傳質(zhì)課后習(xí)題解答

[1-1]試說明傳遞現(xiàn)象所遵循的基本原理和基本研究方法。

答:傳遞現(xiàn)象所遵循的基本原理為一個過程傳遞的通量與描述該過程的強(qiáng)度性質(zhì)物理量的梯

度成正比，傳遞的方向?yàn)樵撐锢砹肯陆档姆较颉?/p>

傳遞現(xiàn)象的基本研究方法主要有三種I,即理論分析方法、實(shí)驗(yàn)研究方法和數(shù)值計(jì)算方法。

[1-2]列表說明分子傳遞現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型及其通量表達(dá)式。

分子傳遞現(xiàn)象類型數(shù)學(xué)模型通量表達(dá)式

分子動量傳遞牛頓粘性定律一心

dy

分子熱量傳遞傅立葉導(dǎo)熱定律

分子質(zhì)量傳遞菲克擴(kuò)散定律JA=~DAB編

dy

[1-3]闡述普朗特準(zhǔn)數(shù)、施米特準(zhǔn)數(shù)和劉易斯準(zhǔn)數(shù)的物理意義。

答：普朗特準(zhǔn)數(shù)的物理意義為動量傳遞的難易程度與熱量傳遞的難易程度之比;

施米特準(zhǔn)數(shù)的物理意義為動量傳遞的難易程度與質(zhì)量傳遞的難易程度之比;

劉易斯準(zhǔn)數(shù)的物理意義為熱量傳遞的難易程度與質(zhì)量傳遞的難易程度之比。

【2—1】試寫出質(zhì)量濃度p對時(shí)間的全導(dǎo)數(shù)和隨體導(dǎo)數(shù)，并由此說明全導(dǎo)數(shù)和隨體導(dǎo)數(shù)的物

理意義。

解：質(zhì)量濃度的全導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式為：%=竺+華生+半生+”也,式中［表示時(shí)間

dtotdxdtdydtdzdt

質(zhì)量濃度的隨體導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式為紅=迦+四人+迦“v+迦凡

Dtdtdxdyydz'

全導(dǎo)數(shù)的物理意義為，當(dāng)時(shí)間和空間位置都發(fā)生變化時(shí)，某個物理量的變化速率。

隨體導(dǎo)數(shù)的物理意義為，當(dāng)觀測點(diǎn)隨著流體一起運(yùn)動時(shí)，某個物理量隨時(shí)間和觀測點(diǎn)位

置變化而改變的速率。

［2-2］對于下述各種運(yùn)動情況，試采用適當(dāng)坐標(biāo)系的一般化連續(xù)性方程描述，并結(jié)合下述

具體條件將一般化連續(xù)性方程加以簡化，指出簡化過程的依據(jù)。

⑴在矩形截面管道內(nèi)，可壓縮流體作穩(wěn)態(tài)一維流動；

⑵在平板壁面上不可壓縮流體作穩(wěn)態(tài)二維流動；

⑶在平板壁面上可壓縮流體作穩(wěn)態(tài)二維流動；

(4)不可壓縮流體在圓管中作軸對稱的軸向穩(wěn)態(tài)流動；

⑸不可壓縮流體作球心對稱的徑向穩(wěn)態(tài)流動。

解：⑴對于矩形管道，選用直角坐標(biāo)系比較方便，直角坐標(biāo)系下連續(xù)性方程的一般形式為

明d(uxp)8(uyp)

dtdxdy

由于流動是穩(wěn)態(tài)的，所以迦=0,對于一維流動，假設(shè)只沿x方向進(jìn)行，則”，=(=0

dt)'

于是，上述方程可簡化為酗0=0

dx

⑵對于平板壁面，選用直角坐標(biāo)系比較方便，直角坐標(biāo)系下連續(xù)性方程的一般形式為

啊。)

*Sy+

由于流動是穩(wěn)態(tài)的，所以.=0,對于不可壓縮流體夕=常數(shù)，所以上式可簡化為

配犯du.

―-+―+--=0

dxdydz

由于平板壁面上的流動為二維流動，假設(shè)流動在xoy面上進(jìn)行，即工=0,上式還可以

進(jìn)一步簡化為

皿+”=0

dxdy

⑶對于平板壁面，選用直角坐標(biāo)系比較方便，直角坐標(biāo)系下連續(xù)性方程的一般形式為

dpd(uxp)3(uyp)d(u,p)

dt\_dxdydz

由于流動是穩(wěn)態(tài)的，所以冷。，由于平板壁面上的流動為二維流動，假設(shè)流動在⑷

面上進(jìn)行，即〃一=0,則上式可以簡化為

a30）啊?）

r十一u

dxdy

（4）由于流動是在圓管中進(jìn)行的，故選用柱坐標(biāo)系比較方便，柱標(biāo)系下連續(xù)性方程的一

般形式為

3p?1式一”）??3（一生）=0

dtrdrrdOdz

由于流動是穩(wěn)態(tài)的，所以與=0,對于不可壓縮流體。=常數(shù)，所以上式可簡化為

1a（”）11a”.）］a（生）=0

rdrr80dz

由于僅有軸向流動，所以〃，=坳=0,上式可簡化為

⑸由于流體是做球心對稱的流動，故選用球坐標(biāo)系比較方便，柱球系下連續(xù)性方程的

一般形式為

dp1S1d.1d

^-+—^-（Pr2Mr）+—r-T—3，"sind）+———（叫）=0

dtrorrsin0dursmc/o（p

由于流動是穩(wěn)態(tài)的，所以￡=0,對于不可壓縮流體。=常數(shù)，所以上式可簡化為

If（產(chǎn)sin6＞）+—!—^-（M（,）=o

rdrrsin6oursm0d（p

由于流動是球心對稱的，所以（=羯=0,叫。0,上式可簡化為

1a/2、八

——?M）=0

rdrf

整理得：強(qiáng)+.=0

drr

【2—3】加速度向量可表示為空，試寫出直角坐標(biāo)系中加速度分量的表達(dá)式，并指出何者

DO

為局部加速度的項(xiàng)，何者為對流加速度的項(xiàng)。

解：直角坐標(biāo)系下，速度，，有三個分量，因此加速度也有三個分量，其表達(dá)式

dudiibn、duY

分別為一i?二+wv--+wv+〃_--

Dtdtox3y'dz

、.

Duduxduxduxdux

、.---:

?+U—FUv-+--

DtdtOXSy?dz

Du_du_du.du_du.

~——+u——+u——+以--

Dtdt*dx-5yzdz

表達(dá)式中對時(shí)間的偏導(dǎo)數(shù)為局部加速度項(xiàng)，即分別為犯、也和強(qiáng)；對流加速度

dtdtdt

du*du

項(xiàng)為后面的含速度分量的三項(xiàng)之和，即分別為〃,一+以—+以一、

dxydyzdz

duduQu.du.du,

"，才+”“才+七二v和W++人才。

ox■dydzoxdydz

[2-4]某一流場的速度向量可以下式表述

u(x,y)=5.n-

試寫出該流場隨體加速度向量絲的表達(dá)式。

解：由速度向量的表達(dá)式得：ux=5x,uy=-4y,uz=0

也=5,皿=0,皿=0

dxdydz

8ududu

ov=0,二v二一4,二v=0

dxdydz

四=0,強(qiáng)=0,皿=0

dxdydz

所以

Dudit.dudududu”

—r—-=--Y+?--r+w-v-+-Y-=--+25x

Dtdtdxr-dyv“dzdt

Du、,5wBu、,Hu、,5wdu、,

—^=二v+憶4+〃〃。v=。+16)，

Dtdtdx-dy、dzdt

Du.du.du,dum八

-—---=———-十=〃丫----++wW----7++wW,--~-+w=_U--=0

DFUtd2tXdxr?VdA,yv4'dUrz

[2-5]試參照以應(yīng)力分量形式表示的x方向的運(yùn)動方程(2-55a)

Du8%6TQT.

p——-x=pX+——+—VX—+―X―

Dtdxdydz

的推導(dǎo)過程，導(dǎo)出y方向和z方向的運(yùn)動方程(2-55b)和(2-55c),即

。也="+空+3+3

Dtdxdydz

解：以y方向上的運(yùn)動方程為例進(jìn)行推導(dǎo)，推導(dǎo)過程中采用拉各朗日觀點(diǎn)，在流場中選取一

長、寬、高分別為位,dy,dz的流體微元，固定該流體微元的質(zhì)量，讓此流體微元作

隨波逐流的運(yùn)動，該流體微元的體積和位置隨時(shí)間而變，若該流體微元的密度為“則

其質(zhì)量為d,"=drdydz,根據(jù)牛頓第二定律，該流體微元所受的合外力等于流體微元

的質(zhì)量與運(yùn)動加速度之積，即

dF=dma=p-dxdydz?

在y方向上流體微元所收到的合外力為

Dux

dFv=dma-p-dxdydz-

接下來分析一下y方向上微元體的受力情況，微元體上受到的力有體積力和表面力兩

種，分別用尺和凡來表示。體積力又稱質(zhì)量力，它是在物體內(nèi)部任意一點(diǎn)都起作用的

力，如重力、靜電力、電磁力等，其在本質(zhì)上是一種非接觸力。這里用丫來表示單位

質(zhì)量的流體在y方向上受到的質(zhì)量力。因此，流體微元受到的y方向上的質(zhì)量力為

dFby=pY-dxdydz

下面再來看一下微元體受到的表面力。表面力是流體微元與周圍流體或壁面之間產(chǎn)

生的相互作用力，本質(zhì)上是一種接觸力。單位面積上受到的表面力稱為表面應(yīng)力，在y

方向上流體微元受到的獨(dú)立的表面應(yīng)

力有三個，它們分別為，rtv,1v和

r.,其中第一個下標(biāo)表示與應(yīng)力作用

面相垂直的坐標(biāo)軸，第二個下標(biāo)為應(yīng)力

的作用方向。當(dāng)兩個下標(biāo)相同時(shí)表面應(yīng)

力為壓應(yīng)力，當(dāng)兩個下標(biāo)不同時(shí)表面應(yīng)

力為剪應(yīng)力。下面分別對微元體六個面

上受到的y方向上的表面力進(jìn)行分析。

如右圖所示，在下表面上微元體受

到的表面應(yīng)力為剪應(yīng)力qv,力的作用

面積為dydz,方向?yàn)閥軸的負(fù)方向。因

此在下表面上微元體受到的y方向上的

表面力為：-q,、,dydz；在上表面上微元體受到的表面應(yīng)力為Q+必”，其大小與有

關(guān)，可由乙、,在x+dx處對x一階泰勒展開得到，即二那門二丁一+二士心，力的作用

面積仍為?山，方向?yàn)閥軸的正方向，因此在上表面上微元體受到的），方向上的表面力

為：rvv+^ckdydzo于是，這兩個面上的力使微元體受到的合外力為

dx

dr,

——dxdyd^。

dx

再來看左右兩個表面上流體微元的受力狀況。在左側(cè)表面上流體微元受到的壓應(yīng)力

金,,，力的作用面積為drdz，方向?yàn)閥軸的負(fù)方向。因此在左側(cè)表面上微元體受到的y

方向上的表面力為：-外、dxdz；在右側(cè)表面上微元體受到的表面應(yīng)力為2v+dy,v，其大

dr

小與"”有關(guān),可由在y+dy處對y一階泰勒展開得到，即4+w=陽，+寸?，

力的作用面積仍為dxdz,方向?yàn)椋?，軸的正方向，因此在右側(cè)表面上微元體受到的y方向

上的表面力為：rv,+生±由，dxdz。于是，這兩個面上的力使微元體受到的合外力

dy

dr.

為——drdydz。

辦

最后再來看一下前后兩個表面上流體微元的受力狀況。在后表面上流體微元受到的

應(yīng)力%力的作用面積為dxdy,方向?yàn)閥軸的負(fù)方向。因此在后表面上微元體受到的

y方向上的表面力為：-在前表面上微元體受到的表面應(yīng)力為最其大

小與2有關(guān)，可由2在z+dz處對Z一階泰勒展開得到，即n+d-v=n、十二二dz，

z,3z,yyz,y及

力的作用面積仍為dxd），,方向?yàn)椋S的正方向，因此在右側(cè)表面上微元體受到的y方向

上的表面力為：匚,.+&dz（kdy,于是，這兩個面上的力使微元體受到的合外力

dr

為:^drdydz。

及

因此，微元體六個面上的表面力對微元體產(chǎn)生的合外力為

乙+三+三dxdydz

dxdydz

因此流體微元在y方向上受到的合外力為

風(fēng).，?sj.Duy

dF=pY?ckdydz+dxdydz=p?d/dydz,

ydxdydzDt

將牛頓第二定律的表達(dá)式代入，并整理得

a%a%5r

p—L=pY+^-+^-+^~

Dtdxdydz

上式即為所求證的y方向上的運(yùn)動方程。z方向上的運(yùn)動方程同學(xué)們可以參照上面的過

程自行證之。

[3-1]溫度為20°C的甘油以10kg/s的質(zhì)量流率流過寬度為1m、高度為0.1m的矩形截面

管道，流動已充分發(fā)展，試求

⑴甘油在流道中心處的流速與離中心25mm處的流速；

⑵通過單位管長的壓降；

⑶管壁面處的剪應(yīng)力。

解：已知質(zhì)量流率W=10kg/s；查表得甘油密度〃=1261kg/n?；甘油粘度〃=1.5Pa-s；流道

寬度8=1m；流道高度〃=0.1m；

所以，b=h/2=0.05m；y=0.025m；

w

u—--=---------=0.0793/w/s

pA1261x1x0.1

首先判斷一下流動類型

當(dāng)量直徑d.=4x(lxO」)=oi82m

2x(l+0.1)

Re=必1=0.182x0.0793x1261=12J3<2000所以流動為層流

1.5

在流道中心出的流速:

33

u==-u=-x0.0793=0.119/72/s

max2i加n2

在離流道中心25mm處的流速：

0.025\

=0.0892m/s

0.05)

單位管長的壓降：

△p3x1.5x0.0793,.

---=上產(chǎn)=--------z----=142.7P。/m

Lh20.052

管壁面處的剪應(yīng)力：

r.=一包a=1^2x0.182=6.493P。

4「4

【3—2】流體在兩塊無限大平板間作一維穩(wěn)態(tài)層流。試求截面上等于主體速度%的點(diǎn)距壁

面的距離。又如流體在圓管內(nèi)作一維穩(wěn)態(tài)層流時(shí)，該點(diǎn)與壁面的距離為若干？

解：當(dāng)流體在平板壁面間流動時(shí)，速度分布方程為

當(dāng)截面某處的流速等于主體流速時(shí)，有

由此解得：y=0.577b,此處距壁面的距離為(l—0.577)b=0.423b=0.2116(B為

流道寬度)

當(dāng)流體在圓管中流動時(shí)，速度分布方程為

1-歸=2M0「(I

當(dāng)截面某處的流速等于主體流速時(shí)，有

=2小8

由此解得：r=0.707小此處距壁面的距離為（1—0.707片=0.293彳=0.146。（。為

管徑）

[3-3]某流體以0.15kg/s的質(zhì)量流率沿寬為1m的垂直平壁呈膜狀下降，已知流體的運(yùn)動

粘度為IxlO-4mZ/s,密度為lOOOkg/nf。試求流動穩(wěn)定后形成的液膜厚度。

解：已知質(zhì)量流率w=0.15kg/s；密度0=lOOOkg/n?；運(yùn)動粘度v=IxlOl'/s；板寬B=1m；

傾角夕=90°

先假設(shè)該降膜流動為層流，設(shè)液膜的厚度為3,則

W0.15

U=1.5x10)5

”1)10006

c{3VW?,丫*(3X1X10^X1.5X10^/

又因?yàn)椋?=\----憶=----------------------

(gsin/jJ(9.8lxsin90,

從而解得5=1.66x10-3機(jī)

w?,=1.5X10-4/1.66X10-3=0.0903m/s

然后驗(yàn)算一下雷諾數(shù)：

Re="A=6<30,所以流動為層流，假設(shè)正確。

v

【3—4】試推導(dǎo)不可壓縮流體在圓管中作一維穩(wěn)態(tài)層流時(shí)，管壁面剪應(yīng)力。與主體速度“。的

關(guān)系。

而流體在圓管中流動時(shí)，速度分布方程為

將其代入上式得：/=如

r,

[3-51已知某不可壓縮流體作平面流動時(shí)的速度分量“，=3x,uy=-3y,試求出此情況下

的流函數(shù)。

解：首先判斷一下該速度分布是否滿足連續(xù)性方程，以證明流函數(shù)的存在性。

aa憂

由于義工+吆=3-3=0,所以滿足連續(xù)性方程，即流函數(shù)是存在的。

dxdy

根據(jù)流函數(shù)的定義陋但=L，“，=-0公2，結(jié)合題目給定的已知條件人=3x,

dy>dx

uy=-3y可得:

刖a，y)=3y

Sydx

將上兩式分別積分得

“(x,y)=3xy+f(x),w。,y)=3xy+f(y)

由于，(x)是一個關(guān)于x的函數(shù)或常數(shù)C,而/()，)是一個關(guān)于y的函數(shù)或常數(shù)C,若上

兩式相等，只能是〃x)=/()，)=C,所以此情況下流函數(shù)的表達(dá)式為

“(X,>')=3xy+C

【4一1】常壓下溫度為20℃的水，以5m/s的均勻流速流過一光滑平面表面，試求出由層流

邊界層轉(zhuǎn)變?yōu)橥牧鬟吔鐚訁^(qū)域的臨界距離升值的范圍。

解：已知流速“=5m/s；查表得20℃水的運(yùn)動粘度v=0.1006x1Ofm2/s

由于R%=W，所以Z=R，上，而臨界雷諾數(shù)的范圍為2x10$<R%<3x10，，由

VU

此可求得0.04〃?<xc<0.604"?

【4—2】流體在圓管中流動時(shí)，“流動已經(jīng)充分發(fā)展”的含義是什么？在什么條件下會發(fā)生充

分發(fā)展的層流，又在什么條件下會發(fā)生充分發(fā)展的湍流？

答：流體在圓管中流動時(shí)，“流動已經(jīng)充分發(fā)展”的含義是指邊界層己經(jīng)在管中心處匯合，此

后管截面上的速度分布不再發(fā)生變化。若在邊界層匯合之前，邊界層中的流動為層流，

則邊界層匯合以后的流動就是充分發(fā)展的層流；若在邊界層匯合之前，邊界層中的流動

已經(jīng)發(fā)展為湍流，則邊界層匯合以后的流動就是充分發(fā)展的湍流。

[4-3]常壓下，溫度為30℃的空氣以10m/s的流速流過一光滑平面表面，設(shè)臨界雷諾數(shù)

s

Rexi=3.2x10,試判斷距離平板前緣0.4m及0.8m兩處的邊界層是層流邊界層還是湍流邊

界層？求出層流邊界層相應(yīng)點(diǎn)處的邊界層厚度。

解：已知流速〃=10m/s；查表得30℃空氣的密度0=1.165kg/m3；20℃空氣的粘度"=1.86

X10-5Pas；

在玉=0.4加處，Re=^=2.5X105<3.2X105,所以邊界層為層流邊界層；

1/23

3=5.0^Rev=4x10m=4mm

在x,=0.8m處，依，=玉絲=5.()、1()5〉3.2x105,所以邊界層為湍流邊界層。

[4-4]常壓下，溫度為20℃的空氣以6m/s的流速流過平面表面，試計(jì)算臨界點(diǎn)處的邊界

層厚度、局部阻力系數(shù)以及在該點(diǎn)處通過邊界層截面的質(zhì)量流率。設(shè)R.=5x105。

解：已知流速〃=6m/s；查表得20℃空氣的密度夕=1.205kg/m3；20℃空氣的粘度"=1.81

X105Pas

xupx6x1.205_

因?yàn)镽e”=-y-=81x105-=5x,°>從中解得％=1.25m

臨界點(diǎn)處的邊界層厚度：

精確解：b=5.0xRe「"2=8.8x10-3根=8.8機(jī)〃？

近似解：3=4.64xRe「"2=8.2xl0-3m=8.2mm

局部阻力系數(shù):

精確解：=0.664Re「”2=9.39x1。一

4

近似解：CDx=0.646Re”？=9.13x1(r

西5_

質(zhì)量流率：w=P^xdy=—pubS=0.037/?kgIs

【4一5】常壓下，溫度為40℃的空氣以12m/s的均勻流速流過長度為0.15m、寬度為1m的

光滑平面，試求平板上、下兩面總共承受的曳力。

解：己知流速〃=12m/s；查表得40℃空氣的密度"=1.128kg/n?；40℃空氣的粘度〃=1.91

X10-5Pas；L=0.15m；b=lm

因?yàn)镽e,=幺2=生生!三更=1.06x105<2x105,所以流動為層流

L〃1.91x10-5

平板上、下兩面總共承受的曳力：

-53

2Fd=2x0.646盯即/儲=2x0.646x1xV1.91xl0xl.l28x0.15xl2=0.O963N

[5-1]湍流與層流有何不同？湍流的主要特點(diǎn)是什么？試討論由層流轉(zhuǎn)變?yōu)橥牧鞯倪^程。

答：（D層流與湍流的最大區(qū)別在于流動狀態(tài)不同，流體作層流流動時(shí)，流體中的各個質(zhì)點(diǎn)

都只是在主體流動方向上有運(yùn)動，在其它方向上沒有運(yùn)動，流動是平穩(wěn)的，流體內(nèi)部沒

有漩渦；流體作湍流流動時(shí)，流體質(zhì)點(diǎn)除了在沿主體流動方向上有運(yùn)動以外，在其它方

向上還存在著復(fù)雜的高頻脈動，脈動速度的大小和方向都是無規(guī)律的，因而流動是紊亂

的，同時(shí)湍流流動的流體內(nèi)部存在著大量的漩渦。

（2）與層流相比，湍流具有下面的三個特點(diǎn)：

①流體質(zhì)點(diǎn)在流場的任意空間位置上，流體的流速與壓力等物理量均隨時(shí)間呈高頻隨機(jī)

脈動，質(zhì)點(diǎn)的脈動是湍流最基本的特點(diǎn)；

②由于湍流流體質(zhì)點(diǎn)之間的相互碰撞，使得湍流的流動阻力要遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于層流；

③由于質(zhì)點(diǎn)的高頻脈動與混合，使得在與流動垂直的方向上，流體的速度分布較層流均

勻。

[5-2]試證明湍流運(yùn)動中,脈動量4、匕和p'的時(shí)均量均為零。

證：根據(jù)脈動速度的定義

_

所以脈動速度的時(shí)均值無='dr=見）df=-j//dr-1J。用df=ux-ux=0

同理元=-w；,dr=-(w-u)dr=-?dr--f*wdr=w-?=0

)/Jo,fJO>v'v,Jo,vfJovvyv

u[]〃:df=-1(〃.-u.)dz=-f--[i7.dr=w.-i7.=0

?,Jo-Jo?/JozfJo''c

根據(jù)脈動壓力的定義p'=p-萬

所以脈動壓力的時(shí)均值p'=-['p'dt=-[\P-p)dt=-\'pdt--\'pdt=p-p=O

fJofJOfJofJo

【5一3】流體在圓管中作湍流流動時(shí)，在一定Re范圍內(nèi)，速度分布可用布拉修斯1/7次方

定律表示，即

試證明截面上主體平均流速/與管中心流速“皿的關(guān)系為“。=0.817“,皿。

證：根據(jù)平均流速的定義

對于流體在圓管中的流動“。=5卜u?27rrdr

/\1/7

流體在圓管中作湍流流動時(shí).，速度分布方程為皿=（）,〃）”，將其代入上式

/、1"

令x=,則上面的積分式可變形為

767

u0=2ummx(l-x)(-7x)-dr=14umm￡(x=0.817uroax,由此體平均流速人與管

中心流速“心的關(guān)系得證。

[5-4]在平板壁面上的湍流邊界層中，流體的速度分布方程可用布拉修斯1/7次方定律表

示

=（y/S）”7

試證明該式在壁面附近（即y->0處）不能成立。

證：由于該公式中的b為湍流邊界層的厚度，而在壁面附近（即y-0處）邊界層的流動

為層流，此時(shí)5已不再適用，因此該公式在壁面附近（即yfO處）不能成立。

[5-51溫度為20℃的水，以5nVs的流速流過寬度為1m的平板壁面，試求距平板前緣2m

處的邊界層厚度及水流過2m距離對平板所施加的總曳力。

解：己知流速"=5m/s；查表得20℃水的密度p=998.2kg/m3；20℃水的粘度〃=1.005X

10Pa,s；b—im；L=2m；

首先判斷一下流型：

=Lwp=2x5^9982=993x1()6>3x1()6)所以流動為湍流

3

L〃1.005x10

S=0.376xRe「"5=0。3"

CD=0.072Re/，5=o.oo287

吊=C,"bL=0.00287x鱉心包xlx2=71.62N

4d22

[5-6]不可壓縮流體沿平板壁面作穩(wěn)態(tài)流動，并在平板壁面上形成湍流邊界層，邊界層內(nèi)

為二維流動。若x方向上的速度分布滿足1/7次方定律，試?yán)眠B續(xù)性方程導(dǎo)出y方向上的

速度分量表達(dá)式。

解:由連續(xù)性方嗯+$0可知黑啜

(1)

平板壁面上的湍流邊界層中流體的速度分布的1/7次方定律為

(2)

duv11771dS

將式⑵代入式⑴得首可,。嚴(yán)產(chǎn)Q(3)

上式對y積分可得人=3方半式〃（4）

8Jdx

/\-1/5

平板壁面上的湍流邊界層厚度的表達(dá)式為5=0.376x（Re、產(chǎn)=0.376”'號

.Q/\-1/5.z\—1/5

所以吆=0.376&=03008殳

3/5(5)

dxVvJ5\xvJ

將（5）代入（4）中可得

、-

§1/5=0.0378嗚/7/8

%=段77）劍（63。。8）I3廣

OO

[5-7]20℃的水流過內(nèi)徑為0。6m的水平光滑圓管，已知水的主體流速為20m/s,試求距

離管壁0.02m處的速度、剪應(yīng)力及混合長。

解：已知20℃下水的物性值如下：

^=lxW-3N-s/m2,p=998kg/mi

⑴流動的雷諾數(shù)為：Re==°06*20：998=]]98xl()6>4(X)0,所以為湍流

〃1x10-3

流動的阻力系數(shù)為：/=0.00140+°1,：?=0.0028

Re032

于是，摩擦速度u=ux7/72=20x70.0028/2=0.748ZH/5

而無因次壁面距離/="=?！?*嗎8=1.493x1()4>30,所以距離管壁

'v1.002X106

0.02m處為湍流核心區(qū)。

無因次速度u+=2.5InV+5.5=2.5ln(l.493xlO4)+5.5=29.52

由因?yàn)椤?="*,所以距管壁0.02m處的速度"為

U

u=u+u=29.52x0.748=22.08m/5

（2）由〃*=/P得:距離管壁0.02m處的剪應(yīng)力為

2

TW=（M*）/?=（0.748）2（998）=558.38N/，/

當(dāng)流體在圓管內(nèi)作穩(wěn)態(tài)流動時(shí)，流體內(nèi)部任意一質(zhì)點(diǎn)受力平衡，因此單位體積的流體受

到的流動阻力相等，而流動阻力來自于剪應(yīng)力，因此有

上=常數(shù)，考慮到壁面附近流體所受的剪應(yīng)力有

V

兀町

T-2YL_rw-2L

7ir2-Lr—~7ir：77L

、

r

由此可得T=

3

故距管壁0.02、m處的剪應(yīng)力為

558-381-0^6/2

y=186.13^/m2

(3)將式(5—43)兩側(cè)同乘以“*可得u=2.5?ln_y++5.5〃

兩邊對y+求導(dǎo)數(shù)得：dU=25u

dyy

由于y=\y+,所以》+=人)

uv

,,duduuduup2.5w*

+vd+

6d(—y)>'〃y

根據(jù)普蘭德混合長理論：T=plYU)2

dy

所以普蘭德混合長/為

/=『華尸=產(chǎn)("5=1000462/n

【5一8】標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，20℃的空氣以15m/s的流速流經(jīng)直徑為0.0508m的光滑管，空氣的

密度為1.205kg/m3,運(yùn)動粘度為1.506xl()Tm2/s,范寧摩擦系數(shù)可按/=0.046品-02計(jì)算。對

于充分發(fā)展了的流動，試估算層流內(nèi)層、過渡層及湍流中心的厚度各位若干？

解：已知"=15m/s；空氣的密度p=1.205kg/m3；空氣的運(yùn)動粘度片1.506xl(T5m?/s：d

=0.0508m；

首先計(jì)算一下雷諾數(shù)，以判斷流型

Re=—=°-0508x1^=5.06x104>4000所以流動為湍流

v1.506x10-5

/=().046Re"=5.27x10-3

u=吃”=0.77〃z/s

v

，=5F=9.78X10-5cm=0.0978/nm

u

y.

-4

3m-30-=4.89xl0m=0.489mm

u

3e=d/2—心一或=0S48加

[5-9]在上題情況下，試求壁面、層流內(nèi)層外緣、過渡層外緣以及管中心處的流速和剪應(yīng)

力。

解：(1)在壁面處流速為0,剪應(yīng)力滿足下面的關(guān)系式

f25274°_x1.205x田=0.714Pa

%=5叫-

2

(2)在層流內(nèi)層外緣處，/=5,而此時(shí)

++〃

〃=y=-

u

所以此處流速為“

此處的剪應(yīng)力為T

(3)在過渡層外緣處，/=30,而此時(shí)

M+=5.01n/-3.05=4

u

所以〃=uu+5(5.0In/-3.05)X(5In30-3.05)=10.74"?/s

此處的剪應(yīng)力為

(\…J,(0.0978+0.489)xIO"[

=0.7141-----------------------0.698Pa

0.0508/27

0.0508/210.714,

+

(4)在管中心處y=y—=s-----=1300而此時(shí)

v1.506x10^VI.205

w+=2.51ny++5.5=：

u

所以

工2.5In(+5.5)="巴X(2.5In1300+5.5)=18.03mIs

U=+

1.205

或

由布拉修斯公式得管中心處最大速度

"max——=18.36m/5

0.8170.817

此處的剪應(yīng)力為7=%(1-工r

0

IrJrJ

【6一1］試由傅立葉定律出發(fā)，導(dǎo)出單層筒壁中沿r方向進(jìn)行一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱時(shí)的溫度分布方

程。已知圓筒長度為L;邊界條件為：r=4，7=（；r=r2,7=4。

解：由于單層圓筒壁導(dǎo)熱為軸對稱熱傳遞，因此應(yīng)該選用柱坐標(biāo)下的熱傳導(dǎo)方程：

1STq\d（dT\1d2T82T

，加=丁前［「可+/府+而'

當(dāng)無內(nèi)熱源時(shí)，熱傳導(dǎo)方程可簡化為

15T_1d（132T22T

I菽2余〔'方尸3好+旅

由于導(dǎo)熱為軸對稱，所以2=0;導(dǎo)熱為穩(wěn)態(tài)，所以2=0,當(dāng)圓筒長度可視為無限

8080

長時(shí)m=0

及

這樣，熱傳導(dǎo)方程可進(jìn)一步簡化為2］=o,由于m=o,—=o,故溫度r僅僅

隊(duì)dr）80d6

是/?的函數(shù)，于是T對廠的偏導(dǎo)數(shù)就可以寫成全導(dǎo)數(shù)的形式，即熱傳導(dǎo)方程可以簡化為

對上式積分得：T=c,lnr+c2

將邊界條件，,=4，7=（；弓，丁=與代入得

0=-上4—,c=T——ln^

Inq—In八-2tIn4一In外

所以，單層筒壁的溫度分布方程為

［6-2］有一具有均勻發(fā)熱速率4的球形固體，其半徑為R。球體沿徑向向外對稱導(dǎo)熱。球

表面的散熱速率等于球內(nèi)部的發(fā)熱速率，球表面上維持恒定溫度，不變。試推導(dǎo)球心處的

溫度表達(dá)式。

解：由于是球體導(dǎo)熱，因此應(yīng)該選用球坐標(biāo)下的熱傳導(dǎo)方程

2

15Tq18（25Ty1d（.n8T~\1dT

adtAr2drydr）廠sin9aoi60Jr'sin_6

由于球表面的散熱速率等于球內(nèi)部的發(fā)熱速率，所以為穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱，因此空=0；又因?yàn)?/p>

dt

是球形對稱導(dǎo)熱，即?=0,—=0,于是熱傳導(dǎo)方程可簡化為

de8</>

ilip-1=o

+(1)

2r~drvdr）

由題意可得該方程的邊界條件為

①廠二凡7=7；（球表面上維持恒定溫度，不變）

②/=0,一=0（溫度分布是球形對稱的）

dr

對（1）式分離變量得4戶務(wù)）=-，/“

對上式積分得：/W=-?：+G

dr23

將邊界條件②帶入得：q=o

對上式再次積分得：76

將邊界條件①帶入得：G=4+空

整理得有內(nèi)熱源的球?qū)ΨQ導(dǎo)熱溫度分布方程為

22

T=Tw+^-(R-r

在球心處，廠=0,所以球心處的溫度表達(dá)式為

[6-31有一厚度為0.45m的鋁板，其初始溫度均勻，為500K。突然該鋁板暴露在340K

的介質(zhì)中進(jìn)行冷卻。鋁板衣面與周圍環(huán)境間的對流傳熱系數(shù)a為455W/(n?.K),試計(jì)算鋁

板中心面溫度降至470K時(shí)所需的時(shí)間。已知鋁板的平均導(dǎo)溫系數(shù)“=0.34m%,導(dǎo)熱系數(shù)

A=208W/(m-K)?

解：這是一道無限大的平板非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱類型的問題，首先通過N的大小判斷內(nèi)部熱阻或外

部熱阻是否可以忽略。

已知ft=0.45m；To=5OOK；Tb=340K；T=470K；a=455W/(m2?K)；“=0.34m2/s；2=208

W/(m-K)

mua(V/A)a3/2)455x0.45/2

因?yàn)閎=------------------------------

由于0.1<Bi<100,因此內(nèi)部熱阻和外部熱阻均不可忽略。在這種情況下，溫度只能通

過(6-72)式來求，

TTy-^2sin(2,./)cos(/l,.x)

T*=~I>=e

T()-Th￡4/+sin(A,/)cos(4。

這里x=0(板中心處)。

令川=",上式可變形為：

=ye-^Fo2sin從cos(/z,x/Z)

T0-Tb白4+sin〃,cos4

式中/。=絲

/■

由于上式為一個無窮級數(shù)，為了簡化計(jì)算，先僅取級數(shù)的第一項(xiàng)。于是有：

「JTb=e-”"o2sinMcos(Mx〃)

T0~TbH+sin〃|COSM

將x=0代入得：

T*=T_[=e-M/2疝4

T0-Tb+sin〃|COS〃|

川為超越方程cfg“=奈的第一個根，其取值可以通過試差法來求解

Ctg〃l〃i/Bi

10.6422.033

0.71.1871.423

0.61.4621.219

0.651.3151.321

所以，可取出=0.65,將其代入上式得

7*=7一￡，=470-340=08125=165%。2sin0-65

TQ-Th500-3400.65+sin0.65cos0.65

解得/。=0.65>0.2,因此屬于正規(guī)狀況，所以可以僅取級數(shù)的第一項(xiàng)。

由于F。=