百校高三下學(xué)期第四次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2020屆江蘇省百校聯(lián)考高三年級第四次試卷數(shù)學(xué)試題第Ⅰ卷（必做題,共160分）一、填空題（本大題共14小題，每小題5分，共70分，請將答案填寫在答題卷相應(yīng)的位置上.）1.已知集合，則____________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)并集的定義計算即可.【詳解】由集合的并集,知.故答案為：【點睛】本題考查集合的并集運算,屬于容易題.2。已知復(fù)數(shù)滿足(為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)的實部為____________.【答案】【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的概念與復(fù)數(shù)的除法運算計算即可得到答案.【詳解】，所以復(fù)數(shù)的實部為2。故答案為：2【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運算，考查學(xué)生的基本計算能力，是一道基礎(chǔ)題。3。三所學(xué)校舉行高三聯(lián)考，三所學(xué)校參加聯(lián)考的人數(shù)分別為160，240，400，為調(diào)查聯(lián)考數(shù)學(xué)學(xué)科的成績,現(xiàn)采用分層抽樣的方法在這三所學(xué)校中抽取樣本，若在學(xué)校抽取的數(shù)學(xué)成績的份數(shù)為30,則抽取的樣本容量為____________.【答案】【解析】【分析】某層抽取的人數(shù)等于該層的總?cè)藬?shù)乘以抽樣比?！驹斀狻吭O(shè)抽取的樣本容量為x，由已知，，解得。故答案為：【點睛】本題考查隨機抽樣中的分層抽樣，考查學(xué)生基本的運算能力,是一道容易題.4.根據(jù)如圖所示的偽代碼，若輸入的的值為2，則輸出的的值為____________。【答案】【解析】【分析】滿足條件執(zhí)行,否則執(zhí)行.【詳解】本題實質(zhì)是求分段函數(shù)在處的函數(shù)值，當時，。故答案為：1【點睛】本題考查條件語句應(yīng)用，此類題要做到讀懂算法語句,本題是一道容易題.5。某同學(xué)周末通過拋硬幣的方式?jīng)Q定出去看電影還是在家學(xué)習，拋一枚硬幣兩次，若兩次都是正面朝上，就在家學(xué)習，否則出去看電影，則該同學(xué)在家學(xué)習的概率為____________?！敬鸢浮俊窘馕觥俊痉治觥坎捎昧信e法計算古典概型的概率.【詳解】拋擲一枚硬幣兩次共有4種情況，即（正，正），(正，反)，（反，正)，（反，反），在家學(xué)習只有1種情況，即（正，正），故該同學(xué)在家學(xué)習的概率為.故答案：【點睛】本題考查古典概型的概率計算，考查學(xué)生的基本計算能力，是一道基礎(chǔ)題。6.已知數(shù)列滿足,且恒成立，則的值為____________.【答案】【解析】【分析】易得,所以是等差數(shù)列,再利用等差數(shù)列的通項公式計算即可?！驹斀狻坑梢阎?，，因，所以，所以數(shù)列是以為首項,3為公差的等差數(shù)列，故，所以.故答案為:【點睛】本題考查由遞推數(shù)列求數(shù)列中的某項,考查學(xué)生等價轉(zhuǎn)化的能力，是一道容易題.7.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的值為____________.【答案】【解析】【分析】由圖可得的周期、振幅，即可得,再將代入可解得，進一步求得解析式及?！驹斀狻坑蓤D可得，，所以，即，又，即，，又，故，所以，。故答案為:【點睛】本題考查由圖象求解析式及函數(shù)值，考查學(xué)生識圖、計算等能力,是一道中檔題.8。在平面直角坐標系中，雙曲線的焦距為，若過右焦點且與軸垂直的直線與兩條漸近線圍成的三角形面積為,則雙曲線的離心率為____________.【答案】【解析】【分析】利用即可建立關(guān)于的方程.【詳解】設(shè)雙曲線右焦點為,過右焦點且與軸垂直的直線與兩條漸近線分別交于兩點，則,，由已知,,即，所以,離心率.故答案為：【點睛】本題考查求雙曲線的離心率，做此類題的關(guān)鍵是建立的方程或不等式，是一道容易題。9。已知為正實數(shù)，且，則的最小值為____________?！敬鸢浮俊窘馕觥俊痉治觥?，所以有，再利用基本不等式求最值即可?！驹斀狻坑梢阎?,所以，當且僅當,即時，等號成立。故答案為：【點睛】本題考查利用基本不等式求和的最小值問題，采用的是“1"的替換,也可以消元等，是一道中檔題。10.已知函數(shù)，則不等式的解集為____________?！敬鸢浮俊窘馕觥俊痉治觥?，，分類討論即可。【詳解】由已知，，,若，則或解得或，所以不等式的解集為.故答案為：【點睛】本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，涉及到解一元二次不等式,考查學(xué)生的計算能力，是一道中檔題。11。如圖，在一個倒置的高為2的圓錐形容器中，裝有深度為的水，再放入一個半徑為1的不銹鋼制的實心半球后，半球的大圓面、水面均與容器口相平，則的值為____________?！敬鸢浮俊窘馕觥俊痉治觥坑梢阎傻玫綀A錐的底面半徑,再由圓錐的體積等于半球的體積與水的體積之和即可建立方程.【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為,體積為，半球的體積為，水（小圓錐）的體積為,如圖則，所以，,解得，所以,，，由，得，解得.故答案為：【點睛】本題考查圓錐的體積、球的體積的計算，考查學(xué)生空間想象能力與計算能力，是一道中檔題。12。如圖,在梯形中，∥，分別是的中點，若，則的值為___________.【答案】【解析】【分析】建系，設(shè)設(shè),由可得，進一步得到的坐標，再利用數(shù)量積的坐標運算即可得到答案?！驹斀狻恳訟為坐標原點,AD為x軸建立如圖所示的直角坐標系，設(shè)，則，所以，,由，得,即，又，所以，故,,所以.故答案為：2【點睛】本題考查利用坐標法求向量的數(shù)量積，考查學(xué)生的運算求解能力，是一道中檔題。13.函數(shù)滿足，當時，,若函數(shù)在上有1515個零點,則實數(shù)的范圍為___________.【答案】【解析】【分析】由已知，在上有3個根,分，，，四種情況討論的單調(diào)性、最值即可得到答案?！驹斀狻坑梢阎闹芷跒?，且至多在上有4個根,而含505個周期，所以在上有3個根,設(shè)，,易知在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，又，。若時，在上無根，在必有3個根，則，即，此時;若時，在上有1個根，注意到，此時在不可能有2個根，故不滿足；若時，要使在有2個根,只需，解得；若時，在上單調(diào)遞增，最多只有1個零點，不滿足題意；綜上，實數(shù)的范圍為。故答案為：【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點個數(shù)問題,涉及到函數(shù)的周期性、分類討論函數(shù)的零點，是一道中檔題.14。已知圓，直線與圓交于兩點，，若，則弦的長度的最大值為___________.【答案】【解析】【分析】取的中點為M，由可得，可得M在上，當最小時，弦的長才最大.【詳解】設(shè)為的中點，，即,即，，.設(shè)，則，得.所以,.故答案為:【點睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查學(xué)生的邏輯推理、數(shù)形結(jié)合的思想，是一道有一定難度的題。二、解答題（本大題共6小題，共計90分，請在答題紙指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15。如圖,已知在三棱錐中，平面，分別為的中點，且.(1）求證：；（2）設(shè)平面與交于點，求證:為的中點?！敬鸢浮浚?)證明見解析;(2）證明見解析.【解析】【分析】（1)要做證明,只需證明平面即可；(2)易得∥平面，平面,利用線面平行的性質(zhì)定理即可得到∥,從而獲得證明【詳解】證明：（1)因為平面，平面，所以。因為，所以.又因為，平面，平面，所以平面.又因為平面，所以.(2）因平面與交于點,所以平面。因為分別為的中點，所以∥。又因為平面，平面,所以∥平面。又因為平面，平面平面，所以∥，又因為是的中點，所以為的中點。【點睛】本題考查線面垂直的判定定理以及線面平行的性質(zhì)定理，考查學(xué)生的邏輯推理能力，是一道容易題。16.在中，角所對的邊分別為，若，,，且。（1）求角的值；（2)求的最大值?！敬鸢浮浚?）；（2）?！窘馕觥俊痉治觥浚?）由正弦定理可得,再用余弦定理即可得到角C；（2)，再利用求正弦型函數(shù)值域的方法即可得到答案。【詳解】（1）因為，所以。在中，由正弦定理得，所以，即。在中,由余弦定理得,又因為，所以。（2）由（1）得，在中,，所以。因為,所以，所以當,即時,有最大值1，所以的最大值為.【點睛】本題考查正余弦定理解三角形，涉及到兩角差的正弦公式、輔助角公式、向量數(shù)量積的坐標運算，是一道容易題。17。已知橢圓的左頂點為，左、右焦點分別為,離心率為,是橢圓上的一個動點（不與左、右頂點重合），且的周長為6，點關(guān)于原點的對稱點為，直線交于點。（1）求橢圓方程；（2）若直線與橢圓交于另一點,且,求點的坐標?！敬鸢浮浚?）;（2）或【解析】【分析】(1）根據(jù)的周長為，結(jié)合離心率，求出,即可求出方程；(2）設(shè),則，求出直線方程，若斜率不存在，求出坐標，直接驗證是否滿足題意，若斜率存在，求出其方程，與直線方程聯(lián)立,求出點坐標，根據(jù)和三點共線，將點坐標用表示,坐標代入橢圓方程，即可求解?！驹斀狻浚?）因為橢圓的離心率為,的周長為6，設(shè)橢圓的焦距為，則解得，，,所以橢圓方程為。（2）設(shè),則，且，所以的方程為①。若，則的方程為②，由對稱性不妨令點在軸上方，則，，聯(lián)立①，②解得即.的方程為，代入橢圓方程得,整理得，或，。，不符合條件.若，則的方程為，即③。聯(lián)立①，③可解得所以。因為，設(shè)所以,即.又因為位于軸異側(cè)，所以.因為三點共線，即應(yīng)與共線，所以,即,所以，又,所以,解得，所以，所以點的坐標為或.【點睛】本題考查橢圓的標準方程以及應(yīng)用、直線與橢圓的位置關(guān)系，考查分類討論思想和計算求解能力，屬于較難題。18.管道清潔棒是通過在管道內(nèi)釋放清潔劑來清潔管道內(nèi)壁的工具,現(xiàn)欲用清潔棒清潔一個如圖1所示的圓管直角彎頭的內(nèi)壁，其縱截面如圖2所示,一根長度為的清潔棒在彎頭內(nèi)恰好處于位置（圖中給出的數(shù)據(jù)是圓管內(nèi)壁直徑大小，)。（1）請用角表示清潔棒的長；（2）若想讓清潔棒通過該彎頭，清潔下一段圓管，求能通過該彎頭的清潔棒的最大長度.【答案】（1）；（2）?！窘馕觥俊痉治觥浚?）過作的垂線,垂足為,易得，進一步可得；（2)利用導(dǎo)數(shù)求得最大值即可.【詳解】（1）如圖，過作的垂線，垂足為,在直角中,,,所以，同理，.（2）設(shè)，則，令,則，即。設(shè),且，則當時，,所以單調(diào)遞減;當時，，所以單調(diào)遞增,所以當時，取得極小值，所以.因為，所以，又，所以，又，所以，所以,所以，所以能通過此鋼管的鐵棒最大長度為.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在實際問題中的應(yīng)用，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算求解能力,是一道中檔題.19.已知等差數(shù)列和等比數(shù)列的各項均為整數(shù),它們的前項和分別為,且，。(1）求數(shù)列，的通項公式;(2）求；(3）是否存在正整數(shù)，使得恰好是數(shù)列或中的項？若存在，求出所有滿足條件的的值；若不存在,說明理由.【答案】（1）；（2）;(3）存在,1.【解析】【分析】（1）利用基本量法直接計算即可；（2）利用錯位相減法計算;(3），令可得,,討論即可.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，數(shù)列的公比為，因為，所以,即，解得，或(舍去）。所以.（2)，，所以,所以。（3）由（1）可得,,所以.因為是數(shù)列或中的一項，所以，所以，因為，所以，又,則或。當時，有，即，令.則。當時，;當時，，即.由，知無整數(shù)解.當時，有，即存在使得是數(shù)列中的第2項,故存在正整數(shù)，使得是數(shù)列中的項.【點睛】本題考查數(shù)列的綜合應(yīng)用，涉及到等差、等比數(shù)列的通項，錯位相減法求數(shù)列的前n項和,數(shù)列中的存在性問題，是一道較為綜合的題.20。已知函數(shù)（是自然對數(shù)的底數(shù)，）.（1）求函數(shù)的圖象在處的切線方程；（2）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍；（3)若函數(shù)在區(qū)間上有兩個極值點，且恒成立,求滿足條件的的最小值(極值點是指函數(shù)取極值時對應(yīng)的自變量的值)?！敬鸢浮?1）；（2)；（3）.【解析】【分析】(1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義計算即可;（2）在上恒成立，只需，注意到；（3)在上有兩根，令，求導(dǎo)可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以且，，，求出的范圍即可.【詳解】（1）因為，所以，當時，,所以切線方程為，即.(2），.因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，且恒成立，即,所以，即，又，故，所以實數(shù)的取值范圍是.（3）。因函數(shù)在區(qū)間上有兩個極值點，所以方程在上有兩不等實根，即。令，則，由,得，所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增，所以，解得且。又由，所以，且當和時，單調(diào)遞增,當時，單調(diào)遞減,是極值點，此時令,則，所以在上單調(diào)遞減,所以.因為恒成立，所以.若，取，則，所以.令,則，.當時,；當時，。所以，所以在上單調(diào)遞增,所以,即存在使得，不合題意.滿足條件的的最小值為—4?！军c睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及到導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值點，不等式恒成立等知識，是一道難題.第Ⅱ卷(附加題,共40分）選做題：請選定其中兩題作答，每小題10分共計20分，解答時應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟.選修4-2：矩陣與變換21.已知矩陣不存在逆矩陣，且非零特低值對應(yīng)的一個特征向量，求的值.【答案】【解析】【分析】由不存在逆矩陣，可得，再利用特征多項式求出特征值3，0，，利用矩陣乘法運算即可.【詳解】因為不存在逆矩陣,，所以。矩陣的特征多項式為，令，則或，所以，即,所以，所以【點睛】本題考查矩陣的乘法及特征值、特征向量有關(guān)的問題,考查學(xué)生的運算能力，是一道容易題。選修4-4：坐標系與參數(shù)方程22。以平面直角坐標系的原點為極點，軸的正半軸為極軸，且在兩種坐標系中取相同的長度單位,建立極坐標系，已知曲線，曲線(為參數(shù)），求曲線交點的直角坐標。【答案】【解析】【分析】利用極坐標方程與普通方程、參數(shù)方程間的互化公式化簡即可.【詳解】因為，所以，所以曲線的直角坐標方程為.由，得，所以曲線的普通方程為.由，得,所以（舍），所以，所以曲線的交點坐標為?！军c睛】本題考查極坐標方程與普通方程,參數(shù)方程與普通方程間的互化，考查學(xué)生的計算能力，是一道容易題.選修4—5：不等式選講23.已知凸邊形的面積為1，邊長，，其內(nèi)部一點到邊的距離分別為.求證：.【答案】證明見解析【解析】【分析】由已知，易得,所以利用柯西不等式和基本不等式即可證明.【詳解】因為凸邊形的面積為1，所以，所以(由柯西不等式得)（由均值不等式得）【點睛】本題考查利用柯西不等式、基本不等式證明不等式的問題，考查學(xué)生對不等式靈活運用的能力，是一道容易題.必做題：第24題、第25題，每題10分，共計20分,解答時應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.24。如圖,在四棱錐中,底面是直角梯形且∥,側(cè)面為等邊三角形，且平面平面。（1）求平面與平面所成的銳二面角的大??；（2）若，且直線與平面所成角為,求的值.【答案】（1）；（2）。【解析】【分析】（1）分別取的中點為，易得兩兩垂直，以所在直線為軸建立空間直角坐標系，易得為平面的法向量，只需求出平面的法向量為，再利用計算即可；（2）求出，利用計算即可?！驹斀狻浚?）分別取的中點為，連結(jié)。因為∥，所以∥。因為,所以。因為側(cè)面為等邊三角形，所以又因為平面平面，平面平面，平面,所以平面,所以兩兩垂直。以為空間坐標系的原點，分別以所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，因為,則,,。設(shè)平面的法向量為，則，即。取,則，所以。又為平面的法向量，設(shè)平面與平面所成的銳二面角的大小為，則，所以平面與平面所成的銳二面角的大小為。（2)由(1）得，平面的法向量為,所以成.又直線與平面所成角為，所以,即，即,化簡得，所以，符合題意.【點睛】本題考查利用向量坐標法求面面角、線面角，涉及到面面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用，做好此類題的關(guān)鍵是準確寫出點的坐標，是