專題3.28 用勾股定理求最值常用方法專題（分層練習(xí)）（培優(yōu)練）-2023-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)專項(xiàng)突破講與練（蘇科版）

專題3.28用勾股定理求最值常用方法專題（分層練習(xí)）（培優(yōu)練）一、單選題1．如圖，在△ABC中，AB＝13，BC=14，S△ABC=84，D是BC的中點(diǎn)，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分別為E，F(xiàn)，則AE+BF的最大值為（）A．15 B．12 C．10 D．92．如圖，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，P是邊CD上一點(diǎn)，將△ADP沿直線AP對(duì)折，得到△APQ．當(dāng)射線BQ交線段CD于點(diǎn)F時(shí)，DF的最大值是（

）A．3 B．2 C． D．3．如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，在矩形內(nèi)部有一動(dòng)點(diǎn)P滿足S△PAB＝3S△PCD，則動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)A，B兩點(diǎn)距離之和PA＋PB的最小值為（

）A．5 B． C． D．4．如圖，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，點(diǎn)D在BC上，BD=6，DC=2，點(diǎn)P是AB上的動(dòng)點(diǎn)，則PC+PD的最小值為（）A．8 B．10 C．12 D．145．如圖，在中，cm，cm，點(diǎn)D、E分別在AC、BC上，現(xiàn)將沿DE翻折，使點(diǎn)C落在點(diǎn)處，連接，則長(zhǎng)度的最小值（

）A．不存在 B．等于1cmC．等于2cm D．等于2.5cm二、填空題6．如圖，點(diǎn)、在直線的同一側(cè)，于點(diǎn)，于點(diǎn)，，．點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，的最小值為，的最大值為，則的值為________．

7．如圖在三角形紙片ABC中，已知∠ABC=90o，AC=5，BC=4，過(guò)點(diǎn)A作直線l平行于BC，折疊三角形紙片ABC，使直角頂點(diǎn)B落在直線l上的點(diǎn)P處，折痕為MN，當(dāng)點(diǎn)P在直線l上移動(dòng)時(shí)，折痕的端點(diǎn)M、N也隨之移動(dòng)，若限定端點(diǎn)M、N分別在AB、BC邊上（包括端點(diǎn)）移動(dòng)，則線段AP長(zhǎng)度的最大值與最小值的差為________________．8．已知中，，，邊上的高，D為線段上的動(dòng)點(diǎn)，在上截取，連接，，則的最小值為______．9．如圖，在中，，，，P為邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，D為上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，當(dāng)時(shí)，線段的最小值是______．10．已知任意直角三角形的兩直角邊a，b和斜邊c之間存在關(guān)系式：a2+b2=c2．如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D在BC上，BD=3，CD=4，以AD為一邊作△ADE，使∠DAE=90°，AD=AE．若點(diǎn)M是DE上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則線段CM長(zhǎng)的最小值為_________．11．如圖，在中，，，，平分交于點(diǎn)D，點(diǎn)E、F分別在、上，則的最小值為________．12．如圖，已知△ABC，BC=10，分別以AB，AC為腰向形外作等腰直角三角形△ABD與△ACE，連接BE，CD交于點(diǎn)P，則S△CBP的最大值是_______．13．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，M是BC的中點(diǎn)，N是AM上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)N作EF⊥AM分別交AB，CD于點(diǎn)E，F(xiàn)．（1）AM的長(zhǎng)為_____；（2）EM+AF的最小值為_____．14．如圖，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝，AC＝8，BC＞6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，AC邊上，且AF＝CE，則AE+BF的最小值為_____．15．如圖，在中，，，為中點(diǎn)，是射線上的一動(dòng)點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接、，點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的最小值為_______．16．如圖所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝12，AD是∠CAB的平分線，若P、Q分別是AD和AC上的動(dòng)點(diǎn)，則AC＝_______，PC+PQ的最小值是_______．17．如圖，圓柱的高為6cm，底面周長(zhǎng)為16cm，螞蟻在圓柱側(cè)面爬行，從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B的最短路程是________cm．18．愛動(dòng)腦筋的小明某天在家玩遙控游戲時(shí)遇到下面的問(wèn)題：已知，如圖一個(gè)棱長(zhǎng)為8cm無(wú)蓋的正方體鐵盒，小明通過(guò)遙控器操控一只帶有磁性的甲蟲玩具，他先把甲蟲放在正方體盒子外壁A處，然后遙控甲蟲從A處出發(fā)沿外壁面正方形ABCD爬行，爬到邊CD上后再在邊CD上爬行3cm，最后在沿內(nèi)壁面正方形ABCD上爬行，最終到達(dá)內(nèi)壁BC的中點(diǎn)M，甲蟲所走的最短路程是______cm三、解答題19．已知在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D是BC邊上一點(diǎn)，連接AD，在直線AD右側(cè)作等腰△ADE，AD=AE．（1）如圖1，若∠BAC=∠DAE=90°，連接CE．求證：△ABD≌△ACE；（2）如圖2，若∠BAC=∠DAE=120°，AB=AC=2．①當(dāng)AE∥BC時(shí)，求線段BD的長(zhǎng)；②取AC邊的中點(diǎn)F，連接EF．當(dāng)點(diǎn)D從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C過(guò)程中，求線段EF長(zhǎng)度的最小值與最大值．20．發(fā)現(xiàn)：如圖1，點(diǎn)為線段外一動(dòng)點(diǎn)，且．（1）填空：當(dāng)點(diǎn)位于上時(shí)，線段的長(zhǎng)取得最小值，且最小值為（用含的式子表示）（2）應(yīng)用：如圖2，點(diǎn)為線段外一動(dòng)點(diǎn)，且，分別以為邊，作等腰直角和等腰直角，連接．①請(qǐng)找出圖中與相等的線段，并說(shuō)明理由；②直接寫出長(zhǎng)的最小值．拓展：如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)為線段外一動(dòng)點(diǎn)，且，請(qǐng)直接寫出長(zhǎng)的最小值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．

21．綜合與實(shí)踐問(wèn)題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師要求學(xué)生出示兩個(gè)大小不一樣的等腰直角三角形，如圖1所示，把Rt△ADE和Rt△ABC擺在一起，其中直角頂點(diǎn)A重合，延長(zhǎng)CA至點(diǎn)F，滿足AF=AC，然后連接DF、BE．實(shí)踐猜想：（1）圖1中的BE與DF的數(shù)量關(guān)系為：，位置關(guān)系為：．猜想證明：（2）當(dāng)△ADE繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度α（0＜α＜90°）時(shí)，如圖2所示，（1）中的結(jié)論是否還成立?若成立，請(qǐng)寫出證明過(guò)程，若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．問(wèn)題解決：（3）若，△ADE繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度α（0＜α＜360°）的過(guò)程中，求BE的最大值與最小值．參考答案1．A【分析】如圖，連接AD，作，垂足分別為，可證，；由，求得的值，在中，由勾股定理得，求得的值，，求得的值，在中，由勾股定理得，求得的值；，可得，可知當(dāng)時(shí)，最小，最大，此時(shí)有，解得的值，進(jìn)而求解的值，故可知的最大值．解：如圖，連接AD，作，垂足分別為由題意知在和中∵∴∴∵∴在中，由勾股定理得∴在中，由勾股定理得∵∴∴當(dāng)時(shí)，最小，最大∴此時(shí)解得∴∴的最大值為15故選A．【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)．解題的關(guān)鍵在于將線段和與面積聯(lián)系求解．2．C解：如圖1所示，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，在矩形中，，所以，又，所以，所以，則，因?yàn)?，，所以?dāng)最大、最小時(shí)，最小，最大，即當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，最大．如圖2所示，此時(shí)，點(diǎn)、重合，、、三點(diǎn)共線，由可知，所以，在和中，，所以，所以，故的最大值為．故選C.3．B【分析】首先由，得知?jiǎng)狱c(diǎn)P在與AB平行且與AB的距離為3的直線上，作點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)E，連接AE、BE，則BE的長(zhǎng)就是所求的最短距離，然后在直角三角形ABE中，由勾股定理求得BE的值，即PA+PB的最小值．解：∵，設(shè)點(diǎn)P到CD的距離為h，則點(diǎn)P到AB的距離為(4-h),則，解得：h=1，∴點(diǎn)P到CD的距離1，到AB的距離為3，∴如下圖所示，動(dòng)點(diǎn)P在與AB平行且與AB的距離為3的直線上，作點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)E，連接AE、BE，且兩點(diǎn)之間線段最短，∴PA+PB的最小值即為BE的長(zhǎng)度，AE=6，AB=3，∠BAE=90°，根據(jù)勾股定理：，故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查了軸對(duì)稱—最短路線問(wèn)題（兩點(diǎn)之間線段最短），勾股定理，得出動(dòng)點(diǎn)P所在的位置是解題的關(guān)鍵．4．B【分析】過(guò)點(diǎn)C作CO⊥AB于O，延長(zhǎng)CO到C′，使OC′＝OC，連接DC′，交AB于P，連接CP，此時(shí)DP＋CP＝DP＋PC′＝DC′的值最?。蒁C＝2，BD＝6，得到BC＝8，連接BC′，由對(duì)稱性可知∠C′BA＝∠CBA＝45°，于是得到∠CBC′＝90°，然后根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．解：過(guò)點(diǎn)C作CO⊥AB于O，延長(zhǎng)CO到C′，使OC′＝OC，連接DC′，交AB于P，連接CP．此時(shí)DP＋CP＝DP＋PC′＝DC′的值最?。逥C＝2，BD＝6，∴BC＝8，連接BC′，由對(duì)稱性可知∠C′BA＝∠CBA＝45°，∴∠CBC′＝90°，∴BC′⊥BC，∠BCC′＝∠BC′C＝45°，∴BC＝BC′＝8，根據(jù)勾股定理可得DC′＝．故選：B．【點(diǎn)撥】此題考查了軸對(duì)稱﹣線路最短的問(wèn)題，確定動(dòng)點(diǎn)P為何位置時(shí)PC＋PD的值最小是解題的關(guān)鍵．5．C【分析】當(dāng)C′落在AB上，點(diǎn)B與E重合時(shí)，AC'長(zhǎng)度的值最小，根據(jù)勾股定理得到AB=5cm，由折疊的性質(zhì)知，BC′=BC=3cm，于是得到結(jié)論．解：當(dāng)C′落在AB上，點(diǎn)B與E重合時(shí)，AC'長(zhǎng)度的值最小，∵∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，∴AB=5cm，由折疊的性質(zhì)知，BC′=BC=3cm，∴AC′=AB-BC′=2cm．故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了翻折變換（折疊問(wèn)題），勾股定理，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．【分析】作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，則點(diǎn)即為所求點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則的長(zhǎng)即為的最小值，利用勾股定理即可求出的長(zhǎng)即的值，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，當(dāng)移動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，值最大，過(guò)點(diǎn)作，利用勾股定理即可求出的長(zhǎng)即的值，最后求出結(jié)果即可．解：如圖，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，

則點(diǎn)即為所求點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則的長(zhǎng)即為的最小值為，，，，，的最小值為，如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，

，，當(dāng)移動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，值最大，，，過(guò)點(diǎn)作，則，，，，的最大值為，，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查的是最短線路問(wèn)題及勾股定理，熟知兩點(diǎn)之間線段最短及三角形的三邊關(guān)系是解答此類問(wèn)題的關(guān)鍵．7．【分析】分別找到兩個(gè)極端,當(dāng)M與A重合時(shí)，AP取最大值，當(dāng)點(diǎn)N與C重合時(shí)，AP取最小，即可求出線段AP長(zhǎng)度的最大值與最小值之差解：如圖所示，當(dāng)M與A重合時(shí)，AP取最大值，此時(shí)標(biāo)記為P1，由折疊的性質(zhì)易得四邊形AP1NB是正方形，在Rt△ABC中，，∴AP的最大值為AP1=AB=3如圖所示，當(dāng)點(diǎn)N與C重合時(shí)，AP取最小，過(guò)C點(diǎn)作CD⊥直線l于點(diǎn)D，可得矩形ABCD，∴CD=AB=3，AD=BC=4，由折疊的性質(zhì)有PC=BC=4，在Rt△PCD中，，∴AP的最小值為線段AP長(zhǎng)度的最大值與最小值之差為故答案為【點(diǎn)撥】本題考查勾股定理的折疊問(wèn)題，可以動(dòng)手實(shí)際操作進(jìn)行探索.8．13【分析】通過(guò)過(guò)點(diǎn)A作的平行線，并在上截取，構(gòu)造全等三角形，得到當(dāng)B，D，H三點(diǎn)共線時(shí)，可求得的最小值；再作垂線構(gòu)造矩形，利用勾股定理求解即可．解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作的平行線，并在上截取，連接，．則．在和中，∴，∴，∴，∴當(dāng)B，D，H三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，即的值最小，為的長(zhǎng)．∵，，，∴在中，由勾股定理，得．如圖，過(guò)點(diǎn)H作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，則四邊形為長(zhǎng)方形，∴，，∴在中，由勾股定理，得．∴的最小值為13．故答案為：13．【點(diǎn)撥】本題屬于沒有共同端點(diǎn)的兩條線段求最值問(wèn)題這一類型，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)．解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形．9．【分析】取的中點(diǎn)，連接，．首先證明，求出，，根據(jù)，可得結(jié)論．解：如圖，取的中點(diǎn)，連接，．，，，，，，，，，，的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是依據(jù)題意作出輔助線．10．【分析】連接CE，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)H，首先證明，可推導(dǎo)，，再證明，在中，由勾股定理計(jì)算，然后借助三角形面積求出，根據(jù)“垂線段最短”可知，當(dāng)，即M、H重合時(shí)，線段CM的長(zhǎng)取最小值，即可獲得答案．解：連接CE，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)H，如下圖，∵，即，∴，∵AB=AC，AD=AE，∴，∴，，∵∠BAC=90°，∴，∴，即，∴在中，，∵，∴，即，解得，∵點(diǎn)M是DE上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)，即M、H重合時(shí)，線段CM的長(zhǎng)取最小值，此時(shí)．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，正確作圖輔助線構(gòu)建全等三角形是解題關(guān)鍵．11．【分析】在AB上取點(diǎn)，使，過(guò)點(diǎn)C作，垂足為，先說(shuō)明可得，推出當(dāng)C、E、共線，且點(diǎn)與H重合時(shí)，的值最小．解：如圖所示：在AB上取點(diǎn)，使，過(guò)點(diǎn)C作，垂足為H．∵AE平分，∴∠EAF=∠EA，∵，AE=AE，∴△EAF≌△EA，∴，∴，當(dāng)C，E，共線，且點(diǎn)與H重合時(shí)，的值最小在中，依據(jù)勾股定理可知，∵，的最小值為．故答案為．【點(diǎn)撥】本題主要考查的是勾股定理的應(yīng)用、垂線段最短、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是利用垂線段最短解答最短路徑問(wèn)題．12．25【分析】根據(jù)題意證明△DAC≌△BAE，根據(jù)勾股定理可得，由，得到，進(jìn)而即可求解．解：∵∠BAD=∠CAE=90°，∴∠DAC=∠BAE，在△DAC和△BAE中，∵AD=AB，∠DAC=∠BAE，AC=AE，∴△DAC≌△BAE，∴∠ADC=∠ABE，∴∠PDB+∠PBD=90°，∴∠DPB=90°，∴=100，∵，∴，∴BP?PC≤50，∴=BP?PC≤×50=25．故答案為25．【點(diǎn)撥】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理．由，得到是解答本題的關(guān)鍵．13．【分析】（1）由正方形的邊長(zhǎng)為2，結(jié)合線段中點(diǎn)性質(zhì)得到，利用勾股定理解題得AM的長(zhǎng)即可；（2）過(guò)點(diǎn)F作于點(diǎn)，先證明，由全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)得到，將沿方向平移至，連接，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，此時(shí)EM+AF的值最小，最后根據(jù)勾股定理解題即可．解：（1）四邊形是正方形，且邊長(zhǎng)為，是的中點(diǎn)，故答案為：；（2）過(guò)點(diǎn)F作于點(diǎn)，則將沿方向平移至，連接，則當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，此時(shí)，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查正方形的性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．14．．【分析】過(guò)A點(diǎn)作AG∥BC，截取AG＝AC，連接FG，MG，利用兩點(diǎn)之間線段最短，確定最小值為BG，過(guò)B作BR⊥AG，交AG的反向延長(zhǎng)線于R，利用勾股定理計(jì)算即可．解：過(guò)A點(diǎn)作AG∥BC，截取AG＝AC，連接FG，MG，過(guò)B作BR⊥AG，交AG的反向延長(zhǎng)線于R，則∠RBC＝∠BRA＝90°，∴∠GAF＝∠ACE，在△AFG和△CEA中，，∴△AFG≌△CEA（SAS），∴GF＝AE，∴AE+BF的最小值，即為BG的長(zhǎng)，∵∠ABC＝45°，∴∠RAB＝∠EBA＝45°，∵AB＝6，∴BR＝AR＝6，∵AC＝8，∴AG＝AC＝8，∴RG＝AR+AG＝6+8＝14，∴BG＝=，即AE+BF的最小值為．【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理，三角形的全等，線段和最小值，平行線的性質(zhì)，熟練掌握通過(guò)構(gòu)造平行線法構(gòu)造出線段和最小解題模型是解題的關(guān)鍵．15．【分析】連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則是等腰直角三角形．推出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，證得是等腰直角三角，求出，，，由，于是得到當(dāng)時(shí)，的值最?。猓哼B接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則是等腰直角三角形．在與中，，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∵，∴，∵為中點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，∴當(dāng)時(shí)，的值最小，∴.故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)、三角形全等的性質(zhì)和判定，證明線段最短有一定的難度．但通過(guò)構(gòu)造全等三角形，利用全等三角形和等腰直角三角形的性質(zhì)就變得容易．16．5【分析】（1）根據(jù)勾股定理即可求出AC的長(zhǎng)度；（2）過(guò)點(diǎn)C作CM⊥AB交AB于點(diǎn)M，交AD于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥AC于點(diǎn)Q，由AD是∠BAC的平分線．得出PQ=PM，這時(shí)PC+PQ有最小值，即CM的長(zhǎng)度，運(yùn)用勾股定理求出AC，再運(yùn)用S△ABC=AB?CM=AC?BC，得出CM的值，即PC+PQ的最小值．解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝12，∴；如圖，過(guò)點(diǎn)C作CM⊥AB交AB于點(diǎn)M，交AD于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥AC于點(diǎn)Q，∵AD是∠BAC的平分線．∴PQ=PM，這時(shí)PC+PQ有最小值，即CM的長(zhǎng)度，∵AC=5，BC=12，∠ACB=90°，∵,∴．故答案為：5；．【點(diǎn)撥】本題考查勾股定理、軸對(duì)稱中的最短路線問(wèn)題，找出點(diǎn)P、Q的位置是解題關(guān)鍵．17．10【分析】過(guò)A點(diǎn)和過(guò)B點(diǎn)的母線剪開，展成平面，連接AB，則AB的長(zhǎng)是螞蟻在圓柱表面從A點(diǎn)爬到B點(diǎn)的最短路程，求出AD和BD的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理求出斜邊AB即可．解：如圖所示：沿過(guò)A點(diǎn)和過(guò)B點(diǎn)的母線剪開，展成平面，連接AB，則AB的長(zhǎng)是螞蟻在圓柱表面從A點(diǎn)爬到B點(diǎn)的最短路程，AD＝×16＝8（cm），∠D＝90°，BD＝6cm，由勾股定理得：（cm）．故答案為：10．【點(diǎn)撥】本題考查了平面展開?最短路線問(wèn)題和勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是知道求出AB的長(zhǎng)就是螞蟻在圓柱表面從A點(diǎn)爬到B點(diǎn)的最短路程．18．16【分析】將正方形沿著翻折得到正方形，過(guò)點(diǎn)在正方形內(nèi)部作，使，連接，過(guò)作于點(diǎn)，此時(shí)最小，運(yùn)用勾股定理求解即可．解：如圖，將正方形沿著翻折得到正方形，過(guò)點(diǎn)在正方形內(nèi)部作，使，連接，過(guò)作于點(diǎn)，則四邊形是矩形，四邊形是平行四邊形，∴，，，，此時(shí)最小，∵點(diǎn)是中點(diǎn)，∴cm，∴cm，cm，在中，cm，∴cm，故答案為：16．【點(diǎn)撥】本題考查最短路徑問(wèn)題，考查了正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)和判定，勾股定理，軸對(duì)稱性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是將立體圖形中的最短距離轉(zhuǎn)換為平面圖形的兩點(diǎn)之間線段長(zhǎng)度進(jìn)行計(jì)算．19．（1）證明見分析；（2）①BD；②線段EF長(zhǎng)度的最小值為，最大值為【分析】（1）由“SAS”可證得；（2）①如圖1，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥AB于點(diǎn)M，連接CE，根據(jù)∠BAC=∠DAE=120°求出∠BAD=∠CAE，然后根據(jù)平行性質(zhì)求出∠ABC=∠ACB=∠EAC=30°，得到是等腰三角形，然后就可以求解了．②如圖2，取AB中點(diǎn)G，連接DG，CG，由“SAS”可證，可得GD=EF,當(dāng)GD⊥BC時(shí)，GD有最小值．當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C重合時(shí)，DG有最大值為CG，即EF也有最大值．解：證明：（1）∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAD=∠CAE．∵AB=AC，AD=AE，∴（SAS）；（2）解：①如圖1，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥AB于點(diǎn)M，連接CE，∵∠BAC=∠DAE=120°，∴∠BAD=∠CAE．∵∠BAC=120°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=30°．∵AE∥BC，∴∠EAC=∠ACB=30°，∴∠BAD=30°，∴AD=BD，∴BMAB=1，∴DM，∴BD．②如圖2，取AB中點(diǎn)G，連接DG，CG，∵AB=AC=2，點(diǎn)F是AC中點(diǎn)，點(diǎn)G是AB中點(diǎn)，∴AG=BG=AF=CF=1．∵∠BAC=∠DAE=120°，∴∠BAD=∠CAE．∵AD=AE，AG=AF，∴（SAS），∴GD=EF，∴DG有最小值，EF也有最小值，∴當(dāng)GD⊥BC時(shí)，GD有最小值．∵∠BAC=120°，AB=AC，∴∠ABC=30°，GD⊥BC，BG=1，∴GD，BD，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C重合時(shí)，DG有最大值為CG，即EF也有最大值．∵BD，BC=2，∴CD，∴CG，∴線段EF長(zhǎng)度的最小值為，最大值為．故答案為：最小值是，最大值為．【點(diǎn)撥】本題是三角形綜合題，考查了平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．20．（1）；（2）①，證明見分析，②；（3）最小為或．【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)A位于CB上時(shí)，線段AC的長(zhǎng)取得最小值，即可得到結(jié)論；（2）①根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90°，推出△CAD≌△EAB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CD=BE；②由于線段BE長(zhǎng)的最大值=線段CD的最大值，根據(jù)（1）中的結(jié)論即可得到結(jié)果；（3）以AP為邊向右邊作等邊三角形APC，連接BE后，易證，此時(shí)AM=BC，然后根據(jù)（1）的結(jié)論求值即可，點(diǎn)P坐標(biāo)可根據(jù)等邊三角形性質(zhì)求．解：當(dāng)位于線段上，取到最小值故答案為：①和均為等腰直角三角形，在和中②而最小值為，當(dāng)且僅當(dāng)在線段上取到以為邊向右邊作等邊三角形，連接為正三角形，又在和中最小為，此時(shí)在線段上，的橫坐標(biāo)為縱坐標(biāo)為．【點(diǎn)撥】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知