選：C8.法國數(shù)學家、化學家和物理學家加斯帕爾·蒙日被稱為“畫法幾何之父”，他創(chuàng)立的畫法幾何學推動了空間解析幾何的發(fā)展，被廣泛應用于工程制圖當中．過橢圓外的一點作橢圓的兩條切線，若兩條切線互相垂直，則該點的軌跡是以橢圓的中心為圓心、以為半徑的圓，這個圓叫做橢圓的蒙日圓．若橢圓的蒙日圓為，過圓E上的動點M作橢圓C的兩條切線，分別與圓E交于P，Q兩點，直線PQ與橢圓C交于A，B兩點，則下列結(jié)論不正確的是（）A.橢圓C的離心率為B.M到C的右焦點的距離的最大值為C.若動點N在C上，記直線AN，BN的斜率分別為，，則D.面積的最大值為【答案】D【解析】【分析】A.根據(jù)蒙日圓的定義，可求橢圓方程，即可判斷；B.根據(jù)橢圓方程和圓的方程，結(jié)合幾何意義，即可判斷；C.根據(jù)為圓的直徑，則點關于原點對稱，利用點在橢圓上，證明；D.利用圓的幾何性質(zhì)，確定面積的最大值.【詳解】A.因為橢圓的蒙日圓為，根據(jù)蒙日圓的定義，，得，所以橢圓，，，則，所以橢圓的離心率，故A正確；B.點是圓上的動點，橢圓的右焦點，則的最大值是，故B正確；C.根據(jù)蒙日圓的定義可知，則為圓的直徑,與橢圓交于兩點，點關于原點對稱，設，，，，故C正確；D.因為為圓的直徑，，當點到直線的距離為時，的面積最大，此時最大值是，故D錯誤.故選：D二、多選題（本大題共4小題，共20.0分.在每小題有多項符合題目要求）9.已知等差數(shù)列為遞減數(shù)列，且，，則下列結(jié)論中正確的有（

）A.數(shù)列的公差為 B.C.數(shù)列是公差為的等差數(shù)列 D.【答案】ABC【解析】【分析】A選項，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得到，從而求出，，得到公差，A正確；利用等差數(shù)列求通項公式求出B正確；由，得到當時，，結(jié)合，從而得到C正確；在C選項的基礎上，求出，結(jié)合，求出答案.【詳解】由題意知，又，故可看出方程的兩根，∵數(shù)列為遞減數(shù)列，，．公差，故A正確；又，，故B正確；由上可知，則當時，，當時，，數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，故C正確；由C選項知：，故，∵，，故D錯誤．故選：ABC10.已知圓，直線，則下列命題中正確的有（）A.直線恒過定點B.圓被軸截得的弦長為C.直線與圓恒相離D.直線被圓截得最短弦長時，直線的方程為【答案】AD【解析】【分析】求出直線所過的定點即可判斷選項；求出圓與軸的交點坐標，進而求出弦長可判斷選項；根據(jù)直線過的定點在圓內(nèi)可判斷選項；當直線截得的弦長最短時，，，即可求出直線方程，進而判斷選項.【詳解】將直線的方程整理為，由，解得：，則無論為何值，直線過都定點，故選項正確；令，則，解得，故圓被軸截得的弦長為，故不正確；因為，所以點在圓的內(nèi)部，直線與圓相交，故不正確；圓心，半徑為，，當截得的弦長最短時，，，則直線的斜率為，此時直線的方程為，即，故正確．故選：.11.拋物線的焦點為，直線過點，斜率為，且交拋物線于、兩點點在軸的下方，拋物線的準線為，交于，交于，點，為拋物線上任一點，則下列結(jié)論中正確的有（

）A.若，則 B.的最小值為C.若，則 D.【答案】ABD【解析】分析】根據(jù)焦半徑結(jié)合圖形關系即可判斷A,根據(jù)三點共線即可判斷B，根據(jù)焦點弦即可求解C，聯(lián)立方程根據(jù)向量垂直即可求解.【詳解】對于A;設，過做于點，則，，易得，從而A正確對于過、分別作、于點、，則,當三點共線時，此時最小值為,從而B正確對于由得,,，當時，，C錯誤對于D,由得，，，從而，故D正確，故選：ABD12.如圖，在正方體中，點在線段上運動，有下列判斷，其中正確的是（）A.平面平面B.平面C.異面直線與所成角的取值范圍是D.三棱錐的體積不變【答案】ABD【解析】【分析】對于A，利用線面垂直的判定定理證得平面，從而利用面面垂直的判定定理即可判斷；對于B，利用線面平行與面面平行的判定定理證得平面平面，從而得以判斷；對于C，利用線線平行將異面直線與所成角轉(zhuǎn)化為與所成的角，從而在等邊中即可求得該角的范圍，由此判斷即可；對于D，先利用線線平行得到點到面平面的距離不變，再利用等體積法即可判斷.【詳解】對于A，連接，如圖，因為在正方體中，平面，又平面，所以，因為在正方形中，又與為平面內(nèi)兩條相交直線，所以平面，因為平面，所以，同理可得，因為與為平面內(nèi)兩條相交直線，可得平面，又平面，從而平面平面，故A正確；.對于B，連接，，如圖，因為，，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，同理平面，又、為平面內(nèi)兩條相交直線，所以平面平面，因為平面，所以平面，故B正確；對于C，因為，所以與所成角即為與所成的角，因為，所以為等邊三角形，當與線段的兩端點重合時，與所成角取得最小值；當與線段的中點重合時，與所成角取得最大值；所以與所成角的范圍是，故C錯誤；對于D，由選項B得平面，故上任意一點到平面的距離均相等，即點到面平面的距離不變，不妨設為，則，所以三棱錐的體積不變，故D正確．故選：ABD.【點睛】關鍵點睛：解答本題關鍵在于熟練掌握線面垂直與面面垂直的判定定理、線面平行與面面平行的判定定理，能夠利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關系的相互轉(zhuǎn)化嚴密推理.第II卷（非選擇題）三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.已知直線l的斜率為，且和坐標軸圍成的三角形的面積為3，則直線l的方程為___________.【答案】或【解析】【分析】設直線方程為，根據(jù)題設條件得到關于的方程組，解方程組后可得所求的直線方程.【詳解】設直線的方程為，則，且，解得或者，∴直線l的方程為或，即或.故答案為：或.14.圓與圓的公切線共有__________條【答案】4【解析】【分析】由兩圓的位置關系，判斷兩圓的公切線.【詳解】由，所以該圓的圓心坐標為，半徑為2，，所以該圓的圓心坐標為，半徑為1，所以該兩圓圓心距為4，兩圓半徑和為3，因為，所以兩圓的位置關系是外離，故兩圓的公切線共有4條.故答案為：4.15.設數(shù)列的前項和為，點均在函數(shù)的圖象上，則數(shù)列的通項公式________．【答案】【解析】【分析】代入法求得，由表達式數(shù)列為等差數(shù)列，求得首項和公差后可得通項公式．【詳解】依題意得，即，所以數(shù)列為等差數(shù)列，且，，設其公差為，則，所以．故答案為：.16.已知橢圓和雙曲線有共同的焦點、，是它們的一個交點，且，記橢圓和雙曲線的離心率分別為、，則的最大值為__________．【答案】##【解析】【分析】利用橢圓和雙曲線的定義，在焦點三角形利用余弦定理得到，再用基本不等式求解.【詳解】不妨設為第一象限的點，為左焦點，設橢圓的長半軸長為，雙曲線的實半軸長為，則根據(jù)橢圓及雙曲線的定義可得，，所以，，，在△中，，由余弦定理得，化簡得，即．所以，從而，當且僅當，且，即，時等號成立．故答案為：四、解答題（本大題共6小題，共70.0分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.已知在某次1500米體能測試中，甲、乙、丙3人各自通過測試概率分別為，，.求：（1）3人都通過體能測試的概率；（2）只有2人通過體能測試的概率.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用相互獨立事件的乘法公式直接計算作答.（2）把只有2人通過體能測試的事件分拆成三個互斥事件的和，再利用概率的加法公式、乘法公式求解作答.【小問1詳解】設事件“甲通過體能測試”，事件“乙通過體能測試”，事件“丙通過體能測試”，由題意有：，，.設事件“甲、乙、丙3人都通過體能測試”，即事件，而事件，，相互獨立，所以3人都通過體能測試的概率是.【小問2詳解】設事件“甲、乙、丙3人中只有2人通過體能測試”，則，由于事件，，，，，均相互獨立，并且事件，，兩兩互斥，因此，所以只有2人通過體能測試的概率是.18.已知公差大于零的等差數(shù)列的前項和為，且滿足，，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列是等差數(shù)列，且，求非零常數(shù)；【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)利用等差數(shù)列的性質(zhì)可得,聯(lián)立方程可得,代入等差數(shù)列的通項公式可求;(2)代入等差數(shù)列的前和公式可求,進一步可得,然后結(jié)合等差數(shù)列的定義可得,從而可求.【詳解】（1）為等差數(shù)列，，又是方程的兩個根，（2）由（1）可知，為等差數(shù)列，舍去)當時，為等差數(shù)列，滿足要求【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的定義、性質(zhì)、通項公式、前項和公式的綜合運用,屬于中檔題.19.如圖，是過拋物線焦點F的弦，M是的中點，是拋物線的準線，為垂足，點N坐標為.（1）求拋物線的方程；（2）求的面積（O為坐標系原點）.【答案】（1）.（2）.【解析】【分析】（1）由已知得準線方程為：，由此可求得拋物線的方程；（2）設，代入拋物線的方程作差得，再由M是的中點，求得，由此求得直線的方程，與拋物線的方程聯(lián)立可求得弦長AB，由三角形的面積公式可求得答案.【小問1詳解】解：點在準線上，所以準線方程為：，則，解得，所以拋物線的方程為：；【小問2詳解】解：設，由在拋物線上，所以，則，又，所以點M縱坐標為是的中點，所以，所以，即，又知焦點F坐標為，則直線的方程為：，聯(lián)立拋物線的方程，得，解得或，所以，所以.20.已知三棱柱中，.（1）求證:平面平面.（2）若，在線段上是否存在一點使平面和平面所成角的余弦值為若存在，確定點的位置；若不存在，說明理由.【答案】（1）證明見解析；（2）在線段上存在一點，且P是靠近C的四等分點.【解析】【分析】(1)連接，根據(jù)給定條件證明平面得即可推理作答.(2)在平面內(nèi)過C作，再以C為原點，射線CA，CB，Cz分別為x，y，z軸正半軸建立空間直角坐標系，利用空間向量計算判斷作答.【小問1詳解】在三棱柱中，四邊形是平行四邊形，而，則是菱形，連接，如圖，則有，因，，平面，于是得平面，而平面，則，由得，，平面，從而得平面，又平面，所以平面平面.【小問2詳解】在平面內(nèi)過C作，由(1)知平面平面，平面平面，則平面，以C為原點，射線CA，CB，Cz分別為x，y，z軸正半軸建立空間直角坐標系，如圖，因，，則，假設在線段上存在符合要求的點P，設其坐標為，則有，設平面的一個法向量，則有，令得，而平面的一個法向量，依題意，，化簡整理得：而，解得，所以在線段上存在一點，且P是靠近C的四等分點，使平面和平面所成角的余弦值為.21.已知圓心在軸上的圓與直線切于點.（1）求圓的標準方程；（2）已知，經(jīng)過原點且斜率為正數(shù)的直線與圓交于，.求的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件求得圓心和半徑，從而求得圓的標準方程.（2）設出直線的方程，并與圓的方程聯(lián)立，化簡寫出根與系數(shù)關系，求得的表達式，結(jié)合換元法以及基本不等式求得的最大值.【小問1詳解】由圓心在軸上的圓與直線切于點，設，直線的斜率為，則，所以