專題03 難點(diǎn)探究專題：解直角三角形應(yīng)用與特殊幾何圖形的綜合之五大類型（原卷版）

專題03難點(diǎn)探究專題：解直角三角形應(yīng)用與特殊幾何圖形的綜合之五大類型【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【類型一解直角三角形應(yīng)用與特殊三角形的綜合】 1【類型二解直角三角形應(yīng)用與平行四邊形的綜合】 6【類型三解直角三角形應(yīng)用與菱形的綜合】 9【類型四解直角三角形應(yīng)用與矩形的綜合】 12【類型五解直角三角形應(yīng)用與正方形的綜合】 19【類型六解直角三角形應(yīng)用與其他圖形的綜合】 22【典型例題】【類型一解直角三角形應(yīng)用與特殊三角形的綜合】例題：（2023秋·福建泉州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）中國(guó)傳統(tǒng)建筑屋頂設(shè)計(jì)是中國(guó)古代建筑之瑰寶．常見的屋頂種類主要有院殿頂、歇山頂、硬山頂、懸山頂、攢尖頂、卷棚頂和平頂?shù)龋鐖D1的古代建筑屋頂，被稱為“懸山頂”，它的側(cè)視圖呈軸對(duì)稱圖形，如圖2所示，已知屋檐米，屋頂E到支點(diǎn)C的距離米，墻體高米，屋面坡角．（參考數(shù)值：）(1)求房屋內(nèi)部寬度的長(zhǎng)；(2)求點(diǎn)A與屋面的距離．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·重慶沙坪壩·九年級(jí)重慶八中?？茧A段練習(xí)）露營(yíng)愛好者在露營(yíng)時(shí)為遮陽(yáng)和防雨會(huì)借助垂直于地面的樹干搭建一種“天幕”，其截面示意圖是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是垂直于地面的支撐桿，用繩子拉直后系在樹干上的點(diǎn)A處，使得A，C，E在一條直線上，通過(guò)調(diào)節(jié)點(diǎn)A的高度可控制“天幕”的開合，若米，于點(diǎn)O（參考數(shù)據(jù)：，，）

(1)天晴時(shí)打開“天幕”，若，求遮陽(yáng)寬度EF；（結(jié)果保留一位小數(shù)）(2)下雨時(shí)收攏“天幕”，由減小到，求點(diǎn)O下降的高度．（結(jié)果保留一位小數(shù)）2．（2023春·海南海口·九年級(jí)?？谝恢行？计谥校┯图垈阌兄馇甑臍v史，被列入國(guó)家非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄；在一次活動(dòng)中，小文了解了油紙傘文化的內(nèi)涵，決定進(jìn)行設(shè)計(jì)傘的實(shí)踐活動(dòng)．小文依據(jù)黃金分割的美學(xué)設(shè)計(jì)理念，設(shè)計(jì)了中截面如圖所示的傘骨結(jié)構(gòu)（其中）：傘柄始終平分，，當(dāng)時(shí)，傘完全打開，此時(shí)．(1)，；(2)求線段的長(zhǎng)；（結(jié)果保留整根號(hào)）(3)請(qǐng)問(wèn)最少需要準(zhǔn)備多長(zhǎng)的傘柄？（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：）3．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考三模）圖是一款筆記本電腦支架，它便于電腦散熱，減輕使用者的頸椎壓力．圖是支架與電腦底部的接觸面以及側(cè)面的抽象圖，已知，互相平分于點(diǎn)，，若，．

(1)求的長(zhǎng)．(2)求點(diǎn)到底架的高（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，）．【類型二解直角三角形應(yīng)用與平行四邊形的綜合】例題：圖1是某長(zhǎng)征主題公園的雕塑，將其抽象成如圖2所示的示意圖，已知，A，D，H，G四點(diǎn)在同一直線上，測(cè)得．（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）(1)求證：四邊形為平行四邊形；(2)求雕塑的高（即點(diǎn)G到的距離）．（參考數(shù)據(jù)：）【變式訓(xùn)練】1．如圖1，是一電動(dòng)門，當(dāng)它水平下落時(shí)，可以抽象成如圖2所示的矩形，其中，，此時(shí)它與出入口等寬，與地面的距離；當(dāng)它抬起時(shí)，變?yōu)槠叫兴倪呅危鐖D3所示，此時(shí)，與水平方向的夾角為．(1)求點(diǎn)到地面的距離；(2)在電動(dòng)門抬起的過(guò)程中，求點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)；(3)一輛高，寬的汽車從該入口進(jìn)入時(shí)，汽車需要與保持的安全距離，此時(shí)，汽車能否安全通過(guò)，若能，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明；若不能，說(shuō)明理由．（參考數(shù)據(jù)：，，所有結(jié)果精確到【類型三解直角三角形應(yīng)用與菱形的綜合】例題：如圖是一個(gè)晾衣架的實(shí)物圖，支架的基本圖形是菱形，MN是晾衣架的一個(gè)滑槽，點(diǎn)P在滑槽MN上、下移動(dòng)時(shí)，晾衣架可以伸縮，其示意圖如圖所示，已知每個(gè)菱形的邊長(zhǎng)均為20cm，且．當(dāng)點(diǎn)P向下滑至點(diǎn)N處時(shí)，測(cè)得時(shí)求滑槽MN的長(zhǎng)度；此時(shí)點(diǎn)A到直線DP的距離是多少？當(dāng)點(diǎn)P向上滑至點(diǎn)M處時(shí)，點(diǎn)A在相對(duì)于的情況下向左移動(dòng)的距離是多少？結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)【變式訓(xùn)練】1．如圖1為搭建在地面上的遮陽(yáng)棚，圖2、圖3是遮陽(yáng)棚支架的示意圖．遮陽(yáng)棚支架由相同的菱形和相同的等腰三角形構(gòu)成，滑塊E，H可分別沿等長(zhǎng)的立柱AB，DC上下移動(dòng)，AF＝EF＝FG＝1m．（1）若移動(dòng)滑塊使AE＝EF，求∠AFE的度數(shù)和棚寬BC的長(zhǎng)．（2）當(dāng)∠AFE由60°變?yōu)?4°時(shí)，問(wèn)棚寬BC是增加還是減少？增加或減少了多少？（結(jié)果精確到0.1m．參考數(shù)據(jù)：≈1.73，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【類型四解直角三角形應(yīng)用與矩形的綜合】例題：（2023春·江西南昌·九年級(jí)南昌市第二十八中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）某景區(qū)草地上豎立著一個(gè)如圖（1）所示的雕塑，現(xiàn)將其中兩個(gè)近似大小相同的矩形框架抽象成如圖（2）所示的圖形，矩形可由矩形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)在上，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．連接．

(1)判斷四邊形的形狀并給予證明；(2)若點(diǎn)在水平地面上，與水平地面平行，，求點(diǎn)到水平地面的距離．（結(jié)果精確到．）參考數(shù)據(jù)：【變式訓(xùn)練】1．（2023·山東青島·統(tǒng)考二模）如圖1，一吸管杯放置在水平桌面上，矩形為其橫截面，為吸管，其示意圖如圖所示，，，．將杯子繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使與水平線平行(如圖3)．(1)杯子與水平線的夾角______；(2)由圖2到圖3，點(diǎn)A的位置是升高了還是下降了？變化了多少厘米？(結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，)2．如圖（1）是一種自卸貨車，圖（2）是該貨車的示意圖，貨廂側(cè)面是矩形，，初始狀態(tài)下，點(diǎn)A，B，F(xiàn)在同一水平線上，此時(shí)貨廂底部離地面的距離為．卸貨時(shí)貨廂繞著點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)．

(1)當(dāng)時(shí)，求貨廂最高點(diǎn)C離地面的距離．(2)點(diǎn)A處的轉(zhuǎn)軸與貨車后車輪轉(zhuǎn)軸（點(diǎn)E）的水平距離叫做安全軸距，已知該車的安全軸距為．貨廂對(duì)角線的交點(diǎn)G是貨廂的重心．卸貨時(shí)，如果A，G兩點(diǎn)間的水平距離小于安全軸距，那么車輛會(huì)傾覆．當(dāng)時(shí)，該貨車是否會(huì)傾覆？請(qǐng)說(shuō)明理由．（參考數(shù)據(jù)：）【類型五解直角三角形應(yīng)用與正方形的綜合】例題：（2023春·江西九江·九年級(jí)統(tǒng)考期中）圖1是某校教學(xué)樓墻壁上文化長(zhǎng)廊中的兩幅圖案，現(xiàn)將這兩個(gè)正方形轉(zhuǎn)化為平面圖形得到圖2，并測(cè)得正方形與正方形的面積相等，且，

(1)判斷四邊形的形狀，并說(shuō)明理由．(2)求的長(zhǎng)．（參考數(shù)據(jù)：）【變式訓(xùn)練】1．測(cè)量金字塔高度：如圖1，金字塔是正四棱錐，點(diǎn)O是正方形的中心垂直于地面，是正四棱錐的高，泰勒斯借助太陽(yáng)光．測(cè)量金字塔影子的相關(guān)數(shù)據(jù)，利用平行投影測(cè)算出了金字塔的高度，受此啟發(fā)，人們對(duì)甲、乙、丙三個(gè)金字塔高度也進(jìn)行了測(cè)量．甲、乙、丙三個(gè)金字塔都用圖1的正四棱錐表示．（1）測(cè)量甲金字塔高度：如圖2，是甲金字塔的俯視圖，測(cè)得底座正方形的邊長(zhǎng)為，金字塔甲的影子是，此刻，1米的標(biāo)桿影長(zhǎng)為0.7米，則甲金字塔的高度為______m．（2）測(cè)量乙金字塔高度：如圖1，乙金字塔底座正方形邊長(zhǎng)為，金字塔乙的影子是，，此刻1米的標(biāo)桿影長(zhǎng)為0.8米，請(qǐng)利用已測(cè)出的數(shù)據(jù)，計(jì)算乙金字塔的高度．【類型六解直角三角形應(yīng)用與其他圖形的綜合】例題：（2023秋·山東威?！ぞ拍昙?jí)山東省文登第二中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）圖1是某越野車的側(cè)面示意圖，折線段表示車后蓋，已知，，，該車的高度．如圖2，打開后備箱，車后蓋落在處，與水平面的夾角．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，，）

(1)求打開后備箱后，車后蓋最高點(diǎn)到地面l的距離；(2)若小琳爸爸的身高為，他從打開的車后蓋處經(jīng)過(guò)，有沒有碰頭的危險(xiǎn)？請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式訓(xùn)練】1．在日常生活中我們經(jīng)常使用訂書機(jī)，如圖，是訂書機(jī)的托板，壓柄繞著點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，連接桿的一端點(diǎn)D固定，點(diǎn)E從A向B滑動(dòng)，在滑動(dòng)過(guò)程中，的長(zhǎng)保持不變，已知．

(1)如圖1，當(dāng)，B、E之間的距離為，求連接桿的長(zhǎng)度．(2)現(xiàn)將壓柄從圖1的位置旋轉(zhuǎn)到與底座垂直，如圖2所示，求在此過(guò)程中點(diǎn)E滑動(dòng)的距離．2．（2023秋·河北石家莊·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖1，某款線上教學(xué)設(shè)備由底座，支撐臂，連桿，懸臂和安裝在處的攝像頭組成．如圖2是該款設(shè)備放置在水平桌面上的示意圖，已知支撐臂，，固定，可通過(guò)調(diào)試懸臂與連桿的夾角提高拍攝效果．

(1)當(dāng)懸臂與桌面平行時(shí)，=___________°(2)問(wèn)懸臂端點(diǎn)到桌面的距離約為多少？(3)已知攝像頭點(diǎn)到桌面的距離為30cm時(shí)拍攝效果較好，那么此時(shí)懸