2021屆重慶一中高考數(shù)學(xué)押題試卷(二)(含答案解析)

2021屆重慶一中高考數(shù)學(xué)押題試卷(二)

一、單選題(本大題共8小題，共40.0分)

1.己知集合U=R,A=[x\x2<5,x€Z},B={x\x<2且x豐0},則圖中陰影部分表示的集合為

()

A.{2}B.{1,2}C.[0,2}D.{0,1,21

2.已知函數(shù)/(%)是定義在R上偶函數(shù)，且在(一8,0)內(nèi)是減函數(shù)，若f(2)=0,則滿足f(x+2)<0

的實(shí)數(shù)x的取值范圍為()

A.(—4,0)B.(—2,0)

C.(―8,-4)U(0,+8)D.(-2,0)U(2,+00)

3.當(dāng)a>0時(shí)，直線x-a2y一a=o與圓(x—a)2+(y—=1的位置關(guān)系是()

A.相交B.相切C.相離D.相切或相離

4.國際冬奧會(huì)和殘奧會(huì)兩個(gè)奧運(yùn)會(huì)將于2022年在北京召開，這是我國在2008年成功舉辦夏季奧

運(yùn)會(huì)之后的又一奧運(yùn)盛事.某電視臺(tái)計(jì)劃在奧運(yùn)會(huì)期間某段時(shí)間連續(xù)播放5個(gè)廣告，其中3個(gè)不

同的商業(yè)廣告和2個(gè)不同的奧運(yùn)宣傳廣告，要求最后播放的必須是奧運(yùn)宣傳廣告，且2個(gè)奧運(yùn)

宣傳廣告不能相鄰播放，則不同的播放方式有()

A.120種B.48種C.36種D.18種

5.設(shè)F為拋物線y2=5x的焦點(diǎn)，P是拋物線上x軸上方的一點(diǎn)，若|PF|=3,則直線PF的斜率為

()

A.3V3B.V30C.V35D.2V10

?<》的部分圖象1

6,已知函數(shù)/'(x)=Asin(^a)x+(p)(xER,a)>0,0<a

如圖所示.則函數(shù)/(x)的解析式為()

°AAj

A./(x)=2sin(2x+g)

B./(%)=2sin(2x+g)

C./(x)=2sin(2x-6

o

D./(x)=2sin(2x-g)

7.已知數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式即=f2tt_^2w,n(n6N*),S”為數(shù)列｛%>｝的前〃項(xiàng)和，滿足5>J(ne

N*),則〃的最小值為()

A.2B.3C.4D.5

8.己知y=/(x)是定義域?yàn)?+8)的可導(dǎo)函數(shù)，/⑴=-3)=1,/。)的導(dǎo)數(shù)為/'(x),且xe弓,2)

時(shí)，f(x)<0；xe(2,+8)時(shí)，/'(x)>0,則不等式組4”一2y所表示的平面區(qū)域的

1/(2%+y)<1

面積等于()

A.%B.5C.\D.1

552

二、多選題(本大題共4小題，共20.0分)

9.若復(fù)數(shù)z=Q+bi(a,bER),z為其共輒復(fù)數(shù)，定義：二=-a+bi.對(duì)任意的2=a+bi,下列結(jié)

論正確的是()

A.\z\=\z\=|—|B.z+—=0

C.z-z=z'—D.若bH0,則I；為純虛數(shù)

10.意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù)：1,1,2,3,5,8,…，

該數(shù)列的特點(diǎn)是前兩個(gè)數(shù)都是1,從第三項(xiàng)起每一個(gè)數(shù)是前面兩個(gè)數(shù)的和，人們把這樣的數(shù)組

成的數(shù)列｛Q九｝交斐波那契數(shù)列，并將數(shù)列｛斯｝中各項(xiàng)除以4所得的余數(shù)按照原來的順序組成的數(shù)

列記為｛%｝,則下列結(jié)論正確的是()

A.h2021=1

B.Q21a23—^22+Q20a22—a21=。

C.瓦+C2+「3+…+^2019=2688

D.al+aj+aj+-al019=a2019a2020

11.下列不等式中正確的是()

A.In3<V3Zn2B.Inn<C.2代<15D.3eln2>8

12.如圖，在四棱錐P-4BCD中，底面A8CD是正方形，241平面ABC。，伏

PA=AB,點(diǎn)E為PA的中點(diǎn)，則下列判斷正確的是()/產(chǎn)、\

A.PB與CD所成的角為60°:鳥)

B.BD1平面PAC

C.PC〃平面BDE

D.VB-CDE-^P-ABCD=1：4

三、單空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.函數(shù)f（x）=F°s*$譏1的最小正周期7=____

^sinxcosxi

14.如圖，正六邊形ABC。匹尸中，有下列四個(gè)命題:

A.AC+AF=2BCB.JD=2AB+2AF

c-AC*AD=AB?ADD-（AF?AD）EF=（EF?AF）AD

其中真命題的代號(hào)是.（寫出所有真命題的代號(hào)）

15.已知^neN*）的展開式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和、系數(shù)之和分別為p,q,則p+64q

的最小值為.

16.在棱長為4的密封正方體容器內(nèi)有一個(gè)半徑為1的小球，晃動(dòng)此正方體，則小球可以經(jīng)過的空

間的體積為.

四、解答題（本大題共6小題，共72.0分）

17.在△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,6Glasin21+dsin2=j

（I）求證：a,c,b成等差數(shù)列；

（II）若a-b=4,△ABC的最大內(nèi)角為120。，求△ABC的面積.

18.已知數(shù)列｛即｝的前〃項(xiàng)和Sn=2n+1-2,數(shù)列｛“｝滿足以=Sn(nEN*).

(1)求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和

19.已知函數(shù)八%)=爐+2尤2.

(I)求函數(shù)/'(X)的極大值和極小值；

(11)若不等式/(%)>ax+4dnx恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

4X1+14x2+14x3+1

(HI)證明:+^>ln(n+l)(ne/V).

4X124X224X32

20.有編號(hào)為1,2,3的三只小球，和編號(hào)為1,2,3,4的四個(gè)盒子，將三個(gè)小球逐個(gè)隨機(jī)的放入

四個(gè)盒子中、每只球的放置相互獨(dú)立.

(1)求三只小球恰在兩個(gè)盒子中的概率；

(2)求三只小球在三個(gè)不同的盒子，且至少有兩個(gè)球的編號(hào)與所在盒子編號(hào)不同的概率.

21.設(shè)函數(shù)/(x)=a/nx+x,g(x)=ex+x.

(I)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

(n)^/t(x)=/(x)-5(x).當(dāng)a=2時(shí)，證明h(x)<2"2—4.

22.已知函數(shù)f(x)=磊在％=1處取得極值2.

(1)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式；

(2)當(dāng)機(jī)滿足什么條件時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間(m,2m+1)上單調(diào)遞增？

(3)若P(&,y°)為/(%)=量；圖象上任意一點(diǎn)，直線/與/。)=急的圖象切于點(diǎn)P,求直線/的斜率

k的取值范圍.

【答案與解析】

1.答案：C

解析：解：???集合U=R,X={xGZ|x2<5}={-2,-1,0,1,2),

B={x\x<2,且x40},

QB={x\x>2或x=0},

???圖中陰影部分表示的集合為4n(QB)={0,2}.

故選：C.

先求出集合U=R,A={-2,—1,0,1,2},B={x|x<2,且x40},從而QB={x\x>2或x=0],

由此能求出圖中陰影部分表示的集合AC(QB).

本題考查集合的求法，考查維恩圖等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

2.答案：A

解析：解：根據(jù)題意，函數(shù)/Q)是定義在R上偶函數(shù)，且在(-8,0)內(nèi)是減函數(shù)，則/(x)在(0,+8)上

為增函數(shù)，

/■(X+2)<0=f(x+2)<f(2)=|x+2|<2,

解可得：-4Vx<0,即x的取值范圍為(一4,0)；

故選：A.

根據(jù)題意，分析可得/(%)在(0,+8)上為增函數(shù),據(jù)此可得/(X+2)<0=/(X+2)<f(2)=|x+

2|<2,解可得x的取值范圍，即可得答案.

本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用，涉及不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.

3.答案：A

解析：

本題考查學(xué)生掌握直線與圓位置關(guān)系的判定方法，靈活運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式化簡求值，會(huì)利用

基本不等式求函數(shù)的最大值，屬于中檔題.

由圓的方程找出圓心坐標(biāo)和圓的半徑，然后利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心到已知直線的距離

d,利用基本不等式求出4的最大值，判斷4的最大值與半徑的大小即可得到直線與圓的位置關(guān)系.

解：由圓的方程得到圓心坐標(biāo)為(a[),

則圓心到直線：x—a2y—a=。的距離

d=總=謂；W%=￥<1(當(dāng)且僅當(dāng)a=1時(shí)取等號(hào))，

所以直線與圓的位置關(guān)系是相交.

故選A.

4.答案：C

解析：解：根據(jù)題意，分3步進(jìn)行分析：

①先將一條奧運(yùn)宣傳廣告放在最后，有2種情況，

②將3個(gè)商業(yè)廣告全排列，安排在奧運(yùn)宣傳廣告之前，有“=6種情況，

③另一奧運(yùn)廣告插入3個(gè)商業(yè)廣告之間，有3種情況，

則有2x3x6=36種播放方式，

故選：C.

根據(jù)題意，分3步進(jìn)行分析：①先將一條奧運(yùn)宣傳廣告放在最后，②將3個(gè)商業(yè)廣告全排列，安排

在奧運(yùn)宣傳廣告之前，③另一奧運(yùn)廣告插入3個(gè)商業(yè)廣告之間，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案.

本題考查排列組合的應(yīng)用，涉及分步、分類計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

5.答案：C

解析：解：尸為拋物線y=5乂的焦點(diǎn)(J,。)，

設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),y>0.

根據(jù)拋物線定義可知x+9=3,解得x=3代入拋物線方程求得y=苧.

直線尸產(chǎn)的斜率為：4^=735.

4-4

故選：C.

先設(shè)出該點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的定義可知該點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離與其到焦點(diǎn)的距離相等，進(jìn)而利用點(diǎn)

到直線的距離求得X的值，代入拋物線方程求得"然后求解斜率.

本題主要考查了拋物線的簡單性質(zhì).在涉及焦點(diǎn)弦和關(guān)于焦點(diǎn)的問題時(shí)常用拋物線的定義來解決.

6.答案：A

解析：解：由5=：,生=^^一常求得3=2.

Nz(i)1Z1Z

根據(jù)五點(diǎn)法作圖可得2x整+8=兀，求得@9

1Zo

再把點(diǎn)(0,1)代入可得ZsiW=1,求得4=2,

故函數(shù)的解析式為f(x)=2sin(2x+?O,

故選：A.

由周期求出3,由五點(diǎn)法作圖求出3的值，根據(jù)圖象經(jīng)過特殊點(diǎn)求得A的值，從而得到函數(shù)的解析式.

本題主要考查由函數(shù)y=4sin(3X+0)的部分圖象求解析式，由周期求出3,由五點(diǎn)法作圖求出中的

值，根據(jù)圖象經(jīng)過特殊點(diǎn)求得A的值，屬于基礎(chǔ)題.

7.答案：D

解析：解：數(shù)列5｝的通項(xiàng)公式即=(2n7鼠=**一高),

所UL以t、lSc九=1—/Y(1--1-.-1----1-*F???.H---1-------1-、)=-(1----1-)、=--M-.

n2、3352n-l2n+ly2、2n+ly2n+l

由于滿足5n>g(71EN*),

所以三解得幾>4,

2n+l9

所以〃的最小值為5.

故選：D.

首先把數(shù)列的關(guān)系式進(jìn)行變換，進(jìn)一步利用裂項(xiàng)相消法求和求出數(shù)列的和，解不等式可得所求最小

值.

本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：數(shù)列的通項(xiàng)公式，裂項(xiàng)相消法的求和，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力

及思維能力，屬于基礎(chǔ)題型.

8.答案：D

解析：解：:y=f(x)是定義域?yàn)?+8)的可導(dǎo)函數(shù)，〃1)=〃3)=1,的導(dǎo)數(shù)為/'(?,且X6

(32)時(shí)，f(x)<0；%€(2,+8)時(shí)，［(x)>0,

說明f(x)在C，2)為減函數(shù)，在(2,+8)為增函數(shù)，在x=2取得極小值，

因?yàn)?⑴=f(3)=1，要使/'(2x+y)W1,可得lW2x+yS3①,

結(jié)合一2<x-2y<之②畫出滿足條件①②的可行域可得：

可知直線％-2y+2=0與2x+y=1、2x+y=3垂直，

所表示的平面區(qū)域是一個(gè)長方形，邊長等于點(diǎn)(0,1)到直線2x+y=3的距離：&=懸=專，

另一條邊等于：@=在

742

所以面積S=5x曰=1,

故選。.

此題關(guān)鍵是找出可行域，己知y=f(x)是定義域?yàn)?,+8)的可導(dǎo)函數(shù)，/(1)=/(3)=1,的導(dǎo)

數(shù)為/'(X),且XGC，2)時(shí),/'(X)<0；x6(2,+8),說明/(X)在X=2處取得極小值，若/'(2x+y)<1,

可得lW2x+yW3,畫出可行域，根據(jù)線性規(guī)劃問題進(jìn)行求解；

此題是一道線性規(guī)劃問題，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，找出可行域，是解決此題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)

題.

9.答案：AB

解析：解：??,z=a+bi,??.z=a—bi,—=—a+bb

則|z|=|刁==>/a2+b2,故A正確；

??,z=a—bi,———a4-bhz+—=0,故8正確；

22

???z?z==Q2+z.L-(Q+bi)(—Q+bi)=—a—b,

???z?zWz?4,故C錯(cuò)誤；

又會(huì)誓『:『一；)丹■產(chǎn),故。錯(cuò)誤.

--a+bi(-a+bi)(-Q-bi)a2+b2

故選：AB.

由已知結(jié)合復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算逐一分析四個(gè)選項(xiàng)得答案.

本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

10.答案：ABD

解析：解：對(duì)于選項(xiàng)A：瓦=1,電=1,①=2,%=3,h5=1,b6=0,b7=1,b8=1,b9=2,

瓦0—3,瓦1=1，瓦2=0，…

所以數(shù)列｛%｝是以6為最小正周期的數(shù)列，

又2021=6x3364-5,所以62021=壇=1，故A正確，

對(duì)于選項(xiàng)B：斐波那契數(shù)列總有冊+2=冊+1+M，

所以“+2-an=dn+19

所以(a21a23)一(a22)2+(a20a22)一(a21)2=a21(a23—a21)—a22(a22—a20)=。21a22—022a21=

0,故8正確,

對(duì)于選項(xiàng)C：瓦+厲+83+…+62019=336x(1+1+2+3+14-0)+(1+1+2)=2692,故C

錯(cuò)誤，

對(duì)于選項(xiàng)D:因?yàn)榫?。2，an+2=an+l+an^

所以(。1)2=。102，a2=a2(a3—al)=Q2Q3—。2@1，

a3~。3(Q4—。2)=Q3a4—Q3a2，???

an+l=an+l(an+2—an)=an+lan+2—an+lan-

所以冠+Q弓+送H-----F?2019=ala2+(。2a3-ala2)+(ala4-a12)■*-----(a2018a2019一

a2018a2017)+(tt2019a2020—a2019a2018)=a2019a2020,故。正確，

故選：ABD.

由斐波那契數(shù)列的性質(zhì)逐個(gè)判斷即可得出答案.

本題考查斐波那契數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

11.答案：AC

解析：解：令/'(X)=誓，則/''(%)=m匕令/''(>)=0,得x=e,

易得/(x)在(0,e)上單調(diào)遞增，在?+8)上單調(diào)遞減，

所以①/(2)>/(舊)，即等〉曙，即百加2>2m我="3，故A正確；

②f(低)>f(心)，即喑〉噤，所以可得加?！礘|，故8錯(cuò)誤；

@/(V15)>/(4),即^^>—,即萬15=2ZnV15>V15ln2,所以仇15>加2屬，所以2危<

V1542

15,故C正確；

@/(V8)</(e),即嘿<等，即鬻<5,即好幾2<2或，所以36n2<4蟲，故。錯(cuò)誤.

故選：AC.

構(gòu)造函數(shù)f(x)=乎,利用導(dǎo)數(shù)分析其單調(diào)性，然后由/(2)>/(a)"(SF)>f(病，/(V15)>/(4)，

/(V8)</(e)得出每個(gè)選項(xiàng)的正誤.

本題考查了是構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，解題的關(guān)鍵是函數(shù)的構(gòu)造和自變量的選擇，

屬于較難題.

12.答案：BCD

解析：解：對(duì)于A,「CD〃/IB,NPB4(或其補(bǔ)角)為PB與CQ所成角，

vPAABCD,ABc^F?ABCD,：.PALAB,\

在RtAPAB中，PA=AB,NPAB=45°,//；\\

即P8與CO所成角為45。，故A錯(cuò)誤；///

匠,”A/

對(duì)于B,???四邊形ABC。為正方形，.?.aCIBD,二_--Y

vPA1?平面ABCD,BDu平面ABCD,PA1BD,

vPACtAC=A,PA,ACu平面PAC,：.BD_L平面PAC,故B正確；

對(duì)于C,連結(jié)AC,交BO于點(diǎn)凡則尸為AC的中點(diǎn)，連結(jié)EF,

???E為PA的中點(diǎn)，EF〃PC,而EFu平面BQE,PCC平面BDE,

???PC〃平面故C正確；

對(duì)于D,設(shè)48=PA=x,則VP-ABCD=|,AB-AD-PA=|x3,

VB-CDE=VE-BCD=^SABCDSE=|-1X2-\X=^x3.

^B-CDE:Up-4BCD=石/：-X3=1：4,故。正確.

故選：BCD.

由CD〃4B,得NPB4(或其補(bǔ)角)為PB與CD所成角，求出角的大小即可判斷A；由線面垂直的判定

可得BO_L平面PAC,得到8正確；連結(jié)AC,交BD于點(diǎn)F,連結(jié)EF,得EF〃PC,由線面平行的判

定判斷C；設(shè)4B=P4=x,分別求出三棱錐與四棱錐的體積，即可判斷。正確.

本題考查了命題真假的判斷與應(yīng)用，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系，考查運(yùn)算求解能

力，是中檔題.

13.答案:n

解析：解：/(x)=cos2x—sin2x=cos2x,

「3=2,

-T=7T.

故答案為：n

利用行列式的計(jì)算方法化簡/（x）解析式，再利用二倍角的余弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的余弦函數(shù)，找

出3的值，即可求出最小正周期.

此題考查了二倍角的余弦函數(shù)公式，三角函數(shù)的周期性及其求法，以及二階行列式與逆矩陣，化簡

函數(shù)解析式是解本題的關(guān)鍵.

14.答案：A、B、D

解析：本題考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，向量加減混合運(yùn)算及其幾何意義，是基礎(chǔ)題.

解：對(duì)于A：；就+看=而=2就故A對(duì)；

對(duì)于B：取AD的中點(diǎn)0,有萬=2n=2（荔-N）=2方-2萬，故B對(duì)；

對(duì)于c：就,15一15?五=證一部）?萬一石?荔=就<75千。故c錯(cuò)；

對(duì)于D："-'AD=2FE-'■^D,AF^=2（FE*AF'）EF=2TE（AF*'EF'）R故D對(duì).

.?.真命題的代號(hào)是4,B,D

故答案為：A、B、D.

15.答案：16

解析：解：。一勺氣代川）的展開式中，

所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為p=2",

所有項(xiàng)的系數(shù)之和為q=（|）n=~

則p+64g=2n+g>2J2n端=16，

當(dāng)且僅當(dāng)2n=條即72=3時(shí)取“=”；

所以p+64q的最小值為16.

故答案為：16.

根據(jù)題意求出展開式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和與所有項(xiàng)的系數(shù)之和，

再利用基本不等式求出最小值.

本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用問題，也考查了利用基本不等式求最值的應(yīng)用問題.

16.答案：32+等

解析：解：???在棱長為4的密封正方體容器內(nèi)有一個(gè)半徑為1的小球，晃動(dòng)此正方體,

???小球可以經(jīng)過的空間的體積：

K=43-(I2-xI2)x2x12-(8-i7T)=32+^.

故答案為：32+等.

利用正方體體積公式和球的體積公式能求出小球可以經(jīng)過的空間的體積.

本題考查正方體中小球的可以經(jīng)過的空間的體積的求法，考查正方體、球等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論

證能力、運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題.

17.答案：解：(I)由正弦定理和降帚公式，可得

^asin2：+bsin2?=：化為：sinA■+sinB-=jsinC

即—cosB)+sin8(l—cosA)=sinC,結(jié)合sinC=sin(71+B)

得siw4—sinAcosB+sinB—cosAsinB=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB

，sinA+sinB=2(sinAcosB+cosAsinB)=2sizi(A+B)=2sinC

即sinA+sinB=2sinC,

再由正弦定理，得a+b=2c,故mc,人為等差數(shù)列...(6分)

(H)va—b=4,且Q+b=2c

???聯(lián)列｛匯可得真；工,

??,最大內(nèi)角為120。，且。為最大邊

cosA=cosl20°=°+：一。=--?解之得c=5且b=3…(10分)

2bc2z

故AaBC的面積S—BC=4csinA=竺舊…(12分)

24

解析：(/)利用正弦定理和三角函數(shù)的降幕公式，化簡已知等式得sin4(l-cosB)+sinB^l-cosA)=

sinC,再用誘導(dǎo)公式sinC=sin(4+B),化簡整理得至iJsinA+sinB=2sinC,即得a+b=2c,故a,

c,b為等差數(shù)列；

(〃)將a—b=4與a+b=2c聯(lián)解，得到a=c+2且b=c—2,從而得到a為最大邊、A為最大角等

于120。，再利用余弦定理加以計(jì)算，得出Ac的長，利用正弦定理的面積公式即可算出△ABC的面

積.

本題給出三角形的邊角關(guān)系式，求三邊的等差關(guān)系并依此求三角形的面積.著重考查了三角恒等變

換公式、正弦定理和三角形的面積求法等知識(shí)，屬于中檔題.

n1+1

18.答案：解：(1);Sn=2+i—2,.,.當(dāng)n=1時(shí)，ax=Sx=2—2=2；

n+1nn

當(dāng)九N2時(shí)，Qn=Sn—Sn-i=2—2—2,

??n

又??,斯=2=2］，?an=2....(6分)

n+1

(2)由己知，bn=Sn=2-2,

T=b+b+b+-+b=(22+23+24+-+2n+1)-2n=_2n=2n+2-2n-

n123n1—2

4.…(12分)

解析：(1)求出數(shù)列的首項(xiàng)，利用數(shù)列的第"項(xiàng)與前〃項(xiàng)和的關(guān)系求解數(shù)列的通項(xiàng)公式.

(2)化簡通項(xiàng)公式，然后求解數(shù)列的和即可.

本題考查數(shù)列求和，通項(xiàng)公式的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力.

19.答案：解：(1)vf'(x)=3x2+4x=x(3x+4),x(3x+4)>0

可得XG(—8,-g)和(0,+8).

/(X)在(一8,和(0,+8)上遞增，在(一￡0)上遞減

.??/0)的極大值為/(一》=||

/(%)的極小值為f(0)=0....(4分)

(2)/(%)>ax4-恒成立，

即+2x2-4xlnx>QX對(duì)VxG(0,+8)恒成立.

也即a<%24-2x—4lnx^fxE(0,+8)恒成立.

令g(%)=%2+2x-4lnx,只需a<即可?

g，(x)=2x+2-；20-y,%e(o,+00),

y=g(x)在(0,1)上遞減，(L+8)上遞增

g(x)min=g(l)=3,a43….(9分)

(3)由(2)知x>0時(shí),x2+2%—4lnx>3恒成立.

即(x—1)(%4-3)>4lnx即6-1丁+.”>恒成立.

令％=14--得>ln(l+-),

n4xn2'ny

即菽獲-1n(n+1)-lnn

4(n-l)+l

故>Inn—ln(n—1)

4(n-l)2

把以上〃個(gè)式子相加得

、］，-、一彳八、

4/x1+1+,/4x2+1+,R4x3+1+,…+,4^xnr+2l1nS+l)….(14分)

解析：(1)求出函數(shù)導(dǎo)函數(shù)/'(X),判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后求出極值.

(2)/(%)>ax+4%仇》恒成立，轉(zhuǎn)化為Q<%2+2%-4，nx對(duì)％6(0,+8)恒成立.通過函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求

出函數(shù)的最值即可.

(3)利用(2)知x>0時(shí)，久2+2乂-41nx23恒成立.推出舞21noi+1)-/nn,通過累加法證明所

證明的不等式即可.

本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的最值，構(gòu)造法以及單調(diào)性的應(yīng)用，難度比較大，是一個(gè)類

型的常用方法.

20.答案：解：(1)設(shè)“三只小球恰在兩個(gè)盒子中”為事件A,

則P⑷=且等1=

(2)設(shè)“恰有兩個(gè)球的編號(hào)與盒子編號(hào)不同”為事件B,“三個(gè)球的編號(hào)與盒子的編號(hào)不同”為事件

C,

則“至少有兩個(gè)球的編號(hào)與所在盒子編號(hào)不同”為事件：B+C.

2+cx3

P(B)=也普=2,P(C)=與互斥,

kJ4364k743j=64—,BC

故P(B+C)=P(B)+P(C)=2+著

解析：(1)設(shè)“三只小球恰在兩個(gè)盒子中”為事件A,利用古典概型能求出三只小球恰在兩個(gè)盒子中

的概率.

(2)設(shè)“恰有兩個(gè)球的編號(hào)與盒子編號(hào)不同”為事件B,“三個(gè)球的編號(hào)與盒子的編號(hào)不同”為事件

C,則“至少有兩個(gè)球的編號(hào)與所在盒子編號(hào)不同”為事件：口+0再由^與^^互斥，由此能求出三

只小球在三個(gè)不同的盒子，且至少有兩個(gè)球的編號(hào)與所在盒子編號(hào)不同的概率.

本題考查概率的求法，考查古典概型、互斥事件概率加法公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是

基礎(chǔ)題.

21.答案：解：(I)alnx+x,x>0,

當(dāng)aNO時(shí),f(x)>0,函數(shù)f(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增,

當(dāng)a<0時(shí)，令，/'(無)=0可得％=—a,

當(dāng)??./'(%)>0時(shí)，解得%>-a,

令??./'(%)<0可得，0<%V—Q,

所以函數(shù)/(%)在(-兄+8)上單調(diào)遞增，在(0,-a)上單調(diào)遞減，

(H)/i(x)=f(x)—g(x)=alnx—ex,

當(dāng)a=2時(shí)/i(x)=2lnx—ex,//(%)=j-e”,

令y=h![x)=x~e%,則=—卷—e*<0，

所以九'(%)在(0,+8)上單調(diào)遞減.

取.=p不=1，則九'(}=4—Ve>0,"(1)=2—e<0,

所以函數(shù)”(x)存在唯一的零點(diǎn)用G弓,1),

即無(&)=---ex