專(zhuān)題01空間向量及其運(yùn)算八個(gè)重難點(diǎn)歸類(lèi)（解析版）2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中期末重難點(diǎn)歸類(lèi)及真題訓(xùn)練 （人教A版2019）

第第頁(yè)專(zhuān)題01空間向量及其運(yùn)算八個(gè)重難點(diǎn)歸類(lèi)一、空間直角坐標(biāo)系及有關(guān)概念1．空間直角坐標(biāo)系在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，如果中指指向z軸的正方向，則稱(chēng)這個(gè)坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系，如圖所示.2．空間兩點(diǎn)間的距離公式、中點(diǎn)公式（1）距離公式①設(shè)點(diǎn)，為空間兩點(diǎn)，則兩點(diǎn)間的距離.②設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)O之間的距離為.（2）中點(diǎn)公式設(shè)點(diǎn)為，的中點(diǎn)，則.3．空間向量的有關(guān)概念空間向量：在空間中，具有大小和方向的量單位向量：長(zhǎng)度(或模)為1的向量零向量：長(zhǎng)度(或模)為0的向量相等向量：方向相同且模相等的向量二、空間向量的有關(guān)定理及運(yùn)算1.共線向量定理對(duì)空間任意兩個(gè)向量，的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使得推論：對(duì)空間任意一點(diǎn)O，點(diǎn)P在直線AB上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t，使（其中）.2.共面向量定理如果兩個(gè)向量不共線，那么向量與向量共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使.推論：空間一點(diǎn)P位于平面ABC內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使；或?qū)臻g任意一點(diǎn)O，有.3.空間向量基本定理如果三個(gè)向量不共面，那么對(duì)空間任一向量，存在有序?qū)崝?shù)組，使得.其中，{}叫做空間的一個(gè)基底，都叫做基向量.注意：（1）空間任意三個(gè)不共面的向量都可構(gòu)成基底；（2）基底選定后，空間的所有向量均可由基底唯一表示；（3）不能作為基向量.4.空間向量的運(yùn)算設(shè)，則，，，，，，.【重難點(diǎn)一空間向量的有關(guān)概念】例1．（多選）如圖所示，在長(zhǎng)方體中，，，，則在以八個(gè)頂點(diǎn)中的兩個(gè)分別為始點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中（

）

A．單位向量有8個(gè) B．與相等的向量有3個(gè)C．的相反向量有4個(gè) D．模為的向量有4個(gè)【答案】ABC【分析】根據(jù)單位向量、相等向量、相反向量和向量的模的概念逐項(xiàng)分析可得答案.【詳解】由題可知單位向量有，，，，，，，，共8個(gè)，故A正確；與相等的向量有，，，共3個(gè)，故B正確；向量的相反向量有，，，，共4個(gè)，故C正確；模為的向量分別為，，，，，，，，共8個(gè)，故D錯(cuò)誤．故選：ABC例2．給出下列幾個(gè)命題：①方向相反的兩個(gè)向量是相反向量；②若，則或；③對(duì)于任何向量，，必有．其中正確命題的序號(hào)為．【答案】③【分析】根據(jù)相反向量的定義可以判斷①；兩個(gè)向量模相等，這兩個(gè)不一定是相等向量或相反向量可以判斷②；通過(guò)對(duì)，同向，反向，不共線進(jìn)行分類(lèi)討論，結(jié)合三角形法則和三邊關(guān)系則可以判定③.【詳解】對(duì)于①，長(zhǎng)度相等且方向相反的兩個(gè)向量是相反向量，故①錯(cuò)；對(duì)于②，若，則與的長(zhǎng)度相等，但方向沒(méi)有任何聯(lián)系，故②不正確；對(duì)于③，若與同向，則，若與反向，，若與不共線，結(jié)合三角形法則和三角形三邊關(guān)系，兩邊之和大于第三邊，所以，綜上必有，所以③正確．

故答案為：③1.在空間中,零向量、單位向量、向量的模、相等向量、相反向量等概念和平面向量中相對(duì)應(yīng)的概念完全相同.1.在空間中,零向量、單位向量、向量的模、相等向量、相反向量等概念和平面向量中相對(duì)應(yīng)的概念完全相同.2.由于向量是由其模和方向確定的,因此解答空間向量有關(guān)概念問(wèn)題時(shí),通常抓住這兩點(diǎn)來(lái)解決.3.零向量是一個(gè)特殊向量,其方向是任意的,且與任何向量都共線,這一點(diǎn)說(shuō)明了共線向量不具備傳遞性.【跟蹤練習(xí)】練習(xí)1．（多選）下列命題為真命題的是（）A．若空間向量，滿足，則B．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，必有＝C．若空間向量，，滿足，，則D．空間中，，，則【答案】BC【分析】由向量相等的條件和向量共線的定義判斷各個(gè)選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，兩個(gè)向量相等，但方向不一定相同，不能得到，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B，由正方體的結(jié)構(gòu)特征可知，與長(zhǎng)度相等，方向相同，有＝，B選項(xiàng)正確；對(duì)于C，空間向量，，滿足，，即與長(zhǎng)度相等方向相同，與長(zhǎng)度相等方向相同，則有與長(zhǎng)度相等方向相同，有，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D，時(shí)，滿足，，但不能得到，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC練習(xí)2．（多選）給出下列命題，其中正確的命題是（

）A．若空間向量，滿足，則B．空間任意兩個(gè)單位向量必相等C．在正方體中，必有D．向量的模為【答案】CD【分析】根據(jù)空間向量的定義以及模長(zhǎng)即可結(jié)合選項(xiàng)逐一判斷.【詳解】對(duì)于A，兩個(gè)向量相等需要方向相同，模長(zhǎng)相等，所以不能得到.A錯(cuò)誤，對(duì)于B，空間任意兩個(gè)單位向量的模長(zhǎng)均為1，但是方向不一定相同，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C，在正方體中，的方向相同，長(zhǎng)度相等，故，故C正確對(duì)于D，向量的模為，故D正確，故選：CD練習(xí)3．（多選）下列命題正確的是（

）A．空間中所有的單位向量都相等B．若，則C．若，滿足，且，同向，則D．對(duì)于任意向量，，必有【答案】BD【分析】根據(jù)向量的基本概念即可求解.【詳解】對(duì)于A：向量相等需要滿足兩個(gè)條件：長(zhǎng)度相等且方向相同，缺一不可，故A錯(cuò)；對(duì)于B：根據(jù)平行向量和相等向量的定義可知B正確；對(duì)于C：向量不能比較大小，故C錯(cuò)；對(duì)于D：根據(jù)向量的模的三角不等式知正確；故選：BD.練習(xí)4．（多選題）下列說(shuō)法中，正確的是（）A．在正方體ABCD--A1B1C1D1中，＝B．＝的充要條件是A與C重合，B與D重合C．若＝－，則，互為相反向量D．若，互為相反向量，則＝－【答案】ACD【分析】利用向量的定義可判斷出A正確；再由相等向量和相反向量的定義可判斷出B錯(cuò)誤，C，D正確.【詳解】由向量的定義得A正確；對(duì)于B,由，知，且與同向，但A與C，B與D不一定重合，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，且，為非零向量，所以，互為相反向量，C正確；對(duì)于D，，互為相反向量，則，則D正確.故選：ACD.【重難點(diǎn)二空間向量的線性運(yùn)算】例3．如圖，空間四邊形OABC中，，點(diǎn)M在上，且，點(diǎn)N為BC中點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)空間向量的加減和數(shù)乘運(yùn)算直接求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，又點(diǎn)N為BC中點(diǎn)，所以，所以.故選：B.例4．（多選）空間四邊形ABCD中，若E，F(xiàn)，G，H分別為AB，BC，CD，DA邊的中點(diǎn)，則下列各式成立的是（）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】由空間向量的加法運(yùn)算法則對(duì)選項(xiàng)一一判斷即可得出答案.【詳解】易知四邊形EFGH為平行四邊形，所以，故A不成立；，故B成立；，故C成立；，故D成立.故選：BCD.

用已知向量表示未知向量,是向量線性運(yùn)算的基礎(chǔ)類(lèi)型,解決這類(lèi)問(wèn)題,要注意兩個(gè)方面:用已知向量表示未知向量,是向量線性運(yùn)算的基礎(chǔ)類(lèi)型,解決這類(lèi)問(wèn)題,要注意兩個(gè)方面:（1）熟練掌握空間向量線性運(yùn)算法則和運(yùn)算律.（2）要注意數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用【跟蹤練習(xí)】練習(xí)1．平行六面體中，化簡(jiǎn)（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合向量的加減法法則，即可求解．【詳解】

為平行四面體，故選：A．練習(xí)2．如圖，給定長(zhǎng)方體，點(diǎn)在棱的延長(zhǎng)線上，且．設(shè)，，，試用、、的線性組合表示下列向量：

(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】根據(jù)空間向量加減運(yùn)算法則，將各向量表示成以為基底即可．【詳解】（1）．（2）．（3）．（4）．練習(xí)3．如圖，在四面體中，點(diǎn)、、分別是棱、、的中點(diǎn)，點(diǎn)、、分別是棱、、的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)．試判斷下列各組中的三點(diǎn)是否共線：

(1)、、；(2)、、．【答案】(1)、、三點(diǎn)共線，證明見(jiàn)解析；(2)、、三點(diǎn)共線，證明見(jiàn)解析.【分析】（1）用分別表示即可求解；（2）用分別表示即可求解.【詳解】（1）,,所以，所以、、三點(diǎn)共線.（2）,,所以，所以、、三點(diǎn)共線.練習(xí)4．在空間四邊形ABCD中，G為的重心，E，F(xiàn)，H分別為邊CD，AD和BC的中點(diǎn)，化簡(jiǎn)下列各表達(dá)式.(1)；(2).【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)空間向量的運(yùn)算法則運(yùn)算即可；（2）根據(jù)空間向量的運(yùn)算法則運(yùn)算即可求解；【詳解】（1）根據(jù)空間向量的運(yùn)算法則，可得.（2）分別取AB，AC的中點(diǎn)P，Q，連接PH，QH，則四邊形APHQ為平行四邊形，且有根據(jù)空間向量的運(yùn)算法則，可得.

【重難點(diǎn)三共面向量定理】例5．（多選）已知A，B，C三點(diǎn)不共線，對(duì)平面ABC外的任一點(diǎn)O，下列條件中不能確定點(diǎn)M，A，B，C共面的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】利用向量四點(diǎn)共面的結(jié)論進(jìn)行判斷即可.【詳解】設(shè)，若點(diǎn)與點(diǎn)共面，則，逐一檢驗(yàn)各選項(xiàng)，可知只有選項(xiàng)D確定點(diǎn)M，A，B，C共面.故選：ABC.例6．已知，若向量共面，則（

）A．2 B． C．3 D．6【答案】C【分析】根據(jù)所給的三個(gè)向量的坐標(biāo)，寫(xiě)出三個(gè)向量共面的條件，點(diǎn)的關(guān)于要求的兩個(gè)方程組，解方程組即可．【詳解】,,，,3,，,6,，三個(gè)向量共面，，,,,3,,6,，解得：故選：C．利用向量方法證明四點(diǎn)共面的基本途徑：利用向量方法證明四點(diǎn)共面的基本途徑：對(duì)空間任意四點(diǎn)，可通過(guò)證明下列結(jié)論來(lái)證明四點(diǎn)共面：（1）.（2）對(duì)空間任意一點(diǎn).（3）對(duì)空間任意一點(diǎn).【跟蹤練習(xí)】練習(xí)1．已知三棱錐的體積為13，是空間中一點(diǎn)，，則三棱錐的體積是（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】根據(jù)空間向量基本定理，結(jié)合四點(diǎn)共面性質(zhì)、共線向量的性質(zhì)、三棱錐體積的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】由，因?yàn)椋栽谄矫鎯?nèi)存在一點(diǎn)，使得成立，即，，故選：C

練習(xí)2．已知空間三點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，，點(diǎn)在平面內(nèi)，則實(shí)數(shù)的值為．【答案】【分析】根據(jù)題意,存在實(shí)數(shù)使得等式成立,將各點(diǎn)坐標(biāo)代入,列出方程組求解即可.【詳解】點(diǎn)在平面內(nèi),存在實(shí)數(shù)使得等式成立,,，解得.故答案為：練習(xí)3．已知向量，，是空間向量的一組基底，，，，若A，B，C，D四點(diǎn)共面．則實(shí)數(shù)的值為．【答案】【分析】根據(jù)點(diǎn)共面可得向量共面，進(jìn)而根據(jù)平面向量基本定理即可列等式求解.【詳解】由于A，B，C，D四點(diǎn)共面，所以存在唯一的實(shí)數(shù)對(duì)，使得,即，所以，故答案為：練習(xí)4．如圖，在長(zhǎng)方體中，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)是面對(duì)角線與的交點(diǎn)，試判斷向量與、是否共面．

【答案】向量與、共面．【分析】由空間向量的共面定理求解即可.【詳解】因?yàn)?，．所以，所以，向量與、共面．【重難點(diǎn)四向量的數(shù)量積運(yùn)算】例7．（多選）如圖，在四棱錐中，底面ABCD，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的菱形，且，，則（

）

A． B．C． D．【答案】BD【分析】利用數(shù)量積的定義和運(yùn)算律，結(jié)合圖形，即可求解.【詳解】因?yàn)榈酌鍭BCD，所以垂直于平面內(nèi)的任何一條直線，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是邊長(zhǎng)為1的菱形，且，所以和是等邊三角形，A.，故A錯(cuò)誤；B.，故B正確；C.，故C錯(cuò)誤；D.，故D正確.故選：BD例8．已知向量，則＝（）A．6 B．7C．9 D．13【答案】C【分析】根據(jù)空間向量加法與數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可.【詳解】因?yàn)樗?故選：C.在幾何體中求空間向量的數(shù)量積，首先要充分利用向量所在的圖形,將各向量分解成已知模和夾角的向量的組合形式；其次利用向量的運(yùn)算律將數(shù)量積展開(kāi),轉(zhuǎn)化為已知模和夾角的向量的數(shù)量積；最后利用數(shù)量積的定義求解即可.注意挖掘幾何體中的垂直關(guān)系或者特殊角.在幾何體中求空間向量的數(shù)量積，首先要充分利用向量所在的圖形,將各向量分解成已知模和夾角的向量的組合形式；其次利用向量的運(yùn)算律將數(shù)量積展開(kāi),轉(zhuǎn)化為已知模和夾角的向量的數(shù)量積；最后利用數(shù)量積的定義求解即可.注意挖掘幾何體中的垂直關(guān)系或者特殊角.【跟蹤練習(xí)】練習(xí)1．柏拉圖多面體是柏拉圖及其追隨者對(duì)正多面體進(jìn)行系統(tǒng)研究后而得名的幾何體．下圖是棱長(zhǎng)均為1的柏拉圖多面體，分別為的中點(diǎn)，則（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)向量運(yùn)算得，，再求即可.【詳解】由柏拉圖多面體的性質(zhì)可知，側(cè)面均為等邊三角形，四邊形為邊長(zhǎng)為1的菱形，又≌，所以，故四邊形為正方形，同理四邊形也為正方形．

取的中點(diǎn)，連接，則，同理，．故選：A．練習(xí)2．已知空間向量，且，則與的夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用空間向量坐標(biāo)運(yùn)算，求出n值，再利用夾角公式計(jì)算作答.【詳解】向量，則，由，得，解得，，因此，，，所以與的夾角的余弦值.故選：B練習(xí)3．如圖，長(zhǎng)方體中，，，點(diǎn)P為線段上一點(diǎn)，則的最小值為．

【答案】/0.75【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)，，求出，求出最小值.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，

則，當(dāng)時(shí)，的最小值為.故答案為：練習(xí)4．如圖，棱長(zhǎng)為的正四面體中，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，求與．

【答案】；.【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算表示向量，然后根據(jù)向量的運(yùn)算律及向量數(shù)量積的定義運(yùn)算即得.【詳解】因?yàn)?，所以；因?yàn)?，所?【重難點(diǎn)五空間向量基本定理】例9．已知，，是不共面的三個(gè)向量，則能構(gòu)成空間的一個(gè)基底的一組向量是（）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】C【分析】利用空間向量的基底的定義，逐項(xiàng)判斷作答.【詳解】向量是不共面的三個(gè)向量，對(duì)于A，，則向量共面，A不能構(gòu)成空間基底；對(duì)于B，，則向量共面，B不能構(gòu)成空間基底；對(duì)于D，，則向量共面，D不能構(gòu)成空間基底；對(duì)于C，假定向量共面，則存在不全為0的實(shí)數(shù)，使得，整理得，而向量不共面，則有，顯然不成立，所以向量不共面，能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，C能構(gòu)成空間基底.故選：C例10．平行六面體中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都為1，且兩兩夾角為.(1)求線段的長(zhǎng)；(2)若，，，用空間向量的一組基底表示向量.【答案】(1)；(2).【分析】（1）易得，根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算律結(jié)合已知條件可求出，即可得出結(jié)果；（2）設(shè).由以及不共面，得出方程組，求解即可得出結(jié)果.【詳解】（1）解：因?yàn)?，所?，所以，所以線段的長(zhǎng)為.（2）解：.設(shè)，，則.因?yàn)椴还裁?，所以有，解?所以.用基底表示向量的三個(gè)步驟：用基底表示向量的三個(gè)步驟：（1）定基底:根據(jù)已知條件,確定三個(gè)不共面的向量構(gòu)成空間的一個(gè)基底.（2）找目標(biāo):用確定的基底(或已知基底)表示目標(biāo)向量,需要根據(jù)三角形法則及平行四邊形法則,結(jié)合相等向量的代換、向量的運(yùn)算進(jìn)行變形、化簡(jiǎn),最后求出結(jié)果.（3）下結(jié)論:利用空間向量的一個(gè)基底可以表示出空間所有向量.表示要徹底,結(jié)果中只能含有,不能含有其他形式的向量.【跟蹤練習(xí)】練習(xí)1．（多選）是空間的一個(gè)基底，與?構(gòu)成基底的一個(gè)向量可以是（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】根據(jù)空間基底、共面等知識(shí)確定正確答案.【詳解】由于，所以、、共面，不能構(gòu)成基底，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.由于，所以、?共面，不能構(gòu)成基底，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.假設(shè)，則，但此方程組無(wú)解，所以、?不共面，可以構(gòu)成基底，A選項(xiàng)正確.假設(shè)，則，但此方程組無(wú)解，所以、?不共面，可以構(gòu)成基底，C選項(xiàng)正確.故選：AC練習(xí)2．已知是空間的一個(gè)基底，且，，，.(1)求證：，，，四點(diǎn)共面；(2)能否作為空間的一個(gè)基底?若能，試用這一基底表示；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)不能作為基底，理由見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)向量的線性(加減)關(guān)系判斷是否成立，即可證結(jié)論；（2）判斷是否成立即可.【詳解】（1）由，，而，則，所以，，，四點(diǎn)共面；（2）若共面，則，即，所以，則，可得，所以，故不能作為基底.練習(xí)3．已知是空間的一個(gè)單位正交基底，向量，是空間的另一個(gè)基底，用基底表示向量．【答案】【分析】設(shè)，又，根據(jù)對(duì)應(yīng)系數(shù)相等列方程組求解即可.【詳解】設(shè)，則，所以，得．故．故答案為：練習(xí)4．已知為空間的一個(gè)基底，且，，，．(1)判斷四點(diǎn)是否共面；(2)能否以作為空間的一個(gè)基底？若能，試以這一組基表示；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)四點(diǎn)不共面(2)能，．【分析】（1）假設(shè)四點(diǎn)共面，然后利用空間向量共面定理列方程求解；（2）先判斷不共面，再利用空間向量基本定理列方程求解.【詳解】（1）假設(shè)四點(diǎn)共面，則存在實(shí)數(shù)，使，且，即比較對(duì)應(yīng)的系數(shù)，得到關(guān)于的方程組，解得與矛盾，故四點(diǎn)不共面．（2）若共面，則存在實(shí)數(shù)，使，所以，所以，方程組無(wú)解，所以不共面，所以可以作為空間的一組基底，令，所以，解得所以.【重難點(diǎn)六解決兩直線的平行垂直問(wèn)題】例11．設(shè)，向量，且，則（

）A． B． C．3 D．【答案】A【分析】利用空間向量的平行、垂直以及數(shù)量積的坐標(biāo)表示求解.【詳解】因?yàn)椋?，解得，所以又因?yàn)?，所以，解得，所以，所以，則，故選：A.例12．（多選）在等腰梯形中，分別是的中點(diǎn)，沿將折起至，使平面平面（如圖）.已知，下列四個(gè)結(jié)論正確的是（

）

A． B．C． D．【答案】ACD【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求方向向量，看數(shù)量積是否為零，則選項(xiàng)可判定.【詳解】因?yàn)榈妊菪沃校謩e是的中點(diǎn)，所以，,所以為二面角的平面角，又平面平面，所以，即,設(shè)，以點(diǎn)M為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，∴,，，,,，,，∴,,.故選:ACD.向量平行與垂直問(wèn)題的兩種類(lèi)型：向量平行與垂直問(wèn)題的兩種類(lèi)型：（1）平行與垂直的判斷.①應(yīng)用向量的方法判定兩直線平行,只需判斷兩直線的方向向量是否共線.②判斷兩直線是否垂直,關(guān)鍵是判斷兩直線的方向向量是否垂直,即判斷兩向量的數(shù)量積是否為0.（2）平行與垂直的應(yīng)用.①適當(dāng)引入?yún)?shù)(比如向量平行,可設(shè)),建立關(guān)于參數(shù)的方程.②選擇坐標(biāo)形式,以達(dá)到簡(jiǎn)化運(yùn)算的目的.【跟蹤練習(xí)】練習(xí)1．已知長(zhǎng)方體中，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求出的坐標(biāo)，利用得坐標(biāo)，然后利用可得．【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則．，

，解得，，，，解得．故選：C．練習(xí)2．（多選）已知空間中三點(diǎn)，，，則（

）A．B．與方向相反的單位向量的坐標(biāo)是C．D．在上的投影向量的模為【答案】AB【分析】A選項(xiàng)，驗(yàn)證是否等于0即可；B選項(xiàng)，與方向相反的單位向量為，即可判斷選項(xiàng)正誤；C選項(xiàng)，驗(yàn)證是否存在非零實(shí)數(shù)，使即可；D選項(xiàng)，在上的投影向量的模為，據(jù)此可判斷選項(xiàng)正誤.【詳解】由題，.A選項(xiàng)，，則，故A正確；B選項(xiàng)，，則，故B正確；C選項(xiàng)，設(shè)，則，即不存在，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，，則，故D錯(cuò)誤.故選：AB練習(xí)3．設(shè).(1)若//，求的值；(2)若，求的值．【答案】(1)(2)【分析】先求出和的表達(dá)式，然后根據(jù)向量的平行和垂直列式求解.【詳解】（1）依題意得，，，若//，則，解得.（2）由，則，解得練習(xí)4．如圖所示，在四棱錐中，底面為矩形，平面，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，，求證：．

【答案】證明見(jiàn)解析【分析】證法一：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸?軸?軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出的坐標(biāo)，利用空間向量共線的坐標(biāo)表示可得答案；證法二：由空間向量的線性表示可得答案.【詳解】證法一：由題意知，直線兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸?軸?軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，所以，所以，又，故．證法二：由題意可得，又，所以．

【重難點(diǎn)七解決模長(zhǎng)及夾角問(wèn)題】例13．已知，，則以為鄰邊的平行四邊形的面積為．【答案】【分析】將平行四邊形分成兩個(gè)三角形，利用三角形的面積公式結(jié)合向量的夾角公式進(jìn)行求解.【詳解】設(shè)的夾角為，則，故，根據(jù)夾角公式，，于是，不妨設(shè)，，以為鄰邊的平行四邊形為，連接，則，而根據(jù)三角形的面積公式，，故.故答案為：例14．若，，，則的形狀是．（選填：銳角三角形、直角三角形或鈍角三角形）【答案】銳角三角形【分析】利用空間中兩點(diǎn)間的距離公式可知，中，邊最長(zhǎng)，內(nèi)角最大，求出，可判斷出為銳角，即可得出結(jié)論.【詳解】因?yàn)?，，，則，，，所以，，，，所以，中，邊最長(zhǎng)，內(nèi)角最大，所以，，顯然、不共線，故為銳角，故為銳角三角形.故答案為：銳角三角形.運(yùn)用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決立體幾何問(wèn)題的一般步驟：運(yùn)用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決立體幾何問(wèn)題的一般步驟：（1）建系:根據(jù)題目中的幾何圖形建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系;（2）求坐標(biāo):①求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo);②寫(xiě)出向量的坐標(biāo);（3）論證、計(jì)算:結(jié)合公式進(jìn)行論證、計(jì)算;（4）轉(zhuǎn)化:轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論.【跟蹤練習(xí)】練習(xí)1．如圖，在直三棱柱中，，，點(diǎn)分別是、、的中點(diǎn)，點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn).若，則線段長(zhǎng)度為.

【答案】【分析】以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用公式，求點(diǎn)的坐標(biāo)，最后代入兩點(diǎn)間距離公式，即可求解.【詳解】如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，,，因?yàn)?，所以，得，即，所?/p>

故答案為：練習(xí)2．如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，為的中點(diǎn)，，分別在棱，上，，．

(1)求線段的長(zhǎng)．(2)求與所成角的余弦值．【答案】(1)(2)【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得的長(zhǎng).（2）利用向量法求得與所成角的余弦值.【詳解】（1）以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，所以，即線段的長(zhǎng)為.（2），，，，所以，，，．所以，所以．所以，與所成角的余弦值為．

練習(xí)3．如圖，在正三棱柱中，所有的棱長(zhǎng)均為2，M是邊的中點(diǎn)，則在棱上是否存在點(diǎn)N，使得與所成的夾角為？

【答案】不存在【分析】以A為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè)出點(diǎn)N，計(jì)算與的夾角余弦值構(gòu)建方程，求解即可得到結(jié)論.【詳解】以A為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

由棱長(zhǎng)都等于2，可得，，，，，假設(shè)存在點(diǎn)N在棱上，可以設(shè)，則有，，∴，,，，，即，解得，而這與矛盾，所以在棱CC1上不存在點(diǎn)N，使得與所成的夾角為.練習(xí)4．，，，，若與的夾角為鈍角，求的取值范圍．【答案】【分析】先算出的坐標(biāo)表達(dá)式，然后根據(jù)夾角公式進(jìn)行求解.【詳解】依題意得，，，