高考2023人教A版高中數(shù)學(xué)變式題4

4.2等差數(shù)列

第四章數(shù)列

4.2等差數(shù)列

4.2.1等差數(shù)列的概念

例1(1)已知等差數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式為an=5-2n,求｛%>｝的公差和首項(xiàng)；

(2)求等差數(shù)列8,5,2,…的第20項(xiàng).

分析：(1)已知等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，只要根據(jù)等差數(shù)列的定義，由斯-斯-1=d即

可求出公差d；(2)可以先根據(jù)數(shù)列的兩個(gè)已知項(xiàng)求出通項(xiàng)公式，再利用通項(xiàng)公式求數(shù)

列的第20項(xiàng).

解：(1)當(dāng)九>2時(shí)，由｛時(shí)｝的通項(xiàng)公式an=5-2n,可得

斯-1=5-2(n—1)=7—2n.

于是d=an-an_i=(5—2n)—(7—2n)=-2.

把n=1代入通項(xiàng)公式an=5—2n,得

%=5-2x1=3.

所以，的公差為一2,首項(xiàng)為3.

(2)由已知條件，得

d=5—8=-3.

把的—8,d——3代入an=%+(ri—l)d,得

an=8—3(n—1)=11—3n.

把n=20代入上式，得

a2o=11—3x20=-49.

所以，這個(gè)數(shù)列的第20項(xiàng)是-49.

例2-401是不是等差數(shù)列一5,-9,-13,...的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？

分析：先求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，它是一個(gè)關(guān)于n的方程，再看-401是否能使這個(gè)方程

有正整數(shù)解.

解：由%=-5,d=-9-(-5)=-4,得這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為

an=—5—4(n—1)=—4n—1.

4-4n-1=-401,

解這個(gè)關(guān)于n的方程，得n=100.

所以，-401是這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)，是第100項(xiàng).

練習(xí)

1.判斷下列數(shù)列是否是等差數(shù)列.如果是，寫出它的公差.

(1)95,82,69,56,43,30；

(2)1,1.1,1.11,1.111,1.1111,1.11111；

(3)1,—2,3,—4,5,—6；

/“、11153271

(4)1,—,

12643122

【答案】(1)是等差數(shù)列，公差為-13；(2)不是等差數(shù)列；(3)不是等差數(shù)列；(4)

是等差數(shù)列，公差為-總

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義對(duì)(1)、(2)、(3)、(4)逐個(gè)分析即可求解.

【詳解】解：(1)由82-95=69-82=56-69=43-56=30-43=—13,即該

數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)之差為同一個(gè)常數(shù)-13,所以由等差數(shù)列的定義知該

數(shù)列為等差數(shù)列，公差為-13；

(2)通過(guò)觀察可知，1.1一1=0.1,1.11-1.1=0.01,…該數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)

與前一項(xiàng)之差不是同一個(gè)常數(shù)，所以由等差數(shù)列的定義知該數(shù)列不是等差數(shù)列；

(3)通過(guò)觀察可知，一2-1=一3,3-(-2)=5,…該數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前

一項(xiàng)之差不是同一個(gè)常數(shù)，所以由等差數(shù)列的定義知該數(shù)列不是等差數(shù)列；

(4)由三—1=m=：—、=:—：=《—?=；—白=—3即該數(shù)列從第二項(xiàng)起,

12612463412321212

每一項(xiàng)與前一項(xiàng)之差為同一個(gè)常數(shù)-2，所以由等差數(shù)列的定義知該數(shù)列為等差數(shù)列，

公差為一套.

2.求下列各組數(shù)的等差中項(xiàng)：

(1)647和895；

(2)-121和24|.

【答案】(1)771；(2)y|.

【分析】由等差中項(xiàng)的定義直接求解即可.

【詳解】(1)設(shè)647和895的等差中項(xiàng)為a,則a=經(jīng)詈=771,故647和895的等

差中項(xiàng)為771；

⑵設(shè)-12：和24：的等差中項(xiàng)為b,則匕=節(jié)+2紇=關(guān)故-12捌24沏等差中項(xiàng)為

92

154

3.已知在等差數(shù)列｛冊(cè)｝中，。4+。8=20，劭=12.求心.

【答案】a4=6

試卷第2頁(yè)，共18頁(yè)

【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由等差數(shù)列通項(xiàng)公式性質(zhì)知a4+ag=2a6,求得=10.

進(jìn)而求得公差人即可得解.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為4則在等差數(shù)列中，

+@8=2cL6=20,**?。6=10

???d=即一。6=12—10=2

???。4=—3d=12—6=6

4.在7和21中插入3個(gè)數(shù)，使這5個(gè)數(shù)成等差數(shù)列.

【答案】10.5,14,17.5

【分析】利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式能求出插入的這3個(gè)數(shù).

【詳解】解：?.?在7和21之間插入3個(gè)數(shù)，使這5個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，

I'解得d=3.5,

(a5=%+4d=21

:.=7+3.5=10.5,

。3=7+2X3.5=14,

。4=7+3x3.5=17.5,

???插入的這3個(gè)數(shù)為10.5,14,17.5.

例3某公司購(gòu)置了一臺(tái)價(jià)值為220萬(wàn)元的設(shè)備，隨著設(shè)備在使用過(guò)程中老化，其價(jià)值

會(huì)逐年減少.經(jīng)驗(yàn)表明，每經(jīng)過(guò)一年其價(jià)值就會(huì)減少d(d為正常數(shù))萬(wàn)元.已知這臺(tái)設(shè)備

的使用年限為10年，超過(guò)10年，它的價(jià)值將低于購(gòu)進(jìn)價(jià)值的5%,設(shè)備將報(bào)廢.請(qǐng)確定

d的取值范圍.

分析:這臺(tái)設(shè)備使用n年后的價(jià)值構(gòu)成一個(gè)數(shù)列｛aj由題意可知，10年之內(nèi)(含10年)，

這臺(tái)設(shè)備的價(jià)值應(yīng)不小于(220x5%=)11萬(wàn)元：而10年后，這臺(tái)設(shè)備的價(jià)值應(yīng)小于11

萬(wàn)元.可以利用｛即｝的通項(xiàng)公式列不等式求解.

解：設(shè)使用n年后，這臺(tái)設(shè)備的價(jià)值為0n萬(wàn)元，則可得數(shù)列｛an｝.由已知條件，得

an-?n-i-d(n>2).

由于d是與n無(wú)關(guān)的常數(shù)，所以數(shù)列｛即｝是一個(gè)公差為-d的等差數(shù)列.因?yàn)橘?gòu)進(jìn)設(shè)備的

價(jià)值為220萬(wàn)元，所以ai=220-d,于是

瑪=+(九—1)(-d)=220—nd.

根據(jù)題意，得

911<11,

?曲［220-10d>11,

1(220-lid<11,

解這個(gè)不等式組，得19<d420.9.

所以，d的取值范圍為19<d<20.9.

例4已知等差數(shù)列｛aj的首項(xiàng)由=2,公差d=8,在｛5｝中每相鄰兩項(xiàng)之間都插入3

個(gè)數(shù)，使它們和原數(shù)列的數(shù)一起構(gòu)成一個(gè)新的等差數(shù)列｛%｝.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式.

(2)西9是不是數(shù)列｛&J的項(xiàng)？若是，它是｛冊(cè)｝的第幾項(xiàng)？若不是，說(shuō)明理由.

分析：(1)Sn｝是一個(gè)確定的數(shù)列，只要把由,表示為依"中的項(xiàng)，就可以利用等差

數(shù)列的定義得出｛%｝的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)中的第n項(xiàng)是｛與｝中的第Cn項(xiàng)，根據(jù)條件

可以求出n與金的關(guān)系式，由此即可判斷與9是否為標(biāo)工的項(xiàng).

解：(1)設(shè)數(shù)列｛為｝的公差為d’.

由題意可知，瓦=b5=a2,于是

b5—b1=a2—ar=8.

因?yàn)?—瓦=4d',所以4d'=8,所以d'=2.

所以bn=2+(n-1)x2=2n.

所以，數(shù)列｛b｝的通項(xiàng)公式是垢=2n.

(2)數(shù)列｛an｝的各項(xiàng)依次是數(shù)列｛%｝的第1，5,9,13,…項(xiàng)，這些下標(biāo)構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)

為1,公差為4的等差數(shù)列｛7｝,則cn=4n—3.

令4n-3=29,解得n=8.

所以，電9是數(shù)列｛即｝的第8項(xiàng).

例5已知數(shù)列｛斯｝是等差數(shù)歹U，p,q,s,teN*,且p+q=s+t.求證即+aq=as+at.

分析：只要根據(jù)等差數(shù)列的定義寫出ap，aq,as,at,再利用己知條件即可得證.

證明：設(shè)數(shù)列｛an｝的公差為d，則

ap=ar+(p—l)d,

aq=%+(q-l)d,

as=+(s—l)d,

%=%+?—l)d.

所以tip+%=2al+(p+q—2)d>as+at—2al+(s+t—2)d.

因?yàn)閜+q=s+t,所以cip+ciq=tis+a-

練習(xí)

試卷第4頁(yè)，共18頁(yè)

5.某體育場(chǎng)一角看臺(tái)的座位是這樣排列的：第1排有15個(gè)座位，從第2排起每一排都

比前一排多2個(gè)座位.你能用的表示第〃排的座位數(shù)嗎？第10排有多少個(gè)座位？

【答案】5=2n+13；a10=33

【分析】可將每排座位數(shù)看成等差數(shù)列，列出通項(xiàng)公式.

【詳解】由條件可知，每排的座位數(shù)，看成等差數(shù)列，首項(xiàng)的=15,d=2,

則的=15+(n—1)x2=2n+13,

a10=2x10+13=33.

綜上可知，an=2n+13,第10排的座位數(shù)a1。=33個(gè).

6.畫出數(shù)列an=L二LVA的圖象，并求通過(guò)圖象上所有點(diǎn)的直線的斜率.

n(an_i—3,1<n<6

【答案】圖象見(jiàn)解析，一3

【分析】由遞推關(guān)系即=I產(chǎn);二)vA,求出a“(l<n<6)值，然后再作出圖

象，在根據(jù)斜率公式即可求出通過(guò)圖象上所有點(diǎn)的直線的斜率.

【詳解】根據(jù)遞推關(guān)系a九=(當(dāng)：，v八，可知的=18g=15,%=12g=

1?？谝?<ft_o

9,Q5=6,=3,

作出數(shù)列an=L產(chǎn)"的圖象，如下圖所示:

(a九—]0/X<7T3。

通過(guò)圖象上所有點(diǎn)的直線的斜率號(hào)TF=-3.

6—15

7.在等差數(shù)列｛an｝中，即=6，廝1=小且?guī)灼琺，求am_".

【答案】2n

【分析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，解出由、d,代入am.“即可.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛即｝的公差為d

川！an=ai+(n-l)d=mcai=m+n-l

A

Uyn=ax+(?n-l)d=nId=-1

所以a?i-n=Oi+(m—n—l)d=m+n—1—m+n+l=2n

8.已知數(shù)列｛an｝,｛%｝都是等差數(shù)列，公差分別為d「d2,數(shù)列｛%｝滿足d=即+2%.

(1)數(shù)列｛d｝是否是等差數(shù)列？若是，證明你的結(jié)論；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(2)若｛斯｝，｛b｝的公差都等于2,%=瓦=1,求數(shù)列｛0｝的通項(xiàng)公式.

【答案】(1)數(shù)列｛7｝是等差數(shù)列，證明見(jiàn)解析;(2)cn=6n-3.

【分析】(1)根據(jù)等差數(shù)列的定義即可證得結(jié)論；

(2)由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式運(yùn)算即可得解.

【詳解】(1)數(shù)列｛"｝是等差數(shù)列，

證明：因?yàn)閿?shù)列｛即｝,｛勾｝都是等差數(shù)列，公差分別為由，d2,

所以0n=ax+(n-l)d1(bn=瓦+(n—l)d2>

又因?yàn)閝=an+2bn=(a1+2瓦)+(n—l)(d[+2d2)>

故Cn+i-c”=[(a]+2瓦)+7i(d]+2d2)]—[(a】+2b[)+(n-l)(d1+2d2)]=d[+

2d2,

而q=%+2bi，所以數(shù)列｛%｝是以內(nèi)+2瓦為首項(xiàng)，刈+2d2為公差的等差數(shù)列.

(2)由(1)知：數(shù)列｛%｝是以%+2瓦為首項(xiàng)，心+2d2為公差的等差數(shù)列，

而J=a1+2bl=3,di+2d2=6,

所以7=3+6(n-1)=6n—3.

9.已知一個(gè)無(wú)窮等差數(shù)列｛a"的首項(xiàng)為%，公差為

(1)將數(shù)列中的前機(jī)項(xiàng)去掉，其余各項(xiàng)組成一個(gè)新的數(shù)列，這個(gè)新數(shù)列是等差數(shù)列嗎？

如果是，它的首項(xiàng)和公差分別是多少？

(2)取出數(shù)列中的所有奇數(shù)項(xiàng)，組成一個(gè)新的數(shù)列，這個(gè)新數(shù)列是等差數(shù)列嗎？如果

是，它的首項(xiàng)和公差分別是多少？

(3)取出數(shù)列中所有序號(hào)為7的倍數(shù)的項(xiàng)，組成一個(gè)新的數(shù)列，它是等差數(shù)列嗎？你

能根據(jù)得到的結(jié)論作出一個(gè)猜想嗎？

【答案】(1)是等差數(shù)列，首項(xiàng)為由+md,公差為d；(2)是等差數(shù)列，首項(xiàng)為首項(xiàng)

為由,公差為2d；(3)是等差數(shù)列，首項(xiàng)為由+6/公差為7d；猜想：等差數(shù)列每隔

一定距離抽取一項(xiàng)后所組成的新數(shù)列仍是等差數(shù)列.

【分析】(1)由題意可知，新的數(shù)列為：am+i，am+2，am+3,…，可知新等差數(shù)列的首項(xiàng)

及公差；

(2)由題意可知，新的數(shù)列為：由43，。5,…,。2.+1，…，可知新等差數(shù)列的首項(xiàng)及公差；

(3)由題意可知，新的數(shù)列為：a7,a14,a21,-,a7n,-,可知新等差數(shù)列的首項(xiàng)及公差，

進(jìn)而得到猜想.

【詳解】(1)由題意可知，將無(wú)窮等差數(shù)列｛冊(cè)｝的前，〃項(xiàng)去掉，其余各項(xiàng)組成?個(gè)新的

數(shù)列為：

am+l-am+2>am+3>—>這個(gè)新數(shù)列是等差數(shù)列，首項(xiàng)為a?t+i=%+md,公差為d.

試卷第6頁(yè)，共18頁(yè)

(2)由題意可知，取出無(wú)窮等差數(shù)列｛斯｝中的所有奇數(shù)項(xiàng)，組成一個(gè)新的數(shù)列為：

的43，。5,…,…，這個(gè)新數(shù)列是等差數(shù)列，首項(xiàng)為由，公差為2d.

(3)由題意可知，取出無(wú)窮等差數(shù)列｛0｝中所有序號(hào)為7的倍數(shù)的項(xiàng)，組成一個(gè)新的

數(shù)列為：

a7,au,a21,--,a7n,--,這個(gè)新數(shù)列是等差數(shù)列，首項(xiàng)為。7=%+6乙公差為a*-&7=

7d.

猜想：等差數(shù)列每隔一定距離抽取一項(xiàng)后所組成的新數(shù)列仍是等差數(shù)列.

4.2.2等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式

例6已知數(shù)列｛即｝是等差數(shù)列.

(1)若%=7,a50=101,求S50；

(2)若%=2,a2=|，求Sio；

(3)若a1=工，d—Sn——5>求n.

分析：對(duì)于(1),可以直接利用公式Sn=當(dāng)普求和；在(2)中，可以先利用的和的

值求出d,再利用公式%=na】+%Fd求和；(3)已知公式Sn=na】中的州,

d和Sn，解方程即可求得n.

解：(1)因?yàn)?=7,a50=101,根據(jù)公式及=選詈金可得

Sso=50x^101)=a7。。

(2)因?yàn)?=2,a2=|,所以d=：.根據(jù)公式及=呵+”芳^，可得

SC=1"0x2r+,10X(-1-0-1)-x-1=—85.

1U0222

nn

(3)把%==,d=-Sn=—5代入S兀=n%+(1)d,得

262

-5=|n+^x(-l).

整理，得

n2—7n-60=0.

解得九=12,或九=一5(舍去).

所以71=12.

例7己知一個(gè)等差數(shù)列｛aj前10項(xiàng)的和是310,前20項(xiàng)的和是1220.由這些條件能確

定這個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差嗎？

分析：把已知條件代入等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式(2)后，可得到兩個(gè)關(guān)于的與d的二

元一次方程.解這兩個(gè)二元一次方程所組成的方程組，就可以求得％和d.

解：由題意，知

Si。=310,S2Q=1240.

把它們代入公式

r.n(n-l),

sn=嗎+—^―

ZItJ10%+45d=310,

付(20%+190d=1220.

解方程組，得=，

所以，由所給的條件可以確定等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差.

練習(xí)

10.根據(jù)下列各題中的條件，求相應(yīng)等差數(shù)列｛每｝的前〃項(xiàng)和S”.

(1)Qi=5,an=95,n=10；

(2)at=100,d=-2,n=50；

(3)%=-4,aQ=-18,n=10；

(4)%=14.5,d=0.7,Qn=32.

【答案】(1)Si。=500；(2)550=2550；(3)S10=-130；(4)S20=604.5

【分析】(1)利用等差數(shù)列求和公式又=當(dāng)答直接求解；

(2)利用等差數(shù)列求和公式%=n的直接求解；

(3)先求出等差數(shù)列的公差d,再利用求和公式即可得解；

(4)利用即=32求出項(xiàng)數(shù)n=26,再利用求和公式即可得解；

【詳解】(1)由題意的=5,Qn=95,n=10,

所以Sio==UX茨=5x100=500.

(2)由題意的=100,d=-2,n=50,

所以S50=50x100+x(-2)=5000-50x49=50x51=2550.

(3)由題意的=-4,a8=-18,n=10,a8=aj+7d=-4+7d=-18,???d=-2,

所以Si。=10X(-4)+等x(-2)=-40-90=-130.

(4)由題意由=14.5,d=0.7,an=32,

由an=%+(n—l)d,得32=14.5+(n-1)x0.7,解得n=26,

所以S26=泠-。：5+32)=6()45

11-等差數(shù)列一1,-3,一5,…的前多少項(xiàng)的和是一100?

試卷第8頁(yè)，共18頁(yè)

【答案】10

【分析】根據(jù)題意，找到首項(xiàng)和公差，利用前〃項(xiàng)和公式即可解得.

【詳解】等差數(shù)列一1,-3,-5,…的首項(xiàng)為由=-1,公差d=-2,

設(shè)前八項(xiàng)的和為-100,則有又=n%=-n+/&x(―2)=-100,

解得："=10.

即等差數(shù)列一1,-3,-5,…的前10項(xiàng)的和是—100.

12.在等差數(shù)列｛6｝中，Sn為其前"項(xiàng)的和，若$4=6,$8=20,求Si6.

【答案】72

【分析】由己知列出方程求出首項(xiàng)和公差即可求解.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d,

解得

?￡.od—/U42

則Si6=16xN+i^xL=72.

10422

13.在等差數(shù)列｛冊(cè)｝中,若Si5=5(。2+。6+以)，求/

【答案】16

【分析】結(jié)合等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式得到竺胃區(qū)=5(a2+a6+ak),然后結(jié)合中項(xiàng)

性質(zhì)得到3a8=a2+a6+ak,進(jìn)而利用通項(xiàng)公式即可求解.

【詳解】因?yàn)镾i5=5(a2+a6+aQ，所以至包產(chǎn)2=5白2+。6+以)，

aa

即15a&=5(a2+。6+%)，因此3a8=?2+6+k>

所以3(%+7cT)=a1+d+a1+5d+a1+(k—l)d,由題意知dH0>

所以15=k—1,所以k=16

14.己知一個(gè)等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，其中所有奇數(shù)項(xiàng)的和為290,所有偶數(shù)項(xiàng)的和為

261.求此數(shù)列中間一項(xiàng)的值以及項(xiàng)數(shù).

【答案】此數(shù)列中間一項(xiàng)是29,項(xiàng)數(shù)為19.

【分析】設(shè)等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為筋-1,利用等差數(shù)列的性質(zhì)，求出所有奇數(shù)和與所有偶

數(shù)和的比與n的關(guān)系，求出門，即可求出項(xiàng)數(shù)及中間一項(xiàng).

【詳解】設(shè)等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為2n-l,

設(shè)所有的奇數(shù)項(xiàng)和為S,貝妝=叢若3=71an,

設(shè)所有的偶數(shù)項(xiàng)和為7,則T=.(匕&誓為㈤=(n_i)an,

"?=瑞=*解得"1。，

項(xiàng)數(shù)2n-1=19,中間項(xiàng)為由0，

由S=10a10=290,a10=29,

所以此數(shù)列中間一項(xiàng)是29,項(xiàng)數(shù)為19.

例8某校新建一個(gè)報(bào)告廳，要求容納800個(gè)座位，報(bào)告廳共有20排座位，從第2排

起后一排都比前一排多2個(gè)座位.問(wèn)第1排應(yīng)安排多少個(gè)座位.

分析：將第1排到第20排的座位數(shù)依次排成一列，構(gòu)成數(shù)列｛斯｝?設(shè)數(shù)列包.｝的前n項(xiàng)

和為現(xiàn),由題意可知，是等差數(shù)列，且公差及前20項(xiàng)的和己知，所以可利用等差

數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求首項(xiàng).

解：設(shè)報(bào)告廳的座位從第1排到第20排，各排的座位數(shù)依次排成一列，構(gòu)成數(shù)列｛冊(cè)｝，

其前n項(xiàng)和為%.根據(jù)題意，數(shù)列｛廝｝是一個(gè)公差為2的等差數(shù)列，且S20=800.

由S20=20%+20?廣1)-2=800,可得的=21.

因此，第1排應(yīng)安排21個(gè)座位.

例9已知等差數(shù)列｛冊(cè)｝的前n項(xiàng)和為%,若%=10,公差d=-2,則Sn是否存在最

大值？若存在，求無(wú)的最大值及取得最大值時(shí)n的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

分析：由%>0和d<0,可以證明｛即｝是遞減數(shù)列，且存在正整數(shù)k,使得當(dāng)n>k時(shí)，

an<0,S"遞減.這樣，就把求工的最大值轉(zhuǎn)化為求｛即｝的所有正數(shù)項(xiàng)的和.

另一方面，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可寫成%=：/+(%-9m所以當(dāng)d#0時(shí)，S”

可以看成二次函數(shù)y=^%2+-0x(xeR)當(dāng)x=n時(shí)的函數(shù)值.如圖4.2-4,當(dāng)d<0

時(shí)，S"關(guān)于n的圖象是一條開口向下的拋物線上的一些點(diǎn).因此，可以利用二次函數(shù)求

相應(yīng)的n,Sn的值.

S.

30-??

28-??

24-??

18,??

10???

o|24'6'810*12n

圖4.2-4

解法1：由以an+1—即=-2<0,得即+1<冊(cè)，所以｛加｝是遞減數(shù)列.

又由61n=104-(n-1)x(—2)=—2n+12,可知：

當(dāng)幾<6時(shí)，an>0；

試卷第10頁(yè)，共18頁(yè)

當(dāng)n=6時(shí)，Qn=0；

當(dāng)n>6時(shí)，an<0.

所以Si<S2<???<S5=S6>S7>….

也就是說(shuō)，當(dāng)n=5或6時(shí)，最大.

因?yàn)镾5=|x[2x10+(5—1)義(-2)]=30,所以土的最大值為30.

解法2：因?yàn)镾"=^"2+(%-g)n=-n?+lln=—(n—羨)+詈，

所以，當(dāng)n取與日最接近的整數(shù)即5或6時(shí)，S”最大，最大值為30.

練習(xí)

15.某市一家商場(chǎng)的新年最高促銷獎(jiǎng)設(shè)立了兩種領(lǐng)獎(jiǎng)方式：第一種，獲獎(jiǎng)?wù)呖梢赃x擇

2000元的獎(jiǎng)金；第二種，從12月20日到第二年的1月1日，每天到該商場(chǎng)領(lǐng)取獎(jiǎng)品，

第1天領(lǐng)取的獎(jiǎng)品價(jià)值為100元，第2天為110元，以后逐天增加10元.你認(rèn)為哪種

領(lǐng)獎(jiǎng)方式獲獎(jiǎng)?wù)呤芤娓啵?/p>

【答案】第二種方式獲獎(jiǎng)?wù)呤找娓?

【分析】從12月20號(hào)到第二年的1月1號(hào)共13天，每天領(lǐng)取獎(jiǎng)金數(shù)是以100為首項(xiàng)，以10

為公差的等差數(shù)列，利用等差數(shù)列求和公式求和，比較即可得結(jié)果.

【詳解】從12月20號(hào)到第二年的1月1號(hào)共13天，每天領(lǐng)取獎(jiǎng)金數(shù)是以100為首項(xiàng)，以10

為公差的等差數(shù)列，即由=100,d=10,n=13

所以共獲獎(jiǎng)金13X100+至/x10=2080元，

由于2080>2000,故第二種方式獲獎(jiǎng)?wù)呤找娓?

16.己知數(shù)列｛即｝的前〃項(xiàng)和Snuj/+ln+s.求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.

(—47,n=1

【答案】0h12

n1,5、、

-n4——,n>2

(212,

【分析】利用公式即=〔又飛;：八2

【詳解】當(dāng)幾=1時(shí)，Qi=Si=：+|+3=弟

當(dāng)?IN2時(shí)，an=Sn-Sn_1="+|幾+3一2一1)2一|(九一1)-3=，+*

U,1.511,47

當(dāng)71=1時(shí)，％=一■!——=——豐

12121212

—47,n=l

所以12，

-71+—,71>2

212

17.已知等差數(shù)列一4.2,-3.7,-3.2,…的前〃項(xiàng)和為無(wú)，Sn是否存在最大(小)值？

如果存在，求出取得最值時(shí)〃的值.

【答案】S"存在最小值，n=9

【分析】由已知可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式即=0-5n-4.7,令a1t>0,可知n>9且neN*,

可知數(shù)列的前9項(xiàng)都是負(fù)數(shù)，第10項(xiàng)為正數(shù)，即值又存在最小值.

【詳解】由已知可知等差數(shù)列的首項(xiàng)%=—4.2,公差d=—3.7+4.2=0.5

則數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=電+(n-l)d=-4.2+(n-1)x0.5=0.5n-4.7

令即>0,即0.5n-4.7>0,又neN*,二n>9且TICN*

即數(shù)列的前9項(xiàng)都是負(fù)數(shù)，第10項(xiàng)為正數(shù)，

故當(dāng)幾=9時(shí)，Sn存在最小值.

18.求集合M={m\m=2n-l,neN*,且m<60}中元素的個(gè)數(shù)，并求這些元素的和.

【答案】集合M中有30個(gè)元素，這些元素的和為900.

【分析】由集合M的元素特點(diǎn)可知，集合M={1,3,5,7,…59},再利用等差數(shù)列求和公式

可得解.

【詳解】集合M={m|m=2n-l,neN*,且巾<60},即"={1,3,5,7,…59}

共30個(gè)奇數(shù)，構(gòu)成以1為首項(xiàng)，公差為2的等差數(shù)列

利用等差數(shù)列求和公式得S3。=*理=900

故集合M中有30個(gè)元素，這些元素的和為900.

19.已知數(shù)列{即}的通項(xiàng)公式為即=前n項(xiàng)和為求隊(duì)取得最小值時(shí)n的值.

【答案】n=7

【分析】首先求出數(shù)列的正負(fù)項(xiàng)，再判斷％取得最小值時(shí)〃的值.

【詳解】當(dāng)冊(cè)=0=(n-2)(2n-15)W0,n€N*,

解得：幾=2,3,4,5,6,7,

當(dāng)n=1和n>8時(shí)，a”>0,

所以％取得最小值時(shí)，n=7.

習(xí)題4.2

20.根據(jù)下列等差數(shù)列{an}中的已知量，求相應(yīng)的來(lái)知量：

(1)—20,an=54,Sn—999,求d及“；

(2)d=g,n=37,Sn=629,求的及a”；

(3)ar=-,d=Sn=-5,求”及與；

(4)d=2,n=15,an=-10,求田及S^.

試卷第12頁(yè)，共18頁(yè)

【答案】(1)d==27；(2)=11,a37=23；(3)n=15,a15=—|；(4)at=

—38,S]5=-360.

【分析】(1)由已知結(jié)合%=墳詈應(yīng)，求出71,再由通項(xiàng)公式，求出d;

(2)由已知結(jié)合S”=nai+歿1艾d,求出的,再由通項(xiàng)公式求出。37；

(3)由已知結(jié)合Sn=n的+歿山心求出n,再由通項(xiàng)公式求出與；

(4)由已知結(jié)合通項(xiàng)公式，求出田,再由前n項(xiàng)和公式求出S”.

【詳解】(1)因?yàn)榈炔顢?shù)列｛an｝中，%=20,an=54,Sn=999,

所以%=當(dāng)詈2=37n=999,n=27,

,a、」」54-2017

%=%+z(ri—l)d,d=——=—；

ZOlo

(2)因?yàn)榈炔顢?shù)列入｝中，d=i,n=37,Sn=629,

所以Sn=629=37%+必等x[=37%+222,

解得%=11,an=a37=11+36xI=23；

(3)因?yàn)榈炔顢?shù)列｛a｝中，%=5,d=S=—5,

n66n

所以為=—5=x(_[),

整理得/一lln-60,解得九=15,或幾=一4(舍去)，

?n=?15=|+14X(一》=~|;

(4)因?yàn)榈炔顢?shù)列｛an｝中，d=2,n=15,an=-10,

an=-10=%+14x2,%=-38,

Si5=『T2=_360.

21.已知｛an｝為等差數(shù)列，的+a?+05=105,a2+a4+a6=99.求go-

【答案】1

【分析[設(shè)｛an｝的公差為d,根據(jù)通項(xiàng)公式列方程即可求解公差與首項(xiàng)，從而求出的0?

【詳解】設(shè)｛Qn｝的公差為d,首項(xiàng)為由,根據(jù)題意得

(即+的+2d+的+4d=105

+d+&+3d+a1+5d=99

.(a—39

Ydr=-2

??。20=Q1+19d—1

22.(1)求從小到大排列的前〃個(gè)正偶數(shù)的和.

(2)求從小到大排列的前n個(gè)正奇數(shù)的和.

(3)在三位正整數(shù)的集合中有多少個(gè)數(shù)是5的倍數(shù)？求這些數(shù)的和.

(4)在小于100的正整數(shù)中，有多少個(gè)數(shù)被7除余2?這些數(shù)的和是多少？

【答案】(1)n(n+1)；(2)n2；(3)180,98550；(4)13,663.

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式求和即可.

【詳解】(1)通項(xiàng)公式為斯=2n,所以%=當(dāng)產(chǎn)=n5+1),

2

(2)通項(xiàng)公式為即=2n-l,所以Sn=當(dāng)誓=n,

(3)因?yàn)槟┪矓?shù)是0或者5的數(shù)均是5的倍數(shù)，故最小是100,最大是995,

所以=(995-100)+5+1=180,

故和為她等理=98550,

(4)被7整除余2的數(shù)為7n+2(n6N*),當(dāng)n=14時(shí)，這個(gè)數(shù)等于100,所以在小于

100的正整數(shù)中共有13個(gè)數(shù)被7整除余2,每相鄰兩個(gè)數(shù)之間的差(大數(shù)減小數(shù))為7,

所以9x13+13x12x(=663.

23.1682年，英國(guó)天文學(xué)家哈雷發(fā)現(xiàn)一顆大星的運(yùn)行曲線和1531年、1607年的彗星驚

人地相似，他大膽斷定，這是同一天體的三次出現(xiàn)，并預(yù)言它將于76年后再度回歸這

就是著名的哈雷彗星，它的回歸周期大約是76年，請(qǐng)你查找資料，列出哈雷星的回歸

時(shí)間表，并預(yù)測(cè)它在本世紀(jì)回歸的年份.

【答案】2061年

【分析】查歷史記載列出時(shí)間表，根據(jù)即可回歸周期求出它在本世紀(jì)回歸的年份.

【詳解】根據(jù)歷史記載，哈雷彗星在1607年及以后的回歸時(shí)間表為：

次數(shù)123457

年份160716821759183519101986

預(yù)測(cè)它在本世紀(jì)回歸的年份為2061年.

24.已知一個(gè)多邊形的周長(zhǎng)等于158cm,所有各邊的長(zhǎng)成等差數(shù)列，最大的邊長(zhǎng)為44cm,

公差為3cm、求這個(gè)多邊形的邊數(shù).

試卷第14頁(yè)，共18頁(yè)

【答案】4

【分析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式，建立方程求得多邊形的邊數(shù).

【詳解】由題意可知：a底=44,Sn=158,d=3

Sn=*&=158,即二316,得32

則n-91n+316=0

%=47-3九

an=a1+3(n-1)=44

解得：幾=4或?1=個(gè)（舍去）

故這個(gè)多邊形的邊數(shù)為4.

25.已知數(shù)列｛%｝,｛%｝都是等差數(shù)列,且由=5,瓦=15,a100+bWQ=100,求數(shù)

列5+%｝的前100項(xiàng)和.

【答案】6000

【分析】通過(guò)｛&｝,出“｝都是等差數(shù)列，則｛an+%＞也是等差數(shù)列，直接利用等差數(shù)列

前n項(xiàng)和公式求出數(shù)列｛廝+4｝的前100項(xiàng)和即可.

【詳解】解：因?yàn)閿?shù)列｛即｝,｛%｝都是等差數(shù)列，所以｛冊(cè)+%｝也是等差數(shù)列，又?=5,

b]—15,。100+bioo=100,

則數(shù)列｛即+bn｝的前100項(xiàng)和為：1°°（/+%。；+5+5。。）=100|120=6000

26.已知又是等差數(shù)列｛斯｝的前"項(xiàng)和.

（1）證明｛§｝是等差數(shù)列；

（2）設(shè)7；為數(shù)列用的前“項(xiàng)和，若54=12,58=40,求

【答案】⑴證明見(jiàn)解析；⑵萍+）

【分析】（1）寫出％,求陪化噂-濘，最終得出結(jié)論；

（2）求出彳，求出公差d,進(jìn)一步求出根據(jù)求和公式得出

【詳解】（1）VSn=nax+"7）d=g/+（即一

?丹一然=。+（。-（1）_（%_9=1

⑵合第=3,”=5

5-31

公差d---=—

42

又?.?也=&+3d

41

；.&=也一3d=3-3-=-

1422

?號(hào)=^+（n-l）d=1+（n-l）i=1n+l

.*.7^=n-4-.（n_i）xi=-n24--n.

n22244

27.已知兩個(gè)等差數(shù)列2,6,10,…，190及2,8,14,…,200,將這兩個(gè)等差數(shù)列

的公共項(xiàng)按從小到大的順序組成一個(gè)新數(shù)列.求這個(gè)新數(shù)列的各項(xiàng)之和.

【答案】1472

【分析】根據(jù)題意求出兩個(gè)數(shù)列，相同的項(xiàng)組成的數(shù)列，求出項(xiàng)數(shù)，然后求出它們的和

即可.

【詳解】有兩個(gè)等差數(shù)列2,6,10....190及2,8,