山東省聊城市聊城聯(lián)盟校2023-2024學(xué)年九年級上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題

2023-2024學(xué)年第一學(xué)期第二次學(xué)情調(diào)研九年級數(shù)學(xué)試題時(shí)間：120分鐘分值：120分一、選擇題（滿分36分，共12小題，每小題3分）1.在下列方程中，一元二次方程的個(gè)數(shù)是（）①；②；③；④A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【答案】A【解析】【分析】本題考查了一元二次方程的定義的應(yīng)用，能理解一元二次方程的定義是解此題的關(guān)鍵．只含有一個(gè)未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程，根據(jù)以上定義判斷即可．【詳解】①符合一元二次方程的定義，故選項(xiàng)符合題意；②當(dāng)時(shí)，是一元一次方程，不是一元二次方程，故選項(xiàng)不符合題意；③化簡后，是一元一次方程，不是一元二次方程，故選項(xiàng)不符合題意；④不是整式方程，故選項(xiàng)不符合題意；綜上可知是一元二次方程共有1個(gè)故選：A2.已知的半徑為5，是的弦，點(diǎn)P在弦上，若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】連接，過點(diǎn)O作于點(diǎn)C，根據(jù)垂徑定理可得，即可求得，再利用勾股定理求得的值，再利用勾股定理即可求得的值．【詳解】如圖，過點(diǎn)O作于點(diǎn)C，連接，則，更多課件教案等低價(jià)滋源(一定遠(yuǎn)低于各大平臺價(jià)格)請家威杏MXSJ663，，，，，在中，根據(jù)勾股定理得：，在中，根據(jù)勾股定理得：,故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的垂徑定理和勾股定理，正確作輔助線，熟練利用勾股定理是解題的關(guān)鍵．3.在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，則tanB等于()A. B.C. D.【答案】B【解析】【詳解】解：設(shè)所對的邊分別為，，不妨設(shè)，由勾股定理得到，故選：B.4.已知，在矩形中，于，設(shè)，且，，則的長為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)同角的余角相等求出∠ADE=∠ACD，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠BAC=∠ACD，然后求出AC，再利用勾股定理求出BC，然后根據(jù)矩形的對邊相等可得AD=BC．【詳解】解：∵DE⊥AC，

∴∠ADE+∠CAD=90°，

∵∠ACD+∠CAD=90°，

∴∠ACD=∠ADE=α，

∵矩形ABCD的對邊AB∥CD，

∴∠BAC=∠ACD，

∵cosα=，

∴，

∴AC=×4=，

由勾股定理得，BC==，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD=BC=．

故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)的定義，同角的余角相等的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并求出BC是解題的關(guān)鍵．5.如圖，在網(wǎng)格中，小正方形的邊長均為1，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，則的正切值是（）A.2 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查解直角三角形，勾股定理的逆定理，解題的關(guān)鍵是連接判斷是直角三角形是解題的關(guān)鍵．【詳解】連接，則，，，∴，∴是直角三角形且，∴，故選D．6.如圖，中，，內(nèi)切于點(diǎn)，，，則的半徑為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了切線長定理、切線的性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)、勾股定理，連接、，，由切線長定理可得，，，證明四邊形是正方形，設(shè)，則，，由勾股定理可得，進(jìn)行計(jì)算即可得出答案，熟練掌握以上知識點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，連接、，，，由切線長定理可得，，，，，，，，，，，四邊形是正方形，設(shè)，則，，在中，由勾股定理可得：，，解得：或（不符合題意，舍去），的半徑為，故選：D．7.如圖，線段AB經(jīng)過⊙O的圓心，AC，BD分別與⊙O相切于點(diǎn)C，D．若AC=BD=4，∠A=45°，則弧CD的長度為（）A.π B.2π C.2π D.4π【答案】B【解析】【分析】連接OC、OD，根據(jù)切線性質(zhì)和∠A=45°，易證得△AOC和△BOD是等腰直角三角形，進(jìn)而求得OC=OD=4，∠COD=90°，根據(jù)弧長公式求得即可．【詳解】連接OC、OD，∵AC，BD分別與⊙O相切于點(diǎn)C，D．∴OC⊥AC，OD⊥BD，∵∠A=45°，∴∠AOC=45°，∴AC=OC=4，∵AC=BD=4，OC=OD=4，∴OD=BD，∴∠BOD=45°，∴∠COD=180°-45°-45°=90°，∴的長度為：=2π，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，弧長的計(jì)算等，證得∠COD=90°是解題的關(guān)鍵．8.如圖，一塊材料的形狀是銳角三角形，邊長，邊上的高為，把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在、上，則這個(gè)正方形零件的邊長是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】證明，則，設(shè)正方形零件的邊長為x，則，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，解方程即可．本題主要考查相似三角形的應(yīng)用，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵四邊形是正方形，∴，∴，又∵，∴，設(shè)正方形零件的邊長為x，則，∴，解得：，即這個(gè)正方形零件的邊長為．故選：A9.下列語句中，正確的是（）A.長度相等的兩條弧相等B.平分弦的直徑垂直于弦C.在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等D.圓是軸對稱圖形，任何一條直徑都是它的對稱軸【答案】C【解析】【分析】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系以及垂徑定理；圓心角、弧、弦的關(guān)系：在同圓或等圓中，相等的圓心角相等，所對的弧相等，所對的弦相等，所對弦的弦心距也相等．根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系，垂徑定理等相關(guān)知識進(jìn)行解答即可．【詳解】解：A、在同圓或等圓中，能夠重合的弧叫做等弧，選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，故本選項(xiàng)不符合題意；B、平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，故本選項(xiàng)不符合題意；C、由圓心角、弧、弦的關(guān)系定理知，選項(xiàng)說法正確，故本選項(xiàng)符合題意；D、任何圖形的對稱軸都是直線，而圓的直徑是線段，選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：C．10.2010年某市政府投資2億元人民幣建設(shè)了廉租房8萬平方米，預(yù)計(jì)到2012年底三年共累計(jì)投資9.5億元人民幣建設(shè)廉租房，若在這兩年內(nèi)每年投資的增長率相同．設(shè)每年市政府投資的增長率為x，根據(jù)題意，列出方程為（）A.2（1+x）2=9.5 B.2（1+x）+2（1+x）2=9.5C.2+2（1+x）+2（1+x）2=9.5 D.8+8（1+x）+8（1+x）2=9.5【答案】C【解析】【分析】設(shè)每年市政府投資的增長率為x．根據(jù)到2012年底三年共累計(jì)投資9.5億元人民幣建設(shè)廉租房，列方程求解【詳解】（1）設(shè)每年市政府投資的增長率為x，根據(jù)題意，得：2+2（1+x）+2（1+x）2=9.5．故選C．【點(diǎn)睛】由實(shí)際問題抽象出一元二次方程11.關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和為12，則的值為（）A. B. C.或 D.或【答案】A【解析】【分析】設(shè)，是的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，由根與系數(shù)的關(guān)系得，，再由代入即可.【詳解】設(shè)，是的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴，∴，∴，，∴，∴或，∴，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系；牢記韋達(dá)定理，靈活運(yùn)用完全平方公式是解題的關(guān)鍵．12.若為方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值為（）A. B.12 C.14 D.15【答案】B【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程解的定義得到，即，則，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，，然后利用整體代入的方法計(jì)算即可．【詳解】解：為的實(shí)數(shù)根，，即，，為方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的定義和一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：若、是一元二次方程的兩根時(shí)，則，．二、填空題（滿分15分，共5小題，每小題3分）13.已知一元二次方程有一個(gè)根為1，則的值為__．【答案】2【解析】【分析】本題考查了一元二次方程的解，能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．根據(jù)一元二次方程的解的定義，把把代入方程得關(guān)于的一次方程，然后解一元一次方程即可．【詳解】解：一元二次方程有一個(gè)根為1，把代入方程得，解得．故答案為：2．14.如圖，在中，，是的外接圓，，則圖中陰影部分的面積______（結(jié)果保留和根號）．【答案】【解析】【分析】本題考查了圓周角定理、含角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、垂徑定理、扇形面積公式，連接，，作于，由圓周角定理可得，從而得出，由含角的直角三角形的性質(zhì)可得，由垂徑定理可得，由勾股定計(jì)算出，，最后根據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可，熟練掌握以上知識點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，連接，，作于，，，，，，，，，，，，，，故答案為：．15.如圖是一個(gè)汽油桶的截面圖，其上方有一個(gè)進(jìn)油孔，該汽油桶的截面直徑為，此時(shí)汽油桶內(nèi)液面寬度，現(xiàn)在從進(jìn)油孔處倒油，當(dāng)液面時(shí)，液面上升了__________dm．【答案】8或22【解析】【分析】本題考查了垂徑定理的應(yīng)用以及分類討論的數(shù)學(xué)思想．實(shí)質(zhì)是求兩條平行線間的距離，根據(jù)勾股定理求弦心距，作差或作和分別求解．【詳解】連接．作于．則直角中，，，根據(jù)勾股定理得到：，當(dāng)油面寬為時(shí)，連接．作于．在直角中，，，根據(jù)勾股定理得到：，即弦AB的弦心距是，當(dāng)油面沒超過圓心O時(shí)，如圖油上升了；當(dāng)油面超過圓心O時(shí)，如圖油上升了．因而油上升了或．故答案為8或22．16.若關(guān)于x的一元二次方程(m﹣1)x2﹣2mx+(m+2)=0有實(shí)數(shù)根，則m取值范圍是____．【答案】m≤2且m≠1【解析】【詳解】∵關(guān)于x的一元二次方程(m﹣1)x2﹣2mx+(m+2)=0有實(shí)數(shù)根，∴?＝（-2m）2-4（m-1）（m+2）≥0，且m-1≠0，解得m≤2且m≠1．故答案為m≤2且m≠1．17.對于實(shí)數(shù)，定義運(yùn)算“◎”如下：◎．若◎，則_____．【答案】-3或4【解析】【分析】利用新定義得到，整理得到，然后利用因式分解法解方程．【詳解】根據(jù)題意得，，，，或，所以．故答案為或．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法．三、解答題（滿分69分，共8小題）18.計(jì)算：（1）．（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算即可；（2）先進(jìn)行算式平方根、正切值、絕對值和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪運(yùn)算，再加減運(yùn)算即可求解．【小問1詳解】解：原式；【小問2詳解】解：原式．【點(diǎn)睛】本題主要考查實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，涉及特殊角的三角函數(shù)、二次根式的混合運(yùn)算、絕對值、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，熟記特殊角的三角函數(shù)值，掌握運(yùn)算法則并正確求解是解答的關(guān)鍵．19.解下列方程：（1）5x+2=3x2；（2）2（x﹣3）2=x2﹣9．【答案】（1）x1=﹣，x2=2；（2）x1=3，x2=9．【解析】【分析】（1）先移項(xiàng)化簡，再用因式分解法即可解出；（2）先移項(xiàng)化簡，再用因式分解法即可解出.【詳解】（1）5x+2=3x2，3x2﹣5x﹣2=0（3x+1）（x﹣2）=0所以x1=﹣，x2=2；（2）2（x﹣3）2=x2﹣9，2（x﹣3）2﹣（x+3）（x﹣3）=0，（x﹣3）[2（x﹣3）﹣（x+3）]=0，x﹣3=0或x﹣9=0，所以x1=3，x2=9．【點(diǎn)睛】本題考查的知識點(diǎn)是解一元二次方程-因式分解法，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握解一元二次方程-因式分解法.20.已知關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．（1）求取值范圍；（2）若是方程的一個(gè)根，求的值及方程的另一個(gè)根．【答案】（1）（2），方程的另一根為【解析】【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式及方程的解，一元二次方程的根與有如下關(guān)系：①，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，②，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，③，方程沒有實(shí)數(shù)根．（1）由方程的根的情況可得到關(guān)于的不等式，可求得的取值范圍；（2）把代入方程可求得的值，再解方程可求得另一根．【小問1詳解】解：根據(jù)題意得：，解得；【小問2詳解】解：把代入方程可得，解得，∴方程為，解得或，即方程的另一根為．21.如圖，四邊形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90o，E為AB的中點(diǎn)，求證：（1）AC2=AB·AD；（2）CE∥AD．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【詳解】試題分析:(1)易證△ADC∽△ACB得即,(2)由E為AB中點(diǎn)得CE=AB=AE,∠EAC=∠ECA,又AC平分∠DAB,∴∠CAD=∠CAB,∴∠DAC=∠ECA,∴∠CAD=∠CAB,∴∠DAC=∠ECA,∴CE∥AD.試題解析:(1)∵AC平分∠DAB,∴∠DAC=∠CAB又∵∠ADC=∠ACB=90°,∴△ADC∽△ACB,∴即,(2)∵E為AB的中點(diǎn),∴CE=AB=AE,∠EAC=∠ECA,∵AC平分∠DAB,∴∠CAD=∠CAB,∴∠DAC=∠ECA,∴CE∥AD.22.某校初三課外活動(dòng)小組，在測量樹高的一次活動(dòng)中．如圖所示，測得樹底部中心A到斜坡底C的水平距離為8.8m，在陽光下某一時(shí)刻測得l米的標(biāo)桿影長為0.8m，樹影落在斜坡上的部分CD=3.2m，已知斜坡CD的坡比，求樹高AB．（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：≈1.7）【答案】樹高AB為16m【解析】【分析】點(diǎn)D作DE⊥AB，DF⊥AC，構(gòu)建直角三角形，根據(jù)三角函數(shù)的計(jì)算和相似三角形的相似比求解．【詳解】解：過點(diǎn)作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)，如圖，∵斜坡CD的坡比，即tan∠DCF=，∴∠DCF=30°，而CD=3.2m，∴DF=CD=1.6m，CF=DF=m，∵DF⊥AC，DE⊥AB，AC⊥AB，∴四邊形AEDF是矩形，∴AE=DF，DE=AF，∵AC=8.8m，∴DE=AF=AC+CF=8.8+，∴，∴BE=，∴AB=BE+AE=≈16（m）．答：樹高AB為16m．【點(diǎn)睛】本題是解直角三角形的應(yīng)用，考查了相似三角形的性質(zhì)，解直角三角形，理解坡比，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．23.如圖，在四邊形中，，以為直徑的交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，平分．（1）求證：是切線；（2）若，，求的長．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）連，利用內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行可得，進(jìn)而得出，可知，為圓的半徑，即可得出最后結(jié)論；（2）連接，交于點(diǎn)，根據(jù)直徑所對的圓周角為直角，得到，得出四邊形為矩形，進(jìn)而得出四邊形為矩形，設(shè)，得出，，利用勾股定理，求出的值，進(jìn)而求出最后結(jié)果【小問1詳解】證明:如圖（1），連，，，平分，，，，，，，，是的切線．【小問2詳解】如圖（2），連接，交于點(diǎn)，為的直徑，，，四邊形為矩形，，，，，，，，四邊形為矩形，，設(shè)，，，，，，，，解得：，（舍去），，．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，直徑所對的圓周角為直角，垂徑定理，中位線性質(zhì)，勾股定理，矩形的判定和性質(zhì)，正確作