專題3.26 用勾股定理求最值常用方法專題（分層練習）（基礎練）-2023-2024學年八年級數(shù)學上冊基礎知識專項突破講與練（蘇科版）

專題3.26用勾股定理求最值常用方法專題（分層練習）（基礎練）一、單選題1．如圖，在中，有一點P在上移動，若，，則的最小值為（

）A．4.8 B．8 C．8.8 D．9.82．如圖，在中，，，，點在上，現(xiàn)將沿翻折，使點落在點處連接，則長度的最小值是（

）A． B． C． D．3．如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝90°，AD∥BC，AB＝4，點P是線段AD上的動點，連接BP，CP，若△BPC周長的最小值為16，則BC的長為（）A．5 B．6 C．8 D．104．將一根的筷子置于底面直徑為，高為的圓柱形水杯中，如圖所示，設筷子露在杯子外面的長度為，則的最小值為（

）A． B． C． D．5．如圖，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，點D在BC上，BD＝6，CD＝2，點P′是AB上的動點，則PC+PD的最小值是（）A．7 B．8 C．9 D．106．如圖，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，有一點D在AC上移動，則AD+BD+CD的最小值是（

）A．18 B．18．6 C．20 D．19．67．如圖，一個底面圓周長為24cm，高為9cm的圓柱體，一只螞蟻從距離上邊緣4cm的點A沿側(cè)面爬行到相對的底面上的點B所經(jīng)過的最短路線長為（）A． B．15cm C．14cm D．13cm8．如圖，用7個棱長為1的正方體搭成一個幾何體，沿著該幾何體的表面從點M到點N的所有路徑中，最短路徑的長是（

）A．5 B． C． D．9．如圖所示，在正三棱柱中，已知，，一只螞蟻從A點出發(fā)繞三棱柱側(cè)面兩圈到達點，則螞蟻爬行的最短距離為（

）A． B． C． D．10．如圖，在長方形紙片中，，.點是的中點，點是邊上的一個動點.將沿所在直線翻折，得到.則長的最小值是（

）A． B． C． D．二、填空題11．如圖，在正方形中，分別為上一點，且，連接，則的最小值是___________．

12．如圖，已知長方形，，點E，F(xiàn)分別是邊，上的動點，沿直線折疊，使點B的對應點G始終落在邊上，則線段的最小值是_________．13．如圖，在中，，，，、、分別是邊、、上的動點，連接、、，則的最小值是______．14．如圖，在ΔABC中，AB=6，BC=8，∠B=90°，若P是AC上的一個動點，則AP+BP+CP的最小值是___．15．已知在中，，，，是邊上的一個動點，則線段長的最小值是______．16．如圖，等腰中，，，點E是的垂直平分線上的動點，點D是邊上的動點，則的最小值是________．17．△ABC中，有一點P在AC上移動．若AB＝AC＝5，BC＝6，AP+BP+CP的最小值為_____．18．如圖，在梯形中，，，，、分別是、的中點，是直線上的一點，則的最小值為______.19．如圖，已知圓柱底面的周長為8dm，圓柱高為4dm，在圓柱的側(cè)面上，過點A和點C嵌有一圈金屬絲，則這圈金屬絲的周長的最小值的平方為_____dm．20．如圖，用一個平面去截一個長、寬、高分別為5、4、3的長方體，當截面(截出的面)的形狀是矩形時面積的最大值是__________．三、解答題21．如圖，A、B兩個村子在筆直河岸的同側(cè)，A、B兩村到河岸的距離分別為，，，現(xiàn)在要在河岸上建一水廠E向A、B兩村輸送自來水，要求水廠E到A、B兩村的距離之和最短．(1)在圖中作出水廠E的位置（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)求水廠E到A、B兩村的距離之和的最小值．22．如圖，C為線段上一動點，分別過點B，D作，連接．已知，設．(1)用含x的代數(shù)式表示的值；(2)探究：當點C滿足什么條件時，的值最??？最小值是多少？參考答案1．D【分析】若AP+BP+CP最小，就是說當BP最小時，AP+BP+CP才最小，因為不論點P在AC上的那一點，AP+CP都等于AC．那么就需從B向AC作垂線段，交AC于P．先設AP=x，再利用勾股定理可得關(guān)于x的方程，解即可求x，在Rt△ABP中，利用勾股定理可求BP．那么AP+BP+CP的最小值可求．解：從B向AC作垂線段BP，交AC于P，設AP=x，則CP=5-x，在Rt△ABP中，BP2=AB2-AP2，在Rt△BCP中，BP2=BC2-CP2，∴AB2-AP2=BC2-CP2，∴52-x2=62-（5-x）2解得x=1.4，在Rt△ABP中，BP=，∴AP+BP+CP=AC+BP=5+4.8=9.8．故選：D．【點撥】本題主要考查最短路線問題，確定出P點的位置是解題的關(guān)鍵．2．C【分析】當落在上，長度的值最小，根據(jù)勾股定理得到，由折疊的性質(zhì)知，，于是得到結(jié)論．解：當落在上，長度的值最小，∵，，，∴，由折疊的性質(zhì)知，，∴．故選：C．【點撥】本題考查了翻折變換（折疊問題），勾股定理，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．B【分析】作點B關(guān)于AD的對稱點E，連接CE交AD于P，則AE＝AB＝4，EP＝BP，設BC＝x，則CP+BP＝16﹣x＝CE，依據(jù)Rt△BCE中，EB2+BC2＝CE2，即可得到82+x2＝（16﹣x）2，進而得出BC的長．解：如圖所示，作點B關(guān)于AD的對稱點E，連接CE交AD于P，則AE＝AB＝4，EP＝BP，設BC＝x，則CP+BP＝16﹣x＝CE，∵∠BAD＝90°，AD∥BC，∴∠ABC＝90°，∴Rt△BCE中，EB2+BC2＝CE2，∴82+x2＝（16﹣x）2，解得x＝6，∴BC＝6，故選B．【點撥】本題考查勾股定理的應用和三角形的周長，解題的關(guān)鍵是掌握勾股定理的應用和三角形的周長的計算.4．B【分析】當筷子的底端在點時，筷子露在杯子外面的長度最短．然后根據(jù)勾股定理求出的長，即可解決問題．解：如圖，當筷子的底端在點時，筷子露在杯子外面的長度最短，在中，，，∴，此時，所以的取值范圍是．∴的最小值是，故選：B．【點撥】本題考查了勾股定理的應用，能夠讀懂題意構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵．5．D【分析】過點B作D'B⊥BC，且BD'＝6，連接CD'交AB于點P，由“SAS”可證△BPD≌△BPD'，可得DP＝D'P，可得PC+PD的最小值為D'C，由勾股定理可求解．解：如圖，過點B作D'B⊥BC，使BD'＝6，連接CD'交AB于點P∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠ABC＝45°，且BD'⊥BC∴∠D'BP＝∠DBP＝45°，且BD＝6＝BD'，BP＝BP∴△BPD≌△BPD'（SAS）∴DP＝D'P∴CP+DP＝CP+D'P∴PC+PD的最小值為D'C，∵BD＝6，CD＝2∴BC＝8，∴D'C＝∴PC+PD的最小值為10故選：D．【點撥】本題考查利用軸對稱的性質(zhì)解決最短路徑問題，涉及了直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理的應用．6．D解：試題分析：過點B作，垂足為．利用勾股定理求得，然后利用勾股定理求得的長，有垂線段最短可知：當時，有最小值．過點B作，垂足為．設AD=x，則DC=10-x．在和中，由勾股定理得：，∵，即．解得：x=2．8∴BD=由線段最短可知：當時，BD有最小值．∴AD+BD+CD=BD+AC=9．6+10=19．6．故選D考點：軸對稱-最短路線問題．7．D【分析】將圓柱體展開，利用勾股定理進行求解即可．解：將圓柱體的側(cè)面展開，連接，如圖所示：由于圓柱體的底面周長為24cm，則，又因為cm，所以（cm），即螞蟻沿表面從點A到點B所經(jīng)過的最短路線長為13cm．故選：D．【點撥】本題考查勾股定理的應用—最短路徑問題．解題的關(guān)鍵是將立體圖形展開為平面圖形，利用勾股定理進行求解．8．A【分析】先畫出側(cè)面展開圖，根據(jù)兩點之間踐段最短，利用勾股定理求出線段的長即可．解：將第一層小正方體的頂面和正面，以及第二層小正方體的頂面和正面展開，如下圖，連接，則最短路徑，故選A【點撥】本題主要考查了兩點之間線段最短，以及勾股定理，正確畫出側(cè)面展開圖，確定兩點之間線段最短是解題的關(guān)鍵．9．D【分析】要求長方體中兩點之間的最短路徑，最直接的作法，就是將正三棱柱展開，然后利用兩點之間線段最短解答．解：∵，一只螞蟻從A點出發(fā)繞三棱柱側(cè)面兩圈到達點，∴如圖所示，將正三棱柱展開2次，∴，∵正三棱柱的高∴．故選：D．【點撥】此題考查了最短路徑問題．解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握用勾股定理的應用，要注意數(shù)形結(jié)合思想的應用．10．A【分析】以點E為圓心，AE長度為半徑作圓，連接CE，當點G在線段CE上時，GC的長取最小值，根據(jù)折疊的性質(zhì)可知GE=1，在Rt△BCE中利用勾股定理可求出CE的長度，用CE-GE即可求出結(jié)論．解：以點E為圓心，AE長度為半徑作圓，連接CE，當點G在線段CE上時，GC的長取最小值，如圖所示．根據(jù)折疊可知：，在Rt△BCE中，，，∴GC的最小值=CE-GE=,故選A.【點撥】本題考查了翻折變換、矩形的性質(zhì)以及勾股定理，利用作圓，找出A′C取最小值時點A′的位置是解題的關(guān)鍵．11．【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)，設未知數(shù)，由勾股定理將用含的式子表示，再配方即可求出最小值．解：四邊形是正方形，，，，，設，則，由勾股定理得，，當時，，故答案為：．【點撥】本題考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理、配方法等知識點，能夠?qū)⒂煤氖阶颖硎?，并正確的配方是解決問題的關(guān)鍵．12．4【分析】由題意易知點F越靠近于點C時，的值也就越小，然后可得當點C與點F重合時，的值最小，進而畫出圖形，最后進行求解即可．解：由點G始終落在邊上可知當點F越靠近于點C時，的值也就越小，所以當點C與點F重合時，的值最小，如圖所示：∵，∴由折疊的性質(zhì)可知，由長方形的特征可知，∴在中，由勾股定理可得，∴，∴的最小值為4；故答案為4【點撥】本題主要考查折疊的性質(zhì)及勾股定理，熟練掌握折疊的性質(zhì)及勾股定理是解題的關(guān)鍵．13．【分析】由勾股定理，求出；當點、與點重合，且點運動至時，值最?。猓涸谥?，∵，∴∵∴當點、與點重合，且點運動至時，值最?。唷摺唷啵蚀鸢笧椋海军c撥】本題考查勾股定理，垂線短最短，解題的關(guān)鍵是掌握動點問題，垂線短最短．14．14.8【分析】利用勾股定理求出AC，根據(jù)垂線段最短，求出BP的最小值即可解決問題．解：∵∠B=90°，AB=6，BC=8，∴，∵AP+BP+CP=BP+AC=BP+10，根據(jù)垂線段最短可知，當BP⊥AC時，BP的值最小，最小值，∴AP+BP+CP的最小值為：10+4.8=14.8，故答案為：14.8．【點撥】本題考查勾股定理，動點問題等知識，解題的關(guān)鍵是運用直角三角形面積公式求出斜邊上的高．15．【分析】在中，利用30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，解出，再利用勾股定理解出，在中，利用30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，即可解題．解：如圖，根據(jù)垂線段最短得，當時，最短，，，，在中又，故答案為：．【點撥】本題考查含30°角的直角三角形，涉及勾股定理、垂線段最短等知識，是重要考點，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．16．【分析】根據(jù)EF是線段AB的垂直平分線可知，點B關(guān)于直線EF的對稱點為點A，則AE＝BE，故BE＋DE的最小值為AD時最小，由垂線段最短得當AD⊥BC時最短，由于△ABC是等腰三角形，可得BD＝2，根據(jù)勾股定理即可得出結(jié)論．解：連接AD，∵EF是線段AB的垂直平分線，∴點B關(guān)于直線EF的對稱點為點A．∴AE＝BE．∴BE＋DE的最小值為AD．∵由垂線段最短則當AD⊥BC時最短．∵△ABC是等腰三角形，AB＝AC＝6，BC＝4，∴當AD⊥BC時，BD＝2．∴AD＝＝．故答案為：．【點撥】本題考查了勾股定理的應用，熟知等腰三角形三線合一的性質(zhì)和利用軸對稱構(gòu)造最短路線是解答此題的關(guān)鍵．17．9.8．【分析】若AP+BP+CP最小，就是說當BP最小時，AP+BP+CP才最小，因為不論點P在AC上的那一點，AP+CP都等于AC．那么就需從B向AC作垂線段，交AC于P．先設AP＝x，再利用勾股定理可得關(guān)于x的方程，解即可求x，在Rt△ABP中，利用勾股定理可求BP．那么AP+BP+CP的最小值可求．解：從B向AC作垂線段BP，交AC于P，設AP＝x，則CP＝5﹣x，在Rt△ABP中，BP2＝AB2﹣AP2，在Rt△BCP中，BP2＝BC2﹣CP2，∴AB2﹣AP2＝BC2﹣CP2，∴52﹣x2＝62﹣（5﹣x）2解得x＝1.4，在Rt△ABP中，BP＝＝＝4.8，∴AP+BP+CP＝AC+BP＝5+4.8＝9.8．故答案為：9.8．【點撥】本題考查等腰三角形的性質(zhì)及勾股定理等知識，直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短．因此先從B向AC作垂線段BP，交AB于P，再利用勾股定理解題即可．18．【分析】連接AC，交MN于P，連接DP，此時的最小，然后根據(jù)題意可知，梯形為等腰梯形，從而判斷出直線MN即為梯形的對稱軸，由此可知此時，即的最小值為AC的長，根據(jù)已知條件求出∠CAB=90°，∠BCA=30°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和勾股定理即可求出AC.解：連接AC，交MN于P，連接DP，此時的最小，理由如下∵梯形中，，∴梯形為等腰梯形，∴∠DCB=∠B，∠ADC=∠BAD∵、分別是、的中點，∴直線MN即為梯形的對稱軸由對稱可知：DP=AP∴此時，根據(jù)兩點之間，線段最短，即可得：此時的最小且最小值為AC的長，∵，∠B＋∠BAD=180°∴∠DCB=∠B=60°，∠ADC=∠BAD=120°∵∴∠DAC=∠DCA=∴∠CAB=∠BAD－∠DAC=90°，∠BCA=∠DCB－∠DCA=30°在Rt△CAB中，BC=2AB=2，根據(jù)勾股定理可得：AC=故答案為【點撥】此題考查的是等腰梯形的性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)和最短路徑問題,掌握最短路徑的畫法及原理是解決此題的關(guān)鍵.19．128【分析】要求絲線的長，需將圓柱的側(cè)面展開，進而根據(jù)“兩點之間線段最短”得出結(jié)果，在求線段長時，根據(jù)勾股定理計算即可．解：如圖，把圓柱的側(cè)面展開，得到矩形，則這圈金屬絲的周長最小為的長度．圓柱底面的周長為，圓柱高為，，，，，這圈金屬絲的周長最小為，則這圈金屬絲的周長的最小