2022-2023學(xué)年湖北省黃石市成考專(zhuān)升本高等數(shù)學(xué)二自考預(yù)測(cè)試題(含答案)

2022-2023學(xué)年湖北省黃石市成考專(zhuān)升本高

等數(shù)學(xué)二自考預(yù)測(cè)試題（含答案）

學(xué)校:班級(jí):姓名:考號(hào):

一、單選題（30題）

設(shè)函數(shù)教7）=八則1加/"+2弋”-〃工）等于、

A.0

K2./

C.6/

1.D.3〉

j\ln(l+2/)d/

lim-------z------=

2.E%()。

A.3B.2C.1D.2/3

3設(shè)“=“(x),v=v(x)是可微的函數(shù)，則有d(〃v)=

Audu+vdv

Bwzdv+v/du

Cwdv+vdu

Dudv-v(h/

已知〃x)=xe”，則r(x)=

A.(x+2)e2xB.(x+2)e'

4C.(l+ZxWD.2eu

5.下列命題正確的是

A.A.函數(shù)八幻的導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，一定不是〃幻的極值點(diǎn)

B若&為函數(shù)的駐點(diǎn)，則沏必為〃幻的極值點(diǎn)

C.若函數(shù)/(x)在點(diǎn)％o處有極值，且/'(X。)存在，則必有7(%)=0

D.若函數(shù)/(x)在點(diǎn)xo處連續(xù)，則廣(X。)一定存在

6已知f(x)的一個(gè)原函數(shù)為fe",則J/(2x)dx

A.A.”

2^+C

B.

Cde'C

—e2x+C

D.4

函數(shù)y=F+7，則y'

7.xJr()。

B121

31

丁方正

_3__2

D.rG

8.

設(shè)函數(shù)z由zcosy+JCOSZ+scosx=1所確定,則全微分ck

設(shè)P=psin2.rdx>Q—J：idr,R=

=-7lsin2rdjr則

4JMx(

A.R=Q=P

RP=R)-Q

C.Q-R-^P

9D.P=Q于R

10.設(shè)函數(shù)/(x)=tan*則把，(2■/(0)鼻出).

A.-2B.-lC.OD.2

設(shè)函數(shù)w=sinGY).則黑等于

()

A.x^cosCxy)

B.-xycos(a;y^)

C.—

11.D.>-2cos(,ry)

12.由曲線(xiàn)y=-x2,直線(xiàn)x=l及x軸所圍成的面積S等于().

A.-1/3B.-1/2C.l/3D.1/2

13.設(shè)8”.則嬴;等取)

A.t"cosyB.-e*cosyC.eJsinyD.-fJsin>

14.設(shè)y=f(x)二階可導(dǎo)，且f'⑴=0,f〃⑴>0,則必有()?

A.A.f(l)=0B.f⑴是極小值C.f⑴是極大值D.點(diǎn)是拐點(diǎn)

設(shè)函數(shù)z=ln(/+y),則第

is.dxdy

2x

A.A.(x2+P2

2x

B[(/+y)2

2x

-2x

D.777

fo,1

e*cLr=—

16.若J-83，則k等于【】

A.l/3B.-1/3C.3D.-3

17.設(shè)函數(shù)f(x)=xlnx,貝！)Jf*(x)dx=(

A.A.xlnx+CB.xlnxC.l+lnx+CD.(l/2)ln2x+C

18.函數(shù)f(x)=(x2-l)3+l,在X=1處【】

A.有極大值1B.有極小值1C.有極小值0D.無(wú)極值

19.

根據(jù)/(X)的導(dǎo)函數(shù)尸(X)的圖像，判定下列結(jié)論正確的是

A.在(-8,-1)內(nèi)，f(x)是單調(diào)增加的

B.在(7,0)內(nèi)，八幻是單調(diào)增加的

C.f(-l)為極大值

D.〃-1)為極小值

設(shè)COSX是/(x)的一個(gè)原函數(shù),則等于

20.A一】B.OC.ID.2

已知函數(shù)/(x)=?,則lim/(1>Ar)~/(1)=

21.JZ

A.-3B.OC.ID.3

”設(shè)函數(shù)z=/+3yj停=().

22.ax

A.2x+3y

B.2x

C.2x+3

x\3

D.3

23.

fBin2x

設(shè)函數(shù)則函數(shù)/(*)的間斷點(diǎn)是().

X-1八

一丁，4去0,

A.x=-2B.x=-I1),x=0

曲線(xiàn)y="1?］一：在點(diǎn)(四.0)處的切線(xiàn)方程為

25.

設(shè)lim/(x)存在，則f(x)在沏處

X-Mo

A.一定有定義B.一定無(wú)定義

C.有定義且/(沏)=】im“X)D.可以有定義，也可以無(wú)定義

26.事件滿(mǎn)足AB=A,則A與B的關(guān)系為【】

A.A=BB.AUBC.ADBD.A=B

?e

xlnxdx=

27/1n

A.OB.-l/4(e2+l)C.l/4(e2-l)

28.

設(shè)函數(shù)在區(qū)間［a，瓦1上連續(xù)，則下列結(jié)論不正確的是

A.［f(N)d2是/'(工)的一個(gè)原函數(shù)

B.是f(x)的一個(gè)原函數(shù)(a<x<b)

C.￡/(t)dz是一/(公的一個(gè)原函數(shù)(a<x<b)

D./(x)在［a,盯上是可積的

29.

如果尸是“外的一個(gè)原函數(shù)，則工"外也=

A.N）+C

B.e-x（x+l）+C

C.e~x（x—1）+C

D.—e-z（x+l）+C

已知/（x）是可導(dǎo)的連續(xù)函數(shù)，則J：/'（3x）dx=

JU.

A.f（3）V（l）

B./（9）V（3）

坊（3）1

C.3

1［/（9）-/（3）］

D.3

二、填空題（30題）

31.

^xf（.x2'）f，（,x2）dx=?

32.

不定積分［28s=--------------

33.比"=

dx=

34.

35.

設(shè)函數(shù)二二小,則dz==

A.e°djrB?5dy+yir)JC?1dy+ycLrD.(x+y)eJJ

二4一d.

36.'-6T

不定積分(57T——=

37..J"V7

38.

設(shè)〃X)=J：Intdt,則f\x)=-

39.

若y(n-2)=xarctanx,則y(n,(1)=-

40設(shè)3(x)=Jln(t+J)<hMq"(x)=-

設(shè)函數(shù)，(x)=「：工＞?！凇?0處連續(xù)'則

41.I2.

設(shè)/3=［：X^0,,2

,則f/(x)dr

x<0J，

42.le

43.

3

若曲線(xiàn)y有一個(gè)拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)是工=1,則4=----------------■

44.

3siru*+X2COM!

,im

極限,…、~I,1上、

?-?■(1+cosx)?ln(I+X)

A.3B.-j-COD.不存在

45.

2w+3?inn_

lim-----------------

.一?Fl

A.ooB.2

46.

當(dāng)k時(shí)/七收斂.

47.

9

設(shè)lim(l+-)*"=e-3,貝必=______________.

n

48.

J2=9則o=_______________?

Ja4+x28

49.

設(shè)函數(shù)f(jr).Insirur.wdy

B.-cotjrcLr

C.cotxdxD.tartrclx

50.設(shè)y=y(x)由方程xy+x2=l確定，貝dy/dx=

52.

設(shè)xz=ez?{—?jiǎng)t祭=.

y3x-------------

53.

設(shè)函數(shù)/(x)在x=4處連續(xù)且可導(dǎo)，且/'(4)=2,RiJlim/(X)~/(4)

1x-4

設(shè)/(x).上膽口.則/(x)..

54.

55.

設(shè)函數(shù)z=COS(X2+32),則富=.

設(shè)區(qū)域。由，=a.j-6(ft>a).y=/(Jr).y=K(x)所圉成.則區(qū)域”的面枳為

(

A<[/(x)—<(x)]drB.|P[/<x)胃(X)]公]

57C.[[?<>￡》—/(/)JLl>.[I/</>N-

58.若f，(xo)=l,f(xo)=O,則W3一萬(wàn))----------

曲線(xiàn)y=x2</的水平漸近線(xiàn)為^―

59.

函數(shù)v=在區(qū)間［-1,1］上的最大值是

60.

三、計(jì)算題（30題）

計(jì)算二重機(jī)分口，<lrd??其中。是由I［線(xiàn).r=Z.y*-上與雙曲蛾上y?所用成

61.的區(qū)*

62.設(shè)函數(shù)y=x4sinx,求dy.

求微分方程y'=工十一曲的通解.

63.3

64計(jì)算定根分

65.已知八0)=/(0)=-l./(2)=/(2)=I.求［“*(工)..

計(jì)算二重根分工》函.其中0是由“物線(xiàn)，'-工及直線(xiàn)y=1-2闈成?

66.￡

67.設(shè)函數(shù)y=y（工）由方程y=（iu）'?一*fll定?求.

求定積分］:L嗯&.

68.vx

求］,J；。＞。）.

69.）"+&

rc已,知函數(shù).V=ar

70.壽?啥…

71.求極限叫喘占）?

已知曲線(xiàn)y成求，

（1）曲線(xiàn)在點(diǎn)（1?1）處的切蚊方程與法蝮方程；

72.（2）的線(xiàn)上鼻一點(diǎn)處的切坡與直線(xiàn)＞=41-1平行？

計(jì)算二次積分廣辦（管山.

74產(chǎn)數(shù)汝=/（1—/可叫求整靠.并

求定積分,&（1+77）業(yè).

75.

改變積分fd_r［/（7~）的+J：djJ：'/（1~）切的積分次序.

(arctanz)2dj-

求極限lim—二

77.i°J?+1

求做分方程Z=^+1清足y(0><=2,/(0)=O./(O)=1的特解.

設(shè)函數(shù)/(工)=yX*一*+41.求/(x)在［-1,2］上的最大值與最小值.

/sin一.工工0.

求函數(shù)人工)=工］的導(dǎo)數(shù).

80.辰J=0

81.求函數(shù)z=x2+y2+2y的極值.

82.求函數(shù)f(x,y)=4(x-y)-x2-y2的極值.

83.計(jì)算定積分E而

及D是由曲線(xiàn)'-fix)與直級(jí)y=0.y-3圍成的區(qū)域.其中

rx1.x<2.

f(T)-J

161fcl?>2?

84.求D貨第?旋轉(zhuǎn)形成的旋轉(zhuǎn)體的體枳.

設(shè)土=W(=)+以(*)?其中/(tt)?g(v)分別為可微函數(shù),求生,亭.

yxoxoy

86求Jsin(ln/)cLr.

求定積分1lnjr)2dx.

87.八F

巳知函數(shù)z=i'e”.求嘉?

88.

89.求1?分方程也-<——€r）dy=0的通解.

90.求不定積分1f必

四、綜合題（10題）

人求函數(shù)/a）=l一■!■，+4■的單網(wǎng)區(qū)間和極值.

91.

巳知曲線(xiàn)y=aG（a>0）與曲線(xiàn)y=InG在點(diǎn)（“,,山）處有公切線(xiàn).試求：

（1）常數(shù)a和切點(diǎn)（工?,“兀

92.（2）兩曲線(xiàn)與h軸畫(huà)成的平面圖形的面積S.

93.

求由曲線(xiàn)yNX1與直線(xiàn)1=I.工=2及y=0圉成平面圖形的面枳S以及該圖形燒

.，軸旋轉(zhuǎn)周形成的旋轉(zhuǎn)體的體積.

求函數(shù)y=「（，一1）"-2）’山的單網(wǎng)區(qū)間及極值.

94.J

95.證明方程4］=2,在［0.1］上有且只有一個(gè)實(shí)根.

址明i當(dāng)/」時(shí),“IIIIn-I.

96.一1，

證明：方程4工一1=「二吟在(0.1)內(nèi)僅有一個(gè)根.

97.J。1+，

98.求函數(shù)/")=”在定義域內(nèi)的最大值和最小值.

99.

設(shè)人力在區(qū)間［a.瓦I上可導(dǎo)，且/(a)=/S)=0?證明：至少存在一點(diǎn)SWQ.6).使得

/(￡)+3"?)=0.

100.

設(shè)函數(shù)》="'—60，+6在［-1,2］上的最大值為3,最小值為-29,又a>0,求4,6.

五、解答題(10題)

101.

證明=Ix"(l-x)"dr.

JoJo

102.

已知/。)=卜2TY，計(jì)算j：/(x)dx.

x+1x>\J0

14-sinx.

3J4出

求f-dx.

Jcosx

（本題滿(mǎn)分8分）計(jì)算/一——dx.

105.J。I+Ji+x

106.

計(jì)算J~qT

(l-x2)7

107.

建一面積為A的網(wǎng)球場(chǎng)（如下圖所示），四周要留下通道，南、

北兩側(cè)各留出。，東、西兩側(cè)各留出尻

問(wèn)：為使征用的土地最少，則網(wǎng)球場(chǎng)地的長(zhǎng)和寬各為多少？

已知1y=』-"+arcsin春+ln(z-5),求力.

108.O

109.已知函數(shù)/一'I區(qū)間+8）內(nèi)是奇函數(shù),

且當(dāng)時(shí)，/（x）有極，卜值-|.求另?個(gè)極值及此曲線(xiàn)的拐點(diǎn).

110.

求極限—1).

六、單選題（0題）

Icos7，()dr-

111.設(shè)F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù)，

A.F(cosx)+CB.F(sinx)+CC.-F(cosx)+CD.-F(sinx)+C

參考答案

l.C

2.D

J；"n(l+2r)d‘洛必達(dá)法則Hn(l+2幻等階代換2x22

lim----------z.................-hm----------------------lim--=—

322

x~?o%X-H)3xI。3x3

3.C

由乘積導(dǎo)數(shù)公式：媽=

dx

有d(wv)=v(u'dx)+u(v'dx)即d(wv)=vdu+udv

［解析］f'(x)=(xe2xy=e2x+2xe2x=(1+2x)e2x

一?工?

5.C

根據(jù)函數(shù)在點(diǎn)M處取極值的必要條件的定理，可知選項(xiàng)C是正確的.

6.B

根據(jù)原函數(shù)的定義可得f/(x)dx=x2e>C

所以J/(2x)dx=1J/(2x)d(2x)=-(2x)2e2jf+C=2x2c2x+C

22

7.B

―：-------------r(cosV2sinx)dx+(cosz-xtiinv)dv

8.ysinz-cosx”

―：--------C(cosvzsinx)dx+(coszxsiny)dv

y^inz—cosx

9.B

10.D

根據(jù)函數(shù)在一點(diǎn)導(dǎo)數(shù)定義的結(jié)構(gòu)式可知

心”=^,(o)=2(tanx)'|=2—=2,

M—0AxI??0cosX

冼D.

11.D

12.C

【解析】此時(shí)的/(*)=--<0,所以曲邊梯形的面積s=|1/(Wdf或s=j1/(工)Idx.

因?yàn)閟=jI/(X)Idx=Jx:dx=-J-X*=T?，所以選C.

13.D

14.B

根據(jù)極值的第二充分條件確定選項(xiàng).

15.B

因?yàn)楫?dāng)x2x,則慈=--昌萬(wàn).故選B.

drx+ydxdy(x^+yr

A>0,]

故4>0,由題意知亳=-y.從而A=&

A&o,

17.A

[f(x)dx=/(x)+C=xlnx+C.

18.D

/(z)=(x!-l)3+M'|/'(z)=6］(一一1/,令f'(i)=0,痔一點(diǎn)Z\=-l?X2=O.Xj=1,

當(dāng)0<r<1時(shí)J'(z)>0,當(dāng)z>1時(shí)J'(z)>0,故/(r)在?=1處不取極值.

19.D

［解析］x軸上方的廣(x)>0,x軸下方的廣(x)<0,即當(dāng)x<-l時(shí)，/(幻<0：當(dāng)

Q-1時(shí).(x)>0,根據(jù)極值的第一充分條件，可知八-1)為極小值，所以選D.

20.A

21.D

|加/("包)=/，G)|=3x?|=3.

A…Ar'Ji

22.B此題暫無(wú)解析

23.D

答應(yīng)選D.

分析本鹿主要考代間斷點(diǎn)的概念.

讀著若注意到初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的結(jié)論.可知選項(xiàng)A.B.C都不正確.所以應(yīng)選:

24-四y-x-y/2

［解析］lim〃x）的存在與函數(shù)在該點(diǎn)是否有定義無(wú)關(guān)！

25.Bf

26.B

AB=A，則AUAB（AB（ZA,按枳的定義是當(dāng)然的），用當(dāng)?￡A時(shí)，必有AB,因而B(niǎo),

故AS

27.B

22

rlank=!［lord/=5（工2111rl—f?—dx=-y（e--5-z）=-^-（於+］）.

JiLJ1L\.J1xI4'41'4

28.A

29.B

30.D

[V(3x)dX=；J"?3x)d(3x)=；/(3x“；=；[/⑼-/⑶]

31.

費(fèi)冷+C

—sin—+C—sin—+C

32.工x

33.1/21n|x|+C

34.

arcsinx-Vl-x24-C

35.B

36.2/27

f1-^=dr-r(-4).-^^=-?r^￡±^,1,—±r/1^必+

Jt^10—6xJt6y/10—6x6Jt，10—gjr6Jt

<10-fa)i,1(106l)<106jr>4<,(1

ff,-Tf'1[-T]-+?￡,[-T-]°-6幻=表x

j(10-6x>7J|一|1X2(10-6*)+[-X(8-64)--X(2-4)=^.

注*本題可另解如下：令，10—6/=1.則才=

所以7tlz=工"?卜<一州"=匐1(1。,一家)|：--^x

(40-竽-20+毋)■條

37.

【答案】應(yīng)填!(工、+4)、C.

湊微分后用積分公式計(jì)算即可.

f/三"=TJW=d(x，+4)=T(x，+4)t+c,

38.2x3lnx2

因?yàn)閒Xx)=rinx"(/)'=2x5Ind

39.1/2

yS-i'=(xarctanx)'=arctanA+-

1+x

22

y")=(arctanx+—^-)11+X-2X2

1+x1+x2(1+x2)2-(l+x2)2

所以嚴(yán)L=；

40.

【答案】應(yīng)填

【解析】利用變上限函數(shù)的求導(dǎo)公式求出“(X),再求d(x).變上限函數(shù)的求導(dǎo)是重要的

考點(diǎn)之一,柒考生注意.

因?yàn)椤?*)=ln(w，/),

則中”(*)=工(1+2力.

41.2

42.3-e1

43.8/38/3解析

由y，=2x_a-3jr￡yz，=2—a-x2

3

因?yàn)閤=l是曲線(xiàn)拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)，所以有y"(l)=2-a,±=0

4

解得a=1.

3

44.B

45.B

46.>1

47.

_3

~2

O/722女

因?yàn)閘im(l+—)M=lim(l+-)2=e2^=e-3

〃T8幾n—><*>/J

有2%=-3,所以％二-三

2

48.

x,r+8dx1X17T〃、7t

因m為|---z-=—arctan—=—(Z----nrctan—)=—

Ja4+x222a2228

an

arctan—=—

24

所以—=1,a=2

2

49.C

_i__L__L

22

50.rx

51.

J^-^dx=JIn*d(In*)=x|="

52.

—

53.2

54.

55.

—2xsin(x2+j>2)

56.

arcsinx-Vl-x2+C.

57.D

58.-1

(_1)_=-/,5)=—i

limA/Xo=lim幺二*二空=-lim熱土―

A—3'h'■f?oa1t

一T

59.y=0

60.

3

[解析]因?yàn)閥z=~＜。,xw(-1,1)所以y單調(diào)減少xe[—1,1]

故函數(shù)的城大值應(yīng)在左端點(diǎn)達(dá)到，即f(-l)=b/J二福］一=3.

1C-r<2.

先沿，方向積分,區(qū)域D可表示成」1一則

—《，《才?

="11X.

1

12_i_1-i\1=27

61.不才+調(diào)工)1.64-

1&工42.

先沿y方向枳分?區(qū)域D可表示成」1-則

二4y&才?

11\.

=1件77dx

127

#+吉廣)|64,

62.因?yàn)閥,=4x3sinx+x4cosx,所以dy=(4x3sinx+x4cosx)dx

63.

方程兩邊同乘以cosy?則得cosy?y'=/+1—siny,即

d(sinv)..I

―石上—Fsmy=才+y1.

令“=siny.則方程化為招+“=工+1.屬線(xiàn)性方程?用求通解公式得

u=+擊+C]

=e~[J(x+De^cLr+C]

=+l)er—e'+C]

c'(.1+C).

則原方程的通解為mny=c'"e'+C)?

方程兩邊同乘以cosy.則得cos>?y'=I+1-siny,即

^2>+siny=T+l.

令u=siny,則方程化為言+u=工+1,屬線(xiàn)性方程?用求通解公式得

u=e-W[J(z++C]

=e-Jcj(x+1)eJdj-+C]

=『[(]+De*—e'+C]

=c'(il+G.

則原方程的通解為sin>=c'(xe'+C).

J0/Jo

T[…”卜卜叼

二十卜?1：-*叱]

-7(e:4-1).

JKa工Jide”

T9,叫-卜叼

=撲一437)]-l(e?4-1),

Jxf"(x)tlr=JxAf(j)

=卬可力(x)dr

=2/(2)-[/([)]：=2-2=0.

65.

J工/*(*)"=Jxd/(x)=^x/z(x)—/(x)cLr

=2/(2)一[f(z)]：=2-2=0.

66.

區(qū)域D如圖所示.D既是丫一獷區(qū)域,又是X

理區(qū)域,直線(xiàn)、二上一2與拋物線(xiàn)y=工的交點(diǎn)為

(1?一1).(4.2).為更方便計(jì)算苜選區(qū)域D是y型區(qū)

域.

所以

=二(獷川；*

=yj-y5]dy

V.

0

區(qū)域D如圖所示.D既是丫一型區(qū)域.又是X

型區(qū)域，直線(xiàn)、=上一2與拋物線(xiàn)y=工的交點(diǎn)為

”?一1).(4.2).為更方便計(jì)算首選區(qū)域D是丫型區(qū)

域.

所以

pydtf=Jdyj,xydx

"工(")|；%

=yj+2)J—>*]dy

8,

y-[《顯尸了?產(chǎn)+(Inx),?『)'

=+(lnx)r.(eta，O，

=e"i'e"in(lnx)+#?亡?工…十(Inx)，?eu，1?21nx?—

=>(Irtr)4?「In(lor)+x1**+2(lru),+,?x1***'.

67.LG」

y—[(Inj)*]#?產(chǎn)+(Inx),?(”a)‘

=[廣…了?+(llU?/?《潑少

=廣?3「[nUnx)+”?白?J1/X+(ln.r)z?eu，1?210r?-

=(Iru*)4?pndnx)+'7]，+2(lnx)r*1?

=一|flru-d(277)+Jirtrd(2Vx)

=_2Vxlnx2+1；2山+2囚/；一￡*原匕

-Y+4/r|r,4-4e-4V7|i=8(1--^-).

68.

*&=L譚"+J慧公

=一1lru-d(2y/x)+Jln/d(2丘、

+2vG^rv

一5+4石J7+4e-4|=8(1—^卜

69.

令工=?tan/(-￡V/V]),作輔助三角形.如圖所

示?則

dz=usec;/dr.

y/jT^+a2=42tan』/+a2=a>Jtan2/+1=usee/.

由輔助三角形，如圖所示,則sec/==土.

aa

于是

j”一=f沁=[sec/d/

JJ工?十了Jasec/J

=In|sec/+tan/1+C\

Iaa

ln(x+>J/+a?)+G—Ind

ln(x+，工，+a?)+C(C=Ci—Ina).

令z=atan/（一,作輔助三角形,如圖所

、+，廠(chǎng)

示.則x

djr=usec*/dr?

II

J￡+a*=/cAanJU=a/tan"+1=asec/.u

由輔助三角形，如圖所示,則secz="+。?tan/=土.

aa

于是

[------......=f----d/=fsec/d/

J"+/J。sec，J

=In|sec/+tan/1+G

嗎n二+^Z|+G

aa

=ln(x++<?)+C-Ind

=ln(x+J￡+J)+C(C=C'I—Ina).

70.

該題若求出導(dǎo)函數(shù)后再將I=0代人計(jì)算比較麻煩，下面利用導(dǎo)數(shù)定義計(jì)算.

/I-sirtr

Z(0>=lim3.伊)與二lim=Iim4P叵=]

，??<>/一°LOxJ-o71+sinx

該題若求出導(dǎo)函數(shù)后再將x=0代人計(jì)算比較麻煩,下面利用導(dǎo)數(shù)定義計(jì)算.

/I-sinj

r（o）=）im⑹4L|im=liln后叵=1.

…。-X,-0-ox一ov14-sinx

“一1

1—1+^Injr

lir?i+iiL+1=7,

..x—1

一1-1+Jrlfir

-岬l+ltu-4-1='2'

72.

（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義,曲線(xiàn)y=在點(diǎn)（1.1）處切線(xiàn)的斜率為

T1,=2.

曲線(xiàn).y=z,在點(diǎn)（1?D處法線(xiàn)的斜率為

k-------

2,

所以切線(xiàn)方程為y-i=2（x-l）,

即

2x-y-1=0.

則法線(xiàn)方程為>-1=-y（X-D.

<2）設(shè)所求的點(diǎn)為M/工。,％）.曲線(xiàn)y=二在點(diǎn)（工。,“）處切線(xiàn)的斜率為

y|=2xi=2x?.

1，■“1

切線(xiàn)與直線(xiàn),=4廣-l平行時(shí).它們的斜率相等，即。0=4,所以z.=2.此時(shí)M=4.故在

點(diǎn)MN2.4）處的切線(xiàn)與直線(xiàn)y=41一】平行.

（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義,曲線(xiàn)y=*：在點(diǎn)（I,D處切線(xiàn)的斜率為

曲線(xiàn)￥=/在點(diǎn)（1.D處法線(xiàn)的斜率為

*

所以切線(xiàn)方程為y-\=2（x-l）,

即

2x-y—1=0.

則法線(xiàn)方程為y-1=-l（x-l）,

即

x+2y—3=0|

（2）設(shè)所求的點(diǎn)為曲線(xiàn)y=Xs在點(diǎn)（見(jiàn).“）處切線(xiàn)的斜率為

yI=2x1=2x?.

切線(xiàn)與直線(xiàn)、=。一1平行時(shí),它們的斜率相等，即=4,所以4=2.此時(shí)M=4,故在

點(diǎn)MN2.4）處的切線(xiàn)與直線(xiàn)y=4J■—1平?行.

應(yīng)交換積分次序.

73原積分=J*<Lrj4=fcoswcLr=sinx|*一

應(yīng)交換枳分次序.

原積分=[<1x1出厘力=|coxxdx=siruj=y.

令=u%xyz=u?則/(w)=/(x,u.v).

弟+翦譽(yù)+普嚏嚕+卻"b川

du?.du+dtr.dv空.工+空jrz.

dudydvdydudv

8u?■?d-u-

dvdz

令xy=u^xyz=，?則/(w)=/(jtu.v).

.?.冬=亞+亞.電+紅.亞=紅+紅?y+嬰?丹

dxdxdudxdvdx&rdu&u

型=莖.也+%.包=電.工+冬.卬

dydudydvdydudv

跑=冬.史=跑.工y.

dzdvdxdv

1ln(l+V^)d.r=xln(1+6)

=,02~1￡備必

由于7￡岳必=J：生市(令，=而

=￡(i+告)市

=[y-/+In|1+fI]|q

=*—+In2.

故|ln(1+5/7)cLr=In2+}—In2=}.

75.

ln(l+，7)d_r=xln(1+石”：-J

由于打:=J仔令/=G、

1+TT7)dz

=—/+InI1+r11

--+In2.

故ln(1+)dr=In2+￡一In2=寺.

76.

由所給累次積分畫(huà)出原二重積分的積分區(qū)域D的示意圖,如圖所示.據(jù)此將D

視作Y型區(qū)域.即

D=<(x>>)I0<><1，G<工42—y).

因此

Jctrj/(jr.y)dy+jdjJ/(”?y)dy/(j-.>)dr.

由所給累次積分軻出原二重積分的枳分區(qū)域。的示意圖?如圖所示?據(jù)此將D

視作丫型區(qū)域.即

D=|04y41,Q4工42-y)?

因此

jctrj/(”.y)dy+/(x.y)d>/(Xt>)dr.

(arctan/)2dr

lim工

G+lJ?+1

=lim(arctan.r)2

三尸

77.2?

2

I(arctan/)d/(arctanf)2d/

J<>1

---------「上—=Itmlim，，"

Jjc1+1x…+】

=lim(arctanx)2

K

7

78.

該題屬于=/(J-)型的微分方程.可通過(guò)連續(xù)積分求得通解?

對(duì)/兩邊積分.得/=}>+i+G.將初始條件y"(0)=1代入.得G

l.HP

y—yT1+J?+

兩邊再積分?得:/=+i+G.將y'(0)=0代人.得C,一。，即

,V

兩邊再枳分.得y-拉+*++C,.將>(0)=2代人.博C,=2

故所求特M為

、=+獷+2.

該即屬于y”=/J)型的微分方程?可通過(guò)連續(xù)枳分求得通解.

對(duì)/=I+1兩邊積分.得y"=*/+_r+G.將初始條件y”(0)-1代人.洱G=

1,即

>*=?1-x,+x+1.

兩邊再枳分.得.V'="+#+i+G.將，'(0)=0代人?得C,-O.EP

兩邊再積分.得N-奈/+#+#+。?將y(0)=2代人.得C,-2.

故所求特的為

，=￡，'+*+獷+2，

79.

外公=>-5/+4?令人X、=。?得駐點(diǎn)X|=1-=4.

由于心0［-1.2］,因此應(yīng)該舍掉.又/(1)=y./(-1)=-^,/(2)=1.

可知/G)在［-1?2］上的最大值點(diǎn)為1=1.最大值八1)=今|最小值點(diǎn)為=一1?最

小值為八一1)=一

「(”)—>—5/+4■令f(x)=。?得駐點(diǎn)*i=1?*?=~4.

由于⑥e［-1.2］,因此應(yīng)該舍掉.又/⑴=y./(-1)==-^./(2)=1.

可知人］)在［一1.2］上的最大值點(diǎn)為1=1.最大值八1)=最小值點(diǎn)為工=一1?最

小值為/(—1)=-9

0

80.

當(dāng)時(shí)?/(丁)=/?sin十是初等函數(shù),可直接求導(dǎo).即

/（x）（x2sin十）’

=2xsin—+x?cos—

xTX2

2xsin一一cos—.

XX

當(dāng)z=0時(shí).

Z（o>=limf⑺-八。）=工=Iim.rsin1=0.

,一。JTlimXX

當(dāng)“HO時(shí),/(*)=3in十是初等函數(shù),可直接求導(dǎo).即

f(-r)=(jr2sin—)z

x

2xsin—+x2cos