高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 講義空間直線平面的垂直 教師

課題：空間直線、平面的垂直知識點(diǎn)1．垂直的定義：如果直線與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線與平面互相垂直，記作：．直線叫做平面的垂線，平面叫做直線的垂面．直線與平面垂直時，它們的唯一公共點(diǎn)叫做垂足。2．直線與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言判定定理如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面l⊥a，l⊥b，a?α，b?α，a∩b＝P?l⊥α性質(zhì)定理垂直于同一個平面的兩條直線平行，也可簡記為線面垂直、線線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?a∥b3．平面與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言判定定理一個平面過另一平面的垂線，則這兩個平面垂直l⊥α，l?β?α⊥β性質(zhì)定理兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l?a⊥β【注1】在已知平面內(nèi)“找出”兩條相交直線與已知直線垂直就可以判定直線與平面垂直。即將“線面垂直”轉(zhuǎn)化為“線線垂直”【注2】直線與平面垂直的性質(zhì)定理不僅揭示了線面之間的關(guān)系，而且揭示了平行與垂直之間的內(nèi)在聯(lián)系?！咀?】應(yīng)用面面垂直的判定定理難點(diǎn)在于：在一個平面內(nèi)找到另一個平面的垂線,即要證面面垂直轉(zhuǎn)化為證線線垂直?？谠E為：見到垂面做垂線．【注4】線面、面面垂直的綜合應(yīng)用1．直線與平面垂直（1）判定直線和平面垂直的方法：①定義法．②利用判定定理：如果一條直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，則這條直線與這個平面垂直．③推論：如果在兩條平行直線中，有一條垂直于平面，那么另一條直線也垂直于這個平面．（2）直線和平面垂直的性質(zhì)：①直線垂直于平面，則垂直于平面內(nèi)任意直線．②垂直于同一個平面的兩條直線平行．③垂直于同一直線的兩平面平行．2．斜線和平面所成的角：斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫斜線和平面所成的角．3．平面與平面垂直（1）平面與平面垂直的判定方法：①定義法．②利用判定定理：如果一個平面過另一個平面的一條垂線，則這兩個平面互相垂直．（2）平面與平面垂直的性質(zhì)：如果兩平面互相垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面．【注5】證明線面垂直的方法：一是線面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性質(zhì)定理；三是平行線法（若兩條平行線中一條垂直于這個平面，則另一條也垂直于這個平面）．解題時，注意線線、線面與面面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化；另外，在證明線線垂直時，要注意題中隱含的垂直關(guān)系，如等腰三角形的底邊上的高、中線和頂角的角平分線三線合一、矩形的內(nèi)角、直徑所對的圓周角、菱形的對角線互相垂直、直角三角形（或給出線段長度，經(jīng)計算滿足勾股定理）、直角梯形等等．【注6】判定面面垂直的方法：（1）面面垂直的定義．（2）面面垂直的判定定理（a⊥β，?α⊥β）．在已知平面垂直時，一般要用性質(zhì)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為線面垂直或線線垂直．轉(zhuǎn)化方法：在一個平面內(nèi)作交線的垂線，轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直．【注7】1．垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化：2．在證明兩平面垂直時一般先從現(xiàn)有的直線中尋找平面的垂線，若這樣的直線圖中不存在，則可通過作輔助線來解決．如有平面垂直時，一般要用性質(zhì)定理，在一個平面內(nèi)作交線的垂線，使之轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直．故熟練掌握“線線垂直”、“面面垂直”間的轉(zhuǎn)化條件是解決這類問題的關(guān)鍵．典型例題例1如圖，在四面體D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中點(diǎn)，則下列正確的是（）A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE【答案】C【解析】因?yàn)锳B＝CB，且E是AC的中點(diǎn)，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE．因?yàn)锳C在平面ABC內(nèi)，所以平面ABC⊥平面BDE．又由于AC?平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE，所以選C．例2m是一條直線，α，β是兩個不同的平面，以下命題正確的是（）A．若m∥α，α∥β，則m∥β B．若m∥α，∥β，則α∥β C．若m∥α，α⊥β，則m⊥β D．若m∥α，m⊥β，則α⊥β【答案】D例3空間中，設(shè)表示直線，，表示不同的平面，則下列命題正確的是（）A．若，，則B．若，，則C．若，，則D．若，，則【答案】B【解析】若，，則或，故A錯；若，，則和的位置關(guān)系不確定，故C錯；若，，則或，故D錯，選B．例4設(shè)是兩條不同的直線，是三個不同的平面，下列四個命題中假命題的是（）A．若則B．若則C．若則D．若，則【答案】C【解析】設(shè)m∩α=O，過O與直線n的平面β，利用線面平行的性質(zhì)得線線平行，再由線線平行得線線垂直，來判斷A是否正確；根據(jù)平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面，來判斷B是否正確；借助圖形，若l∥α，α⊥β，直線l與平面β的位置關(guān)系不確定，由此可判斷C是否正確；根據(jù)平行平面中的一個垂直于一條直線，另一個也垂直于這條直線，由此判斷D是否正確．例5如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1的棱中，與棱AB垂直的棱有（

）A．2條B．4條C．6條D．8條【答案】D【解析】在長方體ABCD－A1B1C1D1的棱中，與棱AB垂直的棱有BC，B1C1，A1D1，AD，AA1，BB1，CC1，DD1，共8條．故選：D．例6已知，是兩個不重合的平面，，是兩條不重合的直線，下列命題正確的是（

）A．若，，則B．若，，，則C．若，，則D．若，，，則【答案】D【解析】對于A，若，，則或或與相交，故A錯誤．對于B，若，，，則或或與相交，故B錯誤．對于C，若，，則或與相交，故C錯誤．對于D，利用線面垂直，及面面垂直的位置關(guān)系，可知D正確．故選：D例7設(shè)，，是三條不同的直線，，，是三個不同的平面，下列說法正確的是（

）A．若，，則B．若，，，，則C．若，，則D．若，，，則【答案】D【解析】利用正方體確定線面之間的位置關(guān)系，如圖所示，對于A選項(xiàng)，設(shè)AD為m，BC為n，面為，則滿足，，，故A錯誤；對于B選項(xiàng)，設(shè)AD為m，BC為n，AB為l，面為，滿足，，，，，故B錯誤；對于C選項(xiàng)，面為，面為，AD為l,滿足，，，故C錯誤；對于D選項(xiàng)，由面面平行性質(zhì)定理：兩個平行平面，分別和第三個平面相交，交線平行，所以，，，可得．故D正確．例8如圖，是正方形，是正方形的中心，底面，是的中點(diǎn)．求證：（1）平面；（2）平面．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】（1）連接，四邊形為正方形，為中點(diǎn)，又為中點(diǎn)，，平面，平面，平面．（2）平面，平面，；四邊形為正方形，，又，平面，平面．例9如圖，四棱錐中，底面為矩形，底面，，點(diǎn)是的中點(diǎn)．求證：（1）平面；（2）．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】（1）∵底面為矩形，∴，∵底面，底面，∴，又∵，平面，∴平面．（2）∵平面，平面，∴，∵，是的中點(diǎn)，∴，又∵，平面，∴平面，∵平面，∴．例10如圖，在四棱錐中，四邊形為正方形，已知平面，且，為中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）證明：平面平面．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】（1）連接交于點(diǎn)，連接，四邊形為正方形，為中點(diǎn)，又為中點(diǎn)，，平面，平面，平面．（2）平面，平面，；四邊形為正方形，；，平面，平面，平面，平面平面．例11如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分別是棱BC，CC1上的點(diǎn)（點(diǎn)D不同于點(diǎn)C），且AD⊥DE，F(xiàn)為B1C1的中點(diǎn)．求證：（1）平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）直線A1F∥平面ADE．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．【解析】（1）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∴CC1⊥平面ABC，∵AD?平面ABC，∴AD⊥CC1又∵AD⊥DE，DE、CC1是平面BCC1B1內(nèi)的相交直線∴AD⊥平面BCC1B1，∵AD?平面ADE∴平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）∵△A1B1C1中，A1B1＝A1C1，F(xiàn)為B1C1的中點(diǎn)∴A1F⊥B1C1，∵CC1⊥平面A1B1C1，A1F?平面A1B1C1，∴A1F⊥CC1又∵B1C1、CC1是平面BCC1B1內(nèi)的相交直線∴A1F⊥平面BCC1B1又∵AD⊥平面BCC1B1，∴A1F∥AD∵A1F?平面ADE，AD?平面ADE，∴直線A1F∥平面ADE．例12如圖，已知四棱柱中，各棱長都為，底面是正方形，頂點(diǎn)在平面上的射影是正方形的中心，求證：平面．【答案】證明見解析【解析】證明：在正方形中，，則為、的中點(diǎn)，且，平面，平面，，則，，，，在四棱柱中，，，平面，平面，，，，、平面，平面，平面，，，、平面，因此，平面．例13如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中點(diǎn)，M，N分別在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC．證明：AE∥MN．【答案】證明見解析【解析】因?yàn)锳B⊥平面PAD，AE?平面PAD，所以AE⊥AB，又AB∥CD，所以AE⊥CD．因?yàn)锳D＝AP，E是PD的中點(diǎn)，所以AE⊥PD．又CD∩PD＝D，CD，PD?平面PCD，所以AE⊥平面PCD．因?yàn)镸N⊥AB，AB∥CD，所以MN⊥CD．又因?yàn)镸N⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD?平面PCD，所以MN⊥平面PCD，所以AE∥MN．例14如圖，在圓柱中，是圓柱的母線，是圓柱的底面的直徑，是底面圓周上異于、的點(diǎn)．求證：平面．【答案】證明見解析【解析】證明：由已知可知，是圓柱的母線，所以平面，平面，∴．∵點(diǎn)是上異于、的點(diǎn)，是的直徑，所以．又，平面∴平面．例15如圖，四邊形是矩形，平面，平面，，．（1）證明：平面平面；（2）求三棱錐的體積．【答案】（1）證明見解析（2）1【解析】（1）證明：平面，平面，，又平面，平面，平面，在矩形中，，且平面，平面，平面，又，∴平面平面．（2）平面，∴點(diǎn)到平面的距離為，∵四邊形是矩形，，，，．例16如圖，在四棱錐中，底面為正方形，底面，，，分別為棱，的中點(diǎn)，為棱上的動點(diǎn)．求證：（1）平面；（2）平面平面．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】（1）如圖，取的中點(diǎn)，連接，．為棱的中點(diǎn)，，且．又為棱的中點(diǎn)，且底面為正方形，，且，，且，四邊形為平行四邊形，則，又平面，平面，平面．（2）為棱的中點(diǎn)，，．底面，平面，，又，，平面，平面，平面，．，平面，平面．平面，平面平面．例17如圖，四棱錐中，底面ABCD為矩形，底面ABCD，，點(diǎn)E是PB的中點(diǎn)．求證：（1）平面PAB；（2）平面平面PBC．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】（1）∵底面ABCD為矩形，∴．∵底面ABCD，底面ABCD∴．又∵，平面PAB，∴平面PAB．（2）∵平面PAB，平面PAB，∴．∵，E是PB的中點(diǎn)，∴．又∵，平面PBC，∴平面PBC．又∵平面AEC，∴平面平面PBC．例18如圖所示，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，分別是的中點(diǎn)．求證：（1）平面PCE（2）平面平面【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】（1）取的中點(diǎn)，連接，如圖所示：因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，且．又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，．所以，，即四邊形為平行四邊形，即．因?yàn)槠矫?，平面，，所以平面．?）因?yàn)槠矫?，平面，所以．因?yàn)椋?，，平面，所以平面．又因?yàn)槠矫?，所以．因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，，所以．因?yàn)?，，，平面，所以平面．又因?yàn)?，所以平面．又因?yàn)槠矫?，所以平面平面．?9如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，為棱上一點(diǎn)，且，為棱的中點(diǎn)．（1）證明：平面平面；（2）求四棱錐的體積．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】（1）證明：由題意，，，平面平面，平面，平面平面，平面，又平面，平面平面；（2）解：設(shè)的中點(diǎn)為，連接，，所以是等腰三角形，，即是梯形底邊上的高，，由題意知，，所以，是的中點(diǎn)，到底面的距離為，四棱錐的體積為；綜上，四棱錐的體積為．例20空間四邊形ABCD，E，F(xiàn)，G分別是BC，AD，DC的中點(diǎn)，F(xiàn)G＝2，GE＝，EF＝3．求證：AC⊥BD．【答案】證明見解析【解析】∵點(diǎn)G，E分別是CD，BC的中點(diǎn)，∴GEBD，同理GFAC．∴∠FGE或∠FGE的補(bǔ)角是異面直線AC與BD所成的角．在△EFG中，∵FG＝2，GE＝，EF＝3，滿足FG2＋GE2＝EF2，∴∠FGE＝90°．即異面直線AC與BD所成的角是90°．∴AC⊥BD．例21已知四棱錐的底面是菱形，平面．（1）設(shè)平面平面，求證：；（2）求證：．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】（1）平面平面，平面，又平面，平面平面，．（2）平面平面，四棱錐的底面是菱形，，平面，平面，又平面．舉一反三1．下列四個命題中，正確命題的個數(shù)是（）個①若平面平面，直線平面，則；②若平面平面，且平面平面，則；③平面平面，且，點(diǎn)，，若直線，則；④直線為異面直線，且平面，平面，若，則．A．B．C．D．【答案】B2．設(shè)，是兩個不同的平面，是一條直線，給出下列命題：①若，，則；②若，，則．則（）A．①②都是假命題B．①是真命題，②是假命題C．①是假命題，②是真命題D．①②都是真命題【答案】B【解析】如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直，所以①正確；若，，則與不一定垂直，所以②錯誤．故選擇B．3．已知平面與兩條不重合的直線，則“，且”是“”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件【答案】A4．若m、n、l表示不同的直線，（、（表示不同的平面，則下列推理正確的是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則【答案】B【解析】在正方體中，記平面為平面，平面為平面，為，為，為，對于A選項(xiàng)，，，但和相交，所以A錯；對于C選項(xiàng)，，，但和相交，所以C錯；對于D選項(xiàng)，，，但與相交，所以D錯；對于B選項(xiàng)，由線面垂直的性質(zhì)可知B對；故選：B5．已知為三個不同的平面，為一條直線，給出下列四個命題①若，則；

②若，則③若，；

④若，，則；其中，是假命題的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】對于①②③，在正方體中，平面看成平面，平面看成平面，平面看成平面，所以①不正確；平面看成平面，平面看成平面，平面看成平面，所以②不正確；對于③因?yàn)?，則可能平行，故③不正確；對于④因?yàn)?，過任作平面與相交，設(shè)，由線面平行的性質(zhì)定理得又因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，故④錯誤．綜上假命題的有①②③④故選：D6．已知為不同的直線，為不同的平面，以下四個命題①

②③

④其中正確的序號為（

）A．①② B．③④ C．②③ D．②③④【答案】C【解析】①或，故錯誤；②由線面垂直的性質(zhì)定理知，正確；③由線面垂直的性質(zhì)定理知，正確；④，m，n相交或異面，故錯誤；故選：C7．（多選）已知不同直線l、m、n與不同平面、，下列推論正確的是（

）A．若，，則B．若，，則C．若，，則D．若，，則或【答案】ABD【解析】對于A，根據(jù)直線平行的傳遞性可知，A正確；對于B，根據(jù)平面與平面垂直的判斷定理可知，B正確；對于C，若，，與也可能相交，故C錯誤；對于D，根據(jù)平面與平面垂直的性質(zhì)定理以及直線與平面垂直的概念可知，D正確．8．如圖，已知平面PBC，，M是BC的中點(diǎn)，求證：．【答案】證明見解析．【解析】∵，M是BC的中點(diǎn)，∴．又平面PBC，平面PBC，則，∵，面，∴面，而面，∴．9．在正三棱柱中，如圖所示，，G，E，F(xiàn)分別是，AB，BC的中點(diǎn)，求證：直線直線GB．【答案】證明見解析【解析】證明：連接．在三角形中，G是的中點(diǎn)，所以．因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)?，平面，所以⊥平面，因?yàn)槠矫妫浴?，又因?yàn)镋，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，所以，所以所以直線直線GB．10．圓柱如圖所示，為下底面圓的直徑，為上底面圓的直徑，底面，，，．（1）證明：面．（2）求圓柱的體積．【答案】（1）見解析（2）【解析】（1）證明：連接，，，可得平面，∵平面，∴，∵，∴四邊形為平行四邊形，∴，∴且，∴四邊形為平行四邊形，∴，∵平面，平面，∴平面；（2）解：連接，∵，∴，∵垂直上底面，∴，∵，平面，，∴平面，又平面，∴，∵，∴，∴為等腰直角三角形，，∴圓柱的體積為．11．在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，AE⊥PD于點(diǎn)E，l⊥平面PCD．求證：l∥AE．【答案】證明見解析【解析】證明：因?yàn)镻A⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，所以PA⊥CD．又四邊形ABCD是矩形，所以CD⊥AD．因?yàn)镻A∩AD＝A，PA?平面PAD，AD?平面PAD，所以CD⊥平面PAD．又AE?平面PAD，所以AE⊥DC．因?yàn)锳E⊥PD，PD∩CD＝D，PD?平面PCD，CD?平面PCD，所以AE⊥平面PCD．因?yàn)閘⊥平面PCD，所以l∥AE．12．如圖，已知正方體A1C．（1）求證：A1C⊥B1D1；（2）M，N分別為B1D1與C1D上的點(diǎn)，且MN⊥B1D1，MN⊥C1D，求證：MN∥A1C．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】（1）如下圖，連接A1C1．因?yàn)镃C1⊥平面A1B1C1D1，B1D1?平面A1B1C1D1，所以CC1⊥B1D1．因?yàn)樗倪呅蜛1B1C1D1是正方形，所以A1C1⊥B1D1．又因?yàn)镃C1∩A1C1＝C1，所以B1D1⊥平面A1C1C．又因?yàn)锳1C?平面A1C1C，所以B1D1⊥A1C．（2）如上圖，連接B1A，AD1．因?yàn)锽1C1=AD，B1C1∥AD所以四邊形ADC1B1為平行四邊形，所以C1D∥AB1，因?yàn)镸N⊥C1D，所以MN⊥AB1．又因?yàn)镸N⊥B1D1，AB1∩B1D1＝B1，所以MN⊥平面AB1D1．由（1）知A1C⊥B1D1．同理可得A1C⊥AB1．又因?yàn)锳B1∩B1D1＝B1，所以A1C⊥平面AB1D1．所以A1C∥MN．故答案為：A1C⊥B1D1；MN∥A1C．13．如圖，在四棱錐P－ABCD中，∠ADB＝90°，CB＝CD，點(diǎn)E為棱PB的中點(diǎn)．（1）若PB＝PD，求證：PC⊥BD；（2）求證：CE∥平面PAD．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．【解析】（1）取BD的中點(diǎn)O，連接CO，PO，因?yàn)镃D＝CB，所以△CBD為等腰三角形，所以BD⊥CO因?yàn)镻B＝PD，所以△PBD為等腰三角形，所以BD⊥PO又PO∩CO＝O，PO，CO?平面PCO，所以BD⊥平面PCO因?yàn)镻C?平面PCO，所以PC⊥BD；（2）由E為PB的中點(diǎn)，連接EO，則EO∥PD，又EO?平面PAD，PD?平面PAD，所以EO∥平面PAD．由∠ADB＝90°及BD⊥CO，可得CO∥AD，又CO?平面PAD，AD?平面PAD，所以CO∥平面PAD．又CO∩EO＝O，CO，EO?平面COE，所以平面CEO∥平面PAD，而CE?平面CEO，所以CE∥平面PAD．14．如圖，已知四棱錐P－ABCD的底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，點(diǎn)E為PC的中點(diǎn)．（1）求證：平面BDE；（2）求證：PC⊥BD．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】（1）證明：連接AC交BD于O點(diǎn)，連接EO，如圖所示：∵底面ABCD是菱形，∴O為AC的中點(diǎn)∵點(diǎn)E為PC的中點(diǎn)，∴∵平面BDE，且平面BDE∴平面BDE（2）證明：∵底面ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵PA⊥平面ABCD，底面ABCD，∴PA⊥BD∵，平面PAC，∴BD⊥平面PAC，又平面PAC，∴BD⊥PC．15．如圖所示，和所在平面互相垂直，且，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，求證：平面【答案】證明見解析【解析】證明：由且，可得，所以，又由為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，同理可得，又因?yàn)榍移矫妫云矫妫驗(yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，所以平面．16．如圖所示，M是菱形ABCD所在平面外一點(diǎn)，．求證：AC垂直于平面BDM．【答案】證明見解析．【解析】設(shè)AC交BD于點(diǎn)O，連接MO,因?yàn)锳BCD是菱形，所以,因?yàn)?，且，所以，因?yàn)镸O、BD是平面BDM上的兩條相交直線，所以AC垂直于平面BDM．17．如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，平面底面分別為的中點(diǎn)．．（1）求證：直線平面；（2）求三棱錐的體積．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】（1）因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，，所以，又因?yàn)?，所以四邊形為平行四邊形，因?yàn)?，所以平行四邊形是矩形，所以，因?yàn)椋?，又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，又因?yàn)槠矫?，所以平面．?）因?yàn)?，所以，由平面為中點(diǎn)，所以點(diǎn)到平面的距離等于，所以．18．如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在棱BB1上運(yùn)動．證明：AD⊥C1E．【答案】證明見解析【解析】因?yàn)锳B＝AC，D是BC的中點(diǎn)，所以AD⊥BC．①又在直三棱柱ABCA1B1C1中，BB1⊥平面ABC，而AD平面ABC，所以AD⊥BB1．②BC，BB1為平面BB1C1C內(nèi)兩條相交直線由①②得AD⊥平面BB1C1C．由點(diǎn)E在棱BB1上運(yùn)動，得C1E平面BB1C1C，所以，AD⊥C1E．19．如圖所示，在空間四邊形ABCD中，AD=BC=2，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，EF=．求證：AD⊥BC．【答案】證明見解析【解析】證明：如圖所示，取BD的中點(diǎn)H，連接EH，F(xiàn)H．因?yàn)镋是AB的中點(diǎn)，且AD=2，所以EH∥AD，EH=1．同理FH∥BC，F(xiàn)H=1．所以∠EHF（或其補(bǔ)角）是異面直線AD，BC所成的角．因?yàn)镋F=，所以EH2+FH2=EF2，所以EFH是等腰直角三角形，EF是斜邊，所以∠EHF=90°，即AD與BC所成的角是90°，所以AD⊥BC．20．如圖，四棱錐的底面為矩形，底面，，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)．（1）求證：；（2）若，，求三棱錐的體積．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】（1）平面，平面，；四邊形為矩形，，又，平面，平面，又平面，．（2）平面，平面，，又為中點(diǎn)，，由（1）知：平面，．21．如圖，在三棱錐中，分別為的中點(diǎn)，，且，．求證：平面．【答案】證明見解析．【解析】∵在中，D是AB的中點(diǎn)，，∴,∵E是PB的中點(diǎn)，D是AB的中點(diǎn)，∴，∴，又，，平面，平面，∴平面，∵平面，∴，又，，平面，平面，∴平面．課后練習(xí)1．已知m,n是兩條不同的直線，是三個不同平面，下列命題中正確的是（）A．若，，則B．若，，則C．若，，則D．若，，則【答案】D【解析】不正確，因?yàn)榇怪庇谕粭l直線的兩個平面平行；不正確，垂直于同一個平面的兩個平面平行或相交；平行于同一條直線的兩個平面平行或相交；正確．2．已知表示兩條不同直線，表示平面，下列說法正確的是（）A．若則B．若，，則C．若，，則D．若，，則【答案】B【解析】選項(xiàng)A：若則或相交或異面；選項(xiàng)B：若，，則；選項(xiàng)C：若，，則或；選項(xiàng)D：若，，則或斜交或．故選B．3．如圖所示，平面四邊形ABCD中，AB＝AD，AB⊥AD，BD⊥CD，將其沿對角線BD折成四面體A－BCD，使平面ABD⊥平面BCD，則下列說法中正確的是（

）①平面ACD⊥平面ABD；②AB⊥AC；③平面ABC⊥平面ACD．A．①②B．②③C．①③D．①②③【答案】D【解析】∵平面平面BCD，平面平面，，CD平面BCD,∴平面ABD，又∵CD平面ACD，∴平面平面ABD，故①正確；∵平面平面ABD，平面平面，，AB平面ABD，∴平面ACD，∵AC平面ACD，∴，故②正確；∵平面ACD，AB平面ABC，∴平面平面ACD，故③正確；故選：D4．在四棱錐中，已知底面，且底面為矩形，則下列結(jié)論中錯誤的是（

）A．平面平面 B．平面平面C．平面平面 D．平面平面【答案】D【解析】對于A中，由已知底面，且底面為矩形，所以，且,平面，所以平面，又由平面，所以平面平面，所以A正確；對于B中，由已知底面，且底面為矩形，所以，且,平面，所以平面，又由平面，所以平面平面，所以B正確；對于C中，由已知底面，且底面為矩形，所以，且,平面，所以平面，又由平面，所以平面平面，所以C正確；對于D中，設(shè)為平面與平面的交線，因?yàn)?，平面，平面，所以平面，因?yàn)闉槠矫媾c平面的交線，所以，又，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以，所以，又底面，所以，所以，所以為平面與平面的二面角，若平面平面，則，而底面，所以，此時三角形內(nèi)角和大于，所以平面與平面不垂直，所以D錯誤．故選：D．5．（多選）如圖，在三棱錐PABC中，平面的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．平面B．C．平面D．平面【答案】ABC【解析】平面，平面，又，平面且平面，故A正確由平面，平面得又，是的中點(diǎn)，又平面，平面，平面，故B,C正確由平面，平面得因?yàn)榕c不平行因此與不垂直從而不與平面垂直，故D錯誤故選：ABC．6．（多選）設(shè)m、n、l表示不同的直線，表示不同的平面，則下列命題中正確的是（

）A．，則 B．，則C．，則 D．，則【答案】ACD【解析】選項(xiàng)A，根據(jù)空間中直線平行的傳遞性，可知A正確；選項(xiàng)B，若，則m與l可能相交，也可能異面，也可能平行，故B錯；選項(xiàng)C，根據(jù)空間中平面平行的傳遞性，可知C正確；選項(xiàng)D，兩條平行線中的一條與一個平面垂直，則另一條也與這個平面垂直，故D正確；故選：ACD．7．如圖，在直角梯形中，，，，并將直角梯形繞AB邊旋轉(zhuǎn)至ABEF．（1）求證：直線平面ADF；（2）求證：直線平面ADF；（3）當(dāng)平面平面ABEF時，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使平面ADE與平面BCE垂直．并證明你的結(jié)論．條件①：；條件②：；條件③：．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）答案見解析【解析】（1）證明：在直角梯形中，，，將直角梯形繞邊旋轉(zhuǎn)至，所以，又，平面，所以平面；（2）證明：依題意可得且，所以四邊形為平行四邊形，所以，平面，平面，所以平面；（3）證明：因?yàn)槠矫嫫矫?，，平面平面，平面，所以平面，平面，所以，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，若選①，，，所以，所以，此時，所以如圖過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，因?yàn)槠矫?，平面，所以，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，顯然平面與平面不垂直；若選②：，則，所以，，所以，即，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面；若選③：，又，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面；8．在條件①；②；③平面平面中任選一個，補(bǔ)充到下面的問題中，并給出問題解答．問題：如圖，在直三棱柱中，，且________，求證：．【答案】證明見解析【解析】（情況一）補(bǔ)充條件①．證明：在直棱柱中，平面，因?yàn)槠矫?，所以．因?yàn)?，平面，平面所以平面．因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)?，所以四邊形為菱形，所以．因?yàn)?，平面，平面所以平面．因?yàn)槠矫?，所以．（情況二）補(bǔ)充條件②．證明：設(shè)，連接．因?yàn)?，M為的中點(diǎn)，所以．因?yàn)?，所以四邊形為菱形，所以．因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面．因?yàn)槠矫?，所以，（情況三）補(bǔ)充條件③平面平面．證明：在棱柱中，因?yàn)?，所以四邊形為菱形，所以．因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面平面，所以平面．因?yàn)槠矫?，所以?．如圖，在中，，，．分別是上的點(diǎn)，且，將沿折起到的位置，使，如圖．（1）求證：平面；（2）求證：平面；（3）當(dāng)點(diǎn)在何處時，的長度最小，并求出最小值．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）當(dāng)為中點(diǎn)時，的長度最小，最小值為【解析】（1），平面，平面，平面．（2），，，，又，，，，平面，平面．（3）設(shè)，則，由（2）知：均為直角三角形．，即，當(dāng)時，取得最小值；當(dāng)為中點(diǎn)時，的長度最小，最小值為．10．如圖，直三棱柱的體積為4，的面積為．（1）求到平面的距離；（2）設(shè)D為的中點(diǎn)，，平面平面，求線段BC的長度．【答案】（1）到平面的距離為（2）線段BC的長為2【解析】（1）解：由直三棱柱的體積為4，可得，設(shè)到平面的距離為，由，，，解得．即到平面的距離為；（2）解：連接交于點(diǎn)由直三棱柱，故四邊形為正方形，，又平面平面，平面平面，平面，，由直三棱柱知平面，，又，平面，，，，又，解得，則線段BC的長為2．11．如圖，在四棱錐中，四邊形是等腰梯形，，，．點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)為棱上的一點(diǎn)，且，平面平面．（1）證明：；（2）證明：平面．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】（1）證明：因?yàn)樗倪呅螢榈妊菪?，則，因?yàn)?，則，所以，，故，，即，平面平面，平面平面，平面，平面，平面，．（2）證明：取的中點(diǎn)，連接，取的中點(diǎn)，連接、，因?yàn)?，，則，，因?yàn)?，且為的中點(diǎn)，所以，且，因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以，且，所以，四邊形為平行四邊形，，平面，平面，平面，、分別為、的中點(diǎn)，故，平面，平面，平面．，、平面，平面平面，平面，平面．12．如圖，已知正方體的棱長為1，與交于點(diǎn)，求證：平面【答案】證明見解析【解析】因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，．在正方體中，易知平面，又平面，．又，平面，平面．13．如圖，在正方體中，，，