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2008年廣州市高二數(shù)學(xué)競(jìng)賽試卷題號(hào)一二三合計(jì)(11)(12)(13)(14)(15)得分評(píng)卷員考生注意:⒈用鋼筆、簽字筆或圓珠筆作答;⒉不準(zhǔn)使用計(jì)算器;⒊考試用時(shí)120分鐘,全卷滿分150分.一、選擇題:本大題共4小題,每小題6分,共24分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.請(qǐng)將正確選項(xiàng)前的字母代號(hào)填在該小題后的括號(hào)內(nèi).1.若集合有4個(gè)子集,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A.B.RC.RD.且R2已知函數(shù)則等于()A.B.C.D.3.在空間直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、、、,則三棱錐的體積是()A.2B.3C.6D.104.已知直線與圓R有交點(diǎn),則的最小值是()A.B.C.D.二、填空題:本大題共6小題,每小題6分,共36分.把答案填在題中橫線上.5.△的三個(gè)內(nèi)角所對(duì)的邊分別為,若,則.6.已知直角梯形的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為,則實(shí)數(shù)的值是.7.在數(shù)列中,=2,N,設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和,則的值為.8.已知三點(diǎn)在同一條直線上,為直線外一點(diǎn),若0,R,則.9.一個(gè)非負(fù)整數(shù)的有序數(shù)對(duì),如果在做的加法時(shí)不用進(jìn)位,則稱為“奧運(yùn)數(shù)對(duì)”,稱為“奧運(yùn)數(shù)對(duì)”的和,則和為的“奧運(yùn)數(shù)對(duì)”的個(gè)數(shù)有___________個(gè).10.如圖1所示,函數(shù)的圖象是圓心在點(diǎn),半徑為1的兩段圓弧,則不等式的解集是.三、解答題:本大題共5小題,共90分.要求寫出解答過程.圖111.(本小題滿分15分)已知函數(shù)(R,)的部分圖象如圖2所示.(1)求的值;(2)若關(guān)于的方程在內(nèi)有解,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.圖212.(本小題滿分15分)如圖3所示,在三棱柱中,底面,.(1)若點(diǎn)分別為棱的中點(diǎn),求證:平面;14.(本小題滿分20分)已知在數(shù)列中,,(R,R且0,N).(1)若數(shù)列是等比數(shù)列,求與滿足的條件;(2)當(dāng),時(shí),一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)運(yùn)動(dòng),從坐標(biāo)原點(diǎn)出發(fā),第1次向右運(yùn)動(dòng),第2次向上運(yùn)動(dòng),第3次向左運(yùn)動(dòng),第4次向下運(yùn)動(dòng),以后依次按向右、向上、向左、向下的方向交替地運(yùn)動(dòng),設(shè)第次運(yùn)動(dòng)的位移是,第次運(yùn)動(dòng)后,質(zhì)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn),求數(shù)列的前項(xiàng)和.15.(本小題滿分20分)已知函數(shù)R,且.(1)當(dāng)時(shí),若函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間,求的取值范圍;(2)當(dāng)且時(shí),討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).2008年廣州市高二數(shù)學(xué)競(jìng)賽參考答案一、選擇題:本大題共4小題,每小題6分,共24分.1.D2.C3.A4.B二、填空題:本大題共6小題,每小題6分,共36分.5.6.7.8.09.2710.三、解答題:本大題共5小題,共90分.要求寫出解答過程.11.(本小題滿分15分)解:(1)由圖象可知函數(shù)的周期為()=,∴.函數(shù)的圖象過點(diǎn),∴且.∴解得:.∴.(2)由(1)得.當(dāng)時(shí),,得.令,則.故關(guān)于的方程在內(nèi)有解等價(jià)于關(guān)于的方程在上有解.由,得.,∴.∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是.12.(本小題滿分15分)(1)證法一:以點(diǎn)為原點(diǎn),分別以所在直線為軸、軸、軸,建立空間直角坐標(biāo)系,依題意得、.∴,,.∴.∴.平面,平面,.∴平面.證法二:連結(jié),底面,平面,∴.,分別為棱的中點(diǎn),∴.,∴Rt△Rt△.∴.,∴.∴.∴,∴平面.∴.,∴平面.平面,∴.同理可證.,∴平面.(2)切割拼接方法一:如圖甲所示,分別以的中點(diǎn)所確定的平面為截面,把三棱柱切開后的兩個(gè)幾何體再拼接成一個(gè)長(zhǎng)方體(該長(zhǎng)方體的一個(gè)底面為長(zhǎng)方形如圖①所示,),此時(shí)所拼接成的長(zhǎng)方體的表面積為16.圖甲圖①切割拼接方法二:如圖乙所示,設(shè)的中點(diǎn)分別為,以四點(diǎn)所確定的平面為截面,把三棱柱切開后的兩個(gè)幾何體再拼接成一個(gè)長(zhǎng)方體(該長(zhǎng)方體的一個(gè)底面為正方形),此時(shí)所拼接成的長(zhǎng)方體的表面積為.圖乙圖②13.(本小題滿分20分)解一:(1)點(diǎn),是橢圓上不同的兩點(diǎn),∴,.以上兩式相減得:,即,,∵線段的中點(diǎn)為,∴.∴,當(dāng),由上式知,則重合,與已知矛盾,因此,∴.∴直線的方程為,即.由消去,得,解得或.∴所求直線的方程為.解二:當(dāng)直線的不存在時(shí),的中點(diǎn)在軸上,不符合題意.故可設(shè)直線的方程為,.由消去,得(*).的中點(diǎn)為,..解得.此時(shí)方程(*)為,其判別式.∴所求直線的方程為.(2)由于直線的方程為,則線段的垂直平分線的方程為,即.由得,由消去得,設(shè)則.∴線段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,縱坐標(biāo).∴.∴.∵,,∴四點(diǎn)、、、在同一個(gè)圓上,此圓的圓心為點(diǎn),半徑為,其方程為.14.(本小題滿分20分)解:(1),,0,①當(dāng)時(shí),,顯然是等比數(shù)列;②當(dāng)時(shí),.數(shù)列是等比數(shù)列,∴,即,化簡(jiǎn)得.此時(shí)有,得,由,0,得(N),則數(shù)列是等比數(shù)列.綜上,與滿足的條件為或().(2)當(dāng),時(shí),∵,∴,依題意得:,,…,∴.∴.∴.∴.令①②①-②得.∴.∴.15.(本小題滿分20分)解:(1)當(dāng)時(shí),函數(shù),其定義域是,∴.函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間,∴在上有無窮多個(gè)解.∴關(guān)于的不等式在上有無窮多個(gè)解.當(dāng)時(shí),函數(shù)的圖象為開口向上的拋物線,關(guān)于的不等式在上總有無窮多個(gè)解.當(dāng)時(shí),函數(shù)的圖象為開口向下的拋物線,其對(duì)稱軸為.要使關(guān)于的不等式在上有無窮多個(gè)解.必須,解得,此時(shí).綜上所述,的取值范圍為.另解:分離系數(shù):不等式在上有無窮多個(gè)解,則關(guān)于的不等式在上有無窮多個(gè)解,∴,即,而.∴的取值范圍為.(2)當(dāng)時(shí),函數(shù),其定義域是,∴.令,得,即,,
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