專題03 相似三角形中的重要模型-手拉手模型（原卷版）

專題03相似三角形中的重要模型-手拉手模型相似三角形是初中幾何中的重要的內(nèi)容，常常與其它知識點結(jié)合以綜合題的形式呈現(xiàn)，其變化很多，是中考的?？碱}型。手拉手模型相似是手拉手模型當中相對于手拉手全等模型較難的一種模型，在實際的應(yīng)用和解題當中出現(xiàn)時，對于同學們來說，都比較困難。而深入理解模型內(nèi)涵，靈活運用相關(guān)結(jié)論可以顯著提高解題效率，本專題重點講解相似三角形的“手拉手”模型（旋轉(zhuǎn)模型）。手拉手相似證明題一般思路方法:①由線段乘積相等轉(zhuǎn)化成線段比例式相等；②分子和分子組成一個三角形、分母和分母組成一個三角形；③第②步成立，直接從證這兩個三角形相似，逆向證明到線段乘積相等；④第②步不成立，則選擇替換掉線段比例式中的個別線段，之后再重復第③步。模型1.“手拉手”模型(旋轉(zhuǎn)模型)【模型解讀與圖示】“手拉手”旋轉(zhuǎn)型定義：如果將一個三角形繞著它的項點旋轉(zhuǎn)并放大或縮小(這個頂點不變)，我們稱這樣的圖形變換為旋轉(zhuǎn)相似變換，這個頂點稱為旋轉(zhuǎn)相似中心，所得的三角形稱為原三角形的旋轉(zhuǎn)相似三角形。1）手拉手相似模型（任意三角形）條件:如圖，∠BAC=∠DAE=，；結(jié)論：△ADE∽△ABC，△ABD∽△ACE；.2）手拉手相似模型（直角三角形）條件:如圖，，（即△COD∽△AOB）；結(jié)論：△AOC∽△BOD；，AC⊥BD，.3）手拉手相似模型（等邊三角形與等腰直角三角形）條件:M為等邊三角形ABC和DEF的中點；結(jié)論：△BME∽△CMF；.條件:△ABC和ADE是等腰直角三角形；結(jié)論：△ABD∽△ACE.例1．（2022·山西長治·九年級期末）問題情境：如圖1，在△ABC中，AB＝6，AC＝5，點D，E分別在邊AB，AC上，且．數(shù)學思考：(1)在圖1中，的值為；(2)圖1中△ABC保持不動，將△ADE繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，其它條件不變，連接BD，CE，則（1）中的結(jié)論是否仍然成立？并說明理由；(3)拓展探究：在圖2中，延長BD，分別交AC，CE于點F，P，連接AP，得到圖3，探究∠APE與∠ABC之間有何數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(4)若將△ADE繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到圖4的位置，連接BD，CE，延長BD交CE的延長線于點P，BP交AC于點F，則（3）中的結(jié)論是否仍然成立，若成立，請說明理由；若不成立，請直接寫出∠APE與∠ABC之間的數(shù)量關(guān)系．例2．（2022·山東濟南·八年級期末）某校數(shù)學活動小組探究了如下數(shù)學問題：(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，中，，．點P是底邊BC上一點，連接AP，以AP為腰作等腰，且，連接CQ、則BP和CQ的數(shù)量關(guān)系是______；(2)變式探究：如圖2，中，，．點P是腰AB上一點，連接CP，以CP為底邊作等腰，連接AQ，判斷BP和AQ的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)問題解決：如圖3，在正方形ABCD中，點P是邊BC上一點，以DP為邊作正方形DPEF，點Q是正方形DPEF兩條對角線的交點，連接CQ．若正方形DPEF的邊長為，，求正方形ABCD的邊長．例3．（2022·河南信陽·九年級期末）如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，點D，E分別為AC，BC的中點．△CDE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α（0°≤α≤360°），記直線AD與直線BE的交點為點P．(1)如圖1，當α＝0°時，AD與BE的數(shù)量關(guān)系為______，AD與BE的位置關(guān)系為______；(2)當0°＜α≤360°時，上述結(jié)論是否成立？若成立，請僅就圖2的情形進行證明；若不成立，請說明理由；(3)△CDE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)一周，請直接寫出運動過程中P點運動軌跡的長度和P點到直線BC距離的最大值．例4．（2022·江蘇·無錫市天一實驗學校一模）如圖，在等邊邊長為6，O是中心；在中，，，．將繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)一周．(1)當、分別在、邊上，連結(jié)、，求的面積；(2)設(shè)所在直線與的邊或交于點F，當O、D、E三點在一條直線上，求的長；(3)連結(jié)，取中點M，連結(jié)，的取值范圍為_________．例5．（2022·山東煙臺·中考真題）(1)【問題呈現(xiàn)】如圖1，△ABC和△ADE都是等邊三角形，連接BD，CE．求證：BD＝CE．(2)【類比探究】如圖2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．連接BD，CE．請直接寫出的值．(3)【拓展提升】如圖3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝．連接BD，CE．①求的值；②延長CE交BD于點F，交AB于點G．求sin∠BFC的值．例6.（2023·四川·成都九年級期中）如圖1，已知點G在正方形ABCD的對角線AC上，GE⊥BC，垂足為點E，GF⊥CD，垂足為點F．（1）證明：四邊形CEGF是正方形；（2）探究與證明：將正方形CEGF繞點C順時針方向旋轉(zhuǎn)α角（0°＜α＜45°），如圖2所示，試探究線段AG與BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）拓展與運用：正方形CEGF繞點C順時針方向旋轉(zhuǎn)α角（0°＜α＜45°），如圖3所示，當B，E，F(xiàn)三點在一條直線上時，延長CG交AD于點H，若AG＝9，GH＝3，求BC的長．課后專項訓練1、如圖，AB＝3，AC＝2，BC＝4，AE＝3，AD＝4.5，DE＝6，∠BAD＝20°，則∠CAE的度數(shù)為（）A．10° B．20° C．40° D．無法確定2、如圖，△ABC∽△ADE，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB與DE交于點O，AB＝4，AC＝3，F(xiàn)是DE的中點，連接BD，BF，若點E是射線CB上的動點，下列結(jié)論：①△AOD∽△FOB，②△BOD∽△EOA，③∠FDB+∠FBE＝90°，④BF=56AE，其中正確的是（）A．①② B．③④ C．②③ D．②③④3、如圖，△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝，D、E分別在邊AC、BC上，CD＝1，DE∥AB，將△CDE繞點C旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后點D、E對應(yīng)的點分別為D′、E′，當點E′落在線段AD′上時，連接BE′，此時BE′的長為（）A．2 B．3 C．2 D．34、已知正方形DEFG的頂點F在正方形ABCD的一邊AD的延長線上，連結(jié)AG，CE交于點H，若，，則CH的長為________.5．（2022·浙江國·九年級課時練習）觀察猜想(1)如圖1，在等邊中，點M是邊上任意一點（不含端點B、C），連接，以為邊作等邊，連接，則與的數(shù)量關(guān)系是______．(2)類比探究:如圖2，在等邊中，點M是延長線上任意一點（不含端點C），（1）中其它條件不變，（1）中結(jié)論還成立嗎？請說明理由．(3)拓展延伸：如圖3，在等腰中，，點M是邊上任意一點（不含端點B、C），連接，以為邊作等腰，使頂角．連按．試探究與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．6．（2022湖北·九年級專題練習）如圖，為等邊三角形，D為AC邊上一點，連接BD，M為BD的中點，連接AM．(1)如圖1，若AB＝2+2，∠ABD＝45°，求的面積；(2)如圖2，過點M作與AC交于點E，與BC的延長線交于點N，求證：AD＝CN；(3)如圖3，在（2）的條件下，將沿AM翻折得，連接B'N，當B'N取得最小值時，直接寫出的值．7．（2023·廣西·九年級課時練習）某校數(shù)學活動小組在一次活動中，對一個數(shù)學問題作如下探究：（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，在等邊中，點是邊上任意一點，連接，以為邊作等邊，連接CQ，BP與CQ的數(shù)量關(guān)系是________；（2）變式探究：如圖2，在等腰中，，點是邊上任意一點，以為腰作等腰，使，，連接，判斷和的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）解決問題：如圖3，在正方形中，點是邊上一點，以為邊作正方形，是正方形的中心，連接．若正方形的邊長為5，，求正方形的邊長．8．（2022·河南開封·九年級期末）某數(shù)學興趣小組在學習了尺規(guī)作圖、等腰三角形和相似三角形的有關(guān)知識后，在等腰△ABC中，其中，如圖1，進行了如下操作：第一步，以點A為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交BA的延長線和AC于點E，F(xiàn)，如圖2；第二步，分別以點E，F(xiàn)為圓心，大于EF的長為半徑畫弧，兩弧相交于點D，作射線AD；第三步，以D為圓心，DA的長為半徑畫弧，交射線AE于點G；(1)填空；寫出∠CAD與∠GAD的大小關(guān)系為___；(2)①請判斷AD與BC的位置關(guān)系，并說明理由．②當時，連接DG，請直接寫出___；(3)如圖3，根據(jù)以上條件，點P為AB的中點，點M為射線AD上的一個動點，連接PM，PC，當時，求AM的長．9．（2022·山東濟南·一模）在中與中，，，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)，連接，點分別是的中點，連接．（1）觀察猜想:如圖1，當點與點重合時，與的數(shù)量關(guān)系是__________，位置關(guān)系是__________；（2）類比探究:當點與點不重合時，（1）中的結(jié)論是否成立？如果成立，請僅就圖2的情形給出證明；如果不成立，請說明理由．（3）問題解決在旋轉(zhuǎn)過程中，請直接寫出的面積的最大值與最小值．10．（2022?萊蕪區(qū)一模）在△ACB中，∠ACB＝120°，AC＝BC，點P在AB邊上，AP＝AB，將線段AP繞點P順時針旋轉(zhuǎn)至PD，記旋轉(zhuǎn)角為a，連接BD，以BD為底邊，在線段BD的上方找一點E，使∠BED＝120°，ED＝EB，連接AD、CE．（1）如圖1，當旋轉(zhuǎn)角a＝180°時，請直接寫出線段CE與線段AD的數(shù)量關(guān)系；（2）當0＜a＜180°時，①如圖2，（1）中線段CE與線段AD的數(shù)量關(guān)系是否還成立？并說明理由．②如圖3，當點A、D、E三點共線時，連接CD，判斷四邊形CDBE的形狀，并說明理由．11．（2022·江蘇·九年級課時練習）觀察猜想(1)如圖1，在等邊中，點M是邊上任意一點（不含端點B、C），連接，以為邊作等邊，連接，則與的數(shù)量關(guān)系是______．(2)類比探究:如圖2，在等邊中，點M是延長線上任意一點（不含端點C），（1）中其它條件不變，（1）中結(jié)論還成立嗎？請說明理由．(3)拓展延伸:如圖3，在等腰中，，點M是邊上任意一點（不含端點B、C），連接，以為邊作等腰，使頂角．連按．試探究與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．12、如圖1，在中，，，，點D，E分別為，的中點．繞點C順時針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為（，記直線與直線的交點為點P．（1）如圖1，當時，與的數(shù)量關(guān)系為_________，與的位置關(guān)系為_______；（2）當時，上述結(jié)論是否成立？若成立，請僅就圖2的情形進行證明；若不成立，請說明理由；（3）繞點C順時針旋轉(zhuǎn)一周，請直接寫出運動過程中P點運動軌跡的長度和P點到直線距離的最大值．13、嘗試：如圖①，中，將繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)一定角度得到，點B、C的對應(yīng)點分別為、，連接、，直接寫出圖中的一對相似三角形_______；拓展：如圖②，在中，，，將繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)一定角度得到，點B、C的對應(yīng)點分別為、，連接、，若，求的長；應(yīng)用：如圖③，在中，，，，將繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)過程中，當點B的對應(yīng)點恰好落在的邊所在的直線上時，直接寫出此時點C的運動路徑長．14、問題背景：如圖（1），已知，求證：；嘗試應(yīng)用：如圖（2），在和中，，，與相交于點．點在邊上，，求的值；拓展創(chuàng)新：如圖（3），是內(nèi)一點，，，，，直接寫出的長．15、如圖，四邊形ABCD和四邊形AEFG都是正方形，C，F(xiàn)，G三點在一直線上，連接AF并延長交邊CD于點M．（1）求證：△MFC∽△MCA；（2）求證△ACF∽△ABE；（3）若DM=1，CM=2，求正方形AEFG的邊長．16．（2022?南山區(qū)校級一模）（1）【問題發(fā)現(xiàn)】如圖①，正方形AEFG的兩邊分別在正方形ABCD的邊AB和AD上，連接CF．填空：①線段CF與DG的數(shù)量關(guān)系為；②直線CF與DG所夾銳角的度數(shù)為．（2）【拓展探究】如圖②，將正方形AEFG繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)的過程中，（1）中的結(jié)論是否仍然成立，請利用圖②進行說明．（3）【解決問題】如圖③，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC＝10，O為AC的