人教版2024年高考數(shù)學總復習課后習題檢測卷合集(含答案解析)【可編輯打印】

人教版2024年高考數(shù)學總復習課后檢測卷(含答案解析)目錄檢測卷一集合與常用邏輯用語、相等關(guān)系與不等關(guān)系 1檢測卷一答案解析 3檢測卷二函數(shù) 5檢測卷二答案解析 8檢測卷三導數(shù)及其應用 12檢測卷三答案解析 15檢測卷四三角函數(shù)、解三角形 21檢測卷四答案解析 25檢測卷五數(shù)列 30檢測卷五答案解析 34檢測卷六平面向量、數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入 39檢測卷六答案解析 42檢測卷七立體幾何 45檢測卷七答案解析 50檢測卷八解析幾何 61檢測卷八答案解析 65檢測卷九計數(shù)原理 71檢測卷九答案解析 73檢測卷十統(tǒng)計與統(tǒng)計案例 75檢測卷十答案解析 82檢測卷十一概率 86檢測卷十一答案解析 91檢測卷一集合與常用邏輯用語、相等關(guān)系與不等關(guān)系(時間:45分鐘滿分:80分)一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.(2022新高考Ⅰ,1)若集合M={x|x<4},N={x|3x≥1},則M∩N=()A.{x|0≤x<2} B.xC.{x|3≤x<16} D.x2.命題“?x∈R,lnx+2x≤0”的否定是()A.?x∈R,lnx+2x<0B.?x∈R,lnx+2x>0C.?x∈R,lnx+2x>0D.?x∈R,lnx+2x≤03.若a,b∈R,且2a+3b=2,則4a+8b的最小值是()A.26 B.42C.22 D.44.關(guān)于x的不等式x2-2x+m>0在R上恒成立的必要不充分條件是()A.m>2 B.0<m<1C.m>0 D.m>15.若a,b∈R,則“a>1,且b>1”是“ab>1,且a+b≥2”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件6.若關(guān)于x的不等式x2-2x-m<0在區(qū)間12,2上有解,則實數(shù)m的取值范圍是(A.[-1,+∞) B.(-1,+∞)C.-34,+∞ D7.設(shè)p:|4x-3|≤1,q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,若q是p的必要不充分條件,則實數(shù)a的取值范圍是()A.[0,12] B.(0,1C.(-∞,0]∪[12,+∞) D.(-∞,0)∪(12,+8.若正數(shù)a,b滿足1a+1b=1,則1A.1 B.6 C.9 D.16二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分.9.已知集合A={y|y=x2+1},集合B={(x,y)|y=x2+1},下列關(guān)系正確的是()A.(1,2)∈B B.A=BC.0?A D.(0,0)?B10.“?1≤x≤3,x2-a≤0”成立的一個充分不必要條件是()A.a≥9 B.a≥11C.a≥10 D.a≤1011.下列命題是真命題的是()A.?a,b∈R,|a-2|+(b+1)2≤0B.?a∈R,?x∈R,使得ax>2C.ab≠0是a2+b2≠0的充要條件D.若a≥b>0,則a12.下列命題是真命題的是()A.?x∈(0,+∞),2x>3xB.?x∈(0,1),log2x<log3xC.?x∈(0,+∞),12x>loD.?x∈0,13,三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.已知集合M={x∈Z|1≤x≤m},若集合M有4個子集,則實數(shù)m的取值范圍為.

14.能夠說明“設(shè)a,b,c是任意實數(shù),若a>b>c,則a+b>c”是假命題的一組整數(shù)a,b,c的值依次為.

15.若函數(shù)f(x)=cosx+1cosx-m有零點,則m的取值范圍是16.已知a∈R,函數(shù)f(x)=x2+2x+a-2,x≤0,-x2+2x-2a,x>0.

檢測卷一答案解析1.D由已知得M={x|0≤x<16},N=xx≥13,故M∩N=2.B3.D4a+8b=22a+23b≥222a+3b=4,當且僅當a=12,b=13時取等號,故4a4.C當關(guān)于x的不等式x2-2x+m>0在R上恒成立時,Δ=4-4m<0,解得m>1;故m>1是不等式恒成立的充要條件;m>2是不等式成立的充分不必要條件;0<m<1是不等式成立的既不充分也不必要條件;m>0是不等式成立的必要不充分條件.故選C.5.A因為a>1,且b>1,所以根據(jù)同向正數(shù)不等式相乘得ab>1,根據(jù)同向不等式相加得a+b>2,即a+b≥2成立,因此充分性成立;當a=1,b=2時滿足ab>1,且a+b≥2,但不滿足a>1,且b>1,即必要性不成立;從而“a>1,且b>1”是“ab>1,且a+b≥2”的充分不必要條件.6.B因為關(guān)于x的不等式x2-2x-m<0在區(qū)間12,2上有解,所以不等式m>x2-2x在x∈12,2上有解,令t=x2-2x=(x-1)2-1,則tmin故實數(shù)m的取值范圍是(-1,+∞).7.A由題意知p是q的充分不必要條件,解不等式|4x-3|≤1,得集合A=12,1,解不等式q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,得集合B=[a,a+1],由題意知A=12,1是B=[a,a+1]的真子集,所以a≤12,a+1≥1,且等號不同時成立,即0≤a8.B∵正數(shù)a,b滿足1a+1b=1,∴b=aa-1>0,解得a>1,同理b>1.∴1a-1+9b-1=1a-1+9aa-1-1=1a9.ACD由已知得集合A={y|y≥1}=[1,+∞),集合B是由拋物線y=x2+1上的點組成的集合,故A正確,B錯誤,C正確,D正確.10.BC當1≤x≤3時,a≥(x2)max.因為1≤x≤3時,y=x2的最大值是9,所以a≥9.因為a≥9?/a≥10,a≥10?a≥9,又a≥9?/a≥11,a≥11?a≥9,故B,C正確.11.AD當a=2,b=-1時,|a-2|+(b+1)2≤0,故A選項正確;當a=0時,ax>2不成立,故B選項錯誤;當“ab≠0”時,“a2+b2≠0”成立;當“a2+b2≠0”時,如a=1,b=0,此時ab=0,故“ab≠0”不成立,也即“ab≠0”是“a2+b2≠0”的充分不必要條件,故C選項錯誤;當a≥b>0時,a+ab≥b+ab,a(1+b)≥b(1+a),由于1+b>0,1+a>0,故a1+a≥b1+12.BDA項,當x∈(0,+∞)時,2x3x=23x<1,即2x<B項,當x∈(0,1)時,log2x<0,且log3x<0,因為log2xlog3x=log3xlog32log3x=1log3C項,當x=13時,12x=1213<1,log13x=1D項,由對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知,當x∈0,13時,12x<1<log13.[2,3)因為集合M有4個子集,所以集合M中包含兩個元素,所以M={x∈Z|1≤x≤m}={1,2},所以2≤m<3.14.-1,-2,-3(答案不唯一)答案不唯一,如令a=-1,b=-2,c=-3,則a>b>c,而a+b=-3=c,能夠說明“設(shè)a,b,c是任意實數(shù),若a>b>c,則a+b>c”是假命題.15.(-∞,-2]∪[2,+∞)令f(x)=cosx+1cosx-m=0,得m=cos令y1=m,y2=cosx+1cosx(cosx≠0),則函數(shù)f(x)=cosx+1cos即函數(shù)y1=m與y2=cosx+1cosx當cosx>0時,y2=cosx+1cosx≥2cosx×1cosx=2,當且僅當cosx=1所以當cosx>0時,y2=cosx+1cosx當cosx<0時,y2=cosx+1cosx=--cosx+1當且僅當-cosx=1-cosx,即cosx=-所以當cosx<0時,y2=cosx+1cosx≤所以要使函數(shù)y1=m與y2=cosx+1cosx的圖象有交點,則需m≤-2或m≥16.18,2當x>0時,f(x)≤|x|可化為-x2+2x-2a≤x,即x-122+當-3≤x≤0時,f(x)≤|x|可化為x2+2x+a-2≤-x,即x2+3x+a-2≤0.對于函數(shù)y=x2+3x+a-2,其圖象的對稱軸為直線x=-32.因為當-3≤x≤0時,y≤0,所以當x=0時,y≤0,即a-2≤0,所以a≤綜上所述,a的取值范圍為1

檢測卷二函數(shù)(時間:120分鐘滿分:150分)一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.設(shè)集合M={x|2x-1<1,x∈R},N={x|log12x<1,x∈R},則M∩N等于(A.12,1C.12,+∞ D.2.已知函數(shù)f(x)=log2x,x>0,2x,x≤0,若A.-1 B.2C.-1或2 D.1或-23.設(shè)a=logπ0.3,b=0.3π,c=3-π,則()A.a>c>b B.b>c>a C.c>b>a D.c>a>b4.定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x+1)=f(x-1),若f(x)在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞增,則f-32,f(1),f43的大小關(guān)系為A.f-32<f(1)B.f(1)<f-32C.f-32<f4D.f43<f(1)<f5.已知函數(shù)f(x)=15x-log2x,若實數(shù)x0是方程f(x)=0的解,且x0<x1,則f(x1)的值(A.恒為負 B.等于零C.恒為正 D.不大于零6.已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(-x)=-f(x),f(x+1)=f(1-x),且當x∈[0,1]時,f(x)=log2(x+1),則f(31)等于()A.0 B.1 C.-1 D.27.若函數(shù)f(x)=ax-a-x(a>0,且a≠1)在R上為減函數(shù),則函數(shù)y=loga(|x|-1)的圖象可以是()8.若2a+log2a=4b+2log4b,則()A.a>2b B.a<2b C.a>b2 D.a<b2二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分.9.已知函數(shù)f(x)=loga|x-1|在區(qū)間(-∞,1)內(nèi)單調(diào)遞增,則()A.0<a<1B.a>1C.f(a+1080)>f(1081)D.f(a+1080)<f(1081)10.若實數(shù)a,b滿足loga2<logb2,則下列關(guān)系中可能成立的有()A.0<b<a<1 B.0<a<1<bC.a>b>1 D.0<b<1<a11.某醫(yī)藥研究機構(gòu)開發(fā)了一種新藥,據(jù)監(jiān)測,如果患者每次按規(guī)定的劑量注射該藥物,那么注射后每毫升血液中的含藥量y(單位:微克)與時間t(單位:小時)之間的關(guān)系近似滿足如圖所示的曲線.據(jù)進一步測定,當每毫升血液中含藥量不少于0.125微克時,治療該病有效,則下列說法正確的是()A.a=3B.注射一次治療該病的有效時長為6小時C.注射該藥物18小時后每毫升血液中的含藥量為0.4D.注射一次治療該病的有效時長為5313212.(2022新高考Ⅰ,12)已知函數(shù)f(x)及其導函數(shù)f'(x)的定義域均為R,記g(x)=f'(x).若f32-2x,g(2+x)均為偶函數(shù),A.f(0)=0 B.g-12C.f(-1)=f(4) D.g(-1)=g(2)三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.已知y=f(x)是奇函數(shù),當x≥0時,f(x)=x23,則f(-8)的值是14.函數(shù)f(x)=log3(8x+1)的值域為.

15.若不等式3ax2-2ax>13對一切實數(shù)16.已知偶函數(shù)f(x)的定義域為R,對?x∈R,f(x+2)=f(x)+f(1),且當x∈[2,3]時,f(x)=-2(x-3)2,若函數(shù)F(x)=loga(|x|+1)-f(x)(a>0,a≠1)在R上恰有6個零點,則實數(shù)a的取值范圍是.

四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.(10分)已知函數(shù)f(x)=m+logax(a>0,且a≠1)的圖象過點(8,2)和(1,-1).(1)求函數(shù)f(x)的解析式;(2)令g(x)=2f(x)-f(x-1),求g(x)的最小值及取得最小值時x的值.18.(12分)已知函數(shù)f(x)=xx-a(x≠(1)若a=-2,試用定義證明f(x)在區(qū)間(-∞,-2)內(nèi)單調(diào)遞增;(2)若a>0,且f(x)在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,求實數(shù)a的取值范圍.19.(12分)已知函數(shù)g(x)=ax2-2ax+1+b(a>0)在區(qū)間[2,3]上有最大值4和最小值1.設(shè)f(x)=g((1)求a,b的值;(2)若當x∈[-1,1]時不等式f(2x)-k·2x≥0有解,求實數(shù)k的取值范圍.20.(12分)某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的年固定成本為250萬元,每生產(chǎn)x(x∈N*,單位:千件),需另投入成本為C(x)萬元,當年產(chǎn)量不足80(單位:千件)時,C(x)=13x2+10x(單位:萬元);當年產(chǎn)量不少于80(單位:千件)時,C(x)=51x+10000x-1450(單位:萬元).通過市場分析,當每件售價為500(1)寫出年利潤L(單位:萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(單位:千件)的函數(shù)解析式.(2)當年產(chǎn)量為多少千件時,該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大?21.(12分)已知函數(shù)f(x)=loga(ax-1)(a>0,且a≠1).(1)當a=12時,求函數(shù)f(x)的定義域(2)當a>1時,求關(guān)于x的不等式f(x)<f(1)的解集;(3)當a=2時,若不等式f(x)-log2(1+2x)>m對任意實數(shù)x∈[1,3]恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.22.(12分)已知函數(shù)f(x)對任意實數(shù)x,y恒有f(x+y)=f(x)+f(y),當x>0時,f(x)<0,且f(1)=-2.(1)判斷f(x)的奇偶性;(2)求f(x)在區(qū)間[-3,3]上的最大值;(3)解關(guān)于x的不等式f(ax2)-2f(x)<f(ax)+4.

檢測卷二答案解析1.A由題可得M={x|x<1},N=xx故M∩N=x12<x2.C由題意得log2a=12,a>0或3.Ca=logπ0.3<logπ1=0,b=0.3π=310π,c=3-π=因為y=xπ單調(diào)遞增,且13>310,所以13π>310π4.C∵定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x+1)=f(x-1),∴f(x+2)=f(x).∴f-32=f-32+2=f12,f43=f(∵f(x)在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞增,∴f12<f23<f(1∴f-32<f43<f(1),5.Af(x)=15x-log2x在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,若f(x0)=0,則當x0<x1時,一定有f(x1)<0,故選6.C∵函數(shù)f(x)的定義域為R,且f(-x)=-f(x),∴函數(shù)f(x)是奇函數(shù).∴f(x+1)=f(1-x)=-f(x-1),即f(x+2)=-f(x).∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x),即函數(shù)f(x)是周期為4的函數(shù).∵當x∈[0,1]時,f(x)=log2(x+1),∴f(31)=f(32-1)=f(-1)=-f(1)=-log22=-1,故選C.7.C由函數(shù)f(x)=ax-a-x(a>0,且a≠1)在R上為減函數(shù),得0<a<1.函數(shù)y=loga(|x|-1)是偶函數(shù),定義域為{x|x>1,或x<-1},故排除A,B;當x>1時,函數(shù)y=loga(|x|-1)的圖象是把函數(shù)y=logax的圖象向右平移1個單位長度得到的,所以當x>1時,函數(shù)y=loga(|x|-1)單調(diào)遞減,排除D.故選C.8.B由指數(shù)與對數(shù)運算可得,2a+log2a=4b+2log4b=22b+log2b.因為22b+log2b<22b+log22b=22b+1+log2b,所以2a+log2a<22b+log22b.令f(x)=2x+log2x,由指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)單調(diào)性可得f(x)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.由f(a)<f(2b)可得a<2b.9.AC由函數(shù)f(x)=loga|x-1|,可知函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=1對稱,且f(x)在區(qū)間(-∞,1)內(nèi)單調(diào)遞增,易得0<a<1;因為2020<a+2020<2021,又f(x)在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,所以f(a+2020)>f(2021).10.ABC當0<b<a<1時,log2b<log2a<0,即1logb2<1loga2<0,故loga2<logb2,A正確;當0<a<1<b時,logb2>0,loga2<0,故loga2<logb2,B正確;當a>b>1時,log2a>log2b>0,即1loga2>1logb2>0,故loga2<logb2,C正確;當0<b<1<a時,logb2<11.AD由題中函數(shù)圖象可知y=4當t=1時,y=4,即121-a=4,故y=4故A正確;當4t=0.125,即t=132時,藥物剛好起效,當12t-3=0.125,即t=故藥物有效時長為6-132=53132小時,藥物的有效時長不到6小時,故B錯誤,D注射該藥物18小時后每毫升血液含藥量為4×18=0.5(微克),故12.BC∵f(32-2x)是偶函數(shù),∴f(32+2x)=f(32-2∴函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=32對稱∴f(-1)=f(4).故C正確;∵g(2+x)為偶函數(shù),∴g(2-x)=g(2+x),∴g(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱.∵g(x)=f'(x),g(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱,∴f(x)的圖象關(guān)于點(2,t)(t∈R)對稱.∵f(x)的圖象關(guān)于直線x=32對稱∴g(x)的圖象關(guān)于點32,∴f(x)與g(x)均是周期為2的函數(shù).∴f(0)=f(2)=t(不恒等于0),故A錯誤;g-12=g32=0,∴構(gòu)造函數(shù)f(x)=sin(πx)符合題目要求,g(x)=πcos(πx),而g(-1)=πcos(-π)=-π,g(2)=πcos2π=π,故D錯誤.故選BC.13.-4∵y=f(x)是奇函數(shù),∴f(-8)=-f(8)=-823=-14.(0,+∞)由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),知8x>0,所以8x+1>1.據(jù)此可知f(x)=log3(8x+1)>0,所以函數(shù)f(x)的值域為(0,+∞).15.[0,1)原不等式可變形為3ax2-2ax>3-1,因為指數(shù)函數(shù)y=所以有ax2-2ax>-1,即ax2-2ax+1>0對一切實數(shù)x恒成立.①當a=0時,1>0,滿足題意;②當a≠0時,若二次函數(shù)大于0恒成立,則需a>0,且Δ=(-2a)2-4a<0,即a>0,且a2-a<0,解得0<a<1.綜上,實數(shù)a的取值范圍是0≤a<1.16.55,33令x=-1,則f(1)=f(-1)+f(1)=2f(1),所以f(1)=0,所以f(x+2)=f(x),即函數(shù)f(作出函數(shù)f(x)的圖象,如圖所示.由圖可知,若F(x)=loga(|x|+1)-f(x)恰有6個零點,則y=f(x)的圖象與y=loga(|x|+1)的圖象有6個不同的交點,則0<a<1.因為y=f(x)和y=loga(|x|+1)均為偶函數(shù),且f(0)=f(2)=-2≠0,而loga(|0|+1)=0,所以y=f(x)的圖象與y=loga(|x|+1)的圖象在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)有三個不同的交點.在同一平面直角坐標系中作出y=loga(|x|+1)的圖象如圖所示,由圖可知f(2)=-2=loga3,得a=33,f(4)=-2=loga5,得a=55,所以或f17.解(1)由f(8故函數(shù)的解析式為f(x)=-1+log2x.(2)g(x)=2f(x)-f(x-1)=2(-1+log2x)-[-1+log2(x-1)]=log2x2x-1-1(因為x2x-1=(x-1)2+2(x-1)+1x-1=(x-1)+1x-1+2≥2(x-1)·1x-1+2=4,當且僅當x-1=1x-1,即x=2時,等號成立,又函數(shù)y=log2x在區(qū)間18.(1)證明當a=-2時,f(x)=xx+2(x≠-2設(shè)任意的x1,x2∈(-∞,-2),且x1<x2,f(x1)-f(x2)=x∵(x1+2)(x2+2)>0,x1-x2<0,∴f(x1)<f(x2).∴f(x)在區(qū)間(-∞,-2)內(nèi)單調(diào)遞增.(2)解設(shè)任意的x1,x2∈(1,+∞),且x1<x2,則f(x1)-f(x2)=x因為a>0,x2-x1>0,所以要使f(x1)-f(x2)>0,只需(x1-a)(x2-a)>0在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)恒成立,∴a≤1.綜上所述,a的取值范圍是(0,1].19.解(1)g(x)=a(x-1)2+1+b-a.因為a>0,所以g(x)在區(qū)間[2,3]上單調(diào)遞增,故g(2(2)由已知可得f(x)=x+1x-2,所以f(2x)-k·2x≥0可化為2x+12x-2≥k·2x,可化為1+12x令t=12x,則k≤t2-2t+因為x∈[-1,1],所以t∈記h(t)=t2-2t+1,因為t∈12,2,所以h(t)所以k≤1,即實數(shù)k的取值范圍是(-∞,1].20.解(1)當0<x<80,x∈N*時,L(x)=500×1000x10000-13x2-10當x≥80,x∈N*時,L(x)=500×1000x10000-51x-10000x+故L(x)=-(2)當0<x<80,x∈N*時,L(x)=-13(x-60)2+950故當x=60時,L(x)取得最大值L(60)=950.當x≥80,x∈N*時,L(x)=1200-x+10000x≤1200-2x·10000x=當且僅當x=10000x,即x=100時,L(x)取得最大值L(100)=1000綜上所述,當x=100時,L(x)取得最大值1000,即年產(chǎn)量為100(單位:千件)時,該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大.21.解(1)當a=12時,f(x)=log1212x-1,故12x-1>0,解得x<0,故函數(shù)f((2)由題意知f(x)=loga(ax-1)(a>1),定義域為x∈(0,+∞),易知f(x)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)為增函數(shù),由f(x)<f(1),知x>0,x<1,故x∈((3)設(shè)g(x)=f(x)-log2(1+2x)=log22x-12x+1,x∈[1,3],2x-12x+1=1-22x+1,x∈[1,3],2x+1∈[3,9],t=1-22又f(x)-log2(1+2x)>m對任意實數(shù)x∈[1,3]恒成立,故m<g(x)min=-log23.即m的取值范圍為(-∞,-log23).22.解(1)取x=y=0,則f(0+0)=2f(0),即f(0)=0.取y=-x,則f(x-x)=f(x)+f(-x),即f(-x)=-f(x)對任意x∈R恒成立,故函數(shù)f(x)為奇函數(shù).(2)任取x1,x2∈(-∞,+∞),且x1<x2,則x2-x1>0.∴f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)<0,∴f(x2)<-f(-x1).又f(x)為奇函數(shù),∴f(x1)>f(x2).∴f(x)在區(qū)間(-∞,+∞)內(nèi)是減函數(shù).∴對任意x∈[-3,3],恒有f(x)≤f(-3).∵f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)=3f(1)=-2×3=-6,∴f(-3)=-f(3)=6,∴f(x)在區(qū)間[-3,3]上的最大值為6.(3)∵f(x)為奇函數(shù),∴整理原不等式,得f(ax2)+2f(-x)<f(ax)+f(-2).∴f(ax2-2x)<f(ax-2).∵f(x)在區(qū)間(-∞,+∞)內(nèi)是減函數(shù),∴ax2-2x>ax-2,即(ax-2)(x-1)>0.∴當a=0時,x∈{x|x<1};當a=2時,x∈{x|x≠1,且x∈R};當a<0時,x∈x當0<a<2時,x∈x當a>2時,x∈綜上所述,當a=0時,原不等式的解集為{x|x<1};當a=2時,原不等式的解集為{x|x≠1,且x∈R};當a<0時,原不等式的解集為x2當0<a<2時,原不等式的解集為{xx>2a,或當a>2時,原不等式的解集為x

檢測卷三導數(shù)及其應用(時間:120分鐘滿分:150分)一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.函數(shù)f(x)=x4-2x3的圖象在點(1,f(1))處的切線方程為()A.y=-2x-1B.y=-2x+1C.y=2x-3D.y=2x+12.若函數(shù)y=ex+mx有極值,則實數(shù)m的取值范圍是()A.m>0 B.m<0 C.m>1 D.m<13.已知函數(shù)f(x)=ex-1ex+1-ax,對于任意實數(shù)x1,x2,且x1≠x2,都有f(xA.(12,+∞) B.(1,+∞C.[12,+∞) D.[1,+∞4.函數(shù)f(x)=x2+x-lnx的零點的個數(shù)是()A.0 B.1 C.2 D.35.已知當x∈12,2時,a≤1-xx+lnx恒成立,A.0 B.1 C.2 D.36.已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f'(x)+f(x)>1,f(0)=5,f'(x)是f(x)的導函數(shù),則不等式ex(f(x)-1)>4(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))的解集為()A.(0,+∞) B.(-∞,0)∪(3,+∞)C.(-∞,0)∪(1,+∞) D.(3,+∞)7.已知函數(shù)f(x)=lnx+tanα0<α<π2的導函數(shù)為f'(x),若方程f'(x)=f(x)的根x0小于1,則αA.π4,π2C.π6,π8.(2022新高考Ⅰ,7)設(shè)a=0.1e0.1,b=19,c=-ln0.9,則(A.a<b<c B.c<b<aC.c<a<b D.a<c<b二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分.9.(2022新高考Ⅰ,10)已知函數(shù)f(x)=x3-x+1,則()A.f(x)有兩個極值點B.f(x)有三個零點C.點(0,1)是曲線y=f(x)的對稱中心D.直線y=2x是曲線y=f(x)的切線10.若函數(shù)f(x)=13x3+x2-23在區(qū)間(a-1,a+4)內(nèi)存在最小值,則整數(shù)a可以取(A.-3 B.-2C.-1 D.011.已知函數(shù)f(x)=cosxex+sinxA.函數(shù)f(x)在區(qū)間0,B.當x∈π2,π時,f(x)C.-π2,0是函數(shù)fD.x=-π是函數(shù)f(x)的一個極小值點12.已知函數(shù)f(x)=x-(x-1)lnx,下列說法正確的是()A.f(x)存在唯一極值點x0,且x0∈(1,2)B.存在實數(shù)a,使得f(a)>2C.方程f(x)=-1有且僅有兩個實數(shù)根,且兩根互為倒數(shù)D.當k<1時,函數(shù)f(x)與g(x)=kx的圖象有兩個交點三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.已知曲線y=lnx+x+1的一條切線的斜率為2,則切點坐標為.

14.已知函數(shù)f(x)=aex-lnx-1,若x=1是f(x)的極值點,則a=,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為.

15.已知函數(shù)f(x)=e|x-1|,函數(shù)g(x)=lnx-x+a,若?x1,x2使得f(x1)<g(x2)成立,則實數(shù)a的取值范圍是.

16.已知函數(shù)f(x)=xlnx+12x2,x0是函數(shù)f(x)的極值點,給出以下幾個結(jié)論①0<x0<1e;②x0>1e;③f(x0)+x0<0;④f(x0)+x0>其中正確的結(jié)論是.(填序號)

四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.(10分)設(shè)函數(shù)f(x)=ex-1-x-ax2.(1)若a=0,討論f(x)的單調(diào)性;(2)若當x≥0時,f(x)≥0,求實數(shù)a的取值范圍.18.(12分)(2021北京,19)已知函數(shù)f(x)=3-(1)若a=0,求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程;(2)若函數(shù)f(x)在x=-1處取得極值,求f(x)的單調(diào)區(qū)間,以及極大值和極小值.19.(12分)已知函數(shù)f(x)=ex-ax(a為常數(shù))的圖象與y軸交于點A,曲線y=f(x)在點A處的切線斜率為-1.(1)求a的值及函數(shù)f(x)的極值;(2)證明:當x>0時,x2<ex.20.(12分)已知函數(shù)f(x)=ex-a(x+2).(1)當a=1時,討論f(x)的單調(diào)性;(2)若f(x)有兩個零點,求實數(shù)a的取值范圍.21.(12分)(2021天津,20)已知a>0,函數(shù)f(x)=ax-xex.(1)求曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程;(2)證明:函數(shù)f(x)存在唯一的極值點;(3)若存在實數(shù)a,使得f(x)≤a+b對任意x∈R成立,求實數(shù)b的取值范圍.22.(12分)(2022新高考Ⅰ,22)已知函數(shù)f(x)=ex-ax和g(x)=ax-lnx有相同的最小值.(1)求a;(2)證明:存在直線y=b,其與兩條曲線y=f(x)和y=g(x)共有三個不同的交點,并且從左到右的三個交點的橫坐標成等差數(shù)列.

檢測卷三答案解析1.B對函數(shù)f(x)求導可得f'(x)=4x3-6x2,由導數(shù)的幾何意義,知在點(1,f(1))處的切線的斜率為k=f'(1)=-2.又因為f(1)=-1,所以切線方程為y-(-1)=-2(x-1),化簡得y=-2x+1.2.B求導得y'=ex+m,由于ex>0,若y=ex+mx有極值,則必須使y'的值有正有負,故m<0.3.C由題意可得f(x)=ex-1所以f'(x)=2ex(ex+1)2-a≤又因為2ex+14.A由f'(x)=2x+1-1x=2x2+x-1x=0,得x=12或x=-1(舍去).當0<x<12時,f'當x>12時,f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增.則f(x)的最小值為f12=34+ln25.A令f(x)=1-xx+lnx,則f'(x當x∈12,1時,f'(x)<0;當x∈(1,2]時,f'(x則f(x)在區(qū)間12,1內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間(1,2即在區(qū)間12,2上,f(x)min=f(1)故a≤0,即a的最大值為0.6.A令g(x)=ex(f(x)-1),則g'(x)=ex(f(x)-1)+exf'(x)=ex(f(x)+f'(x)-1).因為f(x)+f'(x)>1,所以g'(x)>0.所以函數(shù)g(x)在R上單調(diào)遞增.因為f(0)=5,所以g(0)=4.所以不等式ex(f(x)-1)>4的解集,由g(x)>g(0),得x>0.故選A.7.A∵f(x)=lnx+tanα,∴f'(x)=1令f(x)=f'(x),得lnx+tanα=1x,即tanα=1x-ln設(shè)g(x)=1x-lnx,顯然g(x)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,而當x→0時(從0的右邊趨近),g(x)→+∞故要使?jié)M足f'(x)=f(x)的根x0<1,只需tanα>g(1)=1.又0<α<π2,8.C令a1=xex,b1=x1-x,c1=-ln(則lna1-lnb1=lnxex-lnx=x+lnx-[lnx-ln(1-x)]=x+ln(1-x).令y1=x+ln(1-x),x∈(0,0.1],則當x∈(0,0.1]時,y1'=1-11-x于是函數(shù)y1=x+ln(1-x)在區(qū)間(0,0.1]上單調(diào)遞減.于是y1<0,∴l(xiāng)na1-lnb1<0,∴b1>a1.令y2=a1-c1=xex+ln(1-x),x∈(0,0.1],則y2'=xex+ex-1令k(x)=(1+x)(1-x)ex-1,則當x∈(0,0.1]時,k'(x)=(1-x2-2x)ex>0,∴k(x)在區(qū)間(0,0.1]上單調(diào)遞增.∴k(x)>k(0)=0.∴在區(qū)間(0,0.1]上,y2'>0,∴y2=xex+ln(1-x)在區(qū)間(0,0.1]上單調(diào)遞增.∴y2>0,∴a1>c1.∴在區(qū)間(0,0.1]上,b1>a1>c1.故當x=0.1時,有b>a>c.9.AC∵f(x)=x3-x+1,∴f'(x)=3x2-1.由3x2-1=0,得x=33或x=-∴f(x)有2個極值點-33與33,且在區(qū)間(-∞,-33)上單調(diào)遞增,在區(qū)間(-33,33)上單調(diào)遞減,在區(qū)間(33,+∞)上單調(diào)遞增.又f33=1-239>0,當x=-2時,f(-2)∴f(x)只在區(qū)間(-2,-33)上存在一個零點,∴f(x)只有一個零點∵f(x)+f(-x)=2,∴點(0,1)是曲線y=f(x)的對稱中心.由f'(x)=3x2-1=2,解得x=±1,∴曲線y=f(x)在點(1,1)處的切線方程為y-1=2(x-1),即y=2x-1;曲線y=f(x)在點(-1,1)處的切線方程為y-1=2(x+1),即y=2x+3.∴直線y=2x與曲線y=f(x)不相切.故選AC.10.BCD由題意,得f'(x)=x2+2x=x(x+2),故f(x)在區(qū)間(-∞,-2),(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間(-2,0)內(nèi)單調(diào)遞減,作出其大致圖象如圖所示.令13x3+x2-23=-23,得x=0或則結(jié)合圖象可知-3≤a-1<0,a+4>0,解得a又a∈Z,所以a可以取-2,-1,0.11.ABf'(x)=-e對于A,當x∈0,π2時,x+π4∈π4,3π4,sinx+π4對于B,當x∈π2,π時,cosx<0,ex>0,sinx>0,所以f(x)<0,對于C,f-π4=cos-π4e-π4+sin-π4f-12=cos-12e-12-sin12,cos-1又-π4<-12,但此時有f-π4<f-1對于D,因為f'(-π)=e-π-1(e-π)2≠0,所以x=-π12.ACD對f(x)=x-(x-1)lnx進行求導,可得f'(x)=-lnx+1x,顯然f'(x)為減函數(shù),f'(1)=1>0,f'(2)=-ln2+12<0,故存在x0∈(1,2),使得f'(x0)=且當x∈(0,x0)時,f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;當x∈(x0,+∞)時,f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,故x0為唯一的極大值點,故A正確;由題意可知,x0為最大值點,由f'(x0)=-lnx0+1x0=0,可得f(x0)=x0-(x0-1)lnx0=x0+1x0-1.因為x0∈(1,2),所以f(x0)<2,若x1是方程f(x)=-1的一個解,即f(x1)=x1-(x1-1)lnx1=-1,則f1x1=1x1-1x1-故x1和1x1都是方程f(x)=-1的解,故C由g(x)=kx,f(x)=g(x),可得k=1-1-1xln令m(x)=1-1-1xlnx,x>0,則m'(x令h(x)=-x-lnx+1,x>0,因為x>0,所以h'(x)=-1-1x<0,故h(x)=-x-lnx+1為減函數(shù)而h(1)=0,所以當x∈(0,1)時,h(x)>0,即m'(x)>0,m(x)單調(diào)遞增,當x∈(1,+∞)時,h(x)<0,即m'(x)<0,m(x)單調(diào)遞減,所以m(x)≤m(1)=1,故當k<1時,f(x)與g(x)=kx的圖象有兩個交點.故D正確.13.(1,2)設(shè)切線的切點坐標為(x0,y0),由y=lnx+x+1,得y'=1x+1,因為y'|x=x0=1x0+1=2,解得x0=1,y0=14.1e(1,+∞)由題意可得f'(x)=aex-1x(x>由x=1是f(x)的極值點,得f'(1)=ae-1=0,解得a=1即f(x)=ex-1-lnx-1,f'(x)=ex-1-1x令f'(x)>0,可得x>1,故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+∞).15.(2,+∞)由題意,?x1,x2使得f(x1)<g(x2)成立,可轉(zhuǎn)化為f(x)min<g(x)max成立,由函數(shù)f(x)=e|x-1|,根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)可知,當x=1時,函數(shù)f(x)=e|x-1|取得最小值,此時最小值為f(1)=1.由g(x)=lnx-x+a,得g'(x)=1x-1=1-xx(當x∈(0,1)時,g'(x)>0,則函數(shù)g(x)單調(diào)遞增;當x∈(1,+∞)時,g'(x)<0,則函數(shù)g(x)單調(diào)遞減,所以當x=1時,函數(shù)g(x)有最大值,此時最大值為g(1)=a-1,令a-1>1,解得a>2,即實數(shù)a的取值范圍是(2,+∞).16.①③由已知得f'(x)=lnx+x+1(x>0),不妨令g(x)=lnx+x+1(x>0),則g'(x)=1x+1.當x∈(0,+∞)時,有g(shù)'(x)>0總成立,所以g(x)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,且g1e=1e>0.又x0是函數(shù)f(x)的極值點,所以f'(x0)=g(x0)=0,即g1e>g(x0),所以0<x0<1e,即因為lnx0+x0+1=0,所以f(x0)+x0=x0lnx0+12x02+x0=x0(lnx0+x0+1)-12x02=-12x02<017.解(1)當a=0時,f(x)=ex-1-x,f'(x)=ex-1.當x∈(-∞,0)時,f'(x)<0;當x∈(0,+∞)時,f'(x)>0.故f(x)在區(qū)間(-∞,0)內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.(2)f'(x)=ex-1-2ax.由(1)知,當a=0時,f(x)≥f(0)=0,即ex≥1+x,當且僅當x=0時,等號成立,故f'(x)≥x-2ax=(1-2a)x.當a≤12時,1-2a≥0,f'(x)≥0(x≥0),f(x)在區(qū)間[0,+∞)因為f(0)=0,于是當x≥0時,f(x)≥0,符合題意.當a>12時,由ex>1+x(x≠0),可得e-x>1-x(x≠0)所以f'(x)<ex-1+2a(e-x-1)=e-x(ex-1)(ex-2a),故當x∈(0,ln2a)時,f'(x)<0,而f(0)=0,于是當x∈(0,ln2a)時,f(x)<0,不符合題意.綜上所述,實數(shù)a的取值范圍為-18.解(1)當a=0時,f(x)=3-2xx2,則f'(x)=2(x-3)x3,得f(此時,曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為y-1=-4(x-1),即4x+y-5=0.(2)因為f(x)=3-2xx2+a,由題意可得f'(-1)=2(4-a)(a故f(x)=3-2xx2+4,當x變化時,f'(x),f(x)隨x的變化情況如下表:x(-∞,-1)-1(-1,4)4(4,+∞)f'(x)+0-0+f(x)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以,函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,-1),(4,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(-1,4).當x=-1時,f(x)取得極大值,f(-1)=1;當x=4時,f(x)取得極小值,f(4)=-119.(1)解由f(x)=ex-ax,得f'(x)=ex-a.因為f'(0)=1-a=-1,所以a=2.所以f(x)=ex-2x,f'(x)=ex-2.令f'(x)=0,得x=ln2.當x<ln2時,f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;當x>ln2時,f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,所以當x=ln2時,f(x)取得極小值,極小值為f(ln2)=2-2ln2=2-ln4,f(x)無極大值.(2)證明令g(x)=ex-x2,則g'(x)=ex-2x.由(1),得g'(x)=f(x)≥f(ln2)=2-ln4>0,故g(x)在R上單調(diào)遞增.因為g(0)=1>0,所以當x>0時,g(x)>g(0)>0,即x2<ex.20.解(1)當a=1時,f(x)=ex-x-2,則f'(x)=ex-1.當x<0時,f'(x)<0;當x>0時,f'(x)>0.所以f(x)在區(qū)間(-∞,0)內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.(2)f'(x)=ex-a.當a≤0時,f'(x)>0,所以f(x)在區(qū)間(-∞,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,故f(x)至多存在1個零點,不合題意.當a>0時,由f'(x)=0,可得x=lna.當x∈(-∞,lna)時,f'(x)<0;當x∈(lna,+∞)時f'(x)>0.所以f(x)在區(qū)間(-∞,lna)內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間(lna,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,故當x=lna時,f(x)取得最小值,最小值為f(lna)=-a(1+lna).①若0<a≤1e,則f(lna)≥0,f(x)在區(qū)間(-∞,+∞)內(nèi)至多存在一個零點,②若a>1e,則f(lna)<0因為f(-2)=e-2>0,所以f(x)在區(qū)間(-∞,lna)內(nèi)存在唯一零點.由(1)知,當x>2時,ex-x-2>0,所以當x>4,且x>2ln(2a)時,f(x)=ex2·ex2-a(x+2)>eln(2a)·x2+2-a(x+2)=2a>0.故f(x)在區(qū)間(從而f(x)在區(qū)間(-∞,+∞)內(nèi)有兩個零點.綜上所述,實數(shù)a的取值范圍是121.(1)解f'(x)=a-(x+1)ex,則f'(0)=a-1,又f(0)=0,則切線方程為y=(a-1)x(a>0).(2)證明令f'(x)=a-(x+1)ex=0,則a=(x+1)ex.令g(x)=(x+1)ex,則g'(x)=(x+2)ex,當x∈(-∞,-2)時,g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減;當x∈(-2,+∞)時,g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增,當x→-∞時,g(x)<0,g(-1)=0,當x→+∞時,g(x)>0,畫出g(x)的大致圖象如下:所以當a>0時,直線y=a與曲線y=g(x)僅有一個交點,令g(m)=a,則m>-1,且f'(m)=a-g(m)=0,當x∈(-∞,m)時,a>g(x),則f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;當x∈(m,+∞)時,a<g(x),則f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,x=m為f(x)的極大值點,故f(x)存在唯一的極值點.(3)解由(2)知f(x)max=f(m),此時a=(1+m)em,m>-1,所以{f(x)-a}max=f(m)-a=(m2-m-1)em(m>-1),令h(x)=(x2-x-1)ex(x>-1),若存在實數(shù)a,使得f(x)≤a+b對任意x∈R成立,等價于存在x∈(-1,+∞),使得h(x)≤b,即b≥h(x)min,h'(x)=(x2+x-2)ex=(x-1)(x+2)ex,x>-1,當x∈(-1,1)時,h'(x)<0,h(x)單調(diào)遞減;當x∈(1,+∞)時,h'(x)>0,h(x)單調(diào)遞增,所以h(x)min=h(1)=-e,故b≥-e,所以實數(shù)b的取值范圍為[-e,+∞).22.(1)解由題意,得f'(x)=ex-a,g'(x)=a-1x=ax-1當a≤0時,f'(x)>0,f(x)為增函數(shù),f(x)無最小值,g'(x)<0,g(x)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,g(x)無最小值.當a>0時,令f'(x)=0,即ex-a=0,解得x=lna.當x變化時,f'(x),f(x)的變化情況如下表.x(-∞,lna)lna(lna,+∞)f'(x)—0+f(x)↘極小值a-alna↗由表可知,當x=lna時,f(x)取得極小值也是最小值,為a-alna.由g'(x)=0得x=1a>0當x在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)變化時,g'(x),g(x)的變化情況如下表.x011g'(x)—0+g(x)↘極小值1+lna↗由上表可知,當x=1a時,g(x)取得極小值也是最小值,為1+lna則a-alna=1+lna.令h(a)=a-alna-1-lna,則h'(a)=1-(lna+1)-1a=-lna-1a=ln令1a=t,則lnt-t<0則h(a)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,且h(1)=0.故a=1.(2)證明由(1)知f(x)=ex-x,g(x)=x-lnx,且f(x)在區(qū)間(-∞,0)內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,g(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,且f(x)min=g(x)min=1.①當b<1時,此時f(x)min=g(x)min=1>b.顯然直線y=b與兩條曲線y=f(x)和y=g(x)沒有交點,不符合題意;②當b=1時,此時f(x)min=g(x)min=1=b,直線y=b與兩條曲線y=f(x)和y=g(x)共有2個交點,交點的橫坐標分別為0和1;③當b>1時,首先,證明y=b與曲線y=f(x)有2個交點,即證明F(x)=f(x)-b有2個零點.因為F'(x)=f'(x)=ex-1,所以F(x)在區(qū)間(-∞,0)內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.又因為F(-b)=e-b>0,F(0)=1-b<0,F(b)=eb-2b>0,(令t(b)=eb-2b,則當b>1時,t'(b)=eb-2>0,t(b)>t(1)=e-2>0)所以F(x)=f(x)-b在區(qū)間(-∞,0)內(nèi)存在且只存在1個零點,設(shè)為x1,在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)存在且只存在1個零點,設(shè)為x2.其次,證明y=b與曲線g(x)有2個交點,即證明G(x)=g(x)-b有2個零點.G'(x)=g'(x)=1-1x,所以G(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增又因為G(e-b)=e-b>0,G(1)=1-b<0,G(2b)=b-ln2b>0,(令μ(b)=b-ln2b,則當b>1時,μ'(b)=1-1b>0,μ(b)>μ(1)=1-ln2>所以G(x)=g(x)-b在區(qū)間(0,1)內(nèi)存在且只存在1個零點,設(shè)為x3,在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)存在且只存在1個零點,設(shè)為x4.再次,證明存在b使得x2=x3.因為F(x2)=G(x3)=0,所以b=ex2-x2=x3-lnx若x2=x3,則ex2-x2=x2-lnx2,即ex2-2x2+lnx所以只需證明ex-2x+lnx=0在區(qū)間(0,1)內(nèi)有解即可,即φ(x)=ex-2x+lnx在區(qū)間(0,1)內(nèi)有零點.因為φ1e3=e1e3-2e3-3<0所以φ(x)=ex-2x+lnx在區(qū)間(0,1)內(nèi)存在零點,取一零點為x0,令x2=x3=x0即可,此時取b=ex0-x則此時存在直線y=b,其與兩條曲線y=f(x)和y=g(x)共有三個不同的交點.最后,證明x1+x4=2x0,即從左到右的三個交點的橫坐標成等差數(shù)列.因為F(x1)=F(x2)=F(x0)=0=G(x3)=G(x0)=G(x4),所以F(x1)=G(x0)=F(lnx0).又因為F(x)在區(qū)間(-∞,0)內(nèi)單調(diào)遞減,x1<0,0<x0<1,所以lnx0<0,所以x1=lnx0.同理,因為F(x0)=G(ex0)=G(x又因為G(x)在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,x0>0,所以ex0>1,x4>1,所以x4又因為ex0-2x0+lnx0=所以x1+x4=lnx0+ex0=2x即直線y=b與兩條曲線y=f(x)和y=g(x)從左到右的三個交點的橫坐標成等差數(shù)列.

檢測卷四三角函數(shù)、解三角形(時間:120分鐘滿分:150分)一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要要求的.1.下列函數(shù)中周期為π且為偶函數(shù)的是()A.y=sin2x-π2 BC.y=sinx+π2 D.2.已知角α終邊上一點P的坐標是(2sin2,-2cos2),則sinα等于()A.sin2 B.-sin2 C.cos2 D.-cos23.函數(shù)f(x)=sinx3+cosx3的最小正周期和最大值分別是(A.3π和2 B.3π和2 C.6π和2 D.6π和24.已知tanθ+1tanθ=4,則cos2θ+π4A.15 B.14 C.135.如圖,某山的坡度比為7∶3(坡度比即坡面的垂直高度和水平寬度的比),在山坡A處測得∠CAD=15°,從A處沿山坡往上前進66m到達B處,在山坡B處測得∠CBD=30°,則塔CD的高為()A.44m B.42m C.48m D.46m6.將函數(shù)f(x)=sin2x的圖象向右平移φ(0<φ<π2)個單位長度后得到函數(shù)g(x)的圖象.若對滿足|f(x1)-g(x2)|=2的x1,x2,有|x1-x2|min=π3,則φ等于(A.5π12 B.π3 C.π7.已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分圖象如圖所示,若x1,x2∈-π6,π3,且f(x1)=f(x2),則f(x1+xA.1 B.12 C.22 D8.一個半徑為4.8m的水輪如圖所示,水輪圓心O距離水面2.4m,已知水輪每60s逆時針轉(zhuǎn)動一圈,若當水輪上點P從水中浮現(xiàn)時(圖中點P0)開始計時,則()A.點P第一次到達最高點需要10sB.在水輪轉(zhuǎn)動的一圈內(nèi),共有10s的時間點P距離水面的高度不低于4.8mC.點P距離水面的高度h(單位:m)與時間t(單位:s)的函數(shù)解析式為h=4.8sin(π30t-π6)+2D.當水輪轉(zhuǎn)動50s時,點P在水面下方,距離水面1.2m二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分.9.已知函數(shù)f(x)=sinx+π3,以下判斷正確的是A.2π是f(x)的最小正周期B.點2π3,0是fC.直線x=-π3是f(x)D.區(qū)間π6,7π6是10.已知θ∈(0,π),sinθ+cosθ=15,則下列結(jié)論正確的是(A.θ∈π2,π B.tanC.cosθ=-35 D.sinθ-cosθ=11.已知△ABC的外接圓半徑R∈[1,+∞),AB=AC=1,則下列說法正確的是()A.BC的最小值為3B.∠A的最小值為2C.△ABC周長的最小值為2+2D.△ABC面積的最大值為312.《數(shù)書九章》是中國南宋時期杰出數(shù)學家秦九韶的著作,全書十八卷共八十一個問題,分為九類,每類九個問題,《數(shù)書九章》中記錄了秦九韶的許多創(chuàng)造性成就,其中在卷五“三斜求積”中提出了已知三角形三邊a,b,c求面積的公式,這與古希臘的海倫公式等價,其求法是:“以小斜冪并大斜冪減中斜冪,余半之,自乘于上,以小斜冪乘大斜冪減上,余四約之,為實,一為從隅,開平方得積.”若把以上這段文字寫成公式,即S=14c2a2-c2+a2-b222.現(xiàn)有△ABC滿足sinA∶sinB∶sinC=2∶A.△ABC的周長為10+27B.△ABC的三個內(nèi)角A,C,B成等差數(shù)列C.△ABC的外接圓直徑為4D.△ABC的中線CD的長為32三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.3cos10°-114.若函數(shù)f(x)=sinωx+π3(ω>0)的周期T=π,則ω=,函數(shù)y=ef(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為.(e15.在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,設(shè)AD為BC邊上的高,且AD=a,則bc+cb16.如圖,在三棱錐P-ABC的平面展開圖中,AC=1,AB=AD=3,AB⊥AC,AB⊥AD,∠CAE=30°,則cos∠FCB=.

四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.(10分)在①A=π3,a=3,b=2;②a=1,b=3,A=π6;③a=2,b=62,B=π3這三個條件中任選一個,在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,,判斷三角形解的情況,并在三角形有兩解的情況下解三角形.

注:若選擇多個條件分別解答,則按第一個解答計分.18.(12分)設(shè)函數(shù)f(x)=sinωx-π6+sinωx-π2,其中0<ω<3.(1)求ω;(2)將函數(shù)y=f(x)的圖象上各點的橫坐標伸長為原來的2倍(縱坐標不變),再將得到的圖象向左平移π4個單位長度,得到函數(shù)y=g(x)的圖象,求g(x)在區(qū)間-π19.(12分)隨著人們生活水平的不斷提高,網(wǎng)上外賣訂餐應運而生.現(xiàn)有外賣送餐員小李在A地接到兩份外賣單,他需分別到B地、D地取餐,再將兩份外賣一起送到C地,運餐過程不返回A地.A,B,C,D各地的示意圖如圖所示,BD=2km,AD=23km,∠ABD=120°,∠DCB=45°,∠CDB=30°,假設(shè)小李到達B,D兩地時都可以馬上取餐(取餐時間忽略不計),送餐過程一路暢通.若小李送餐騎行的平均速度為每小時20千米,請你幫小李設(shè)計出所有送餐路徑(如AB→BD→DB→BC),并計算各種送餐路徑的路程,然后選擇一條最快送達的送餐路徑,并計算出最短送餐時間為多少分鐘.(各數(shù)值保留3位小數(shù))(參考數(shù)據(jù):2≈1.414,3≈1.732)20.(12分)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,C=2B.(1)若a=2,B=15°,求△ABC的面積;(2)若a+b=2c,證明:△ABC為等腰直角三角形.21.(12分)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分圖象如圖所示(1)求函數(shù)f(x)的解析式;(2)若方程f(x)=32在區(qū)間0,π2上的兩解分別為x1,x2,求sin(x1+x2),cos(x1-x22.(12分)設(shè)常數(shù)a∈R,函數(shù)f(x)=asin2x+2cos2x.(1)若f(x)為偶函數(shù),求a的值;(2)若fπ4=3+1,求方程f(x)=1-2在區(qū)間[-π,π檢測卷四答案解析1.A對于選項A,y=-cos2x,周期為π且是偶函數(shù),所以選項A符合題意;對于選項B,y=sin2x,周期為π且是奇函數(shù),所以選項B不符合題意;對于選項C,y=cosx,周期為2π,所以選項C不符合題意;對于選項D,y=-sinx,周期為2π,所以選項D不符合題意.2.D因為點P到原點的距離r=(2sin2)2所以sinα=-2cos2r=-cos3.C因為f(x)=sinx3+cosx3=所以f(x)的最小正周期T=2π13=6π4.B由tanθ+1tanθ=4,得sinθ即sin2θ+cos2θsinθcosθ=4則cos2θ+π5.A如圖所示,已知該山的坡度比為7∶3,則tan∠DAO=DOAO=73,因為∠CAD=15°,∠CBD=30°,所以∠ACB=15°,所以BC=AB=66.在△BCD中,∠BDC=∠DAO+π2由正弦定理可得CDsin30°=BCsin∠DAO+6.D由題意可知,g(x)=sin(2x-2φ).由|f(x1)-g(x2)|=2,可知f(x1)和g(x2)分別為f(x)和g(x)的最大值和最小值(或最小值和最大值).不妨令2x1=π2+2kπ(k∈Z),2x2-2φ=-π2+2mπ(m∈Z),則x1-x2=π2-φ+(k-m)π(k∈Z,m∈因為|x1-x2|min=π3,且0<φ<π2,所以當k-m=0,即k=m時,有π2-φ=π3,解得φ=7.D由題中圖象可得A=1,T2=2π2ω=π3故f(x)=sin(2x+φ).由題圖可知點π12,1在函數(shù)f(x)的圖象上,故sin(2×π12+φ)=1,即π6+φ=π2+2k∵|φ|<π2,∴φ=π3,即f(x)=∵x1,x2∈-π6,π3,且f(x1)=f(x2),∴x1+x2=π12×2=π6,∴f(x1+x8.C設(shè)點P距離水面的高度h(單位:m)與t(單位:s)的函數(shù)解析式為h=Asin(ωt+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|<π2)依題意可知h的最大值為7.2,最小值為-2.4,則A+B∵2πω=60,∴ω=π30,∴h=4.8sinπ30當t=0時,h=0,得sinφ=-12,∵|φ|<π2,∴φ=-∴所求的函數(shù)解析式為h=4.8sinπ30t-π6+2.令4.8sinπ30t-π6+2.4=7.2,可得sin(π30由π30t-π6=π2故點P第一次到達最高點需要20s,A錯誤;4.8sinπ30t-π6+2.4≥4.8?sinπ30t-即在水輪轉(zhuǎn)動的一圈內(nèi),有20s的時間點P距離水面的高度不低于4.8m,B錯誤;當t=50時,h=4.8sinπ30×50-π6+2.4=4.8sin3π2+2.49.ABD函數(shù)f(x)=sinx+最小正周期T=2π1=2π,故A當x=2π3時,2π3+π3當x=-π3時,-π3+π3=0由2kπ+π2<x+π3<2kπ+3π2(k∈Z),解得2kπ+π6<x<2kπ+7π6(k∈Z),當k=0時,π10.ACD∵sinθ+cosθ=15,∴(sinθ+cosθ)2=152,即sin2θ+2sinθcosθ+cos2θ=∴2sinθcosθ=-24∵θ∈(0,π),∴sinθ>0,cosθ<0,∴θ∴(sinθ-cosθ)2=1-2sinθcosθ=4925,∴sinθ-cosθ=由①+②,得sinθ=45;由①-②,得cosθ=-3則tanθ=sinθcos綜上可得,正確的有ACD.11.ABD在△ABC中,設(shè)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,則c=b=1,即B=C.∵△ABC的外接圓半徑R∈[1,+∞),由正弦定理,得1sinB=1sinC=2R≥2,∴0<sin∵B,C不會同為鈍角,∴0<B=C≤∵A=π-2B,∴A∈2π3,π由以上可得cosA∈-1,-12,由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得a2=2-2cosA,則a2∈[3,4),即a∈[3,2),即BC的最小值為3,故A由以上可得sinA∈0,32,∵S△ABC=12bcsinA=∴△ABC面積的最大值為34,故D選項正確12.ABC在△ABC中,設(shè)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.由正弦定理,得a∶b∶c=2∶3∶7.設(shè)a=2m,b=3m,c=7m(m>0),則S=147m2×4m2即△ABC的周長為a+b+c=4+6+27=10+27,選項A正確;由余弦定理,得cosC=a2+b2-c22ab=16+36-282×4×6=12,解得C=π3,∵A+B+C=π由正弦定理,知△ABC的外接圓直徑為2R=csinC=27在△BCD中,有a2=BD2+CD2-2BD·CDcos∠BDC,在△ACD中,有b2=AD2+CD2-2AD·CDcos∠ADC,又∠BDC+∠ADC=π,BD=AD,∴a2+b2=12c2+2CD2,即CD2=12×16+36-12×28=19,得CD=19,選項13.-4由題意得3cos10°-14.2π12+kπ,7π12+kπ(k∈Z)∵ω>0,且周期T為π,即T=2πω=π,令2kπ+π2≤2x+π3≤2kπ+3π2(k∈Z),可解得kπ+π12≤x≤kπ+7π12(k∈Z),則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為π12+kπ,7π12+kπ(k∈Z).即函數(shù)y=15.5∵AD為BC邊上的高,且AD=a∴△ABC的面積S=12a2=12bcsinA,∴sin由余弦定理,得cosA=b2+c2-a22bc=12bc+cb-a22bc,故bc+cb=2當sin(A+α)=1時,bc+16.-14由題意得BD=2AB=6,BC=AC2∵D,E,F重合于一點P,∴AE=AD=3,BF=BD=6,∴在△ACE中,由余弦定理,得CE2=AC2+AE2-2AC·AEcos∠CAE=12+(3)2-2×1×3cos30°=1,∴CE=CF=1∴在△BCF中,由余弦定理,得cos∠FCB=BC217.解若選擇條件①,則由正弦定理asin得sinB=b因為a=3>b=2,A=π3,所以角B只能為銳角,故B=π4,若選擇條件②,則由正弦定理asinA=bsinB因為b=3>a=1,所以B=π3或B=2π3當B=π3時,C=π2,c=a2當B=2π3時,C=π6,若選擇條件③,則由正弦定理asinA=bsinB,得sin因為0<A<π,所以A=π2,該三角形只有一解18.解(1)f(x)=sinωx-π6=32sinωx-12cosωx-cos=32sinωx-32cos=312由題設(shè)知fπ6=0,所以ωπ6-π3=kπ故ω=6k+2(k∈Z).因為0<ω<3,所以ω=2.(2)由(1)得f(x)=3sin2x-π3.根據(jù)變換,得g(x)=因為x∈-π4,當x-π12=-π3,即x=-π4時,g(x)19.解在△BCD中,由正弦定理得BCsin即BCsin30°=2sin45由CDsin∠CBD=BDsin∠BCD,在△ABD中,由余弦定理可得cos∠ABD=AB即cos120°=AB2+4-124AB,①若送餐路徑為AB→BD→DB→BC,則總路程為6+2≈7.414km②若送餐路徑為AD→DB→BC,則總路程為23+2+2≈6.878km③若送餐路徑為AB→BD→DC,則總路程為2+2+3+1≈6.732km;④若送餐路徑為AD→DB→BD→DC,則總路程為23+2+2+3+1≈10.196km.所以最短送餐路徑為AB→BD→DC,此路徑的送餐時間為6.73220×60=20.19620.解(1)由C=2B及B=15°,得C=30°,于是A=135°.由正弦定理可得b=asinBsinA=22sinB=22sin15°=22·sin(45°-30°)=22(sin45°cos30°-cos45°sin30°)=因此,S△ABC=12absinC=12×2×(3-(2)由C=2B,得sinC=sin2B=2sinBcosB,由正弦定理得c=2bcosB,則cosB=c由余弦定理得2accosB=a2+c2-b2,所以ac2=b(a2+c2-b2),整理可得(a-b)[c2-b(a+b)]=0,已知a+b=2c,即c=a+b2,代入上式可得(a-b)2(a+b)因此a=b,于是c=2a=2b,a2+b2=2a2=c2,即C=90°.故△ABC為等腰直角三角形.21.解(1)由題圖可知A=2,周期T=7π6-∵T=2πω,∴ω=2.∵f(x)的圖象過點∴2sin2×π6+φ=2,即π3+φ=2kπ+即φ=2kπ+π6(k∈Z)∵|φ|<π2,∴φ=π6,∴f(x)=(2)當x=0時,f(0)=2sinπ6=1<∵f(x)的圖象在y軸右側(cè)的第一個波峰的橫坐標為π6∴f(x)的圖象與直線y=32在區(qū)間0,π2上的兩個交點關(guān)于直線x=π6對稱,∴x1+x2=π3,∴sin(x∵cos(x1-x2)=cos2x1-π3=sin2x1+π6,且2sin2x1+π6=32,22.解(1)∵f(x)=asin2x+2cos2x,∴f(-x)=-asin2x+2cos2x.∵f(x)為偶函數(shù),∴f(-x)=f(x),∴-asin2x+2cos2x=asin2x+2cos2x.∴2asin2x=0,∴a=0.(2)∵fπ4=3+1,∴asinπ2+2cos2π4=a+1=3+1,∴a=3,∴f(x)=3sin2x+2cos2x=3sin2x+cos2x+1=∵f(x)=1-2,∴2sin2x+π6+1=∴sin2x+π∴2x+π6=-π4+2kπ或2x+π6=54π+2∴x=kπ-5π24或x=kπ+13π24(k∵x∈[-π,π],∴x=-11π24或-∴所求方程的解為x=-11π24或

檢測卷五數(shù)列(時間:120分鐘滿分:150分)一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.已知公比為32的等比數(shù)列{an}的各項都是正數(shù),且a3a11=16,則log2a16等于(A.4 B.5 C.6 D.72.在等差數(shù)列{an}中,已知a4=5,a3是a2和a6的等比中項,則數(shù)列{an}的前5項的和為()A.15 B.20 C.25 D.15或253.已知等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}滿足3a1-a82+3a15=0,且a8=b10,則b3b17等于(A.9 B.12 C.16 D.364.北京天壇的圓丘壇為古代祭天的場所,分上、中、下三層.上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石),環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán),向外每環(huán)依次增加9塊.下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊,向外每環(huán)依次也增加9塊.已知每層環(huán)數(shù)相同,且下層比中層多729塊,則三層共有扇面形石板(不含天心石)()A.3699塊 B.3474塊 C.3402塊 D.3339塊5.對于數(shù)列{an},定義數(shù)列{an+1-an}為數(shù)列{an}的“差數(shù)列”,若a1=2,數(shù)列{an}的“差數(shù)列”的通項為2n,則數(shù)列{an}的前n項和Sn等于()A.2 B.2nC.2n+1-2 D.2n-1-26.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若S6>S7>S5,則滿足SnSn+1<0的正整數(shù)n的值為()A.10 B.11 C.12 D.137.《九章算術(shù)》中的“竹九節(jié)”問題:現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子,自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列,上面4節(jié)的容積共3升,下面3節(jié)的容積共4升,現(xiàn)自上而下取第1,3,9節(jié),則這3節(jié)的容積之和為()A.133升 B.176升 C.199升 D8.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當x≤0時,f(x)=x(1-x).若數(shù)列{an}滿足a1=12,且an+1=11-a