從單元到課時(shí)設(shè)計(jì)策略下的案例分析總體離散程度的估計(jì)專題課件-高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版

從單元到課時(shí)設(shè)計(jì)策略下的案例分析

——總體離散程度的估計(jì)前言

近幾年，核心素養(yǎng)一直是教育界的熱門話題，教育工作者正在努力地讓核心素養(yǎng)落地落實(shí)?！缎抡n標(biāo)》在教學(xué)設(shè)計(jì)和具體實(shí)施方面提出了促進(jìn)學(xué)生發(fā)展的相關(guān)教學(xué)建議，落實(shí)這些建議的重點(diǎn)是實(shí)施主題教學(xué)，即提倡整體教學(xué)觀，從整體把握教學(xué)內(nèi)容、整體設(shè)計(jì)和實(shí)施教學(xué)，進(jìn)行單元設(shè)計(jì)與教學(xué)，促進(jìn)核心素養(yǎng)連續(xù)性和階段性發(fā)展。隨著人們對(duì)單元教學(xué)的研究越來(lái)越多，單元教學(xué)也達(dá)到了前所未有的熱度，紛紛提出了對(duì)單元教學(xué)的看法與建議，例如章建躍博士的“單元——課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)”。前言進(jìn)行單元教學(xué)設(shè)計(jì)及單元教學(xué)，對(duì)于教師和學(xué)生的發(fā)展都有好處。對(duì)于學(xué)生而言，單元教學(xué)能夠?yàn)樗麄兲峁└蟮膶W(xué)習(xí)空間，在此期間養(yǎng)成探究與合作的習(xí)慣，更有利于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)連續(xù)性與階段性發(fā)展；對(duì)于教師而言，單元教學(xué)讓教師們從“單元”角度去整體制定教學(xué)目標(biāo)，考慮教學(xué)內(nèi)容，再具體落實(shí)到每一節(jié)課上，有助于教師提高整體把握數(shù)學(xué)課程與教學(xué)的能力，促進(jìn)教師們的專業(yè)發(fā)展。前言章建躍博士強(qiáng)調(diào)主題、單元教學(xué)是作為此次課改的重點(diǎn)之一的，教師應(yīng)該尤其重視，應(yīng)該充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)的整體性、邏輯的連貫性和思維的系統(tǒng)性，避免碎片化教學(xué)，使數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)真正落實(shí)于數(shù)學(xué)課堂，可以在單元教學(xué)設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)上再進(jìn)行課時(shí)設(shè)計(jì)，并以“平面向量的運(yùn)算”為例給出了示范。單元設(shè)計(jì)策略教學(xué)設(shè)計(jì)策略是為完成教學(xué)目標(biāo)和促進(jìn)學(xué)生發(fā)展的需要，為教學(xué)計(jì)劃和教學(xué)實(shí)施措施等提供方法，側(cè)重于某一個(gè)或某些教學(xué)設(shè)計(jì)的方向，是教師在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，為在教學(xué)過(guò)程中達(dá)到一定的教學(xué)目標(biāo)而采取的相關(guān)教學(xué)方式和行為的導(dǎo)向，對(duì)教學(xué)設(shè)計(jì)具有一定的指導(dǎo)性。教學(xué)設(shè)計(jì)的策略有很多，主要有以發(fā)展核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的策略、數(shù)學(xué)單元教學(xué)導(dǎo)向策略、情境式教學(xué)設(shè)計(jì)策略、問(wèn)題啟發(fā)式教學(xué)設(shè)計(jì)策略、逆向教學(xué)設(shè)計(jì)策略與信息技術(shù)和教學(xué)相融合教學(xué)設(shè)計(jì)策略等。單元設(shè)計(jì)策略一、數(shù)學(xué)單元教學(xué)導(dǎo)向策略數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)要求：應(yīng)該把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，特別是對(duì)內(nèi)容所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法要有深入理解。圍繞真正的數(shù)學(xué)問(wèn)題，開(kāi)展有數(shù)學(xué)含金量的教學(xué)活動(dòng)，促使學(xué)生在獨(dú)立思考的過(guò)程中形成數(shù)學(xué)的思維方式。要突出核心概念的思維建構(gòu)和技能操作過(guò)程，突出數(shù)學(xué)基本思想的領(lǐng)悟過(guò)程，突出數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累過(guò)程。章建躍博士提出：理解數(shù)學(xué)的兩個(gè)關(guān)鍵：要對(duì)數(shù)學(xué)的整體性和一些具有統(tǒng)攝性的“一般觀念”，同一主題內(nèi)容中體現(xiàn)的數(shù)學(xué)整體性，主要包括一個(gè)內(nèi)容不同認(rèn)識(shí)層次、不同角度認(rèn)識(shí)之間內(nèi)在的一致性、關(guān)聯(lián)性。單元設(shè)計(jì)策略本次課改重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)的單元——課時(shí)教學(xué)正是建立在這兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的基礎(chǔ)上。單元-課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)是指，在課堂教學(xué)前要先進(jìn)行單元教學(xué)設(shè)計(jì),對(duì)本單元內(nèi)容及其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法、本單元著重培養(yǎng)的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)、本單元的主要學(xué)習(xí)難點(diǎn)等作出全面分析。再將本單元內(nèi)容按知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過(guò)程、學(xué)生的認(rèn)知過(guò)程分解到課時(shí)，同時(shí)將相應(yīng)的單元目標(biāo)分解為課時(shí)目標(biāo)．單元設(shè)計(jì)策略二、核心素養(yǎng)發(fā)展導(dǎo)向策略新課標(biāo)中一項(xiàng)非常重要的變化就是增加了學(xué)科核心素養(yǎng)，這是學(xué)生應(yīng)該通過(guò)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用逐漸形成的數(shù)學(xué)關(guān)鍵思想和能力，是高度概括化的數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)。學(xué)生在學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)課程的過(guò)程中，主要可以發(fā)展數(shù)據(jù)分析、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)。單元設(shè)計(jì)策略三、情境式教學(xué)設(shè)計(jì)策略情境式教學(xué)設(shè)計(jì)將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與生活情境相結(jié)合，在典型的情境中進(jìn)行教學(xué)，學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)產(chǎn)生于生活也應(yīng)用于生活，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣、情緒和代入感。統(tǒng)計(jì)的情境往往比較復(fù)雜，可以在復(fù)雜的真實(shí)情境中，將實(shí)際問(wèn)題抽象成統(tǒng)計(jì)問(wèn)題，學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)分析方法，建立統(tǒng)計(jì)模型，從而解決實(shí)際問(wèn)題。數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價(jià)值蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)內(nèi)容之中。其實(shí)現(xiàn)途徑：以數(shù)學(xué)知識(shí)技能為載體，創(chuàng)設(shè)符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的問(wèn)題情境，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考、自主探究、合作交流，在獲得“四基”、提高“四能”的過(guò)程中，形成數(shù)學(xué)的思維方法，培養(yǎng)理性思維和科學(xué)精神，促進(jìn)學(xué)生的智力發(fā)展。單元設(shè)計(jì)策略四、問(wèn)題啟發(fā)式教學(xué)設(shè)計(jì)策略章建躍博士講，探索基于情境、問(wèn)題導(dǎo)向的互動(dòng)式、啟發(fā)式、探究式、體驗(yàn)式等課堂教學(xué)的力度不夠，方法不多；課堂教學(xué)效率有待提高，學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力有待加強(qiáng)。而問(wèn)題啟發(fā)式教學(xué)設(shè)計(jì)的內(nèi)涵：教師通過(guò)精心準(zhǔn)備的問(wèn)題或問(wèn)題串進(jìn)行啟發(fā)式教學(xué)，結(jié)合學(xué)生的實(shí)際情況，并捕捉恰當(dāng)?shù)膯l(fā)時(shí)機(jī)，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)探索與發(fā)現(xiàn)，調(diào)動(dòng)積極的思維活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生的自覺(jué)性和創(chuàng)造性思維的意識(shí)，發(fā)展獨(dú)立思考和合作學(xué)習(xí)相結(jié)合的能力。數(shù)學(xué)教學(xué)中的啟發(fā)式教學(xué)，旨在追求讓學(xué)生能自覺(jué)、主動(dòng)地思考和探索，并培養(yǎng)學(xué)生發(fā)展自身和追求進(jìn)步的強(qiáng)烈要求和迫切愿望。一、內(nèi)容和內(nèi)容解析1．內(nèi)容：極差、方差和標(biāo)準(zhǔn)差的概念和統(tǒng)計(jì)含義，總體方差或標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)。2．內(nèi)容解析：內(nèi)容的本質(zhì)：在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，為了了解一組數(shù)據(jù)的特征，我們可以從這組數(shù)據(jù)的取值規(guī)律、集中趨勢(shì)和離散程度等角度進(jìn)行研究。一組數(shù)據(jù)的離散程度可以反應(yīng)這組數(shù)據(jù)的波動(dòng)情況或穩(wěn)定性?？坍?huà)一組數(shù)據(jù)離散程度的統(tǒng)計(jì)量有很多，但是最常用的是極差、方差和標(biāo)準(zhǔn)差。

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析本節(jié)《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)教科書(shū)-必修二（人教A版）第九章《9.2.4總體離散程度的估計(jì)》，本節(jié)課通過(guò)對(duì)反映樣本數(shù)據(jù)離散程度的估計(jì)量極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差的回顧，進(jìn)一步研究和學(xué)習(xí)用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征以及初步應(yīng)用，有利于進(jìn)一步完善對(duì)統(tǒng)計(jì)學(xué)認(rèn)識(shí)的系統(tǒng)性，加深對(duì)統(tǒng)計(jì)學(xué)思想方法的理解。從而發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

極差是一種比較簡(jiǎn)單的刻畫(huà)方式，它反應(yīng)了一組數(shù)據(jù)的取值范圍。極差只用了這組數(shù)據(jù)中最大與最小兩個(gè)數(shù)據(jù)的信息，對(duì)其他數(shù)據(jù)的取值范圍沒(méi)有涉及，所以極差包含的信息量非常少；方差是運(yùn)用平均距離的思想來(lái)刻畫(huà)一組數(shù)據(jù)的離散程度，它反應(yīng)了各個(gè)數(shù)據(jù)聚集于平均數(shù)周圍的程度。方差越大，表明該組數(shù)據(jù)在平均數(shù)的周圍越分散；方差越小，表明該組數(shù)據(jù)越集中；方差的單位是原始數(shù)據(jù)單位的平方，與原始數(shù)據(jù)不一致，所以，對(duì)方差進(jìn)行開(kāi)方，取其算術(shù)平方根得到標(biāo)準(zhǔn)差。標(biāo)準(zhǔn)差的單位與原始數(shù)據(jù)的單位相同，其意義與方差一樣。一、內(nèi)容和內(nèi)容解析假設(shè)有兩組數(shù)據(jù)，而且已知每組數(shù)據(jù)的觀測(cè)個(gè)數(shù)、平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差（或方差），可以通過(guò)它們直接計(jì)算兩組數(shù)據(jù)合并后全部數(shù)據(jù)的方差，從而大大提高計(jì)算效率。如果一組數(shù)據(jù)是總體中全部個(gè)體的觀測(cè)值，那么這組數(shù)據(jù)的方差、標(biāo)準(zhǔn)差和極差就稱為總體的方差、標(biāo)準(zhǔn)差和極差。如果這組數(shù)據(jù)是樣本觀測(cè)值，那么這組數(shù)據(jù)的方差、標(biāo)準(zhǔn)差和極差就是樣本的方差、標(biāo)準(zhǔn)差和極差。與用樣本均值估計(jì)總體均值的思想類似，可以用樣本方差、標(biāo)準(zhǔn)差和極差估計(jì)總體的方差、標(biāo)準(zhǔn)差和極差。一、內(nèi)容和內(nèi)容解析蘊(yùn)含的思想和方法：通過(guò)類比的方法，與用樣本均值估計(jì)總體均值的思想類似，可以用樣本方差、標(biāo)準(zhǔn)差和極差估計(jì)總體的方差、標(biāo)準(zhǔn)差和極差；

數(shù)據(jù)分析是統(tǒng)計(jì)的核心，通過(guò)“差”、“絕對(duì)值”、“平方”三種運(yùn)算對(duì)兩個(gè)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，體驗(yàn)方差概念的形成過(guò)程，以及用樣本的數(shù)字特征去估計(jì)總體的統(tǒng)計(jì)思想。在本課時(shí)的設(shè)計(jì)中，筆者對(duì)“方差”概念的形成引入了一個(gè)連“平均距離”都相等的例子，目的是想突出知識(shí)與概念的生成過(guò)程；一、內(nèi)容和內(nèi)容解析蘊(yùn)含的思想和方法：本節(jié)內(nèi)容主要是以隨機(jī)樣本的數(shù)字特征（極差、方差標(biāo)準(zhǔn)差）去估計(jì)總體對(duì)應(yīng)的數(shù)字特征或取值規(guī)律，基本思想是替代原理，直覺(jué)上學(xué)生是比較容易接受的，這個(gè)定理保證隨著樣本量的增加，隨機(jī)樣本的數(shù)據(jù)特征趨近總體的數(shù)據(jù)特征；本節(jié)內(nèi)容在發(fā)展學(xué)生的數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算以及數(shù)學(xué)分析等核心素養(yǎng)方面有著重要的作用，尤其是在發(fā)展數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)上有著不可替代的作用。一、內(nèi)容和內(nèi)容解析蘊(yùn)含的思想和方法：本課時(shí)設(shè)計(jì)了“3個(gè)問(wèn)題”、“16個(gè)追問(wèn)”、“10次師生活動(dòng)”，其中多數(shù)都是對(duì)數(shù)據(jù)的分析。而“用樣本的極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)總體的極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差”本身就是一種典型的建模思想。在“用兩組樣本數(shù)據(jù)去估計(jì)合成后數(shù)據(jù)”的過(guò)程需要學(xué)生由較強(qiáng)的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，也能培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算素養(yǎng)等。我們對(duì)統(tǒng)計(jì)的考查研究也可以發(fā)現(xiàn)：統(tǒng)計(jì)推斷不僅是計(jì)算統(tǒng)計(jì)量的大小，更重要的是要會(huì)對(duì)計(jì)算得出的樣本的數(shù)字特征去對(duì)總體進(jìn)行估計(jì)，能通過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)的分析為合理決策提供一些依據(jù)，考查樣本估計(jì)總體的統(tǒng)計(jì)思想。一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

數(shù)學(xué)建模：在具體情境中運(yùn)用極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差

邏輯推理：運(yùn)用極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差進(jìn)行推斷

數(shù)學(xué)運(yùn)算：極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算

數(shù)據(jù)分析：運(yùn)用極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差分析判斷

知識(shí)的上下位關(guān)系：抽樣方法、統(tǒng)計(jì)圖表，用平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、百分位數(shù)等統(tǒng)計(jì)量刻畫(huà)集中趨勢(shì)是本節(jié)課的上位知識(shí)。本節(jié)內(nèi)容在此基礎(chǔ)上，提供了一種更加科學(xué)而有效的方法，克服了前述統(tǒng)計(jì)量的弊端，是本單元內(nèi)容的高潮與結(jié)束。而借助具體情境求離散型隨機(jī)變量的期望與方差是下位知識(shí)，在“選擇性必修第三冊(cè)第七章“7.3”中介紹。一、內(nèi)容和內(nèi)容解析一、內(nèi)容和內(nèi)容解析3.教學(xué)重點(diǎn)理解離散程度參數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義，用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征；已知兩組數(shù)據(jù)的觀測(cè)個(gè)數(shù)、平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差或方差時(shí)，求兩組數(shù)據(jù)合并后所有數(shù)據(jù)的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算方法與思想。4.教學(xué)難點(diǎn)①“平均距離”與“方差”概念的形成過(guò)程；②已知分層抽樣中的各層平均數(shù)與方差估計(jì)總體平均數(shù)與方差的統(tǒng)計(jì)意識(shí)與方法。二、教學(xué)目標(biāo)和目標(biāo)解析1.教學(xué)目標(biāo)①通過(guò)經(jīng)歷對(duì)兩組數(shù)據(jù)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、極差的運(yùn)算過(guò)程，能根據(jù)這些統(tǒng)計(jì)量做出基本的判斷，同時(shí)針對(duì)具體情境學(xué)會(huì)提出新的問(wèn)題，發(fā)展學(xué)生“提出問(wèn)題并解決問(wèn)題”的能力，體會(huì)將“平均距離”演變成“方差”刻畫(huà)離散程度的方法，在眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)都相同時(shí)，求樣本數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差，甚至連“平均距離”都相同時(shí)，會(huì)比較絕對(duì)值和平方這兩種運(yùn)算刻畫(huà)離散程度的優(yōu)勢(shì)。②結(jié)合“問(wèn)題一”與“練習(xí)”兩個(gè)實(shí)例，能用樣本估計(jì)總體的離散程度參數(shù)（標(biāo)準(zhǔn)差、方差、極差），理解離散程度參數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義，感二、教學(xué)目標(biāo)和目標(biāo)解析1.教學(xué)目標(biāo)受并概括出用樣本的數(shù)據(jù)特征估計(jì)總體離散程度的方法，培養(yǎng)“用樣本估計(jì)總體”的統(tǒng)計(jì)推斷思想。③經(jīng)歷兩組數(shù)據(jù)各自的樣本量、平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差（方差）計(jì)算兩組數(shù)據(jù)合并后所有數(shù)據(jù)的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差（方差）的過(guò)程，能用樣本數(shù)據(jù)的方差和標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)總體的方差和標(biāo)準(zhǔn)差，體會(huì)分層隨機(jī)抽樣在總體樣本估計(jì)中的重要意義，發(fā)展由分層隨機(jī)抽樣得出的多組樣本數(shù)據(jù)估計(jì)總體的能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。二、教學(xué)目標(biāo)和目標(biāo)解析2.目標(biāo)解析達(dá)成上述目標(biāo)的標(biāo)志是：①知道極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差可以刻畫(huà)數(shù)據(jù)離散程度，反應(yīng)數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性；能用平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)和極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行比較和評(píng)價(jià)；能用平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差描述數(shù)據(jù)的取值范圍；知道多數(shù)數(shù)據(jù)在平均數(shù)減去兩倍標(biāo)準(zhǔn)差與平均數(shù)加上兩倍標(biāo)準(zhǔn)差的范圍內(nèi)。②對(duì)于通過(guò)實(shí)驗(yàn)、簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣等途徑獲得的樣本數(shù)據(jù)，會(huì)計(jì)算樣本方差和標(biāo)準(zhǔn)差；對(duì)于兩組數(shù)據(jù)匯總得到的數(shù)據(jù)，能通過(guò)兩組數(shù)據(jù)各自的樣本量、平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差（方差）計(jì)算兩組數(shù)據(jù)合并后所有數(shù)據(jù)的平二、教學(xué)目標(biāo)和目標(biāo)解析2.目標(biāo)解析均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差（方差）。能用樣本數(shù)據(jù)的方差和標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)總體的方差和標(biāo)準(zhǔn)差，在這個(gè)過(guò)程中體會(huì)樣本估計(jì)總體的思想。學(xué)生在初中階段經(jīng)歷了收集、整理、描述和分析數(shù)據(jù)的活動(dòng)，理解了平均數(shù)的意義，能計(jì)算中位數(shù)、眾數(shù)、加權(quán)平均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差，了解中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)等統(tǒng)計(jì)量描述數(shù)據(jù)集中優(yōu)勢(shì)，知道了可以通過(guò)樣本平均數(shù)、樣本方差推斷總體平均數(shù)、總體方差，體會(huì)方差刻畫(huà)數(shù)據(jù)離散程度。二、教學(xué)目標(biāo)和目標(biāo)解析2.目標(biāo)解析在高一，通過(guò)學(xué)習(xí)第一節(jié)“隨機(jī)抽樣”與第二節(jié)“用樣本估計(jì)總體”之“總體取值規(guī)律的統(tǒng)計(jì)”、“總體百分位數(shù)的估計(jì)”與“總體集中趨勢(shì)的估計(jì)”，學(xué)生已經(jīng)進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)收集和整理的方法；能夠根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的特點(diǎn)，選擇恰當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)圖表對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行可視化描述；能合理地使用統(tǒng)計(jì)圖表并理解其重要性；能用極差、平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、百分位數(shù)等樣本數(shù)字特征去估計(jì)總體的集中趨勢(shì)。通過(guò)初、高中統(tǒng)計(jì)的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)一定的統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)，掌握了基本抽樣方法，會(huì)計(jì)算平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、百分位數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差等二、教學(xué)目標(biāo)和目標(biāo)解析2.目標(biāo)解析相關(guān)樣本的數(shù)字特征。但要達(dá)成本課時(shí)的三個(gè)目標(biāo)，還需解決以下問(wèn)題：

（1）樣本數(shù)據(jù)處理時(shí)為什么用“平方”而不是用“絕對(duì)值”？（2）方差計(jì)算時(shí)為什么要取平均數(shù)？（3）有了方差為什么還要引進(jìn)標(biāo)準(zhǔn)差？這一系列問(wèn)題都需要學(xué)生去經(jīng)歷和探索，而不是停留在求方差、標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算上。教師需要?jiǎng)?chuàng)設(shè)條件，拉長(zhǎng)“平均距離”與“方差”概念的形成過(guò)程，真正讓學(xué)生“知其然知其所以然”，激活學(xué)生思維，培養(yǎng)學(xué)生“用樣本的數(shù)字特征去估計(jì)總體的數(shù)字特征”的意識(shí)。三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析（一）概念教學(xué)重在生成章建躍博士說(shuō)：沒(méi)有“過(guò)程”=沒(méi)有“思想”，沒(méi)有“過(guò)程”的教學(xué)，因?yàn)槿狈?shù)學(xué)思想方法為紐帶，概念間的關(guān)系無(wú)法認(rèn)識(shí)，聯(lián)系也難以建立，導(dǎo)致學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)缺乏整體性，其可利用性、可辨別性和穩(wěn)定性等“功能指標(biāo)”都會(huì)大打折扣。而數(shù)學(xué)思想方法孕育于知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過(guò)程中。“思想”是概念的靈魂，是“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”的源泉，是從技能到能力的橋梁；“過(guò)程”是“思想”的載體，是領(lǐng)悟概念本質(zhì)的平臺(tái)，是培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力的土壤。所以，概念教學(xué)非常重要，而概念教學(xué)的核心是“概括”：將凝結(jié)在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的思維活動(dòng)，以若干典型具體事三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析（一）概念教學(xué)重在生成例為載體，引導(dǎo)學(xué)生展開(kāi)分析各事例的屬性、抽象概括共同本質(zhì)屬性、歸納得出數(shù)學(xué)概念等思維活動(dòng)而獲得概念。數(shù)學(xué)教學(xué)要“講情境、講思想、講應(yīng)用”。概念教學(xué)則要強(qiáng)調(diào)讓學(xué)生經(jīng)歷概括的過(guò)程。一個(gè)好例子勝過(guò)一千條說(shuō)教。概念教學(xué)必須關(guān)注到學(xué)生的感受，這樣才能使教學(xué)預(yù)設(shè)（教學(xué)設(shè)計(jì)）成為教學(xué)實(shí)踐的有效線索。筆者在進(jìn)行教材分析時(shí)發(fā)現(xiàn)：前幾節(jié)課我們用平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)研究一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，根據(jù)對(duì)這些上位內(nèi)容的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)具備“極差、眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)這些統(tǒng)計(jì)量在統(tǒng)計(jì)推斷中的作用”認(rèn)三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析（一）概念教學(xué)重在生成識(shí)，并根據(jù)這些統(tǒng)計(jì)量做出基本的統(tǒng)計(jì)推斷的能力基礎(chǔ)，但在諸多實(shí)際問(wèn)題中，僅憑集中趨勢(shì)有時(shí)不能使我們做出有效決策，這時(shí)我們需要引進(jìn)統(tǒng)計(jì)學(xué)中新的數(shù)字特征來(lái)做出決策，在有些“用樣本估計(jì)總體”案例中，兩組數(shù)據(jù)甚至連“平均距離”也是一致的，其實(shí)用“平均距離”也不足以刻畫(huà)總體估計(jì)。而教材這樣敘述：因此，我們可以通過(guò)這兩組射擊成績(jī)與它們的平均成績(jī)的“平均距離”來(lái)度量成績(jī)的波動(dòng)幅度。三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析（一）概念教學(xué)重在生成假設(shè)一組數(shù)據(jù)是，用表示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)。我們用每個(gè)數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差的絕對(duì)值作為“距離”，即作為到的“距離”，可以得到這組數(shù)據(jù)的平均距離為，為了避免式中含有絕對(duì)值，通常改用平方來(lái)代替，即我們稱這個(gè)式子為這組數(shù)據(jù)的方差。教材這樣敘述，表明：“平均距離”能夠完成刻畫(huà)兩組數(shù)據(jù)的離散程度，僅僅是“為了避免式中含有絕對(duì)值”而“改用平方來(lái)代替”。其實(shí)當(dāng)“平均距離”相等時(shí)，兩組數(shù)據(jù)的離散程度也不一定一樣，上面兩三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析（一）概念教學(xué)重在生成組數(shù)據(jù)的“平均距離”分別為1.6和0.8。我們可以構(gòu)造下列兩組數(shù)據(jù)：甲：32465乙：14447可以計(jì)算得出兩組數(shù)據(jù)的平均距離都是1.2，而方差卻分別是2和3.6?？梢?jiàn)，甲、乙兩組數(shù)據(jù)的“平均距離”相等，但乙組數(shù)據(jù)的離散程度比甲大，反之，方差小，這組數(shù)據(jù)的“平均距離”未必也小。教材定義“平均距離”是必要的，但“為了避免式中含有絕對(duì)值”而“改用平方三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析（一）概念教學(xué)重在生成來(lái)代替”形成方差公式，其實(shí)這里我們可以探究一下深層次原因。“平均距離”至是影響方差的一個(gè)因素，還有一個(gè)因素是各個(gè)“距離”與“平均距離”的集中程度。從另一個(gè)角度來(lái)講，對(duì)于“總體離散程度的估計(jì)”，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2019年7月第1版）的要求是結(jié)合實(shí)例，能用樣本估計(jì)總體的離散程度（標(biāo)準(zhǔn)差、方差、極差），理解離散程度參數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義。由于人教版《義務(wù)教育教科書(shū)·數(shù)學(xué)》在“數(shù)據(jù)的波動(dòng)程度”內(nèi)容中，直接告訴“方差”公式刻畫(huà)數(shù)據(jù)的波動(dòng)程度，至于為什么能用“方差”三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析（一）概念教學(xué)重在生成刻畫(huà)數(shù)據(jù)的波動(dòng)程度，也就是如何“理解離散程度參數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義”，則是高中階段應(yīng)該解決的問(wèn)題，也是對(duì)初中“統(tǒng)計(jì)”內(nèi)容的擴(kuò)展和深化，體現(xiàn)“認(rèn)識(shí)的螺旋上升”。所以，在進(jìn)行本課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，我遵循由特殊到一般的思想，引入了“問(wèn)題一”這兩組情境數(shù)據(jù)，我覺(jué)得可以有效、更好地幫助對(duì)“方差”概念形成的理解，更好明白“方差”在統(tǒng)計(jì)中的含義。三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析（二）突破數(shù)學(xué)運(yùn)算障礙在大數(shù)據(jù)時(shí)代，有時(shí)需要將不同來(lái)源的數(shù)據(jù)進(jìn)行整合，針對(duì)數(shù)據(jù)多，計(jì)算量大的實(shí)際問(wèn)題，可以采用分步計(jì)算的方法，先分別處理不同來(lái)源的數(shù)據(jù)，再計(jì)算所有數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果。在分層隨機(jī)抽樣中，每層得到的調(diào)查數(shù)據(jù)作為一個(gè)組，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了已知每組數(shù)據(jù)的均值和樣本量，計(jì)算兩組數(shù)據(jù)合并后所有數(shù)據(jù)總均值的方法——加權(quán)平均，但總方差的計(jì)算需要知道每組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)、平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差。在推導(dǎo)總方差的計(jì)算公式時(shí)，需要用符號(hào)對(duì)樣本進(jìn)行表示，通過(guò)代數(shù)變形進(jìn)行推導(dǎo)，其過(guò)程比較復(fù)雜。學(xué)生在初中僅會(huì)計(jì)算簡(jiǎn)單數(shù)據(jù)的方差，對(duì)這類問(wèn)題未曾接觸，三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析（二）突破數(shù)學(xué)運(yùn)算障礙同時(shí)學(xué)生對(duì)大量復(fù)雜的數(shù)學(xué)符號(hào)存在認(rèn)知障礙，即使是計(jì)算能力強(qiáng)的學(xué)生也會(huì)覺(jué)得困難，所以可以通過(guò)課前預(yù)習(xí)、師生共同經(jīng)歷、學(xué)生課后反思等方式結(jié)合教學(xué)。同時(shí)在教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)該盡量多用語(yǔ)言（符號(hào)代表的統(tǒng)計(jì)意義）對(duì)公式的含義進(jìn)行解釋，幫助學(xué)生逐步適應(yīng)復(fù)雜的數(shù)學(xué)符號(hào)。基于以上分析,筆者將本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)設(shè)計(jì)為：理解離散程度參數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義，用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征；三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析（二）突破數(shù)學(xué)運(yùn)算障礙已知兩組數(shù)據(jù)的觀測(cè)個(gè)數(shù)、平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差或方差時(shí)，兩組數(shù)據(jù)合并后所有數(shù)據(jù)的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算方法與思想。將教學(xué)難點(diǎn)設(shè)計(jì)為：“平均距離”與“方差”概念的形成過(guò)程；已知分層抽樣中的各層平均數(shù)與方差估計(jì)總體平均數(shù)與方差的統(tǒng)計(jì)意識(shí)與方法。本課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)遵循從特殊到一般，從局部到整體的原則,以問(wèn)題驅(qū)動(dòng)教學(xué),問(wèn)題設(shè)置層層深入,首先引入人教版第209頁(yè)“問(wèn)題3”的改三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析（二）突破數(shù)學(xué)運(yùn)算障礙編題，通過(guò)“平均距離”也不能刻畫(huà)數(shù)據(jù)離散程度，引導(dǎo)學(xué)生思考“當(dāng)利用平均距離不能刻畫(huà)數(shù)據(jù)離散程度時(shí)怎么辦”,從而攻克“利用方差來(lái)解決數(shù)據(jù)離散程度的刻畫(huà)”這個(gè)難點(diǎn)。而課本的“問(wèn)題三”只是作為一道練習(xí)題讓學(xué)生鞏固，突出與強(qiáng)調(diào)“概念”的生成過(guò)程。再由師生一起推導(dǎo)人教版第212頁(yè)例6中方差，展示有問(wèn)題的學(xué)生作業(yè),啟發(fā)學(xué)生探討“已知兩組數(shù)據(jù)的觀測(cè)個(gè)數(shù)、平均數(shù)和方差時(shí)，求兩組數(shù)據(jù)合并后所有數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差”的計(jì)算方法。教師總結(jié)提煉，升華本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容。四、教學(xué)支持條件分析本節(jié)課需要運(yùn)用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)軟件計(jì)算方差，應(yīng)盡量讓學(xué)生學(xué)會(huì)使用統(tǒng)計(jì)軟件進(jìn)行計(jì)算。為了有效實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)，針對(duì)問(wèn)題診斷分析的結(jié)果，筆者對(duì)教材第209頁(yè)“問(wèn)題三”進(jìn)行了改編，拉長(zhǎng)“平均距離”與“方差”概念的形成過(guò)程五、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)（一）極差、方差和標(biāo)準(zhǔn)差的概念引言：同學(xué)們，平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)為我們提供了一組數(shù)據(jù)“中心位置”的重要信息，可以描述一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，但是，有時(shí)僅僅知道“中心位置”不足以讓我們做出有效的決策，我們需要借助統(tǒng)計(jì)學(xué)中另外的數(shù)字特征來(lái)做出決策，請(qǐng)看下面的案例。5.1融入情境，體驗(yàn)“平均距離”教師活動(dòng)：前幾節(jié)課我們用平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)研究一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，但僅憑集中趨勢(shì)有時(shí)不能使我們做出有效決策，下面來(lái)看兩位射手射靶10次的數(shù)據(jù)。五、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)問(wèn)題一：有兩位射擊運(yùn)動(dòng)員在一次射擊實(shí)驗(yàn)中各射靶10次，每次命中的環(huán)數(shù)如下：甲：8686767688乙：9578768677追問(wèn)1：如果你是教練，你如何對(duì)兩位運(yùn)動(dòng)員的射擊情況做出評(píng)價(jià)？要從甲、乙兩名選手中選拔一名參加射擊比賽？你應(yīng)當(dāng)如何選擇？設(shè)計(jì)意圖：回顧舊知識(shí)，開(kāi)門見(jiàn)山地拋出問(wèn)題。此題是人教A版教材《數(shù)學(xué)》（必修第二冊(cè)）第209頁(yè)問(wèn)題3的改編題，乙選手的數(shù)據(jù)和教材中的一模一樣，甲選手的數(shù)據(jù)略有變動(dòng)，變動(dòng)的目的是保證甲、乙“平均距五、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)五、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)學(xué)生1：看最高的環(huán)數(shù)，乙最高9環(huán)，選擇乙。學(xué)生2：不行，國(guó)際比賽不只是射擊一次，資格賽就射擊60發(fā)，應(yīng)該求平均數(shù)。教師活動(dòng)：學(xué)生2不僅分析合理，而且還懂國(guó)際設(shè)計(jì)比賽規(guī)則，知識(shí)面廣，值得表?yè)P(yáng)。好的，接下來(lái)我們一起求一下平均數(shù)。（稍等一會(huì)，讓學(xué)生求出平均數(shù)，等大家都求出平均數(shù)為7，教師追問(wèn)）追問(wèn)2：我們求出平均數(shù)，發(fā)現(xiàn)甲和乙的平均數(shù)都是7，大家再看看甲、乙的中數(shù)，也是7，又該如何選擇？學(xué)生3：從數(shù)據(jù)看，用平均數(shù)、中數(shù)來(lái)做選擇也是不可取的，因?yàn)榧滓移轿?、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)均環(huán)數(shù)、中數(shù)都相同。甲的眾數(shù)是8，乙的眾數(shù)是7，可以由眾數(shù)這個(gè)統(tǒng)計(jì)量作為決策依據(jù)，選甲。追問(wèn)3：用眾數(shù)作為決策依據(jù)，是否合理？甲組數(shù)據(jù)中有四個(gè)8，而乙組數(shù)據(jù)中有兩個(gè)8、一個(gè)9,7比甲組更多，是否真的選甲更好？學(xué)生4：但兩人的水平還是有差距的。甲最多8環(huán)，最少6環(huán)，波動(dòng)較小，而乙最多9環(huán)，最少5環(huán)，波動(dòng)較大。因此甲比較穩(wěn)定，應(yīng)該選甲。追問(wèn)4：由最大值、最小值來(lái)做決策，有沒(méi)有不足，是否科學(xué)？學(xué)生5：我有意見(jiàn)。我覺(jué)得不能僅憑最大值、最小值來(lái)做出決定，應(yīng)該考慮甲、乙兩組數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性才好。五、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)追問(wèn)5：學(xué)生5的回答很好。因?yàn)闃O差是數(shù)據(jù)的最大值與最小值的差，固然可以反應(yīng)數(shù)據(jù)的波動(dòng)范圍。在一定程度上，極差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大，極差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小，但是極差只關(guān)系到數(shù)據(jù)中的最大值與最小值，對(duì)其他的數(shù)據(jù)都沒(méi)有涉及，所以包含的信息量很少。那么用什么來(lái)衡量數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性呢？學(xué)生6：哦，應(yīng)該用方差！設(shè)計(jì)意圖：復(fù)習(xí)舊知識(shí)，產(chǎn)生新問(wèn)題。首先要說(shuō)明的是，課堂是靈動(dòng)的，但是環(huán)節(jié)是可以預(yù)設(shè)的。我們預(yù)設(shè)學(xué)生可能由平均數(shù)、極差、中位數(shù)、眾數(shù)等統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷，而且也是學(xué)生已經(jīng)學(xué)會(huì)的方法，針對(duì)學(xué)生五、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)課堂上即時(shí)產(chǎn)生的決策依據(jù)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分析，尤其是統(tǒng)計(jì)推斷的科學(xué)性。這里應(yīng)當(dāng)結(jié)合課堂實(shí)際情況，捕捉恰當(dāng)啟發(fā)時(shí)機(jī)，調(diào)動(dòng)積極的思維活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生自覺(jué)性和創(chuàng)造性思維意識(shí)，發(fā)展獨(dú)立思考和合作學(xué)習(xí)相結(jié)合的能力。本題雖然眾數(shù)不同，是否可以作為統(tǒng)計(jì)量，此處雖有存疑，后面練習(xí)題中呼應(yīng)回答。面對(duì)特殊情境問(wèn)題，原有的統(tǒng)計(jì)推斷方法與思想已經(jīng)不夠，產(chǎn)生了新問(wèn)題，引領(lǐng)學(xué)生思維往深里走，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散性思維。結(jié)合初中知識(shí)，學(xué)生自然會(huì)想到用方差進(jìn)行比較。但是為什么可以用“方差”呢，為什么要求每個(gè)數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差的平方呢？為下面解決“知其然知其所以然”的問(wèn)題做鋪墊。五、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)師生活動(dòng)：下面我們來(lái)求每次的環(huán)數(shù)與平均數(shù)的差，再看看這個(gè)差是怎么分布的：甲：1-11-10-10-111乙：2-2010-11-100追問(wèn)6：我們發(fā)現(xiàn)：甲、乙所有數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差的和都是0，與平均數(shù)是7吻合。哎，又相同了，還是不行？怎么辦？學(xué)生7：甲、乙所有數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差的和都是0，平均數(shù)也是7，所以可以嘗試考慮差的絕對(duì)值，對(duì)應(yīng)的差的絕對(duì)值如下：五、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)甲：1111010111乙：2201011100我發(fā)現(xiàn)差的絕對(duì)值的和都是8，憑感覺(jué)應(yīng)該選擇甲。設(shè)計(jì)意圖：這里可以預(yù)估學(xué)生：首先，因?yàn)橐诩住⒁抑g做出選擇，平均數(shù)、極差都已經(jīng)不能達(dá)到目的，根據(jù)之前所學(xué)內(nèi)容，做出決策，其實(shí)已經(jīng)歸結(jié)到“方差”這個(gè)統(tǒng)計(jì)量，也就是需要考查數(shù)據(jù)的離散程度，所以自然聯(lián)想到數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差的角度。其次，甲、乙各個(gè)數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差的和也都是0，想到用距離來(lái)刻畫(huà)也就比較自然了，即差的絕對(duì)值，步步為營(yíng)，逐步走向端倪。五、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)學(xué)生8：對(duì)于甲、乙射擊次數(shù)相同可以用絕對(duì)值之和來(lái)考慮，但是如果兩人次數(shù)不同呢？那就不能用絕對(duì)值之和來(lái)比較了，否則有失公平，最好計(jì)算絕對(duì)值之和的平均數(shù)。但是這兩組數(shù)據(jù)的絕對(duì)值之和的平均數(shù)也相等，所以，我想能不能嘗試用折線圖進(jìn)行比較，如圖1，從圖像可以看出，甲整體波動(dòng)較小，所以選擇甲。教師活動(dòng)：到這個(gè)時(shí)候，用代數(shù)的方法來(lái)做決策，好像進(jìn)入死胡同了，有學(xué)生想到了用“折線圖”之類的。五、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)意圖：?jiǎn)栴}逐漸深入。這里實(shí)際上用到了“平均偏差”這個(gè)統(tǒng)計(jì)量，就是每個(gè)數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差的絕對(duì)值的平均數(shù)，即，讓學(xué)生主動(dòng)探索多個(gè)統(tǒng)計(jì)量刻畫(huà)數(shù)據(jù)的離散程度，并認(rèn)識(shí)到每個(gè)統(tǒng)計(jì)量的優(yōu)缺點(diǎn)。但是，這時(shí)，學(xué)生又遇到困惑了：對(duì)于這兩組數(shù)據(jù)來(lái)說(shuō)，首先是甲、乙所有數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差的和都相等，且為0，連差的絕對(duì)值的和也相等，那如何比較甲、乙優(yōu)劣？所以，有同學(xué)可能又會(huì)回到原來(lái)的一些統(tǒng)計(jì)推斷方法，例如“折線圖”。但無(wú)疑又為“方差”的誕生設(shè)下了伏筆，同時(shí)保持一種探求新知的渴望！五、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)5.2對(duì)話學(xué)生，感受“離散程度”追問(wèn)7：學(xué)生8說(shuō)得很好，用絕對(duì)值平均數(shù)這個(gè)量來(lái)刻畫(huà)數(shù)據(jù)離散是比較科學(xué)的，在統(tǒng)計(jì)學(xué)中這個(gè)量成為“平均距離”，但是對(duì)這個(gè)題而言，仍然比較特殊（平均距離相等），而且從圖1中看，離散程度也不是很明顯，我們能否再嘗試其他運(yùn)算？學(xué)生9：用平方拉大距離，把每組的差進(jìn)行平方，然后再求平均數(shù)。甲：1111010111乙：4401011100甲選手的數(shù)據(jù)平方之后，再取平均數(shù)是0.8，乙選手?jǐn)?shù)據(jù)平方之后的平均五、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)數(shù)為1.2，明顯乙對(duì)應(yīng)的值大，說(shuō)明乙偏離平衡位置多，波動(dòng)大，所以選擇甲，如圖2。追問(wèn)8：你能說(shuō)說(shuō)為什么此題用平方更能形象地刻畫(huà)兩組數(shù)據(jù)的離散程度嗎？學(xué)生10：因?yàn)槊拷M數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差的絕對(duì)值都大于等于1，所以離平均數(shù)越遠(yuǎn)的點(diǎn)平方越大，權(quán)重自然越大，但是，若每組數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差的絕對(duì)值都是小于1，平方后越小，權(quán)重越小，對(duì)于這種情況，我覺(jué)得用距離平方的平均值來(lái)刻畫(huà)較好。教師活動(dòng)：學(xué)生10分析得很漂亮，很到位，不僅精準(zhǔn)地回答了教師的問(wèn)題，五、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)而且還把統(tǒng)計(jì)學(xué)中核心數(shù)據(jù)分析得淋漓盡致（教師借助這個(gè)良機(jī)，繼續(xù)追問(wèn)，拉長(zhǎng)“方差、標(biāo)準(zhǔn)差”概念的形成過(guò)程）。設(shè)計(jì)意圖：?jiǎn)栴}繼續(xù)深入。我們已經(jīng)經(jīng)歷了“平均數(shù)”、“每個(gè)數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差”、“每個(gè)數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差的絕對(duì)值的和”等統(tǒng)計(jì)量都相等的過(guò)程，在此基礎(chǔ)上，再進(jìn)行數(shù)據(jù)處理的嘗試，終于發(fā)現(xiàn)距離的平方發(fā)生差異了。至于為什么取平均數(shù)，應(yīng)該不是障礙，因?yàn)橛袝r(shí)獲取的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)不同，權(quán)重不同等。至此，“方差”概念的產(chǎn)生水到渠成。這時(shí)，指引學(xué)生用圖2與圖1進(jìn)行比較，可以發(fā)現(xiàn)對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行平方后，折線圖更能反應(yīng)甲、乙數(shù)據(jù)的不同特征，強(qiáng)化“方差”意識(shí)，培養(yǎng)直觀想象能力。五、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)追問(wèn)9：除了絕對(duì)值、平方這兩種運(yùn)算，還能再用其他運(yùn)算來(lái)刻畫(huà)離散程度嗎？學(xué)生11：開(kāi)方、立方等應(yīng)該都可以，但最好是平方。教師活動(dòng)：為什么最好是平方？學(xué)生12：絕對(duì)值運(yùn)算雖然簡(jiǎn)捷，但不合適進(jìn)一步的代數(shù)運(yùn)算，有時(shí)還需要討論，開(kāi)方和立方甚至更高次方過(guò)于繁瑣，計(jì)算量大，不利于統(tǒng)計(jì)。設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生對(duì)刻畫(huà)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行自由而廣泛的討論，讓學(xué)生了解統(tǒng)計(jì)推斷的隨機(jī)性與或然性，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維，同時(shí)讓學(xué)生在比較中研判，得出相對(duì)最佳的方式，也就是“方差”這個(gè)統(tǒng)計(jì)量，發(fā)五、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)展學(xué)生的科學(xué)性思維。追問(wèn)10：學(xué)生12回答得很好，方差確實(shí)不是唯一刻畫(huà)總體離散程度的量，但很多時(shí)候?yàn)榱搜芯糠奖悖覀兺ǔ＿x擇用方差來(lái)刻畫(huà)總體的離散程度。若是選拔性考試，你選擇甲選手還是乙選手？學(xué)生13：我們可以根據(jù)方差來(lái)判斷兩名運(yùn)動(dòng)員成績(jī)的離散程度，計(jì)算可得甲的方差是0.8，乙的方差是1.2，甲的離散程度小，乙的離散程度大，由此可以估計(jì)，甲的射擊成績(jī)穩(wěn)定。如果要從這兩名選手中選擇一名參加比賽，就應(yīng)該選成績(jī)相對(duì)穩(wěn)定的選手甲。設(shè)計(jì)意圖：“問(wèn)題一”以及“十個(gè)追問(wèn)”的設(shè)計(jì)及其解決，不是將“方五、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)差、標(biāo)準(zhǔn)差”概念的形成過(guò)程強(qiáng)加給學(xué)生，而是通過(guò)與學(xué)生的一次次對(duì)話、一次次運(yùn)算、一次次的數(shù)據(jù)分析，自然生成。這種“對(duì)話學(xué)生”的教學(xué)方式使學(xué)生經(jīng)歷了方差產(chǎn)生的完整過(guò)程，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，真正培養(yǎng)了他們自主發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析和解決問(wèn)題的能力，有助于提升學(xué)生數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)和心素養(yǎng)。5.3挑戰(zhàn)自我，思辨“樣本方差”追問(wèn)11：現(xiàn)在我們知道方差的公式，那么方差單位是什么呢？師生活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)運(yùn)算的角度自然過(guò)渡到度量的角度。由于方差的單位是原始數(shù)據(jù)的單位的平方，為了使二者單位一致，我們對(duì)方差五、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)進(jìn)行開(kāi)方，即用標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)進(jìn)行估計(jì)與決策。記為標(biāo)準(zhǔn)差設(shè)計(jì)意圖：不是將“標(biāo)準(zhǔn)差”概念強(qiáng)加給學(xué)生，純粹是一種技術(shù)需要，自然合理。如果總體中所有個(gè)體的變量值分別為

，總體平均數(shù)為

，則稱

為總體方差，

為總體標(biāo)準(zhǔn)差。如果一個(gè)樣本中個(gè)體的變量值分別為

，樣本平均數(shù)為

，則稱

為樣本方差，

為樣本標(biāo)準(zhǔn)差。

標(biāo)準(zhǔn)差刻畫(huà)了數(shù)據(jù)的離散程度或波動(dòng)幅度，標(biāo)準(zhǔn)差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標(biāo)準(zhǔn)差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小。顯然，在刻畫(huà)數(shù)據(jù)的分散程度上，方差和標(biāo)準(zhǔn)差是一樣的，但在解決實(shí)際問(wèn)題中，一般多采五、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)用標(biāo)準(zhǔn)差。由于計(jì)算復(fù)雜，我們可以借用計(jì)算器或者計(jì)算機(jī)幫助計(jì)算。

接下來(lái)我們來(lái)體驗(yàn)用方差如何刻畫(huà)數(shù)據(jù)的離散程度，用樣本的離散程度如何估計(jì)總體的離散程度？追問(wèn)12（練習(xí)）：有兩位射擊運(yùn)動(dòng)員在一次射擊實(shí)驗(yàn)中各射靶10次，每次命中的環(huán)數(shù)如下：甲：78795491074乙：9578768677如果你是教練，你如何對(duì)兩位運(yùn)動(dòng)員的射擊情況做出評(píng)價(jià)？要從甲、乙兩名選手中選拔一名參加射擊比賽？你應(yīng)當(dāng)如何選擇？五、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)意圖：鞏固學(xué)生對(duì)方差與標(biāo)準(zhǔn)差概念的理解。此題是人教A版教材《數(shù)學(xué)》（必修第二冊(cè)）第209頁(yè)問(wèn)題3。在本設(shè)計(jì)中，其實(shí)就是一個(gè)“練習(xí)”的作用，既回顧舊知識(shí)，利用新知識(shí)。因?yàn)閷W(xué)生會(huì)非常自然地首先計(jì)算比較甲和乙的平均數(shù)、中位數(shù)，發(fā)現(xiàn)都是一樣的，知道從集中位置的角度看，兩名運(yùn)動(dòng)員之間沒(méi)有差別，不能用這幾個(gè)統(tǒng)計(jì)量作為決策依據(jù)，同時(shí)也呼應(yīng)了“問(wèn)題一”中的“疑惑”。也許有學(xué)生會(huì)提出用最大值與最小值，也許會(huì)提出用方差，但是要么不準(zhǔn)確，要么顯得突兀。有了“問(wèn)題一”的提出及其解決，一切顯得自然了。這里體現(xiàn)了從“特殊到一般”的思想。五、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)五、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)五、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生明確題目的條件和結(jié)論，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立計(jì)算多組數(shù)據(jù)匯總后的方差。分析：把抽取的男生樣本記為

，樣本的平均數(shù)記為

，方差記為

，把抽取的女生樣本記為

，樣本的平均數(shù)記為

，方差記為

，把總樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為

，方差記為

。五、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)男生23人，其平均數(shù)和方差分別為17