專題2.5等腰三角形大題培優(yōu)專練（提升篇）-2023-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期復(fù)習(xí)備考高分秘籍【人教版】（解析版）

2023-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期復(fù)習(xí)備考高分秘籍【人教版】專題2.5等腰三角形大題培優(yōu)專練（提升篇）班級(jí)：_____________姓名：_____________得分：_____________一、解答題1．（2023秋·山東菏澤·八年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，AD∥BC，∠A=90°，E是AB上的一點(diǎn)，且AD=BE，∠1=∠2．求證：DE⊥CE．

【答案】見解析【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠B=90°，從而可得△ADE和△BEC都是直角三角形，再根據(jù)等腰三角形的判定可得DE=EC，然后根據(jù)直角三角形全等的判定定理即可得證．【詳解】∵AD∥BC,∠A=90°，∴∠B=180°-∠A=90°，∴△ADE和△BEC都是直角三角形，∵∠1=∠2，∴DE=EC，在△ADE和△BEC中，DE=ECAD=BE∴△ADE?△BEC(HL)．∴∠ADE=∠BEC∵∠ADE+∠AED=90°，∴∠BEC+∠AED=90°∴∠DEC=90°∴DE⊥CE【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形全等的判定定理、等腰三角形的判定、平行線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握直角三角形全等的判定方法是解題關(guān)鍵．2．（2023秋·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知△ABC中，∠B=∠E=40°，∠BAE=60°，且AD平分∠BAE．

(1)求證：BD=DE；(2)若AB=AC，求∠CAD的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)70度【分析】（1）要求證：BD=DE可以先根據(jù)角角邊定理證明△ABD≌△AED，再根據(jù)全等三角形性質(zhì)得出結(jié)論；（2）根據(jù)AB=AC，得∠C=∠B=40°【詳解】（1）（1）證明：∵AD平分∠BAE∴∠BAD=∵AD=AD，∵∠B=∴△ABD≌△AED（AAS∴BD=ED；（2）解：∵AB=AC，∴∠C=∵∠CAD=180°-∴∠CAD=180°-40°-40°-30°=70°【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，全等三角形的性質(zhì)和判定，掌握相關(guān)定理，靈活運(yùn)用是解題關(guān)鍵．3．（2023·陜西西安·陜西師大附中?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在△ABC中，AB=AC，延長(zhǎng)BC至D，使得BD=AC，連接AD，再延長(zhǎng)AB至E，使得BE=CD，連接DE．求證：△BED≌△CDA．

【答案】見詳解【分析】先證明∠EBD=∠ACD,再根據(jù)SAS判定證明即可．【詳解】解：∵在△ABC中，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵∠EBD=180°-∠ABC,∠ACD=180°-∠ACB,∴∠EBD=∠ACD,∵BE=CD，BD=AC，△BED≌△CDA(SAS【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定定理．4．（2023秋·福建福州·八年級(jí)福州日升中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D、E都在邊BC上，且BE=CD，求證：AD=AE．【答案】見詳解【分析】利用等腰三角形的性質(zhì)可得∠B=∠C，再由SAS證明△ABE≌△ACDSAS，從而得AD=AE【詳解】證明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△ABE和△ACD中，AB=AC∠B=∠C∴△ABE≌△ACDSAS∴AD=AE．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．5．（2023秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，△ABC中，∠ABC=∠BAC=45°，點(diǎn)P在AB上，AD⊥CP，BE⊥CP，垂足分別為D，E，已知DC=2．(1)試說(shuō)明△ACD≌△CBE；(2)求BE多長(zhǎng)？【答案】(1)見解析，(2)2．【分析】（1）根據(jù)已知易得∠ACB=90°,AC=BC，再由AD⊥CP，BE⊥CP，利用同角的余角相等易得∠DAC=∠ECB，進(jìn)而證明△ADC≌△CEBAAS（2）由全等三角形性質(zhì)可知BE=CD．【詳解】（1）證明：∵∠ABC=∠BAC=45°，∴∠ACB=90°,AC=BC．∵∠DAC+∠ACD=90°,∠BCE+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠ECB．在△ADC和△CEB中，∠DAC=∠ECB∠ADC=∠CEB∴△ADC≌△CEBAAS（2）由（1）得△ADC≌△CEB，∴BE=CD=【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)利用同角的余角相等證明角相等是證明關(guān)鍵．6．（2023秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）在△ABC中，AB=BC，BE平分∠ABC，CD⊥AB于D，CD=BD，點(diǎn)H是BC邊的中點(diǎn)，連接DH，交BE于點(diǎn)G，連接CG．(1)求證：△ADC≌△FDB；(2)求證：CE=1(3)求∠FGD的度數(shù)．【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3)67.5°．【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)得BE⊥AC，再證∠ACD=∠ABE=∠FBD，然后利用ASA證明△ADC≌△FDB即可；（2）由等腰三角形的性質(zhì)得AE=CE，得CE=12AC（3）由等腰三角形的性質(zhì)得ABC=45°，DH⊥BC，則∠BHG=90°，再由直角三角形的性質(zhì)得∠FGD的度數(shù)．【詳解】（1）∵AB=BC，BE平分∠ABC，∴BE⊥AC，∵CD⊥AB，∴∠CAD+∠ACD=90°，∠CAD+∠ABE=90°，∴∠ACD=∠ABE=∠FBD，在△ADC和△FDB中，∠ADC=∠FDBCD=BD∴△ADC≌△FDB(（2）∵AB=BC，BE平分∠ABC，∴AE=CE，∴CE=1由（1）知：△ADC≌△FDB，∴AC=FB，∴CE=（3）∵CD⊥AB，∴∠BDC=90°，∵CD=BD，∴△BCD是等腰三角形，∴∠ABC=45°，∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=1∵CD=BD，點(diǎn)H是BC邊的中點(diǎn)，∴DH⊥BC，∴∠BHG=90°，∴∠BGH=90°-∠CBE=90°-22.5°=67.5°，∴∠FGD=∠BGH=67.5°．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．7．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)期中）在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D、點(diǎn)E在邊BC上，BD=CE，連接AD、AE．(1)如圖1，求證：AD=AE；(2)如圖2，當(dāng)∠DAE=∠C=45°時(shí)，過(guò)點(diǎn)B作BF∥AC交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．在不添加任何輔助線和字母的情況下，請(qǐng)直接寫出圖2中的等腰三角形（△ABC除外）．【答案】(1)證明過(guò)程見詳解(2)圖2中的等腰三角形有△ADE，△BDF，△CAD，△BAE【分析】（1）證明△ABD≌△ACE即可求解；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）證明：∵△ABC中，AB=AC，∴∠B=∠C，∵BD=CE，∴△ABD≌△ACE(SAS∴AD=AE．（2）解：由（1）可知，AD=AE，∠BAD=∠CAE∴三角形ADE是等腰三角形，則∠ADE=∠AED，∵∠DAE=∠C=45°，∴∠B=45°，∠BAC=90°，∠ADE=∠AED=12(180°-45°)=67.5°∵BF∥AC，∴∠F=∠FAC=∠DAE+∠CAE=45°+22.5°=67.5°，∵∠BDF=∠ADE=67.5°，∴∠F=∠BDF=67.5°，∴三角形BDF是等腰三角形，∴∠DAC=∠DAE+∠CAE=45°+22.5°=67.5°=∠ADE，∴三角形CAD是等腰三角形，同理可得三角形BAE是等腰三角形，∴等腰三角形有：△ADE，△BDF，△CAD，△BAE．【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形全的的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，掌握等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線交AB于M，交AC于N，連接NB．(1)若∠ABC=65°，求∠NBC的度數(shù)．(2)若AB=8cm，△NBC的周長(zhǎng)是14cm．求【答案】(1)15°(2)6【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理即可求解；（2）有垂直平行線性質(zhì)可知AN=BN，△NBC的周長(zhǎng)是14cm，AB=8【詳解】（1）解：∵AB=AC，∠ABC=65°，∴∠ABC=∠C=65°，∠A=180°-(∠ABC+∠C)=180°-65°×2=50°，∵AB的垂直平分線交AB于M，交AC于N，∴AN=BN，∠A=∠ABN=50°，∴∠NBC=∠ABC-∠ABN=65°-50°=15°，故答案是：15°．（2）解：AB=8cm，△NBC的周長(zhǎng)是14∴NB+BC+NC=14，AB=AC=8由（1）得，AN=BN，∴BC+AN+NC=14，且AN+NC=AC=8，∴BC=14-AC=14-8=6，故答案是：6．【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是找到等腰三角形中等邊，垂直平分線中的等邊關(guān)系．9．（2020秋·浙江溫州·八年級(jí)?？计谥校┰谡叫尉W(wǎng)格中，已知格點(diǎn)（即小正方形的頂點(diǎn)）A、B組成的線段AB，請(qǐng)分別按下列要求作圖：(1)在圖1中作一個(gè)面積為2的△ABC（點(diǎn)C在格點(diǎn)上），且有一個(gè)內(nèi)角為鈍角；(2)在圖2中作一個(gè)等腰△ABC（點(diǎn)C在格點(diǎn)上）．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）先找到一個(gè)滿足面積是2的△ABC，比如點(diǎn)C在點(diǎn)A往后兩格，然后在過(guò)這個(gè)點(diǎn)作一條平行線可找到符合條件的點(diǎn)C，從而作出這樣的鈍角△ABC；（2）可通過(guò)找到點(diǎn)A或點(diǎn)B的距離是5的點(diǎn)即點(diǎn)C來(lái)找這樣的三角形．【詳解】（1）解：如下圖所示，△ABC即為所求做三角形；（2）如下圖所示，△ABC即為所求做三角形；（以下5圖答其一正確）【點(diǎn)睛】本題考查網(wǎng)格中的作圖，涉及等腰三角形的判定，三角形的面積公式等知識(shí)，掌握平行線間的距離相等和網(wǎng)格中找5長(zhǎng)度的線段是解題的關(guān)鍵．10．（2022秋·湖南邵陽(yáng)·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在△ABC中，AB=AC，CE平分∠ACB，EC=EA．

(1)求∠A的度數(shù)；(2)若BD⊥AC，垂足為D，BD交EC于點(diǎn)F，求∠1的度數(shù)．【答案】(1)∠A=36°(2)54°【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)垂直的定義和三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：∵EA=EC，∴設(shè)∠A=∠2=x，∵EC平分∠ACB，∴∠ACB=2x，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=2x，在△ABC中，∴x+2x+2x=180°，∴x=36°，∴∠A=36°；（2）解：∵∠A=∠2，∴∠2=36°，∵BD⊥AC，∴∠DFC=90°-36°=54°，∴∠1=∠DFC=54°．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和，熟練掌握三角形的內(nèi)角和是解題的關(guān)鍵．11．（2022秋·湖北隨州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，B、C分別在AD、AE的垂直平分線上，DE=12，∠ABC=50°，∠ACB=70°.求：

(1)△ABC的周長(zhǎng)；(2)∠DAE的度數(shù).【答案】(1)12(2)120°【分析】（1）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得BD=BA,CE=CA，進(jìn)而得出△ABC的周長(zhǎng)等于DE的長(zhǎng)，即可求解；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出∠BAC，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)，以及等邊對(duì)等角得出∠DAB,∠CAE，即可求解．【詳解】（1）解：∵B、C分別在AD、AE的垂直平分線上，∴BD=BA,CE=CA，又DE=12，∴△ABC的周長(zhǎng)為AB+BC+AC=DB+BC+EC=DE=12，（2）解：∵∠ABC=50°，∠ACB=70°，∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=60°，又BD=BA,CE=CA，∠ABC=∠BAD+∠BDA,∠ACB=∠AEC+∠CAE，∴∠DAB=∠BDA=12∠ABC=25°∴∠DAE=∠DAB+∠BAC+∠CAE=25°+60°+35°=120°．【點(diǎn)睛】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)，等邊對(duì)等角，三角形的外角的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．12．（2022秋·山西晉中·八年級(jí)?？计谥校┮阎喝鐖D，△ABC中，∠ABC與∠ACB的角平分線相交于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作DE∥BC，分別交AB、AC于點(diǎn)D、

(1)DE=DB+EC；(2)若AB=3，AC=2，則△ADE的周長(zhǎng)為________．【答案】(1)見解析(2)5【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義以及平行線的性質(zhì)可得DB=DF，EF=EC，即可得出結(jié)論；（2）由（1）知DB=DF，EF=EC，則△ADE的周長(zhǎng)=AB+AC，從而得出答案．【詳解】（1）證明：BF平分∠ABC，∴∠DBF=∠CBF，∵DE∥∴∠CBF=∠DFB，∴∠DBF=∠DFB，∴BD=DF，同理FE=EC，∵DE=DF+EF，∴DE=DB+EC；（2）解：由（1）知DB=DF，EF=EC，∴△ADE的周長(zhǎng)=AD+AE+ED=AD+DF+AE+EF=AD+BD∵AB=3，AC=2，∴△ADE的周長(zhǎng)為：AB+AC=5，故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)．正確地進(jìn)行線段的等量代換是解決問題的關(guān)鍵．13．（2021秋·湖北宜昌·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，∠BAC、∠ACB的平分線交于點(diǎn)M，過(guò)M作DE∥AC，分別交AB、BC于點(diǎn)D、E．求證：

【答案】見解析【分析】根據(jù)角平分線的定義及平行線的性質(zhì)即可證明MD=AD，根據(jù)角平分線的定義及平行線的性質(zhì)即可證明ME=CE，根據(jù)線段的和差即可得到結(jié)論．【詳解】證明：∵AM平分∠BAC，∴∠DAM=∠CAM，∵DE∥∴∠DMA=∠CAM，∴∠DMA=∠DAM，∴MD=AD，∵M(jìn)C平分∠ACB，∴∠ECM=∠ACM，∵DE∥∴∠EMC=∠ACM，∴∠EMC=∠ECM，∴ME=CE，∵M(jìn)D=AD，∴DE=MD+ME=AD+CE，即AD+CE=DE．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、角平分線，解題的關(guān)鍵是掌握等腰三角形中的相等的線段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是證明線段相等、角相等的重要手段．14．（2022秋·湖北隨州·八年級(jí)校考期中）已知：如圖，點(diǎn)C、D在△ABE的邊BE上，①BC=ED，②AB=AE，③AC=AD，④∠ACB=∠ADE．在其中任選兩個(gè)當(dāng)作條件、一個(gè)作結(jié)論組成一個(gè)正確的命題（只寫一組）.

【答案】①②為條件，③為結(jié)論（答案不唯一）【分析】選取①②，通過(guò)證明△ADE≌△ACB．可得③AD=AC．【詳解】解：證明：∵AB=AE，∴∠B=∠E．在△ADE和△ACB中，AE=AB∴△ADE≌△ACB．

∴AD=AC．故答案為：①②為條件，③為結(jié)論（答案不唯一）．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．15．（2023秋·湖北武漢·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，點(diǎn)B在線段AC上，點(diǎn)E在線段BD上，∠ABD=∠DBC，AB=DB，EB=CB，M，N分別是AE、

(1)BM=BN；(2)BM⊥BN．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）證△ABE≌△DBC，根據(jù)斜中半定理即可求證；（2）∠MBN=∠MBE+∠NBD，根據(jù)等邊對(duì)等角和全等三角形的性質(zhì)進(jìn)行等量代換即可求證．【詳解】（1）證明：∵∠ABD+∠DBC=180°,∠ABD=∠DBC，∴∠ABD=∠DBC=90°，∵AB=DB，EB=CB，∴△ABE≌△DBC，∴AE=CD，∵M(jìn)，N分別是AE、∴BM=1∴BM=BN（2）證明：∵△ABE≌△DBC，∠CDB=∠EAB，∵BM=1∴∠MBE=∠MEB,∠NBD=∠NDB，∵∠MBN=∠MBE+∠NBD，∴∠MBN=∠MEB+∠NDB=∠MEB+∠EAB=90°，∴BM⊥BN．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)、斜中半定理等知識(shí)點(diǎn)．熟記相關(guān)結(jié)論進(jìn)行幾何推理是解題關(guān)鍵．16．（2023秋·福建福州·八年級(jí)福建省福州屏東中學(xué)校考開學(xué)考試）如圖，點(diǎn)C是AB上一點(diǎn)，AC=BE，AD=BC，∠ADE=∠BED．

(1)尺規(guī)作圖：作∠DCE的平分線CF，交DE于點(diǎn)F；(2)證明：CF⊥DE．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)角平分線的作圖方法作圖即可．（2）根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)得到∠A=∠B再證明△ADC≌△BCE(SAS【詳解】（1）解：如圖，CF即為所求．

（2）證明：∵∠ADE=∠BED，∴AD∥∴∠A=∠B．在△ADC和△BCE中，AC=BE∠A=∠B∴△ADC≌△BCE(SAS∴CD=CE．又∵CF是∠DCE的角平分線，∴CF⊥DE．【點(diǎn)睛】本題考查尺規(guī)作圖、平行線的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵．17．（2022秋·河北唐山·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，BA⊥AF于點(diǎn)A，ED⊥DC于點(diǎn)D，點(diǎn)E、F在線段BC上，DE與AF交于點(diǎn)O，且AB=DC，BE=CF．

(1)求證：AF=DE；(2)若OP平分∠EOF，求證：OP垂直平分EF．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）證明△BAF≌△CDE，即可；（2）全等三角形的性質(zhì)和等角對(duì)等邊，得到OE=OF，再根據(jù)三線合一，即可得證．【詳解】（1）證明：∵BA⊥AF，ED⊥DC∴∠A=∠D=90°∵BE=CF∴BE+EF=CF+EF∴BF=CE在Rt△ABF和RtBF=CEAB=DC∴Rt∴AF=DE；（2）∵△ABF≌△DCE∴∠AFB=∠DEC∴OE=OF∵OP平分∠EOF∴OP垂直平分EF．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定定理，證明三角形全等，是解題的關(guān)鍵．18．（2023秋·山東聊城·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=AC，D是BC邊上的一點(diǎn)，以AD為邊在AD右側(cè)作△ADE，使AE=AD，連接CE，∠BAC=∠DAE=100°．(1)試說(shuō)明BD=CE；(2)若DE=DC，求∠CDE的度數(shù)．【答案】(1)見詳解(2)20°【分析】（1）根據(jù)∠BAC=∠DAE=100°，可得∠BAD=∠CAE，再證明△BAD≌△CAESAS（2）根據(jù)對(duì)等邊對(duì)等角以及三角形內(nèi)角和定理可得∠B=∠ACB=12180°-100°=40°，根據(jù)（1）中的△BAD≌△CAESAS【詳解】（1）∵∠BAC=∠DAE=100°，∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，∴∠BAD=∠CAE，∵AB=AC，AE=AD，∴△BAD≌△CAESAS∴BD=CE；（2）∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，∴∠B=∠ACB=1∵△BAD≌△CAESAS∴∠B=∠ACE=40°，∴∠DCE=∠ACB+∠ACE=80°，∵DE=DC，∴∠DCE=∠DEC=80°，∴∠CDE=180°-∠DCE-∠DEC=20°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊對(duì)等角，三角形內(nèi)角和定理，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，證明△BAD≌△CAESAS19．（2023秋·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)哈爾濱市第四十七中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知：在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D、點(diǎn)E在邊BC上，AD=AE．(1)如圖1，求證：BD=CE；(2)如圖2，當(dāng)∠BAC=90°,∠DAE=45°時(shí)，過(guò)點(diǎn)B作BF∥AC交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，在不添加任何輔助線的情況下，請(qǐng)直接寫出圖2中的所有頂角為45°的等腰三角形．【答案】(1)見解析(2)△ADE，△ACD,△DAE,△DBF【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠B=∠C，∠ADE=∠AED，從而得到∠ADB=∠AEC，可證明△ABD≌（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和判定即可求解．【詳解】（1）證明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED，∴∠ADB=∠AEC，在△ABD和△ACE中，∵∠B=∠C，∠ADB=∠AEC，AD=AE，∴△ABD≌∴BD=CE；（2）解：∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED，∵∠DAE=45°，∴△ADE是頂角為45°的等腰三角形；∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=∠C=45°，∵BF∥AC，∴∠FBD=∠C=45°，∵△ABD≌∴∠BAD=∠CAE，∵∠DAE=45°，∠BAC=90°，∴∠BAD=∠CAE=22.5°，∴∠CAD=∠BAE=∠BAD+∠DAE=67.5°，∠AEB=∠C+∠CAE=67.5°,∠BDF=∠ADE=∠ABC+∠BAD=67.5°，∴∠BAE=∠AEB=∠ADC=∠CAD，∠F=∠BDF=67.5°，∴△ACD,△DAE,△DBF是頂角為45°的等腰三角形．【點(diǎn)睛】考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與定理．20．（2023秋·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知△ABC,E是BA延長(zhǎng)線上的點(diǎn)．

(1)過(guò)點(diǎn)A在射線BE右側(cè)作AD∥(2)在（1）的條件下，若AB=AC，求證：AD平分∠CAE．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）如圖所示，作∠EAD=∠B，從而利用同位角相等可得兩直線平行；（2）由平行線的性質(zhì)先證明∠EAD=∠B,∠DAC=∠C，再證明∠B=∠C，結(jié)合等量代換可得結(jié)論．【詳解】（1）解：如圖所示，AD為所求作的直線；

（2）∵AD∥BC，∴∠EAD=∠B,∠DAC=∠C，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠EAD=∠DAC，∴AD平分∠CAE．【點(diǎn)睛】本題考查的是作已知直線的平行線，平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，等腰三角形的性質(zhì)，熟記平行線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．21．（2022春·河南焦作·八年級(jí)?？计谥校┮阎}：“等腰三角形一腰上的高與底邊的夾角等于頂角的一半．”為了探究該命題是否正確，小明采用分類討論思想，從直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形三個(gè)角度進(jìn)行思考，先對(duì)前兩種情況畫出了圖形，寫出了已知、求證并給出了證明在探究在鈍角三角形中是否正確時(shí)遇到了困難，請(qǐng)你補(bǔ)全圖形，寫出已知、求證，并給出證明．

【答案】見解析【分析】過(guò)A作AH⊥BC于H，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠BAH=12∠BAC，∠ABC=∠C，再由BD⊥AC【詳解】解：已知：如圖，AB=AC,BD⊥AC交CA的延長(zhǎng)線于D，求證：∠DBC=1證明：過(guò)A作AH⊥BC于H，

∵AB=AC，∴∠BAH=12∠BAC∵BD⊥AC，∴∠BDC=∠AHB=90°，∴∠DBC+∠C=90°,∠ABC+∠BAH=90°，∴∠DBC=∠BAH，∴∠DBC=1【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．22．（2023秋·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)東北師大附中?？奸_學(xué)考試）在△ABC中，∠BAC=90°，點(diǎn)D是BC上一點(diǎn)，將△ABD沿AD翻折后得到△AED，邊AE交射線BC于點(diǎn)F．

(1)如圖①，當(dāng)AE⊥BC時(shí)，求證：DE∥AC．(2)若∠C=2∠B，∠BAD=x°0<x<60①如圖②，當(dāng)DE⊥BC時(shí)，x的值為___________；②當(dāng)△DEF是等腰三角形時(shí)，直接寫出x的值．【答案】(1)見解析(2)①15°；②存在，22.5或45【分析】（1）由同角的余角相等可得∠CAF=∠B，由折疊的性質(zhì)可得∠B=∠E，從而得到∠CAF=∠E，最后根據(jù)平行線的判定即可得證；（2）①根據(jù)三角形內(nèi)角和定理分別求出∠C=60°，∠B=30°，根據(jù)折疊的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可；②分三種情況：當(dāng)∠DFE=∠FDE時(shí)；當(dāng)∠DFE=∠E=30°時(shí)；當(dāng)∠EDF=∠E=30°，分別進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）證明：∵∠BAC=90°，AE⊥BC，∴∠CAF+∠BAF=90°，∠B+∠BAF=90°，∴∠CAF=∠B，由翻折可知，∠B=∠E，∴∠CAF=∠E，∴AC∥DE；（2）解：①∵∠C=2∠B，∠C+∠B=90°，∴∠C=60°，∠B=30°，∵DE⊥BC，∠E=∠B=30°，∴∠BFE=60°，∵∠BFE=∠B+∠BAF，∴∠BAF=30°，由翻折可知，x=∠BAD=1故答案為：15°；②∵∠BAD=x°，∠FDE=180°-∠E-∠FAD-∠ADF=180°-∠E-∠FAD-∠B-∠BAD=180°-30°-x°-30°-x°=120°-2x°，∠DFE=∠B+∠BAF=30°+2x°，∴當(dāng)∠DFE=∠FDE時(shí)，即120°-2x°=30°+2x°，解得x=22.5，即x的值為22.5，當(dāng)∠DFE=∠E=30°時(shí)，2x°+30°=30°，解得x=0，∵0<x<60，∴不合題意，故舍去；當(dāng)∠EDF=∠E=30°，120°-2x°=30°，解得x=45，綜上可知，當(dāng)△DEF是等腰三角形時(shí)，x的值為22.5或45．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是折疊的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理和外角性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的判定，熟練掌握折疊的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理和外角性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的判定，是解題的關(guān)鍵．23．（2021秋·福建莆田·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在△ABC中，EF垂直平分AC，交AC于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)E，AD⊥BC，且BD=DE，連接AE．

(1)若∠BAE=44°，求∠C的度數(shù)．(2)若AC=7cm，DC=5cm，求△ABC的周長(zhǎng)．【答案】(1)34°(2)17cm【分析】（1）由條件可推AD垂直平分BE，得∠BAD=∠EAD；根據(jù)EF垂直平分AC，設(shè)∠EAC=∠C=x，求出∠EAD建立方程即可求解；（2）根據(jù)C△ABC=AB+BC+AC=AB+BD+DC+AC結(jié)合AB=AE=CE【詳解】（1）解：∵AD⊥BC，且BD=DE∴AD垂直平分BE∴AB=AE,∠BAD=∠EAD∵EF垂直平分AC∴EA=EC,∠EAC=∠C設(shè)∠EAC=∠C=x，則∠AED=2x∵∠BAE=44°，∠BAD=∠EAD∴∠EAD=即2x=68°，解得x=34故∠C=34°（2）解：由（1）可得：AB=AE=CE，BD=DE∵C∴C△ABC=CE+DE+DC+AC=2DC+AC=17【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)、等邊對(duì)等角等知識(shí)點(diǎn)．熟記相關(guān)結(jié)論是解題關(guān)鍵．24．（2022秋·福建福州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，AC>BC，∠A=45°，點(diǎn)D是AB邊上一點(diǎn)，且CD=CB，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥CD于點(diǎn)E，與AC交于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥BD，垂足為點(diǎn)G．

(1)求證：∠BCD=2∠ABF；(2)判斷△BCF的形狀，并說(shuō)明理由．【答案】(1)見解析(2)等腰三角形，見解析【分析】（1）過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AB于點(diǎn)G，根據(jù)直角三角形的兩銳角互余及角平分線的定義即可得解；（2）由∠A=45°，CG⊥AB得出∠ACG=45°，即得∠ACB=45°+∠BCG，根據(jù)三角形外角定理得出∠BFC=45°+∠ABF，由（1）知∠BCG=∠ABF，可得∠BCF=∠BFC，由“等角對(duì)等邊”即可得解．【詳解】（1）證明：如圖，

∵BC=DC，∴△BCD為等腰三角形，∵CG⊥BD，∴∠DCG=∠BCG=∠DCG+∠CDG=90°，∵BF⊥CD于點(diǎn)E，∴∠ABF+∠CDG=90°，∠ABF=∠DCG=1∠BCD=2∠ABF；（2）解：△BCF是等腰三角形，理由：∵∠A=45°，CG⊥AB，∴∠ACG=45°，∵∠ACB=∠ACG+∠BCG=45°+∠BCG，∠BFC=∠A+∠ABF=45°+∠ABF，由（1）知∠BCG=∠DCG=∠ABF，∴∠BCF=∠BFC，∴BC=BF，∴△BCF是等腰三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的兩銳角互余，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．25．（2023秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)D、E在△ABC的邊BC上，AB=AC．

(1)若AD=AE，求證：BD=CE；(2)若BD=CE，F(xiàn)為DE的中點(diǎn)，如圖②，求證：AF⊥BC．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）由等腰三角形三線合一，得BG=CG，（2）先求證BF=CF，根據(jù)等腰三角形三線合一求證結(jié)論．【詳解】（1）證明：如圖①，過(guò)A作AG⊥BC于G．∵AB=AC，∴BG=CG，∴BG-DG=CG-EG，∴BD=CE；（2）∵BD=CE，F(xiàn)為DE的中點(diǎn)，∴BD+DF=CE+EF，∴BF=CF∵AB=AC，∴AF⊥BC．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形三線合一的性質(zhì)；熟練運(yùn)用三線合一的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．26．（2021春·上海松江·七年級(jí)校考期中）如圖，在△ABC中，已知D是BC邊的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D的直線GF交AC于F，交AC的平行線BG于點(diǎn)G，DE⊥GF，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，聯(lián)結(jié)EG．(1)說(shuō)明BG與CF相等的理由；(2)說(shuō)明∠BGD與∠DGE相等的理由．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）求出BD=DC，∠GBD=∠DCF，證出（2）根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)得出EF=EG，求出∠DFE=∠DGE，【詳解】（1）解：∵D為BC中點(diǎn)，∴BD=DC（中點(diǎn)的定義），∵BG∥∴∠GBD=∠DCF（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），在△BDG和△CDF中，∠GBD=∠FCDBD=CD∴△BDG≌△CDFASA∴BG=CF（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）；（2）解：∵△BDG≌△CDF，∴∠DFE=∠BGD，DG=DF，即D是GF邊的中點(diǎn)，∵DE⊥GF，即DE為線段GF的中垂線，∴EF=EG，∴∠DFE=∠DGE（等邊對(duì)等角），∴∠BGD=∠DGE（等量代換）．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)．解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，證明三角形全等．、27．（江蘇省泰州市部分農(nóng)村學(xué)校2023-2024學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題（第一次月考））如圖，在△ABC中，AB=AC=4，∠B=∠C=40°，點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)（D不與B、C重合），連接AD，作∠ADE=40°，DE交線段

(1)當(dāng)∠BDA=110°時(shí)，∠DEC=°；點(diǎn)D從B向C運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠BDA逐漸變（填“大”或“(2)當(dāng)DC為何值時(shí)，△ABD≌(3)在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，若△ADE是等腰三角形，求∠BDA【答案】(1)110°，小(2)DC=4，理由見解析(3)110°或80°【分析】（1）由平角的定義求出∠CDA，進(jìn)而求出∠CDE的度數(shù)，最后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求出∠DEC，由三角形內(nèi)角和定理可判斷∠BDA的變化；（2）當(dāng)DC=4時(shí)，由“ASA”可證△ABD≌（3）根據(jù)題意進(jìn)行分類討論：①當(dāng)AD=AE時(shí)，不符合題意，舍去；②當(dāng)AD=ED時(shí)，③當(dāng)AE=DE時(shí)．【詳解】（1）解：∵∠BDA=110°∴∠CDA=180°-110°=70°，∵∠ADE=40°∴∠CDE=∠CDA-∠ADE=70°-40°=30°，∵∠C=40°∴∠DEC=180°-∠C-∠CDE=180°-30°-40°=110°；有圖可知，點(diǎn)D從B向C運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠BAD逐漸變大，∴在△ABD中，∠BDA故答案為：110°，?。唬?）解：當(dāng)DC=4時(shí)，△ABD≌理由如下：∵∠ADC=∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE，∠ADE=40°∴∠BAD=∠CDE，∵AB=4，∴AB=DC，∵∠B=∠C，AB=DC∴△ABD≌（3）解：①當(dāng)AD=AE時(shí)，∵∠ADE=40°，∴∠AED=40°，∵∠ACD=40°，∴點(diǎn)E和點(diǎn)C重合，不符合題意；②當(dāng)AD=ED時(shí)，∵∠ADE=40°，∴∠DAE=∠DEA=1∵∠B=∴∠BAC=180°-2×40°=100°，∴∠BAD=∠BAC-∠DAE=30°，∴∠BDA=180°-∠B-∠BAD=180°-40°-30°=110°；③當(dāng)AE=DE時(shí)，∵∠ADE=40°，∴∠DAE=40°，∵∠C=40°，∴∠BDA=∠C+∠DAE=40°+40°=80°．綜上：∠BDA=110°或80°．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，靈活運(yùn)用相關(guān)的性質(zhì)定理、綜合運(yùn)用知識(shí)是解題的關(guān)鍵，注意分情況討論思想的應(yīng)用．28．（2023秋·河南信陽(yáng)·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AD是∠