浙江省強基聯(lián)盟2023-2024學年高一上學期12月綜合測試數(shù)學試題

浙江強基聯(lián)盟2023學年第一學期高一12月聯(lián)考數(shù)學試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.集合的真子集個數(shù)為（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】A【解析】【分析】利用集合元素個數(shù)即可求出集合共有三個真子集.【詳解】根據(jù)題意可知集合中有3個元素，所以共有個，即有三個真子集.故選：A2.若，則的否定為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用存在量詞命題的否定求解即可.【詳解】命題是存在量詞命題，其否定是全稱量詞命題，所以命題的否定為.故選：.3.若，，則“”是“”的（）A.必要不充分條件 B.充分不必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)充分必要條件的定義判斷，注意基本不等式的應用即在的情況下，判斷兩個命題和．.【詳解】解：取，，滿足，但，充分性不滿足；反過來，成立，故必要性成立.故選：A．4.若一圓弧長等于其所在圓的內接正三角形的邊長，則此圓弧所對的圓心角的弧度數(shù)為（）A. B. C. D.2【答案】C【解析】【分析】畫圖設外接圓半徑，利用正三角形性質可得圓弧長，再由弧度制定義可得.【詳解】不妨設正的外接圓半徑，圓心為，取的中點為，連接，易知在上，且，；如下圖所示：在中，，所以；依題意可知該圓弧長，所以圓心角.故選：C5.已知為角終邊上一點，則（）A.7 B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)三角函數(shù)的定義求出，再利用齊次化將弦化切進行求解.【詳解】為角終邊上一點，故，故.故選：B6.若，，且，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】首先根據(jù)已知條件判斷出和、的關系以及和、的關系，結合即可求解.【詳解】因為，所以和一個大于，一個小于，因為，所以，因為，所以和一個大于，一個小于，因為，所以，因為，所以，故選：C.7.已知函數(shù)f(x)＝則函數(shù)y＝f(1－x)的大致圖象是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由得到的解析式，根據(jù)函數(shù)的特殊點和正負判斷即可.【詳解】因為函數(shù)，所以函數(shù)，當x＝0時，y＝f(1)＝3，即y＝f(1－x)的圖象過點(0，3)，排除A；當x＝－2時，y＝f(3)＝－1，即y＝f(1－x)的圖象過點(－2，－1)，排除B；當時，，排除C，故選：D．8.已知關于的一元二次不等式的解集為，則的最小值是（）A.2 B. C.3 D.【答案】A【解析】【分析】由一元二次不等式解集可知,且滿足，將化簡變形可得，利用基本不等式即可求得當時的最小值是2.【詳解】由一元二次不等式的解集為可得，利用韋達定理可得，即可得，且,；所以可得；易知，當且僅當，即時等號成立；即的最小值是2.故選：A二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知，，則下列各式正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)的運算公式分別判斷各選項.【詳解】A選項：由，得，A選項正確；B選項：，B選項正確；C選項：，C選項錯誤；D選項：，D選項正確；故選：ABD.10.已知，且，則的值可能是（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】由，結合分情況討論即可求解.【詳解】由題意得，，因為，當時，因為，所以，此時，故B項正確；當時，因為，所以，此時，故C項正確.故選：BC11.已知定義在上的偶函數(shù)滿足，則下列命題成立的是（）A.的圖象關于直線對稱 B.C.函數(shù)為偶函數(shù) D.函數(shù)為奇函數(shù)【答案】BD【解析】【分析】由及奇偶性可得函數(shù)的周期性與對稱性，進而判斷各選項.【詳解】因為函數(shù)為偶函數(shù)，所以函數(shù)關于軸對稱，且，又，所以，且，所以函數(shù)關于點中心對稱，且周期為，所以函數(shù)關于對稱，A選項錯誤；，B選項正確；由向右平移一個單位得到，則關于點對稱，為奇函數(shù)，C選項錯誤；由向左平移一個單位得到，則關于點對稱，為奇函數(shù)，D選項正確；故選：BD.12.函數(shù)，已知實數(shù)，，且，則下列命題正確的是（）A.若，則B.若，則C.存在，使得D.恒成立【答案】D【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調性可判斷B，C選項，結合基本不等式可判斷A，D選項.【詳解】由，可知函數(shù)在上單調遞增，若，則，即，可得，A選項：，當且僅當時等號成立，又，則，A選項錯誤；B選項：，，則或，B選項錯誤；C選項：若，則，則恒成立，C選項錯誤；D選項：由，，又，當且僅當時成立，又，所以，則，即，D選項正確；故選：D.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.（其中第16題第一空2分，第二空3分）13.已知冪函數(shù)的圖象過點，則__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義可得，再根據(jù)函數(shù)圖象過點，可得.【詳解】由函數(shù)為冪函數(shù)，得，即，所以，又函數(shù)過點，則，故答案為：.14.在中國，周朝時期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例，其中“弦”指的是直角三角形的斜邊.現(xiàn)將兩個全等的直角三角形拼接成一個矩形，若其中一個三角形“弦”的長度為4，則該矩形周長的最大值為____________.【答案】【解析】【分析】確定，矩形周長為，根據(jù)均值不等式計算得到答案.【詳解】設直角三角形的兩條直角邊長分別為，，則，，矩形周長為，，故，當且僅當時等號成立，故周長的最大值為.故答案為：.15.已知實數(shù)，且，則__________.【答案】【解析】【分析】通過換底公式可得，可得，即可得解.【詳解】由，換成以為底，可得，設，則，解得或，又，，則，所以，即即，故答案為：.16.已知函數(shù)，則函數(shù)的零點為__________；若關于的方程有5個不同的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是__________.【答案】①.和②.【解析】【分析】結合分段函數(shù)性質令即可解得的兩個零點為和，畫出函數(shù)圖象，利用換元法以及數(shù)形結合將方程根的問題轉化成關于的方程有兩個不相等的實根且滿足，；再由一元二次方程根的分布即可求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】根據(jù)題意可得當時，，令，解得或（舍）；當時，，令，解得，所以可得函數(shù)的零點為和；因此可得，畫出函數(shù)圖象如下圖所示：令，則方程可轉化為；結合圖象可知，當時，函數(shù)與函數(shù)有三個交點，當或時，函數(shù)與函數(shù)有兩個交點，當時，函數(shù)與函數(shù)有一個交點；若關于的方程有5個不同的實數(shù)根，則方程有兩個不相等的實根，且滿足或；若可得，解得，；經(jīng)檢驗當時，方程即為，解得，不合題意；當時，關于的方程可化為，解得，不合題意；所以可知方程有兩個不相等的實根需滿足且；若,故，解得或，若，可得，即或；檢驗當時，關于的方程可化為，此時，滿足題意；當時，關于的方程可化為，此時，滿足題意；綜上可知，實數(shù)的取值范圍為或，所以實數(shù)的取值范圍是.故答案為：和；【點睛】方法點睛：求解方程根的嵌套問題時，經(jīng)常利用換元法將方程轉化，再結合函數(shù)圖象利用根的分布情況得出參數(shù)滿足的條件即可求得參數(shù)取值范圍.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.已知集合.（1）若，求；（2）若，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）將代入可得，由交集運算即可求得出結果；（2）根據(jù)集合間的包含關系即可求得.【小問1詳解】由可得，由可得；【小問2詳解】若可得，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.18.在平面直角坐標系中，角以軸的非負半軸為始邊，它的終邊與單位圓交于第二象限內的點.（1）若，求及的值；（2）若，求點的坐標.【答案】18.；19.【解析】【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)的定義式，結合同角三角函數(shù)關系式及誘導公式化簡可得解；（2）根據(jù)三角函數(shù)定義式列方程，解方程.【小問1詳解】由已知角的終邊與單位圓交于第二象限內的點，則，，，，且，由，得，則，再由誘導公式可得【小問2詳解】由，得，，又，則，解得，所以，所以，所以，，即.19.某園林建設公司計劃購買一批機器投入施工.據(jù)分析，這批機器可獲得的利潤（單位：萬元）與運轉時間（單位：年）的函數(shù)關系式為（，且）（1）當這批機器運轉第幾年時，可獲得最大利潤？最大利潤為多少？（2）當運轉多少年時，這批機器的年平均利潤最大？【答案】（1）當這批機器運轉第年時，可獲得最大利潤，最大利潤為（2）當運轉年時，這批機器的年平均利潤最大【解析】【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)性質可得最大利潤；（2）根據(jù)基本不等式可得年平均利潤的最大值.【小問1詳解】由，，可知當時，取最大值為，即當這批機器運轉第年時，可獲得最大利潤，最大利潤為；【小問2詳解】由已知可得年平均利潤，，則，當且僅當，即時，等號成立，即當運轉年時，這批機器的年平均利潤最大.20.函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且.（1）求的解析式；（2）利用單調性定義證明在上為增函數(shù)；（3）解不等式.【答案】（1）（2）證明見解析；（3）【解析】【分析】（1）利用函數(shù)奇偶性定義以及函數(shù)值可求得，可得解析式；（2）根據(jù)單調性定義按照取值、作差、變形定號、下結論等步驟證明即可；（3）利用函數(shù)奇偶性和單調性，結合定義域得出不等關系即可解得不等式解集為.【小問1詳解】對于，都有，所以；又函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，即，可得，所以；由可得，解得；所以，因此的解析式為【小問2詳解】取，且，則，因為，且，所以，即，可得，所以，即；所以在上為增函數(shù)；【小問3詳解】將不等式轉化為，又是定義在上的奇函數(shù),所以可得，再根據(jù)（2）中的結論可知，解得；即不等式的解集為.21.已知函數(shù).（1）當時，解關于的方程；（2）當時，恒有，求實數(shù)取值范圍；（3）解關于的不等式.【答案】（1）或；（2）；（3）答案見解析；【解析】【分析】（1）將代入即可解出方程的根為或；（2）將不等式恒成立問題轉化為，再利用函數(shù)單調性即可得滿足題意；（3）對參數(shù)取值進行分類討論，結合不等式即可求得其解集.【小問1詳解】當時，方程即為，解得或；【小問2詳解】當時，不等式可化為，依題意可知，需滿足，由于函數(shù)在上單調遞增，函數(shù)在上單調遞增；所以函數(shù)在上單調遞增，因此，即實數(shù)的取值范圍是；【小問3詳解】由可得，①當時，可得，不等式等價，此時不等式解集為；②當時，方程有兩根，即，且；此時不等式解集為；③當時，方程僅有一根，即，此時不等式解集為；④當時，方程有兩根，即，且；此時不等式解集為；22.設，若滿足，則稱比更接近.（1）設比更接近0，求的取值范圍；（2）判斷“”是“比更接近”的什么條件，并說明理由；（3）設且，試判斷與哪一個更接近.【答案】（1）（2）充分不必要條件，理由見解析；（3）更接近【解析】【分析】（1）依據(jù)定義列出不等式，結合一元二次不等式解法即可求得的取值范圍；（2）根據(jù)已知條件分別判斷充分性和必要性是否成立即可得出結論；（3）由且利用函數(shù)單調性，分別對和時與的大小進行比較，即可得出結論.【小問1詳解】根據(jù)題意可得，即；可得，解得；即的取值范圍為；【小問2詳解】充分性：顯然，由可得，①若，則，可得；又可得，所以；即可得，此時可以得出“比更接近”；②若，則，可得；又可得，所以；即可