第十章 概率2023年高考數(shù)學(xué)必背知識(shí)手冊(cè)

第十章概率（公式、定理、結(jié)論圖表）

I隨機(jī)現(xiàn)象,隨機(jī)試驗(yàn)I

_________?__________

I樣本點(diǎn)：樣本空間I

______J______

隨機(jī)事隹］

++___

事件的關(guān)系藕算事件的概率

______I______

I事件的獨(dú)立性古典概型頻率的穩(wěn)定性

______▼_____隨機(jī)模擬試驗(yàn)

A概率的基本性質(zhì)頻率估計(jì)概率

?概率.計(jì)算

?隹用概率解決實(shí)際問(wèn)題

「知識(shí)梳理

1.基本事件的特點(diǎn)

⑴任何兩個(gè)基本事件是互斥的.

（2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和.

2.古典概型

具有以下兩個(gè)特征的概率模型稱為古典的概率模型，簡(jiǎn)稱古典概型.

⑴試驗(yàn)的所有可能結(jié)果只有有限個(gè)，每次試驗(yàn)只出現(xiàn)其中的一個(gè)結(jié)果.

⑵每一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同.

【特別提醒】

如果一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果有"個(gè)，而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，那么每一個(gè)基本事件的概

率都是上如果某個(gè)事件A包括的結(jié)果有m個(gè)，那么事件A的概率P(A)=㈣.

nn

3.古典概型的概率公式

事件A包含的可能結(jié)果數(shù)

一試驗(yàn)的所有可能結(jié)果數(shù).

典例1:5張獎(jiǎng)券中有2張是中獎(jiǎng)的，首先由甲抽一張，然后由乙抽一張，求：

(1)甲中獎(jiǎng)的概率P(A)；

(2)甲、乙都中獎(jiǎng)的概率P(B)；

(3)只有乙中獎(jiǎng)的概率P(C)；

(4)乙中獎(jiǎng)的概率P(D).

【思路點(diǎn)撥】先確定事件總數(shù)，再確定四個(gè)事件中包含的基本事件個(gè)數(shù)，用古典概率公式求解.

【解析】甲、乙兩人按順序各抽一張，5張獎(jiǎng)券分別為Ai，Az，Bi，Bz，B3,其中A1，A2為中獎(jiǎng)券，則

IIIIZIII

基本事件為(Ai，A2),(A，Bi),(Ai，B2),(A，B3),(A2,A),(A2.B),(A，B2),(A2,B3),(B，A),(B，

IIIIZII

A2),(B，B2),(B,B3),(B2，A),(B2,A2),(B2,B),(B，B3),(B3,A),(B3,A2),(B3IB),(B3,B2),共

20種.

IIZI

(1)若"甲中獎(jiǎng)"，則有(Ai，A2),(A，Bi),(Ai，B2),(Ai，B3).(A2.A),(A，B),(A2.B2),(A2.B3),

Q2

共8種，故P(A)=2=±.

205

21

I

(2)甲、乙都中獎(jiǎng)含有的基本事件有(Ai，A2),(A2,A),共2種，所以「伯)=三=歷.

(3)”只有乙中獎(jiǎng)”的基本事件有(Bi，Ai),(B2,A0,(B3,Ai),(Bi，Az),(B2,A2),(B3,A2),共6種，故

P(C)=—=—.

2010

III

⑷"乙中獎(jiǎng)"的基本事件有(A2,A),(Bi，Ai),(B2,A),(B3,A),(Ai，A2),(Bi,A2),(B2,A2),(B3,A2),

QO

共8種，故p(z))=a=士.

205

【總結(jié)升華】

1、利用古典概型的計(jì)算公式時(shí)應(yīng)注意兩點(diǎn)：

⑴所有的基本事件必須是互斥的；

(2)m為事件A所包含的基本事件數(shù)，求m值時(shí)，要做到不重不漏.

2、古典概型解題步驟：

(1)閱讀題目，搜集信息：

(2)判斷是否是等可能事件，并用字母表示事件；

(3)求出基本事件總數(shù)〃和事件A所包含的結(jié)果數(shù)加：

(4)用公式P(N)="求出概率并下結(jié)論.

n

4.事件的關(guān)系與運(yùn)算

定義符號(hào)表示

如果事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生，這時(shí)稱事件8B^A

包含關(guān)系

包含事件4或稱事件A包含于事件8)（或—B）

相等關(guān)系若B2A且A284=8

并事件若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生或事件B發(fā)生，稱AUB

(和事件)此事件為事件A與事件B的并事件(或和事件)（或4+8）

交事件若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生且事件B發(fā)生,則AaB

(積事件)稱此事件為事件A與事件8的交事件(或積事件)（或AB）

互斥事件若AC8為不可能事件，則稱事件A與事件B互斥AnB=0

若AC8為不可能事件，AUB為必然事件，那么稱事件Ac\B=0

對(duì)立事件

A與事件8互為對(duì)立事件P（AUB）=1

5.概率的幾個(gè)基本性質(zhì)

⑴概率的取值范圍：04P(A區(qū)1.

⑵必然事件的概率P(E)=1.

⑶不可能事件的概率P(F)=O.

⑷互斥事件概率的加法公式

①如果事件A與事件B互斥，則P(AUB)=P(A)+P(B).

②若事件8與事件A互為對(duì)立事件，則P(A)=1—P(8).

典例2:經(jīng)統(tǒng)計(jì)，在某儲(chǔ)蓄所一個(gè)營(yíng)業(yè)窗口等候的人數(shù)及相應(yīng)概率如下:

排隊(duì)人數(shù)012345人及5人以上

概率0.10.160.30.30.10.04

⑴至多2人排隊(duì)等候的概率是多少?

⑵至少3人排隊(duì)等候的概率是多少？

【思路點(diǎn)撥】利用互斥事件概率加法公式計(jì)算.

【解析】記"等候的人數(shù)為0"為事件A,"1人等候"為事件B,"2人等候〃為事件C,"3人等候"為事件D,

"4人等候〃為事件E,"5人及5人以上等候”為事件F,則易知A、B、C、D、E、F互斥.

⑴記"至多2人排隊(duì)等候"為事件G,則G=AUBUC,

二P(G)=P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)

=0.1+0.16+0.3=0