3.1.1第一課時(shí)函數(shù)的概念教學(xué)設(shè)計(jì)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版

教材：人教A版高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)函數(shù)的概念教材分析本節(jié)課選自人教A版（2019）第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)中的《3.1.1函數(shù)的概念》的內(nèi)容.，函數(shù)的基本知識(shí)是高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容之一，函數(shù)的思想貫穿于整個(gè)初中和高中數(shù)學(xué)，在高中數(shù)學(xué)中占有很重要的比重.函數(shù)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中最基本的概念,是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的最為基本的數(shù)學(xué)語(yǔ)言和工具.在高中階段,函數(shù)不僅貫穿數(shù)學(xué)課程的始終.而且是學(xué)習(xí)方程、不等式、數(shù)列、導(dǎo)數(shù)等內(nèi)容的工具和基礎(chǔ),在物理、化學(xué)、生物等其他學(xué)科中也有廣泛應(yīng)用；在高等數(shù)學(xué)中,函數(shù)是基本數(shù)學(xué)對(duì)象；在實(shí)際應(yīng)用中,函數(shù)是數(shù)學(xué)建模的重要基礎(chǔ).學(xué)生對(duì)于函數(shù)并不陌生，初中階段只是用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)來(lái)定義函數(shù)，通過(guò)對(duì)正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次和二次函數(shù)的學(xué)習(xí)來(lái)理解函數(shù)的意義，對(duì)于函數(shù)的概念理解并不深刻.在學(xué)生學(xué)習(xí)集合的概念之后，進(jìn)一步運(yùn)用集合與對(duì)應(yīng)的觀點(diǎn)來(lái)刻畫(huà)函數(shù)，突出了函數(shù)是兩個(gè)集合之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，領(lǐng)會(huì)集合思想、對(duì)應(yīng)思想和模型思想。所以把第一課時(shí)的重點(diǎn)放在函數(shù)的概念理解，通過(guò)生活中的實(shí)際事例，引出函數(shù)的概念，懂得數(shù)學(xué)與人類(lèi)生活的密切聯(lián)系，通過(guò)對(duì)函數(shù)三要素剖析，進(jìn)一步理解充實(shí)函數(shù)的內(nèi)涵。所以在教學(xué)過(guò)程中分別設(shè)計(jì)了不同問(wèn)題來(lái)理解函數(shù)的定義域、對(duì)應(yīng)法則、函數(shù)圖象的特征、兩個(gè)相同函數(shù)的條件等問(wèn)題.課時(shí)教學(xué)目標(biāo)及目標(biāo)解析經(jīng)歷“用集合語(yǔ)言表述函數(shù)概念的過(guò)程,發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)抽象的能力.經(jīng)歷理解y與f(x)的含義,能用函數(shù)的定義刻畫(huà)簡(jiǎn)單具體的函數(shù)的過(guò)程,發(fā)展學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象的能力.經(jīng)歷由具體函數(shù)實(shí)例到一般函數(shù)概念的歸納過(guò)程,發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的能力.經(jīng)歷運(yùn)用函數(shù)三要素判斷函數(shù)相等的過(guò)程，發(fā)展邏輯推理能力。目標(biāo)解析（1）學(xué)生從具體實(shí)例出發(fā),能在初中“變量說(shuō)”的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步抽象對(duì)應(yīng)關(guān)系、定義域與值域等三個(gè)要素,構(gòu)建函數(shù)的一般概念。（2）學(xué)生能在確定變量變化范圍的基礎(chǔ)上,通過(guò)解析式、圖象、表格等形式表示對(duì)應(yīng)關(guān)系,理解函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系的本質(zhì).體會(huì)引入符號(hào)f表示對(duì)應(yīng)關(guān)系的必要性。（3）學(xué)生能在不同實(shí)例的比較、分析基礎(chǔ)上,歸納共性進(jìn)而抽象出函數(shù)概念,體驗(yàn)用數(shù)學(xué)的眼光看待事物,發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析對(duì)于函數(shù)的研究，其大致框架是：函數(shù)的事實(shí)函數(shù)概念的定義與表示函數(shù)的性質(zhì)基本初等函數(shù).本節(jié)要完成從事實(shí)到概念（定義與表示）再到性質(zhì)的學(xué)習(xí)，使學(xué)生構(gòu)建函數(shù)的一般概念。（1）應(yīng)調(diào)動(dòng)學(xué)生已有的函數(shù)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，同時(shí)要防止負(fù)遷移；（2）概念內(nèi)涵、函數(shù)要素的發(fā)現(xiàn)等，對(duì)于大多數(shù)學(xué)生而言是困難的，特別是用集合語(yǔ)言和對(duì)應(yīng)關(guān)系表述概念，是非常數(shù)學(xué)化的，在確保學(xué)生具有領(lǐng)會(huì)定義實(shí)質(zhì)、面對(duì)具體問(wèn)題能應(yīng)用的水平時(shí)，可引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖灾魈骄堪l(fā)現(xiàn)，以深化了解.四．教學(xué)重難點(diǎn)1.教學(xué)重點(diǎn)：理解函數(shù)的概念，掌握函數(shù)的三要素.2.教學(xué)難點(diǎn)：（1）能從不同情境中找出函數(shù)的三要素，抽象概括出函數(shù)的概念，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).；（2）理解實(shí)數(shù)集合間一對(duì)多、多對(duì)一的對(duì)應(yīng)關(guān)系；五．教學(xué)條件支持及教學(xué)方法本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是認(rèn)識(shí)函數(shù)要素并建立函數(shù)概念,會(huì)涉及函數(shù)值的計(jì)算、圖象的應(yīng)用及分析所得信息,因此可以借助于多媒體解決以上問(wèn)題,因?yàn)檎n件容量大，可以讓學(xué)生有更多的時(shí)間用于觀察與思考函數(shù)的基本要素和抽象概念上。以講授法、啟發(fā)式教學(xué)為主，通過(guò)對(duì)四個(gè)實(shí)例的分析與比較，逐步歸納出函數(shù)具有的共性，在過(guò)程中不斷啟發(fā)學(xué)生思考，從而歸納出用集合和對(duì)應(yīng)的語(yǔ)言描述的函數(shù)的概念。六．教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)思考1：觀察四幅圖片（PPT展示），你有什么發(fā)現(xiàn)？師生活動(dòng)：1.學(xué)生觀察章頭圖，分析其中有哪些圖片、圖片中透露出什么信息；圖片中所表現(xiàn)出的運(yùn)動(dòng)與變化設(shè)計(jì)意圖通過(guò)對(duì)學(xué)生圖片表現(xiàn)出的運(yùn)動(dòng)與變化，激發(fā)學(xué)生對(duì)未知領(lǐng)域的好奇心與學(xué)習(xí)興趣，并由此體會(huì)函數(shù)在現(xiàn)實(shí)中的廣泛運(yùn)用，從而使學(xué)生感受到進(jìn)一步學(xué)習(xí)函數(shù)的必要性，引起學(xué)生興趣。思考2初中已經(jīng)接觸過(guò)函數(shù)的概念,我們是如何定義函數(shù)的？學(xué)生思考，獨(dú)立完成，給出答案設(shè)計(jì)意圖通過(guò)復(fù)習(xí)函數(shù)的定義來(lái)引入，鞏固舊知，建立新舊知識(shí)間的聯(lián)系，降低了學(xué)生的認(rèn)識(shí)難度，使新課內(nèi)容更易學(xué)生接受，便于接下來(lái)的課堂教學(xué).追問(wèn)：正方形周長(zhǎng)l與邊長(zhǎng)x的關(guān)系為正比例函數(shù)y=x與y=x學(xué)生思考，獨(dú)立完成，給出答案設(shè)計(jì)意圖由于學(xué)生知識(shí)的限制，沒(méi)法判斷函數(shù)是否相等。因此引起認(rèn)知沖突，說(shuō)明進(jìn)一步研究函數(shù)概念的必要性。問(wèn)題1某“復(fù)興號(hào)”高速列車(chē)加速到350km/h后保持勻速運(yùn)行半小時(shí)。這段時(shí)間內(nèi)，列車(chē)行進(jìn)的路程S（單位：km）與運(yùn)行時(shí)間t（單位：h）可以怎么表示？它是函數(shù)嗎？師生互動(dòng)：學(xué)生先獨(dú)立思考,再和小組同學(xué)交流確認(rèn).對(duì)應(yīng)關(guān)系是S=350t,并且對(duì)于任意的時(shí)刻t,都有唯一確定的路程S與它對(duì)應(yīng).因此,這是一個(gè)函數(shù).設(shè)計(jì)意圖復(fù)習(xí)函數(shù)解析式，進(jìn)一步復(fù)習(xí)初中函數(shù)概念，為過(guò)渡到高中概念做鋪墊（2）思考：根據(jù)對(duì)應(yīng)關(guān)系S=350t，這趟列車(chē)加速到350km/h后，運(yùn)行1h就前進(jìn)了350km，這個(gè)說(shuō)法正確嗎？學(xué)生思考，獨(dú)立完成，給出答案設(shè)計(jì)意圖通過(guò)題目引出認(rèn)知沖突過(guò)渡到研究函數(shù)中變量范圍的必要性，自然將函數(shù)由變量之間的對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)變?yōu)榧吓c集合的對(duì)應(yīng)。我們能夠得到變量s與時(shí)間t之間的準(zhǔn)確關(guān)系嗎？學(xué)生觀察PPT，獨(dú)立思考，回答問(wèn)題教師總結(jié)補(bǔ)充，即在初中的函數(shù)定義中給變量加上范圍設(shè)計(jì)意圖通過(guò)對(duì)變量s與t之間的準(zhǔn)確關(guān)系的描述，將初中的變量與變量之間的對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)變?yōu)楦咧械募吓c集合之間的對(duì)應(yīng)，自然而然的建立起函數(shù)概念。問(wèn)題2：某電氣維修公司要求工人每周工作至少1天,至多不超過(guò)6天,如果公司確定的工資標(biāo)準(zhǔn)是每人每天350元,而且每周付一次工資,那么：你認(rèn)為該怎樣確定一個(gè)工人的每周所得？一個(gè)工人的工資w是他工作天數(shù)d的函數(shù)嗎？設(shè)計(jì)意圖通過(guò)前面兩個(gè)問(wèn)題讓學(xué)生繼續(xù)通過(guò)初中對(duì)函數(shù)概念的認(rèn)知,判斷是否為函數(shù).（3）你能仿照問(wèn)題1中對(duì)S與t的對(duì)應(yīng)關(guān)系的精確表示,給出這個(gè)問(wèn)題中w與d對(duì)應(yīng)關(guān)系的精確表示嗎？師生活動(dòng)：學(xué)生回憶剛才老師的示范,獨(dú)立思考,初步形成函數(shù)概念的精確表示,并試著通過(guò)集合語(yǔ)言來(lái)精確表示具體的函數(shù).問(wèn)題3：圖1是北京市2016年11月23日的空氣質(zhì)量指數(shù)（AirQualityIndex,簡(jiǎn)稱(chēng)AQI）（1）你能找出中午12點(diǎn)的空氣質(zhì)量指數(shù)嗎？你認(rèn)為這里的I是t的函數(shù)嗎？師生互動(dòng)：學(xué)生小組交流,教師引導(dǎo)學(xué)生可以舉例說(shuō)明,比如：你能找到中午12時(shí)的I值嗎？學(xué)生的答案不一,是否說(shuō)明對(duì)于任一時(shí)刻t,無(wú)法找到唯一確定的I值與它對(duì)應(yīng)呢？由于誤差,導(dǎo)致答案不一,但對(duì)應(yīng)的I值確實(shí)是唯一存在的.設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生根據(jù)圖像描述對(duì)應(yīng)關(guān)系有困難特別是在值域不能完全確定時(shí)通過(guò)引入一個(gè)較大范圍的集合使函數(shù)值“落入其中”這是學(xué)生經(jīng)驗(yàn)中不具備的實(shí)際上如果用映射觀點(diǎn)看這時(shí)的映射就是非滿(mǎn)射，為此在問(wèn)題（1）之后先讓學(xué)生認(rèn)可圖象表示一個(gè)函數(shù)然后再通過(guò)教師講解給出對(duì)應(yīng)關(guān)系的描述方法從而化解難點(diǎn)。這里學(xué)生只要理解I是t的函數(shù)即可。（2）你能仿照前面的方法描述I與t的對(duì)應(yīng)關(guān)系嗎？學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生按照前面的精確描述,學(xué)生已經(jīng)形成了“集合對(duì)應(yīng)說(shuō)”下的函數(shù)概念模式,但是對(duì)應(yīng)關(guān)系是圖象,學(xué)生不能確定.教師按照定義解釋圖象對(duì)應(yīng)關(guān)系存在的合理性.對(duì)于函數(shù)值的集合本題中無(wú)法精確的表示,教師引導(dǎo)學(xué)生可以通過(guò)函數(shù)值所在的集合來(lái)代替函數(shù)值的集合,體現(xiàn)了函數(shù)概念中,對(duì)于集合B的容納性.設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生根據(jù)圖像描述對(duì)應(yīng)關(guān)系有困難特別是在值域不能完全確定時(shí)通過(guò)引入一個(gè)較大范圍的集合使函數(shù)值“落入其中”這是學(xué)生經(jīng)驗(yàn)中不具備的實(shí)際上如果用映射觀點(diǎn)看這時(shí)的映射就是非滿(mǎn)射為此在問(wèn)題（1）之后先讓學(xué)生認(rèn)可圖象表示一個(gè)函數(shù)然后再通過(guò)教師講解給出對(duì)應(yīng)關(guān)系的描述方法從而化解難點(diǎn)。這里學(xué)生只要理解I是t的函數(shù)，并能夠接受這種描述方式就可以了。問(wèn)題4.國(guó)際上常用恩格爾系數(shù)反映一個(gè)地區(qū)人民生活質(zhì)量的高低，恩格爾系數(shù)越低，生活質(zhì)量越高。上表是我國(guó)某省城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)變化情況，從表中可以看出，該省城鎮(zhèn)居民的生活質(zhì)量越來(lái)越高。你認(rèn)為該表給出的對(duì)應(yīng)關(guān)系，恩格爾系數(shù)r是年份y的函數(shù)嗎？（1）你認(rèn)為按表1給出的對(duì)應(yīng)關(guān)系,恩格爾系數(shù)r是年份y的函數(shù)嗎？為什么？（2）如果是，你能仿照前面的方法給出精確的刻畫(huà)嗎？師生互動(dòng)：經(jīng)歷前面三個(gè)例子的探究過(guò)程,學(xué)生已經(jīng)可以獨(dú)立形成集合對(duì)應(yīng)下的函數(shù)概念的精確描述,學(xué)生自由發(fā)言,總結(jié)出本題函數(shù)的精確刻畫(huà)。問(wèn)題5觀察表格，思考上述4個(gè)例子的共同特征？師生活動(dòng)：給學(xué)生充分思考的時(shí)間,引導(dǎo)學(xué)生重新回顧用集合與對(duì)應(yīng)語(yǔ)言刻畫(huà)函數(shù)的過(guò)程。教師引導(dǎo)學(xué)生得出：（1）都包含兩個(gè)非空數(shù)集,用A,B來(lái)表示;（2）都有一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系;（3）對(duì)于數(shù)集A中的任意一個(gè)數(shù)x,按照對(duì)應(yīng)關(guān)系,在數(shù)集B中都有唯一確定的數(shù)y與它對(duì)應(yīng).設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生通過(guò)歸納四個(gè)實(shí)例中函數(shù)的共同特征,體會(huì)數(shù)學(xué)抽象過(guò)程,概括出用集合與對(duì)應(yīng)語(yǔ)言刻畫(huà)的一般性函數(shù)概念.在此過(guò)程中,要突破“如何在四個(gè)實(shí)例基礎(chǔ)上讓學(xué)生進(jìn)行歸納、概括、抽象函數(shù)概念,并以此培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)”這一難點(diǎn),突出“在學(xué)生初中已有函數(shù)認(rèn)識(shí)基礎(chǔ)上,通過(guò)實(shí)例歸納概括出函數(shù)的基本特征（要素）,用集合與對(duì)應(yīng)的語(yǔ)言建立函數(shù)的概念”這一教學(xué)重點(diǎn)。抽象歸納概念、辨析概念函數(shù)的概念：設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對(duì)應(yīng)，那么就稱(chēng)f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)（function），記作：y=f(x)，x∈A．x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域。注意：對(duì)函數(shù)符號(hào)y=f(x)的理解：（1）、y=f(x)為“y是x的函數(shù)”的數(shù)學(xué)表示，僅是一個(gè)函數(shù)符號(hào)，f(x)不是f與x相乘。（2）、“y=f(x)”是函數(shù)符號(hào)，可以用任意的字母表示，如:“y=g(x)”，“y=h(x)”；追問(wèn)：函數(shù)的值域與集合B什么關(guān)系？請(qǐng)你說(shuō)出上述四個(gè)問(wèn)題的值域？【答案】函數(shù)的值域是集合B的子集。問(wèn)題1和問(wèn)題2中，值域就是集合B1和B2；問(wèn)題3和問(wèn)題4中，值域是B3和B4的真子集。設(shè)計(jì)意圖通過(guò)學(xué)生對(duì)實(shí)例或問(wèn)題的思考，去體驗(yàn)知識(shí)方法.通過(guò)問(wèn)題的思考，提高學(xué)生的觀察、類(lèi)比推理、概括能力。例1(多選)下列集合A到集合B的對(duì)應(yīng)關(guān)系f是函數(shù)的是A.A＝{－1,0,1}，B＝{0,1}，f：A中的數(shù)平方B.A＝{0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的數(shù)開(kāi)方C.A＝Z，B＝Q，f：A中的數(shù)取倒數(shù)D.A＝R，B＝{x|x≥0}，f：A中的數(shù)取絕對(duì)值例2下列圖形中不是函數(shù)圖象的是例3例3下列各組函數(shù)中是同一個(gè)函數(shù)的是A.y＝x＋1與y＝B.y＝x2＋1與s＝t2＋1C.y＝2x與y＝2x(x≥0