專題2.25 軸對(duì)稱圖形中的折疊問題（分層練習(xí)）（基礎(chǔ)練）-2023-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)專項(xiàng)突破講與練（蘇科版）

專題2.25軸對(duì)稱圖形中的折疊問題（分層練習(xí)）（基礎(chǔ)練）【知識(shí)要點(diǎn)】初中數(shù)學(xué)有關(guān)于折疊的問題，是初中數(shù)學(xué)幾何內(nèi)容中比較特殊的一種類型。同時(shí)也是圖形變化當(dāng)中比較容易出考點(diǎn)的類型。想要解決初中數(shù)學(xué)中存在的折疊問題，那么我們對(duì)折疊的性質(zhì)要有比較清楚的認(rèn)識(shí)。首先要明白圖形折疊前后圖形的大小，形狀都不發(fā)生改變，其次折痕是折疊前后對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線。而且折疊前后及對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等，這是我們解決折疊問題中最核心的內(nèi)容。另外，對(duì)于折疊問題，我們一般還有其重要的性質(zhì)，就是將其轉(zhuǎn)化為軸對(duì)稱的問題，比如對(duì)稱點(diǎn)的連線被對(duì)稱軸垂直平分，我們連接兩對(duì)稱點(diǎn)，就可以得到相等的兩條線段，一、單選題1．如圖，中，，沿折疊，使點(diǎn)B恰好落在邊上的點(diǎn)E處．若，則等于（）A．69° B．67° C．66° D．42°2．如圖，把一張長(zhǎng)方形紙片沿對(duì)角線折疊，，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．3．如圖，矩形紙片，為邊的中點(diǎn)，將紙片沿，折疊，使點(diǎn)落在處，點(diǎn)落在處，若，則（

）A． B． C． D．4．將面積為80cm2的△ABC按圖所示方式折疊，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)P處，折痕為BD，若△DBC的面積為50cm2，則BP與PC的長(zhǎng)度比為（

）A．3:2 B．5:3 C．8:5 D．13:85．如圖，將一個(gè)直角三角形紙片，沿線段折疊，使點(diǎn)B落在處，若，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．6．如圖，將長(zhǎng)方形紙片沿折疊后點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，則下列關(guān)于線段與的關(guān)系描述正確的是（

）

A． B．和相互垂直平分C．且 D．且平分7．如圖，長(zhǎng)方形紙片，為邊的中點(diǎn)，將紙片沿，折疊，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，點(diǎn)落在點(diǎn)處，若，則（

）

A． B． C． D．8．某同學(xué)在一次數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)課中將一條對(duì)邊互相平行的紙帶進(jìn)行兩次折疊（如圖）．折痕分別為，，若，且，則為（）A． B． C． D．9．如圖，將長(zhǎng)方形沿折疊，使點(diǎn)A落在邊上的點(diǎn)E處，點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，若，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．10．如圖，把四邊形沿著折疊，給出下列條件：①；②；③；④．能得出的個(gè)數(shù)為（

）

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)二、填空題11．長(zhǎng)方形如圖折疊，點(diǎn)折疊到的位置，已知，則．

12．將長(zhǎng)方形紙片按如圖方式折疊，為折痕，則的度數(shù)為．

13．把一張寬度相等的紙條按如圖所示的方式折疊，則的度數(shù)等于．

14．如圖，中，，，將其折疊，使點(diǎn)A落在邊上處，折痕為，則的度數(shù)為．15．如圖，在中，，，，將沿直線折疊，恰好使點(diǎn)與點(diǎn)重合，直線交邊于點(diǎn)，那么的周長(zhǎng)是．16．如圖的三角形紙片中，AB＝7，AC＝5，BC＝6，沿過點(diǎn)C的直線折疊這個(gè)三角形，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)E處，折痕為CD，則△BED的周長(zhǎng)為．17．如圖，在中，，，的平分線與AB的垂直平分線交于點(diǎn)O，將沿EF折疊，若點(diǎn)C與點(diǎn)O恰好重合，則．18．如圖，在△ABC中，E是BC邊上一點(diǎn)，沿AE折疊，點(diǎn)B恰好落在AC邊上的點(diǎn)D處，若∠BAC=60°，BE=CD，則∠AED=度．三、解答題19．如圖所示，將長(zhǎng)方形紙片折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，點(diǎn)C落在點(diǎn)處．折痕為，若，求的度數(shù)．

20．如圖是個(gè)直角三角形紙片，且：：：：，按如圖的兩種方法分別將其折疊，使折痕（圖中虛線）過其中的一個(gè)頂點(diǎn)，且使該頂點(diǎn)所在角的兩邊重合，記折疊后不重疊部分面積分別為．（1）若，求的面積．（2）若，求的值．21．如圖所示，一個(gè)四邊形紙片，，把紙片按如圖所示折疊，使點(diǎn)B落在AD邊上的點(diǎn)，是折痕．（1）試判斷與的位置關(guān)系；（2）如果，求∠AEB的度數(shù)．22．如圖，在中，，，點(diǎn)E為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊上，連接，沿將折疊得到．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P落在上時(shí)，求的度數(shù)；（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)．23．已知三角形紙片（如圖），將紙片折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，折痕分別與邊、交于點(diǎn)、，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)．（1）畫出直線和點(diǎn)；（2）連接、，如果，求的度數(shù)；（3）連接、、，如果，且的面積為4，求的面積．24．閱讀下列材料，回答問題．如圖1，小明將三角形紙片折疊，使點(diǎn)和重合，折痕為，連接，展開紙片后小明認(rèn)為和的面積相等．理由如下：由折疊知，．過點(diǎn)作于點(diǎn)，，，所以．請(qǐng)你根據(jù)以上信息，利用無刻度的直尺和圓規(guī)將圖2中的三角形分為面積相等的兩個(gè)三角形．參考答案1．A【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出的度數(shù)，根據(jù)翻折變換的性質(zhì)求出的度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出可得答案．解：在中，，，∴，由折疊的性質(zhì)可得：，∴．故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查的是翻折變換和三角形內(nèi)角和定理，理解翻折變換的性質(zhì)、熟記三角形內(nèi)角和等于是解題的關(guān)鍵．2．C【分析】利用折疊的特性可得：∠CBD＝∠EBD＝25°，再利用長(zhǎng)方形的性質(zhì)∠ABC＝90°，則∠ABE＝90°?∠EBC，結(jié)論可得．解：由折疊可得：∠CBD＝∠EBD＝25°，則∠EBC＝∠CBD＋∠EBD＝50°，∵四邊形ABCD是長(zhǎng)方形，∴∠ABC＝90°，∴∠ABF＝90°?∠EBC＝40°，故C正確．故選：C．【點(diǎn)撥】本題主要考查了角的計(jì)算，折疊的性質(zhì)，利用折疊得出：∠CBD＝∠EBD是解題的關(guān)鍵．3．D【分析】利用折疊的性質(zhì)，相重合的角相等，然后利用平角定理求出角的度數(shù)．解：∵∠1＝30，∠AMA1＋∠1＋∠DMD1＝180，∴∠AMA1＋∠DMD1＝180?30＝150．∴∠BMA1＋∠CMD1＝75．∴∠BMC＝∠BMA1＋∠CMD1＋∠1＝105．故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，角的計(jì)算．解題過程中應(yīng)注意折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變．4．A【分析】根據(jù)圖形可得△ADB的面積為30cm2，可求出△PDB的面積為30cm2，△PDC的面積為20cm2，再根據(jù)高相等，求出BP與PC的長(zhǎng)度比.解：∵△ABC的面積為80cm2，△DBC的面積為50cm2，∴△ADB的面積為30cm2，∵折疊，∴△PDB的面積為30cm2，∴△PDC的面積為20cm2，∵△BDP與△CDP的高相等，∴BP與PC的長(zhǎng)度比等于其面積比，即為3:2，故選A.【點(diǎn)撥】此題主要考查折疊的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是三角形的面積公式.5．A【分析】根據(jù)，求出即可解答．解：，，，由翻折的性質(zhì)可知：，，故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查翻折變換，三角形的內(nèi)角和定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握折疊的性質(zhì)．6．D【分析】只要證明是線段的垂直平分線即可解決問題．解：是由翻折得到，，，，平分，故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查翻折變換、線段的垂直平分線的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握線段垂直平分線的判定，屬于基礎(chǔ)題，中考?？碱}型．7．C【分析】根據(jù)“折疊”前后的等量關(guān)系可以得知和分別是和的角平分線，再利用平角是，計(jì)算求出．解：將紙片沿，折疊，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，點(diǎn)落在點(diǎn)處，平分，平分故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查角的計(jì)算相關(guān)知識(shí)點(diǎn)．值得注意的是，“折疊”前后的兩個(gè)圖形是全等形，這在初中數(shù)學(xué)幾何部分應(yīng)用的比較廣泛，應(yīng)熟練掌握．8．B【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，再根據(jù)折疊得出，進(jìn)而解答即可．解：由折疊可知，，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，由折疊可知，，∵，∴，∴，故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查了平行線的性質(zhì)、折疊的問題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)定理，折疊就會(huì)出現(xiàn)對(duì)應(yīng)角相等．9．A【分析】根據(jù)折疊求出，，根據(jù)，求出，得出，求出即可．解：根據(jù)折疊可知，，，∵，，∴，∴，∴，∴，故A正確．故選：A．【點(diǎn)撥】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，求出．10．C【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)及平行線的判定定理求解即可．解：解∶如圖，

∵，∴同位角相等，兩直線平行；由折疊性質(zhì)得到，∵，∴，∴內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；∵，，∴，∴同位角相等，兩直線平行；由不能得出；．∴能得出的個(gè)數(shù)為，故選：C．【點(diǎn)撥】此題考查了折疊的性質(zhì)，熟記折疊的性質(zhì)及平行線的判定定理是解題的關(guān)鍵，11．/110度【分析】先求得的度數(shù)，根據(jù)圖形折疊的性質(zhì)，可求得的度數(shù)，進(jìn)而可求得答案．解：∵，∴．根據(jù)圖形折疊的性質(zhì)可知．∴．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題主要考查根據(jù)圖形的折疊求角的度數(shù)，牢記圖形折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．/90度【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，，然后根據(jù)平角為求解即可．解：∵將長(zhǎng)方形紙片按如圖方式折疊，為折痕，∴，，∴．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊前后兩圖形全等，即對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)相等相等．也考查了平角的定義．13．/度【分析】利用翻折不變性，平行線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理即可解決問題．解：如圖，

由翻折不變性可知：，∵寬度相等的紙條邊緣平行，∴，，，，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查平行線的性質(zhì)，翻折變換，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考?？碱}型．14．/10度【分析】根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出，根據(jù)翻折變換的性質(zhì)可得，然后根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和列式計(jì)算即可得解．解：∵，，∴，∵折疊后點(diǎn)A落在邊上處，∴，由三角形的外角性質(zhì)得，．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了折疊的性質(zhì)以及三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．15．【分析】由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得，再利用三角形的周長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算即可．解：∵將沿直線折疊，恰好使點(diǎn)與點(diǎn)重合，∴，∴的周長(zhǎng)為：，∵，，∴的周長(zhǎng)為：，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查的是軸對(duì)稱的性質(zhì)，熟練的確定軸對(duì)稱現(xiàn)象中的相等線段是解本題的關(guān)鍵．16．8【分析】由折疊可得：再求解利用從而可得答案.解：由折疊可得：故答案為：【點(diǎn)撥】本題考查的是軸對(duì)稱的性質(zhì)，掌握“成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)邊相等”是解本題的關(guān)鍵.17．【分析】連接OB、OC，根據(jù)角平分線的定義求出∠BAO，根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出∠ABC，再根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等可得OA=OB，根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠ABO=∠BAO，再求出∠OBC，然后判斷出點(diǎn)O是△ABC的外心，根據(jù)三角形外心的性質(zhì)可得OB=OC，再根據(jù)等邊對(duì)等角求出∠OCB=∠OBC，根據(jù)翻折的性質(zhì)可得OE=CE，然后根據(jù)等邊對(duì)等角求出∠COE，再利用三角形的內(nèi)角和定理列式計(jì)算即可解：解：如圖，連接OB、OC，，AO為的平分線，，又，，是AB的垂直平分線，，，，為的平分線，，，點(diǎn)O在BC的垂直平分線上，又是AB的垂直平分線，點(diǎn)O是的外心，,，將沿在BC上，F(xiàn)在AC上折疊，點(diǎn)C與點(diǎn)O恰好重合，，，在中，．故答案為104°.【點(diǎn)撥】本題考查線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，等邊對(duì)等角的性質(zhì)，以及翻折變換的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造出等腰三角形．18．70【分析】根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得，DE=BE，∠ADE=∠ABE，∠DAE=∠BAE=∠BAC=30°，進(jìn)而得知△DEC是等腰三角形，根據(jù)外角的性質(zhì)，知∠ADE=∠C+∠DEC=2∠C，在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠C=180°，得到關(guān)于∠C的方程，進(jìn)而在△ADE中求出∠AED的度數(shù)．解：由折疊的性質(zhì)可知，DE=BE，∠ADE=∠ABE，∠DAE=∠BAE=∠BAC=30°，∵BE=CD，∴DE=DC，∴∠C=∠DEC，∴∠ADE=∠C+∠DEC=2∠C，∴∠ABC=2∠C，又∵∠BAC=60°，∠BAC+∠ABC+∠C=180°，∴∠ABC+∠C=180°－60°=120°，即3∠C=120°，解得：∠C=40°，∴∠ADE=40°×2=80°，∴∠AED=180°－∠DAE－∠ADE=180°－30°－80°=70°．故答案為：70．【點(diǎn)撥】本題考查軸對(duì)稱的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理和外角和性質(zhì)，熟記三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和是解題的關(guān)鍵．19．【分析】先求出，再由平行線的性質(zhì)得到，由折疊的性質(zhì)可得，則由平角的定義可得，則．解：由題意得，，∵，∴，∵，∴，由折疊的性質(zhì)可得，∴，∵，∴．【點(diǎn)撥】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，熟知折疊前后對(duì)應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．20．（1）；（2）【分析】（1）設(shè)，則，依據(jù)，即可得到的值，即可求解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，根據(jù)即可求解．（1）解：：：：：，，，，由折疊可得，，，，設(shè)，則，∵，，即，解得，∴（2）∵，,∴【點(diǎn)撥】本題主要考查了折疊圖形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)和折疊圖形的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．21．（1），理由見分析；（2）【分析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，再由，可得，即可求解；（2）由（1）得，，可得，再由折疊的性質(zhì)可得，求出，即可求解．解：（1）；∵是的折疊后形成的，∴，∴；（2）由（