專題06第六章 銳角三角函數(shù)（中等類型）（解析版）

專題06第六章三角函數(shù)【專題過關(guān)】類型一、已知正切值求邊長【解惑】在中，，如果，，那么________．【答案】8【分析】根據(jù)正切函數(shù)的定義求解即可．【詳解】解：如圖，

在中，，所以，因?yàn)?，所以，故答案為?．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟練掌握正切函數(shù)的定義．【融會(huì)貫通】1．在中，，若，，則．【答案】【分析】先證明，再利用勾股定理求解a即可．【詳解】解：如圖，，，，∴，，，∴，由，則，解得：；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，熟記三角函數(shù)的定義與勾股定理是解本題的關(guān)鍵．2．如圖，在中，，于點(diǎn)，，，則的值為．

【答案】//【分析】由題意易證，即得出，從而得出，解出的值即可．【詳解】解：∵，∴．∵，∴，∴，∴．∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查同角的余角相等，正切的定義．證明出是解題關(guān)鍵．3．在中，，，，則．【答案】【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義解答即可．【詳解】解：在中，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查銳角三角函數(shù)的定義的運(yùn)用．正切值等于對(duì)邊比鄰邊，掌握定義是解題的關(guān)鍵．4．如圖，在中，，的角平分線交于點(diǎn)，以為半徑作，交于點(diǎn)，交的延長線于點(diǎn)．

(1)判斷直線是否是的切線，請(qǐng)說明理由；(2)連接，在中，若，求的值．【答案】(1)直線是的切線，理由見解析(2)【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)，結(jié)合題意，即可得證；（2）證明，根據(jù)正切的定義，相似三角形的性質(zhì)即可求解【詳解】（1）直線是的切線，理由如下：，，如圖，作于點(diǎn)，是的角平分線，，是的半徑，直線是的切線；

（2）如圖，連接，是的直徑，，即．，即．，，，又，，．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)與判定，直徑所對(duì)的圓周角是直角，相似三角形的性質(zhì)與判定，正切的定義，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．5．如圖，在中，，，，求的長．【答案】14【分析】過點(diǎn)A作，構(gòu)造兩個(gè)直角三角形，再利用三角函數(shù)解直角三角形即可求得的長度．【詳解】解：過點(diǎn)A作，垂足為∵在中，，∴∴∴在中，，，【點(diǎn)睛】本題考查了用三角函數(shù)解直角三角形，解題的關(guān)鍵是掌握利用三角函數(shù)求線段長度的方法．類型二、已知正弦值求邊長【解惑】在中，，，，則的值是（）A． B． C．4 D．5【答案】A【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)定義，得出，然后把代入，求出的長，再根據(jù)勾股定理，計(jì)算即可得出的長．【詳解】解：如圖，

∵，，∴，∴，∴．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)、勾股定理，解本題的關(guān)鍵在熟練掌握銳角三角函數(shù)定義．【融會(huì)貫通】1．如圖，在矩形，E是對(duì)角線上一點(diǎn)，，若，，則矩形的周長為．

【答案】17【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，從而得到，可設(shè)，從而得到x的值，即可求解．【詳解】解：∵四邊形是矩形，，∴，∴，∴，∵，∴，可設(shè)，∴，∵，∴，∴，∴，∴矩形的周長為．故答案為：17【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形，矩形的性質(zhì)，熟練掌握銳角三角函數(shù)，矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．在中，，，，則______.【答案】8【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)和勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：在中，，∵，，∴，∴，則，故答案為：8．【點(diǎn)睛】本題考查銳角三角函數(shù)，勾股定理，理解銳角三角函數(shù)的定義以及勾股定理是正確解答的關(guān)鍵．3．如圖，在中，，，，則．【答案】10【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的意義求解即可．【詳解】解：∵在中，，，，∴，∴，故答案為：10．【點(diǎn)睛】本題考查銳角三角函數(shù)，掌握銳角三角函數(shù)的定義是解決問題的前提．4．如圖，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B在第一象限內(nèi)，，．則點(diǎn)B的坐標(biāo)為；．

【答案】/【分析】①由題意，過點(diǎn)B作于H，根據(jù)，，可得，即可得出；②根據(jù)題意，，可得，所以，在中，可得．【詳解】解：①如圖，過點(diǎn)B作于H，

∵，，∴，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為；故答案為：；②∵，∴，∴在中，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，由直角三角形已知元素求未知元素的過程，只要理解直角三角形中邊角之間的關(guān)系即可求解．5．如圖所示，在中，，，且，求：

(1)的值；(2)的周長及面積．【答案】(1)(2)；【分析】（1）根據(jù)銳角三角形函數(shù)的定義求得，根據(jù)勾股定理求得，根據(jù)銳角三角形函數(shù)的定義即可求解；（2）結(jié)合（1）中結(jié)論即可求解．【詳解】（1）解：∵，，∴，∴，∴，∴．（2）解：的周長，．【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角形函數(shù)，勾股定理，三角形的面積公式等，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．類型三、已知余弦值求邊長【解惑】在中，，，，則的長為（

）A．10 B．24 C．5 D．12【答案】A【分析】根據(jù)余弦的定義可得，將代入即可求得的長，再利用勾股定理計(jì)算即可．【詳解】解：如圖，在中，

，，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了已知余弦求邊長，掌握余弦的定義是解題的關(guān)鍵，在中，，也考查了勾股定理．【融會(huì)貫通】1．如圖，在中，點(diǎn)D，E分別是邊的中點(diǎn)，于點(diǎn)F，，，則的長為（

）

A． B．4 C． D．8【答案】C【分析】由直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)可求得，再由余弦定義即可求得結(jié)果．【詳解】解：∵D、E分別是邊的中點(diǎn)，，∴，，∴，∴，在中，，∴；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中位線定理，直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)，余弦函數(shù)，掌握這些知識(shí)是關(guān)鍵．2．如圖，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，線段與軸正半軸的夾角為，且，則點(diǎn)的坐標(biāo)是（）

A． B． C． D．【答案】D【分析】作軸于點(diǎn)B，如圖，先根據(jù)余弦的定義求出，再利用勾股定理求出，進(jìn)而得解.【詳解】解：作軸于點(diǎn)B，如圖，∵，，∴，∴，∴點(diǎn)的坐標(biāo)是；故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了余弦的定義和勾股定理，熟知余弦的定義是解題的關(guān)鍵.3．在中，，，如果，那么．【答案】【分析】根據(jù)余弦定義求得，再根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】解：在中，，，，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查余弦定義、勾股定理，熟練掌握銳角三角函數(shù)是解答的關(guān)鍵．4．如圖，在中，，，．

(1)求的長；(2)求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)余弦等于鄰邊除以斜邊代入求出，再結(jié)合勾股定理即可得到答案；（2）根據(jù)正弦等于對(duì)邊除以斜邊代入求解解即可得到答案；【詳解】（1）解：在中，，∴，∴（2）解：∵在中，，，，∴；【點(diǎn)睛】本題考查正弦，余弦，解題的關(guān)鍵是熟練掌握：余弦等于鄰邊除以斜邊，正弦等于對(duì)邊除以斜邊．5．如圖，在平行四邊形中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接并延長，交的延長線于點(diǎn)，連接．(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，求菱形的面積．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）由，推出，可知四邊形是平行四邊形，再根據(jù)可得結(jié)論；（2）解直角三角形求出的長即可解決問題；【詳解】（1）解：∵四邊形是平行四邊形∴，∴∵是的中點(diǎn)，∴∴在與中，∴∴，∵，∴四邊形是平行四邊形∵，∴四邊形是菱形（2）∵四邊形是菱形，∴，∴∵∴∴∵，∴，∴.【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題．類型四、特殊角的三角函數(shù)的混合運(yùn)算【解惑】計(jì)算：．【答案】【分析】將特殊三角函數(shù)值代入，利用有理數(shù)混合運(yùn)算法則求解即可．【詳解】解：原式．【點(diǎn)睛】本題主要考查了特殊三角函數(shù)值，解題的關(guān)鍵是熟知特殊角的三角函數(shù)值，結(jié)合有理數(shù)的混合運(yùn)算法則．【融會(huì)貫通】1．計(jì)算：．【答案】【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值和零指數(shù)冪的性質(zhì)計(jì)算即可．【詳解】解：．【點(diǎn)睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)計(jì)算和零指數(shù)冪的性質(zhì)，牢記特殊角的三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵．2．計(jì)算：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）直接利用特殊角的三角函數(shù)值代入，進(jìn)而得出答案；（2）直接利用特殊角的三角函數(shù)值結(jié)合二次根式的性質(zhì)化簡，進(jìn)而得出答案．【詳解】（1）解：原式；（2）解：原式．【點(diǎn)睛】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，正確記憶相關(guān)數(shù)據(jù)是解題關(guān)鍵．3．先化簡，再求代數(shù)式的值，其中．【答案】，【分析】運(yùn)用乘法公式對(duì)分式進(jìn)行化簡，再運(yùn)用特殊值的三角函數(shù)計(jì)算出的值，代入求解并進(jìn)行分母有理化即可．【詳解】解：，∵，∴原式，∴當(dāng)時(shí)，原式．【點(diǎn)睛】本題主要考查運(yùn)用乘法公式進(jìn)行分式的化簡，求特殊值的三角形函數(shù)，代入求值，掌握以上知識(shí)的運(yùn)算方法是解題的關(guān)鍵．4．計(jì)算：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）先把特殊角銳角函數(shù)值代入，再計(jì)算，即可求解；（2）先把特殊角銳角函數(shù)值代入，再計(jì)算，即可求解．【詳解】（1）解：．（2）解：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了特殊角銳角函數(shù)值的混合運(yùn)算，熟練掌握特殊角銳角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．5．計(jì)算：．【答案】【分析】先用特殊角的三角函數(shù)值化簡，然后再進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，牢記特殊角的三角函數(shù)值成為解答本題的關(guān)鍵．類型五、根據(jù)三角函數(shù)值判斷角的取值范圍【解惑】已知，則銳角的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求出，根據(jù)當(dāng)是銳角時(shí)，其余弦隨角度的增大而減小即可求解，【詳解】解∶∵為銳角，且，又∵當(dāng)是銳角時(shí)，其余弦隨角度的增大而減小，∴，故選∶C．【點(diǎn)睛】考查了特殊角的三角函數(shù)值和銳角三角函數(shù)的增減性的應(yīng)用，注意：當(dāng)角是銳角時(shí)，其正弦和正切隨角度的增大而增大，余弦和余切隨角度的增大而減?。救跁?huì)貫通】1．已知為銳角，且，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)正弦值隨著角度的增大而增大，進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，∵為銳角，正弦值隨著角度的增大而增大，∴；故選A．【點(diǎn)睛】本題考查特殊角的三角函數(shù)值．熟記特殊角的三角函數(shù)值，以及銳角的正弦值隨著角度的增大而增大，是解題的關(guān)鍵．2．當(dāng)時(shí)，的值是（

）A．大于 B．小于 C．小于 D．大于且小于【答案】D【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的特殊值和三角函數(shù)值的性質(zhì)解答．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，隨A的增大而增大，且，，．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查特殊角的三角函數(shù)值及函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)．3．若銳角滿足，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用特殊角的三角函數(shù)值得到，然后利用銳角的余弦值隨著角度的增大而減小求解．【詳解】解：，而，，，銳角的取值范圍為：．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的增減性：當(dāng)角度在間變化時(shí)，余弦值隨著角度的增大（或減?。┒鴾p小（或增大）．也考查了特殊角的三角函數(shù)值．4．若為銳角，且，則（

）A．小于30° B．大于30° C．大于45°且小于60° D．大于60°【答案】D【分析】首先確定在銳角范圍內(nèi)，并且在此范圍內(nèi)，正切函數(shù)值隨角度的增大而增大，由此判斷即可．【詳解】解：∵在銳角范圍內(nèi)，正切函數(shù)值隨角度的增大而增大，∴，即，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的增減性，熟記特殊三角函數(shù)值，理解三角函數(shù)的增減性是解題關(guān)鍵．5．若cos∠1=0.8，則∠1的度數(shù)在（

）范圍內(nèi)．A．0°＜∠1＜30° B．30°＜∠1＜45° C．45°＜∠1＜60° D．60°＜∠1＜90°【答案】B【分析】，，由此判斷得到正確答案．【詳解】解：∵，，∴∴故選：【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)銳角三角函數(shù)的數(shù)值，判斷角度的取值范圍，牢記特殊三角函數(shù)值是關(guān)鍵．類型六、利用同角三角函數(shù)關(guān)系求值【解惑】若，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】對(duì)原式左右兩邊進(jìn)行平方計(jì)算，然后結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系求解即可．【詳解】解：∵，∴，即：，∵，∴，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查同角三角函數(shù)之間的關(guān)系，熟記并熟練運(yùn)用基本結(jié)論是解題關(guān)鍵．【融會(huì)貫通】1．已知是銳角，，則的值為（

）A． B． C． D．無法確定【答案】A【分析】根據(jù)一個(gè)角的正弦值等于它的余角的余弦值，可知，計(jì)算即可得出結(jié)果．【詳解】解：是銳角，，．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了互余兩角的三角函數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握一個(gè)角的正弦值等于這個(gè)角的余角的余弦值，即．2．在中，，若，則的值為．【答案】【分析】設(shè)，根據(jù)勾股定理求出的長，再根據(jù)即可【詳解】解：如圖所示，，設(shè)，

則，．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了同角的三角函數(shù)，勾股定理，關(guān)鍵是熟練運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)方法．3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，是第一象限內(nèi)的點(diǎn)，且，則．【答案】【分析】根據(jù)在直角三角形中，銳角的正弦為對(duì)邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對(duì)邊比鄰邊，可得答案．【詳解】解：如圖：作于C點(diǎn)，∵，∴，，∵，∴，由勾股定理，得，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查銳角三角函數(shù)的定義及運(yùn)用：在直角三角形中，銳角的正弦為對(duì)邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對(duì)邊比鄰邊．4．計(jì)算：．【答案】【分析】根據(jù)同一個(gè)角正弦的平方與余弦的平方的和等于1，和特殊角的三角函數(shù)值求解即可．【詳解】解：．【點(diǎn)睛】本題考查特殊角三角函數(shù)值的混合運(yùn)算．掌握同一個(gè)角正弦的平方與余弦的平方的和等于1，特殊角的三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵．5．嘉嘉在某次作業(yè)中得到如下結(jié)果：，，，，．據(jù)此，嘉嘉猜想：對(duì)于任意銳角，，若，均有．(1)當(dāng)，時(shí)，驗(yàn)證是否成立？(2)嘉嘉的猜想是否成立？若成立，請(qǐng)結(jié)合如圖所示給予證明，其中所對(duì)的邊為，所對(duì)的邊為，斜邊為；若不成立，請(qǐng)舉出一個(gè)反例；(3)利用上面的證明方法，直接寫出與，之間的關(guān)系．【答案】(1)成立，見解析(2)成立，見解析(3)【分析】（1）直接根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值代入計(jì)算驗(yàn)證即可；（2）根據(jù)正弦函數(shù)的定義列出，，結(jié)合勾股定理整理化簡即可證得結(jié)論；（3）根據(jù)正切函數(shù)的定義列出表達(dá)式，然后結(jié)合中，，，再變形代入整理即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：∵，，∴，結(jié)論成立；（2）解：成立．理由如下：在中，，且，∴，故結(jié)論成立；（3）解：，理由如下：在中，，，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查余角之間的三角函數(shù)關(guān)系，以及同角三角函數(shù)關(guān)系的推理證明，理解三角函數(shù)的基本定義，靈活變形構(gòu)造是解題關(guān)鍵．類型七、求證同角三角函數(shù)關(guān)系式【解惑】常聽到的“…正弦平方加余弦平方…”，上述話語中所含有的數(shù)學(xué)語言應(yīng)正確表達(dá)為（

）（假設(shè)有任意角α）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意即可寫出式子．【詳解】解：“正弦平方加余弦平方”的數(shù)學(xué)語言為：，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查同角三角函數(shù)關(guān)系，明確題意，用數(shù)學(xué)語言正確表達(dá)是解題的關(guān)鍵．【融會(huì)貫通】1．已知：，，，請(qǐng)你根據(jù)上式寫出你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律．【答案】【分析】從角度的倍數(shù)關(guān)系方面考慮并總結(jié)寫出結(jié)論．【詳解】根據(jù)題意發(fā)現(xiàn)：同一個(gè)角正弦與余弦的積等于這個(gè)角的2倍的正弦的一半，規(guī)律為：.故答案為.【點(diǎn)睛】本題考點(diǎn)：同角三角函數(shù)的關(guān)系.2．下列結(jié)論中（其中，均為銳角），正確的是．（填序號(hào)）①；②；③當(dāng)時(shí)，；④．【答案】①③④【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系及銳角三角函數(shù)的增減性進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：①如圖，在中，∵，，∴，故①正確；②若，則，，∴∴，故②錯(cuò)誤；③當(dāng)時(shí)，，∴越大，對(duì)邊越大，且越接近斜邊，∴越大，∴當(dāng)時(shí)，，故③正確；④∵，，，∴，故④正確．故答案為：①③④．【點(diǎn)睛】本題考查了同角三角函數(shù)的關(guān)系及銳角三角函數(shù)的增減性，掌握銳角三角函數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵．3．如圖，在中，、、三邊的長分別為、、，則，，．我們不難發(fā)現(xiàn)：，試探求、、之間存在的一般關(guān)系，并說明理由．

【答案】；，理由見解析【分析】利用勾股定理可得，用，，表示正弦，余弦的平方和，即可得出；根據(jù)題意得出，即可得出．【詳解】存在的一般關(guān)系有：，，證明：，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了同角三角函數(shù)的關(guān)系，勾股定理的知識(shí)，熟練應(yīng)用銳角三角函數(shù)關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．4．如圖，在中，，，，求、的長．【答案】【分析】過作，交于點(diǎn)，利用銳角三角函數(shù)和勾股定理解直角三角形即可．【詳解】解：過作，交于點(diǎn)，則：，∴，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形．熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義，利用銳角三角函數(shù)解直角三角形是解題的關(guān)鍵．5．（1）如圖，銳角α和線段m，用尺規(guī)作出一個(gè)以線段m為直角邊，α為內(nèi)角，為的（保出作圖痕跡，不寫作法）．（2）根據(jù)（1）中所畫圖形證明．

【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）作線段，過點(diǎn)作，作，射線，交于點(diǎn)，即為所求；（2）利用勾股定理，三角函數(shù)的定義證明即可．【詳解】（1）解：如圖，即為所求．

（2）證明：，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了作一個(gè)角等于已知角、作垂線、作三角形、勾股定理、三角函數(shù)，熟練掌握勾股定理和三角函數(shù)是解題關(guān)鍵．類型八、互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系【解惑】在中，，，則下列式子成立的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)各個(gè)三角函數(shù)的定義即可解答．【詳解】解：A、∵，∴，故A不成立，不符合題意；B、，∴，故B成立，符合題意；C、，∴，故C不成立，不符合題意；D、，∴，故D不成立，不符合題意；故選：B．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵的數(shù)量掌握各個(gè)三角函數(shù)的求法．【融會(huì)貫通】1．已知，則銳角的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，，，再由余弦函數(shù)值在銳角范圍內(nèi)，隨角度增大而減小即可得到答案【詳解】解：，，由可得，在銳角范圍內(nèi)，余弦函數(shù)值隨著角度的增大而減小，，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查利用特殊角的三角函數(shù)值及余弦函數(shù)的性質(zhì)比較角度大小，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．2．在中，，已知，那么的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用互余兩角的三角函數(shù)關(guān)系求解，即可得到答案．【詳解】解：在中，，，，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了互余兩角的三角函數(shù)關(guān)系，解題關(guān)鍵是掌握一個(gè)角的正弦值等于它的余角的余弦值．3．在中，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】在中，，，設(shè)，則，根據(jù)余弦的定義即可得到答案．【詳解】解：在中，，，設(shè)，則，∴．故選：A．

【點(diǎn)睛】此題考查了銳角三角函數(shù)的定義等知識(shí)，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．4．已知，，則．【答案】/【分析】應(yīng)用互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可得出答案．【詳解】解：根據(jù)題意可得，，，，，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系，熟練掌握互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．5．同學(xué)們，在我們進(jìn)入高中以后，還將學(xué)到下面三角函數(shù)公式：，，，．例：．若已知銳角滿足條件，則．【答案】【分析】先根據(jù)求出，把變?yōu)?，然后根?jù)計(jì)算即可．【詳解】解：如圖，在中，

∵，∴．∵，∴．∵為銳角，∴．∵∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的運(yùn)算，正確理解所給計(jì)算公式是解答本題的關(guān)鍵．類型九、解直角三角形的相關(guān)計(jì)算【解惑】如圖，矩形中，，對(duì)折矩形使得與重合，得到折痕，把紙片展平，再一次折疊紙片，使點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在上，折痕是，連接，若，則點(diǎn)的長是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】由矩形性質(zhì)和折疊性質(zhì)可得，，，，可得，從而可得，可得，從而可得的長，，即可求解，進(jìn)而求出的長．【詳解】解：四邊形是矩形，，由折疊性質(zhì)可得：，，，，在中，，，，，，，，，，，在中，，，，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查折疊性質(zhì)，長方形的性質(zhì)，角的直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是利用邊之間的關(guān)系推出．【融會(huì)貫通】1．如圖，在正方形中，，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與端點(diǎn)重合），的垂直平分線分別交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，的長為（

）

A．2 B． C． D．4【答案】C【分析】如圖作于．首先證明，設(shè)，則，可得，根據(jù)，，【詳解】解：如圖作于．

四邊形是正方形，，四邊形是矩形，，，，，，，，，，設(shè)，則，垂直平分線段，，，，，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、線段的垂直平分線等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考選擇題中的壓軸題．2．如圖，在中，，，，點(diǎn)、分別在邊、上．將沿著所在的直線翻折，使點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在邊的延長線上．如果平分，那么的長度為．【答案】【分析】由翻折得出，再根據(jù)平分，得出，然后借助相似列出方程即可．【詳解】解：作于H，在紙片中，，由勾股定理得：，∵將沿翻折得，∴，∵平分，∴，∴，設(shè)，在中，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．故答案是：．【點(diǎn)睛】本題考查了以直角三角形為背景的翻折問題，緊扣翻折前后對(duì)應(yīng)線段相等、對(duì)應(yīng)角相等來解決問題，通過相似表示線段和列方程是解題本題的關(guān)鍵．3．在中，，，則．（用含的式子表示）【答案】【分析】根據(jù)過點(diǎn)A作交于D，得，在中，即可求得答案．【詳解】解：過點(diǎn)A作交于D，如圖∵，∴，在中，，得，故．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形中余弦的定義，解題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造直角三角形．4.銳角α滿足，則．【答案】/【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義以及勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：如圖，，，，則，

由于，可設(shè)，則，所以，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查銳角三角函數(shù)、勾股定理，理解銳角三角函數(shù)的定義以及勾股定理是正確解答的前提．5.已知，是銳角，則.【答案】【分析】根據(jù)求得的值，再根據(jù)求出即可．【詳解】解：，是銳角，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)之間的關(guān)系．類型十、解非直角三角形【解惑】如圖，在中，，，，則的長為（

）

A． B． C．4 D．5【答案】D【分析】作于，根據(jù)，，算出和，再根據(jù)，算出，最后根據(jù)計(jì)算即可．【詳解】如下圖，作于，

在中，，，，，在中，，，，，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了用銳角三角函數(shù)解非直角三角形，作垂直構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．【融會(huì)貫通】1．已知在中，，，，則（）A． B． C