計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)與非均勻有理B樣條

計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)與均勻有理B樣條研讀報(bào)告-2014學(xué)年第二學(xué)期碩士研究生課程《NURBS曲線曲面基礎(chǔ)》大作業(yè)一．課程大作業(yè)內(nèi)容：請(qǐng)同學(xué)們結(jié)合所學(xué)的《NURBS曲線曲面基礎(chǔ)》和《數(shù)值分析》等課程知識(shí)，研讀施法中編著的《計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)與非均勻有理B樣條》一書，寫一篇3--5萬字左右的《計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)與非均勻有理B樣條》研讀報(bào)告。報(bào)告要把握全局，重點(diǎn)研究曲線曲面的基本理論和貝齊爾—B樣條—NURBS方法；要著重論述它們的由來、基本思路或解決問題的途徑、基本概念、基本性質(zhì)、數(shù)學(xué)模型及其計(jì)算算法。報(bào)告還要對(duì)本學(xué)科的發(fā)展進(jìn)行綜述和展望。二．交卷日期：2014年6月20日前三．交卷形式：同時(shí)提高紙質(zhì)文檔和與紙質(zhì)文檔相同版本的電子文檔。四．文檔格式：要求文檔具有長安大學(xué)研究生大作業(yè)首頁、試題頁、中英文摘要、目錄和具體章節(jié)內(nèi)容，可參考長安大學(xué)碩士學(xué)位研究生論文撰寫規(guī)范的相關(guān)要求。

目錄摘要 8ABSTRACT 9第一章緒論 101．CAGD的發(fā)展史研讀 102.CAGD研究問題描述 123.計(jì)算機(jī)對(duì)形狀處理的要求 12第二章曲線和曲面的基本理論 132.1CAGD中矢量、點(diǎn)與直線 132.2曲線與曲面的參數(shù)表示 152.2.1曲線曲面參數(shù)表示的基礎(chǔ)知識(shí) 162.2.2顯式、隱式和參數(shù)表示 162.2.3位置矢量、切矢量、法矢量、曲率和撓率 182.3曲線論知識(shí)點(diǎn) 182.4曲面論 26第三章NURBS曲線 343.1曲線應(yīng)用概述 343.2參數(shù)有理曲線 353.2.1參數(shù)有理曲線的定義 353.2.2參數(shù)有理曲線的性質(zhì) 373.3權(quán)因子的幾何意義 383.4二次曲線的NURBS表示 403.4.1二次曲線的隱式方程 403.4.2二次曲線的有理Bézier表示 413.4.3圓的NURBS表示 443.4.4有理Bézier曲線的參數(shù)變換 483.4.5有理二次Bézier曲線的確定 50第四章曲線的幾何處理技術(shù) 524.1曲線求交 524.1.1兩直線段相交 534.1.2直線段與曲線段相交 534.1.3曲線與曲線相交 534.1.4Bézier曲線的離散求交算法 554.2曲線的等距線 564.3曲線的過渡 57第五章參數(shù)多項(xiàng)式插值與逼近 595.1插值與逼近的問題引入 595.2參數(shù)差值方法簡述 605.2.1對(duì)數(shù)據(jù)點(diǎn)實(shí)行參數(shù)化 605.2.2其它方法概述 60第六章參數(shù)樣條曲線曲面 626.1參數(shù)樣條曲線曲面基礎(chǔ)知識(shí) 626.2參數(shù)雙三次樣條曲面 636.2.1曲面設(shè)計(jì)技術(shù)概述 636.2.2曲面模型 646.2.3曲面造型的要求 666.2.4高維曲面 666.2.5曲面表示形式的選取 676.2.6曲面造型方法及顯示 686.3雙三次樣條函數(shù) 686.3.1雙三次樣條函數(shù)的定義 686.3.2雙三次插值樣條函數(shù)的確定 70雙三次樣條函數(shù)的表示 70邊界條件 71存在唯一性定理 71三次插值樣條函數(shù)的求解 726.4參數(shù)雙三次樣條曲面 756.4.1曲面數(shù)據(jù)點(diǎn)的參數(shù)化 756.4.2參數(shù)雙三次樣條曲面方程 776.4.3未知偏導(dǎo)矢的求解 786.4.4計(jì)算插值曲面 796.5Ferguson樣條曲面 796.6Coons雙三次樣條曲面 80第七章Bézier曲面 807.1Bézier曲面的定義及性質(zhì) 817.2低次Bézier曲面 827.2.1雙一次Bézier曲面 827.2.2雙二次Bézier曲面 837.2.3雙三次Bézier曲面 837.3deCasteljau算法 847.4Bézier曲面的分割 867.5Bézier曲面的升階 877.6Bézier曲面的偏導(dǎo)矢與法矢 887.7非參數(shù)Bézier曲面 897.8Bézier曲面的矩陣表示 907.9Bézier曲面片的連續(xù)性 917.10Bézier曲面片的幾何連續(xù)性 947.10.1連續(xù)性條件 947.10.2連續(xù)性條件 957.10.3參數(shù)曲面的連續(xù)性 987.11具有面角點(diǎn)的Bézier曲面片的拼接 98第八章幾何連續(xù)性 1038.1參數(shù)連續(xù)性分析 1038.2連續(xù)性條件 1058.3Nu三次樣條曲線 1068.4參數(shù)曲線幾何連續(xù)性定義 1088.5幾何連續(xù)的組合Bézier曲線 1138.5.1Bézier曲線連續(xù)的幾何關(guān)系 1138.5.2組合三次Bézier曲線的構(gòu)造 1168.5.3二次Beta樣條曲線 1238.5.4三次Beta樣條曲線 1238.6有理參數(shù)曲線的連續(xù)性 1248.6.1有理參數(shù)連續(xù)性條件 1258.6.2有理幾何連續(xù)性條件 1268.6.3Frenet標(biāo)架連續(xù)性 1278.6.4有理Frenet標(biāo)架連續(xù)性約束 1298.7幾何連續(xù)的有理參數(shù)樣條曲線 1298.7.1曲率連續(xù)的有理二次樣條曲線 1298.7.2曲率連續(xù)的有理三次樣條曲線 133幾何連續(xù)性條件 133曲率連續(xù)的有理三次樣條曲線的構(gòu)造 134第九章B樣條曲線曲面Ⅰ 1359.1B樣條曲線方程 1359.2B樣條曲線與貝齊爾曲線差別 1369.3B樣條曲線分類 136第十章B樣條曲線曲面Ⅱ 13710.1k次B樣條曲線 13710.2確定問題新控制頂點(diǎn)方法 13810.3用B樣條曲線對(duì)數(shù)據(jù)點(diǎn)整體逼近 139第十一章有理B樣條曲線曲面 14011.1有理B樣條曲線曲面（一） 14011.1.1基本概念 14011.1.2NURBS方法的優(yōu)缺點(diǎn); 14011.1.3三種等價(jià)的NURBS曲線方程 14111.1.4權(quán)因子 14211.1.5二次曲線 14311.1.6反求曲線參數(shù)與權(quán)因子 14411.2有理B樣條曲線曲面（二） 14511.2.1NURBS圓弧 14511.2.2有理三次貝齊爾曲線 14611.2.3有理三次貝齊爾曲線方程 14611.3有理B樣條曲線曲面（三） 14811.3.1有理曲線連續(xù)性 14811.3.2齊次曲線 14911.3.3標(biāo)準(zhǔn)型有理二次貝齊爾曲線 15011.3.4整體有理插值 15111.3.5局部有理二次、三次插值步驟 15211.3.6NURBS曲線形狀修改方法 15311.4有理B樣條曲線曲面(四) 15411.4.1k*l次NURBS曲面等價(jià)表示 15411.4.2有理雙變量基函數(shù) 15511.4.3曲面權(quán)因子 15511.4.4常用曲面的NURBS表示 15611.4.5相關(guān)算法 157第十二章孔斯曲面 159第十三章三邊貝齊爾曲面片 159第十四章個(gè)人感悟與總結(jié) 161致謝 163

摘要計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)(CAD)系統(tǒng)的根本任務(wù)就是為產(chǎn)品的設(shè)計(jì)和開發(fā)建立起一個(gè)信息模型，曲線曲面的精確描述以及靈活操作能力是評(píng)定計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)(CAD)系統(tǒng)功能強(qiáng)大與否的重要因素。計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)制造(CAD/CAM)技術(shù)起源于汽車制造業(yè)和航天工業(yè)，正是由于汽車和飛機(jī)包含大量的復(fù)雜自由曲面，CAD/CAM技術(shù)從剛開始就和自由型曲線曲面的造型技術(shù)緊密地聯(lián)系起來，至今，曲線曲面造型模塊仍是CAD/CAM系統(tǒng)的關(guān)鍵模塊之一。NURBS就是專門做曲面物體的一種造型方法。NURBS造型總是由曲線和曲面來定義的，所以要在NURBS表面里生成一條有棱角的邊是很困難的。就是因?yàn)檫@一特點(diǎn)，我們可以用它做出各種復(fù)雜的曲面造型和表現(xiàn)特殊的效果，如人的皮膚，面貌或流線型的跑車等。精煉一條NURBS曲線的方法是在上面加更多的可控點(diǎn)。精煉能更精細(xì)地控制曲線。當(dāng)在3DMAX里精煉一條曲線的時(shí)候，軟件會(huì)保持原始的曲率（從技術(shù)上說，它保持著統(tǒng)一的節(jié)點(diǎn)矢量）。換句話說，曲線的形狀不會(huì)改變，但是相鄰的可控點(diǎn)會(huì)從新加的可控點(diǎn)那里移開。NURBS曲面與NURBS曲線本質(zhì)上有一樣的屬性。關(guān)鍵字：NURBS：造型方法；參數(shù)；曲面曲線

ABSTRACTComputeraideddesign(CAD)systemisafundamentaltaskforproductdesignanddevelopmenttoestablishaninformationmodel,accuratedescriptionofcurvesandsurfacesandflexibleoperationabilityistheassessmentofcomputeraideddesign(CAD)systemisanimportantfactorandnotpowerful.Computeraideddesign/computeraidedmanufacturing(CAD/CAM)technologyoriginatedintheautomobilemanufacturingindustryandaerospaceindustry,becauseofautomobileandaircraftcontainsalotofcomplexfreesurface,theCAD/CAMtechnologyfromthebeginningandfreecurveandsurfacemodelingtechnologyclosely,sofar,oneofthekeymoduleofcurveandsurfacemodelingmoduleisCAD/CAMsystem.ANURBScurveisdefinedbyitsorder,asetofweightedcontrolpoints,andaknotvector.NURBScurvesandsurfacesaregeneralizationsofbothB-splinesandBéziercurvesandsurfaces,theprimarydifferencebeingtheweightingofthecontrolpointswhichmakesNURBScurvesrational(non-rationalB-splinesareaspecialcaseofrationalB-splines).WhereasBéziercurvesevolveintoonlyoneparametricdirection,usuallycalledsoru,NURBSsurfacesevolveintotwoparametricdirections,calledsandtoruandv.ByevaluatingaBézieroraNURBScurveatvariousvaluesoftheparameter,thecurvecanberepresentedinCartesiantwo-orthree-dimensionalspace.Likewise,byevaluatingaNURBSsurfaceatvariousvaluesofthetwoparameters,thesurfacecanberepresentedinCartesianspace.Keywords:NURBS；modeling；parameter；surfaceandcurve計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)與均勻有理B樣條研讀報(bào)告第一章緒論1．CAGD的發(fā)展史研讀計(jì)算機(jī)圖形學(xué)作為計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)科的一個(gè)獨(dú)立分支已經(jīng)歷了近40年的發(fā)展歷程。一方面,作為一個(gè)學(xué)科,計(jì)算機(jī)圖形學(xué)在圖形基礎(chǔ)算法、圖形軟件與圖形硬件三方面取得了長足的進(jìn)步,成為當(dāng)代幾乎所有科學(xué)和工程技術(shù)領(lǐng)域用來加強(qiáng)信息理解和傳遞的技術(shù)和工具。另一方面,計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的硬件和軟件本身已發(fā)展成為一個(gè)巨大的產(chǎn)業(yè),1996年總產(chǎn)值達(dá)500億美元,而到2000年已達(dá)到1000億美元。因此,當(dāng)前全世界從事計(jì)算機(jī)圖形學(xué)研究、應(yīng)用和產(chǎn)業(yè)的隊(duì)伍十分龐大,這也是為什么每年參加SIG-GRAPH年會(huì)的人數(shù)多達(dá)3～4萬人的理由。計(jì)算機(jī)圖形學(xué)在我國雖然起步較晚,然而它的發(fā)展卻十分迅速。我國的主要高校都開設(shè)了多門計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的課程,并有一批從事圖形學(xué)基礎(chǔ)和應(yīng)用研究的研究所。我國學(xué)者的論文從80年代后期開始進(jìn)入國際一流的SIGGRAPH和Eurographics等學(xué)術(shù)會(huì)議和重要的學(xué)術(shù)刊物,標(biāo)志著我國在這一領(lǐng)域的研究水平已接近或部分達(dá)到國際先進(jìn)水平。CAGD是一門迅速發(fā)展的新興學(xué)科。它的出現(xiàn)和發(fā)展既是現(xiàn)代工業(yè)發(fā)展的要求，又對(duì)現(xiàn)代工業(yè)的發(fā)展起到了巨大的促進(jìn)作用。它使幾何學(xué)從傳統(tǒng)時(shí)代進(jìn)入數(shù)字化定義的信息時(shí)代，煥發(fā)出勃勃生機(jī)。自20世紀(jì)80年代中期以后，國際上看準(zhǔn)這一領(lǐng)域內(nèi)最有發(fā)展前景的非均勻有理B樣條(Non-UniformRationalB-Spline，簡稱NURBS)方法。國際標(biāo)準(zhǔn)化組織(InternationalStandardizationOrganization，簡稱ISO)于1991年正式頒布了關(guān)于工業(yè)產(chǎn)品幾何定義的STEP(StandardforTheExchangeofProd-uctmodeldata，產(chǎn)品模型數(shù)據(jù)交換標(biāo)準(zhǔn))作為國際標(biāo)準(zhǔn)，把NURBS方法作為定義產(chǎn)品形狀的惟一數(shù)學(xué)方法。在對(duì)該方法的研究不斷深入的同時(shí)，越來越多的商用CAD／CAM系統(tǒng)，如國際上著名的CATIA、UGII、Pro／Engineer、I-DEAS、Solidworks、Solidedge、CIMATRON、MDT等三維CAD／CAM軟件及內(nèi)核ACIS與Parasolid，都先后開發(fā)、擴(kuò)充了NURBS功能，國內(nèi)也先后推出了分別以ACIS與Parasolid為內(nèi)核的廣州紅地公司的金銀花、北航-海爾公司的CAXA三維電子圖板與制造工程師等三維CAD軟件，迅速將科研成果轉(zhuǎn)化為實(shí)際生產(chǎn)力。國際上對(duì)NURBS有突出貢獻(xiàn)的皮格爾(Piegl)與蒂勒(Tiller)在所合著TheNURBSBook一書序言中指出，NURBS起著類似于科技英語和商貿(mào)英語角色的作用。當(dāng)今，還可看到NURBS應(yīng)用于可視藝術(shù)如電影、動(dòng)畫、娛樂、藝術(shù)、雕塑中的物體造型，在虛擬現(xiàn)實(shí)應(yīng)用中制做場(chǎng)景等?？梢灶A(yù)見，NURBS將會(huì)在越來越廣闊的范圍內(nèi)獲得應(yīng)用。CAGD是隨著航空、汽車等現(xiàn)代工業(yè)的發(fā)展與計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)而產(chǎn)生與發(fā)展起來的一門新興學(xué)科。盡管研究對(duì)象擴(kuò)展到四維曲面的表示與顯示等，但其主要研究對(duì)象仍是工業(yè)產(chǎn)品的幾何形狀。工業(yè)產(chǎn)品的形狀大致上可分為兩類：一類是僅由初等解析曲面（例如平面、圓柱面、圓錐面、球面、圓環(huán)面等）組成，大多數(shù)機(jī)械零件屬于這一類，可以用畫法幾何與機(jī)械制圖的方法完全清楚表達(dá)和傳遞所包含的全部形狀信息；第二類是不能由初等解析曲面組成，而以復(fù)雜方式自由變化的曲線曲面即所謂自由型曲線曲面組成，例如飛機(jī)、汽車、船舶的外形零件。顯然，后一類形狀單純用畫法幾何與普通制圖是不能表達(dá)清楚的。CAGD在一個(gè)國家的發(fā)展水平上往往與該國工業(yè)發(fā)展水平緊密相關(guān)。以工業(yè)產(chǎn)品的幾何形狀為CAGD的研究對(duì)象表明它要解決的為題是幾何問題，更確切地說是工業(yè)產(chǎn)品的幾何問題。其核心問題就是要找到既適合于計(jì)算機(jī)處理且有效地滿足形狀表示與幾何設(shè)計(jì)要求，又便于形狀信息傳遞和產(chǎn)品數(shù)據(jù)交換的形狀描述的數(shù)學(xué)方法。這些問題和要求是隨著CAGD理論和時(shí)間的發(fā)展不斷提出來的。2.CAGD研究問題描述在形狀信息的計(jì)算機(jī)表示、分析與綜合中，核心問題是計(jì)算機(jī)表示，即要找到既適合計(jì)算機(jī)處理且有效地滿足形狀表示與幾何設(shè)計(jì)要求，又便于形狀信息傳遞和產(chǎn)品數(shù)據(jù)交換的形狀描述的數(shù)學(xué)方法。NURBS仍在發(fā)展中，一些問題（如權(quán)因子怎樣影響曲線曲面的參數(shù)及怎樣確定合適的權(quán)因子等）有待深入研究。20世紀(jì)80年代后期，非均勻有理B樣條（Non-UniformRationalB-Spline）方法成為用于曲線曲面描述的最廣為流行的數(shù)學(xué)方法。非有理與有理貝齊爾曲線曲面和非有理B樣條曲線曲面都被統(tǒng)一在NURBS標(biāo)準(zhǔn)形式之中，因而可以采用統(tǒng)一的數(shù)據(jù)庫。3.計(jì)算機(jī)對(duì)形狀處理的要求要在計(jì)算機(jī)內(nèi)表示某一工業(yè)產(chǎn)品的形狀，其數(shù)學(xué)描述應(yīng)保留產(chǎn)品形狀的盡可能多的性質(zhì)。從實(shí)現(xiàn)計(jì)算機(jī)對(duì)形狀處理、便于形狀信息傳遞與產(chǎn)品數(shù)據(jù)交換的角度來看，應(yīng)滿足以下幾個(gè)要求：1）唯一性自由型曲線曲面?zhèn)鹘y(tǒng)上采用模線樣板法按模擬量傳遞，不能保證形狀定義的唯一性，才轉(zhuǎn)而采用數(shù)字描述?？梢娢ㄒ恍允菍?duì)形狀數(shù)學(xué)描述的首相要求。唯一性對(duì)采用的數(shù)學(xué)方法的要求是，由已給定的優(yōu)先信息決定的形狀應(yīng)是唯一的。2）幾何不變性當(dāng)用有限的信息決定一個(gè)形狀（例如3點(diǎn)決定一條拋物線，4個(gè)點(diǎn)決定一條三次曲線）時(shí)，如果這些點(diǎn)的相對(duì)位置確定，所決定的形狀也就固定下來，它不隨所取得坐標(biāo)系的改變而改變。若采用顯函數(shù)表示，就不具有這樣的性質(zhì)。3)易于定界產(chǎn)品的形狀總是有界的，形狀的數(shù)學(xué)描述應(yīng)易于定界。這個(gè)要求能否得到滿足也與描述形狀的數(shù)學(xué)方法有關(guān)。4)統(tǒng)一性能統(tǒng)一表示各種形狀及處理各種情況，包括各種特殊情況。5)計(jì)算處理簡便易行易于在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)和易于推廣應(yīng)用。第二章曲線和曲面的基本理論2.1CAGD中矢量、點(diǎn)與直線矢量依其始端是否位于原點(diǎn)分為絕對(duì)矢量與相對(duì)矢量。在CAGD中，絕對(duì)矢量用來表示定義形狀的點(diǎn)或形狀上的點(diǎn)。一個(gè)點(diǎn)意味著空間的一個(gè)位置，由絕對(duì)矢量的末端即矢端表示。表示空間點(diǎn)的絕對(duì)矢量稱為該點(diǎn)的位置矢量(positionvector)。相對(duì)矢量是表示點(diǎn)與點(diǎn)間相互位置關(guān)系和矢量與矢量間相互關(guān)系的矢量。相對(duì)矢量又稱自由矢量，可在空間內(nèi)任意平移。（P32）當(dāng)對(duì)矢量進(jìn)行變換時(shí)，用列陣與行陣表示矢量的差別，前者是前乘變換矩陣，后者是后乘以變換矩陣。兩種相乘方式中的變換矩陣互為轉(zhuǎn)置關(guān)系。用單位矢量表示方向，單位矢量就是具有單位長度的矢量。一個(gè)矢量a除以其長度│a│(又稱模長)就得到沿該矢量方向的單位矢量（P33）。若干絕矢量pi(i=0,1,…,n),分別配以權(quán)φi(i=0,1,…,n),若滿足規(guī)律性條件，則稱為這些矢量的重心組合；若又滿足非負(fù)性條件(i=0,1,…,n)則稱為凸組合，兩者都是絕對(duì)矢量。（P33）。直線方程p(u)=(1-u)p0+up1,u∈[1,0]………….(2.1)該式表明p0與p1兩點(diǎn)連線上用位置矢量，表示的點(diǎn)p是參數(shù)u的矢函數(shù)。（P34）曲線的一般的矢函數(shù)形式p=p(u)……(2.2)笛卡爾分量表示p(u)=x(u)i+y(u)j+z(u)k（P35）曲線大都采用稱為基表示的一種特殊的矢函數(shù)形式….（2.3）其中（i=0,1,…,n）稱為基函數(shù)，它決定了曲線的整體性質(zhì)；ai（i=0,1,…,n）稱為系數(shù)矢量。（P36）在微分幾何里，把曲面表示成雙參數(shù)u和v的矢函數(shù)p=p(u,v)……(2.4)在CAGD里，曲面大都采用基表示的一種特殊矢函數(shù)形式……(2.5)其中（i=0,1,…,m）為以u(píng)為變量的一組基函數(shù)，（j=0,1,…,n）為以v為變量的一組基函數(shù)。（P37）與非參數(shù)表示相比，曲線曲面采用基表示的特殊參數(shù)矢函數(shù)形式就具有如下一系列優(yōu)點(diǎn)，因而能較好地滿足形狀數(shù)學(xué)描述的要求：①總是能夠選取那些具有幾何不變性的曲線曲面基表示形式，且能通過某種變換處理使那些不具有幾何形狀不變性的形式變換成具有幾何不變性的形式，從而滿足幾何不變性要求。②易于規(guī)定曲線曲面的范圍。③易于表示空間曲線。④仿射變換（一個(gè)一般的仿射變換由一個(gè)比例、旋轉(zhuǎn)或剪切等線性變換加上一個(gè)平移變換）和投影變換容易執(zhí)行。⑤易于計(jì)算曲線、曲面上的點(diǎn)及其他信息。⑥易于處理多值問題。⑦易于處理無窮大斜率。⑧便于曲線、曲面的分段、分片描述。⑨提高對(duì)曲線、曲面形狀控制的較多自由度。⑩為向高維問題推廣提供了可能性。(P37)2.2曲線與曲面的參數(shù)表示在空間解析幾何里，空間曲線常采用參數(shù)表示，即把空間曲線上一點(diǎn)P的3個(gè)坐標(biāo)都寫成某個(gè)參數(shù)的標(biāo)量函數(shù).在微分幾何里，它們被合寫在一起，列矢量轉(zhuǎn)置成行矢量，左端就是該點(diǎn)的位置矢量,右端表示它是參數(shù)的矢函數(shù)。于是，就有微分幾何里表示曲線的一般的矢函數(shù)形式.在CAGD中，縱觀所采用的形狀描述數(shù)學(xué)方法，可以見到，曲線大都采用稱為基表示的一種特殊的矢函數(shù)形式其中，稱為基函數(shù)，它決定了曲線的整體性質(zhì)，稱為系數(shù)矢量。點(diǎn)動(dòng)成線。如果把參數(shù)視為時(shí)間，可看做一質(zhì)點(diǎn)隨時(shí)間變化的軌跡。曲面是曲線的推廣。類似的，在微分幾何里，把曲面表示成雙參數(shù)和的矢函數(shù).2.2.1曲線曲面參數(shù)表示的基礎(chǔ)知識(shí)

曲線、曲面可以用顯式、隱式和參數(shù)表示，由于參數(shù)表示的曲線、曲面具有幾何不變性等優(yōu)點(diǎn)，計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中通常用參數(shù)形式描述曲線、曲面，

本小節(jié)討論一些參數(shù)曲線和曲面表示的基礎(chǔ)知識(shí)。

2.2.2顯式、隱式和參數(shù)表示

曲線和曲的表示面方程有參數(shù)表示和非參數(shù)表示之分，非參數(shù)表示又分為顯式表示和隱式表示。

對(duì)于一個(gè)平面曲線，顯式表示一般形式是：。在此方程中，一個(gè)x值與一個(gè)y值對(duì)應(yīng)，所以顯式方程不能表示封閉或多值曲線，例如，不能用顯式方程表示一個(gè)圓。

如果一個(gè)平面曲線方程，表示成的形式，我們稱之為隱式表示。隱式表示的優(yōu)點(diǎn)是易于判斷函數(shù)是否大于、小于或等于零，也就易于判斷點(diǎn)是落在所表示曲線上或在曲線的哪一側(cè)。

對(duì)于非參數(shù)表示形式方程（無論是顯式還是隱式）存在下述問題：

1.與坐標(biāo)軸相關(guān)；

2.會(huì)出現(xiàn)斜率為無窮大的情形（如垂線）；

3.對(duì)于非平面曲線、曲面，難以用常系數(shù)的非參數(shù)化函數(shù)表示；

4.不便于計(jì)算機(jī)編程。

在幾何造型系統(tǒng)中，曲線曲面方程通常表示成參數(shù)的形式，即曲線上任一點(diǎn)的坐標(biāo)均表示成給定參數(shù)的函數(shù)。假定用t表示參數(shù)，平面曲線上任一點(diǎn)P可表示為：

空間曲線上任一三維點(diǎn)P可表示為：

最簡單的參數(shù)曲線是直線段，端點(diǎn)為P1、P2的直線段參數(shù)方程可表示為：

圓在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中應(yīng)用十分廣泛，其在第一象限內(nèi)的單位圓弧的非參數(shù)顯式表示為：其參數(shù)形式可表示為：

在曲線、曲面的表示上，參數(shù)方程比顯式、隱式方程有更多的優(yōu)越性，主要表現(xiàn)在：

（1）可以滿足幾何不變性的要求。

（2）有更大的自由度來控制曲線、曲面的形狀。如一條二維三次曲線的顯式表示為：

只有四個(gè)系數(shù)控制曲線的形狀。而二維三次曲線的參數(shù)表達(dá)式為：

有8個(gè)系數(shù)可用來控制此曲線的形狀。

（3）對(duì)非參數(shù)方程表示的曲線、曲面進(jìn)行變換，必須對(duì)曲線、曲面上的每個(gè)型值點(diǎn)進(jìn)行幾何變換；而對(duì)參數(shù)表示的曲線、曲面可對(duì)其參數(shù)方程直接進(jìn)行幾何變換。

（4）便于處理斜率為無窮大的情形，不會(huì)因此而中斷計(jì)算。

（5）參數(shù)方程中，代數(shù)、幾何相關(guān)和無關(guān)的變量是完全分離的，而且對(duì)變量個(gè)數(shù)不限，從而便于用戶把低維空間中曲線、曲面擴(kuò)展到高維空間去。這種變量分離的特點(diǎn)使我們可以用數(shù)學(xué)公式處理幾何分量。

（6）規(guī)格化的參數(shù)變量，使其相應(yīng)的幾何分量是有界的，而不必用另外的參數(shù)去定義邊界。

（7）易于用矢量和矩陣表示幾何分量，簡化了計(jì)算。

2.2.3位置矢量、切矢量、法矢量、曲率和撓率

一條用參數(shù)表示的三維曲線是一個(gè)有界點(diǎn)集，可寫成一個(gè)帶參數(shù)的、連續(xù)的、單值的數(shù)學(xué)函數(shù)，其形式為：

2.3曲線論知識(shí)點(diǎn)各階導(dǎo)數(shù)換成各階導(dǎo)失，但這種對(duì)應(yīng)關(guān)系和替換絕不是等價(jià)的。（P38）一般地，當(dāng)曲線取任意參數(shù)時(shí)，參數(shù)域內(nèi)線段長度之比既不等于曲線上對(duì)應(yīng)曲線弧長之比，也不等于對(duì)應(yīng)曲線段的弦長之比。（P39）在正常情況下，曲線上參數(shù)為的與參數(shù)軸上定義域內(nèi)的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)。在曲線上凡這種映射關(guān)系不成立的點(diǎn)稱為奇點(diǎn)（singularpoint）。曲線的自交點(diǎn)即重點(diǎn)對(duì)應(yīng)的兩個(gè)參數(shù)值就是奇點(diǎn)。（P39）同一曲線的參數(shù)化是不惟一的，用不同的曲線方程描述同一條曲線，一般地其差別在于曲線上的點(diǎn)與參數(shù)域內(nèi)的點(diǎn)之間的對(duì)關(guān)系不同。（P40）曲線對(duì)參數(shù)求導(dǎo)等于各分量分別對(duì)參數(shù)求導(dǎo)，即對(duì)于曲線有曲線在u=u0的一階導(dǎo)數(shù)矢量表示曲線上從點(diǎn)到點(diǎn)的一個(gè)矢量，除以后方向不變。（P40）曲線在一點(diǎn)的方向即曲線在該點(diǎn)的切線方向，也就是曲線在該點(diǎn)的切矢的方向。如果，則曲線在p(u0)點(diǎn)處的切線方向就不能由該點(diǎn)處的一階導(dǎo)矢確定。這是曲線在該點(diǎn)的切線方向可由曲線在該點(diǎn)處的最低階的非零導(dǎo)矢的方向決定。曲線上一點(diǎn)關(guān)于參數(shù)u的一階導(dǎo)矢為零矢量，稱之為切矢消失，這樣的點(diǎn)也是奇點(diǎn)。曲線上切矢為非零矢量的點(diǎn)稱為正則點(diǎn)（regularpoint）。若給定一個(gè)曲線參數(shù)化，在其參數(shù)域內(nèi)處處一階導(dǎo)矢為非零矢量，則稱該參數(shù)化為正則的，所定義的曲線稱為正則曲線。（P41）若兩曲線c1與c2在公共點(diǎn)p0，對(duì)弧長直到n階的導(dǎo)矢相同，則稱c1與c2在該點(diǎn)具有n階切觸（contactofordern）或稱n階接觸。它表明兩曲線在公共點(diǎn)相切接觸的程度。兩曲線在公共點(diǎn)對(duì)任意參數(shù)直到n階的導(dǎo)矢相等，是兩曲線在該點(diǎn)具有n階切觸的充分條件，不是充要條件。當(dāng)曲線表示為一般參數(shù)的矢函數(shù)時(shí)，需要求解3個(gè)基本矢的公式如下：………（2.6）復(fù)法矢由一階導(dǎo)矢和二階導(dǎo)矢所在的稱為密切面的平面的單位法矢決定………（2.7）過曲線切矢的平面都是切平面，有無數(shù)個(gè)，密切面就是其中一個(gè)，它是和曲線最貼近的一個(gè)切平面。有了α與γ，就得到主法矢將曲線在p(u)處作泰勒展開則平p（u+△u）點(diǎn)到曲線在p(u)點(diǎn)處的密切面的距離就是關(guān)于△u的三階無窮小。（P43）單位變矢量恒垂直于它的一階導(dǎo)矢。把3個(gè)基矢量α、β、γ分別再對(duì)弧長s求導(dǎo)，就得到曲線論的基本公式（即Frenet-Serret公式）。………………（2.9）右端系數(shù)矩陣為反對(duì)稱方陣，其中兩個(gè)系數(shù)κ與τ即曲率與撓率。其基本公式的幾何意義如圖2.6在一般參數(shù)表示下，更多應(yīng)用如下曲率與撓率計(jì)算公式…（2.10）………………..(2.11)其中為三矢量的混合基。曲線的弧長s、曲率κ、撓率τ是曲線的集合不變量，3個(gè)基矢量α、β、γ及其對(duì)弧長的各階導(dǎo)矢量是曲線的不變矢，都與參數(shù)選取無關(guān)。（P45）對(duì)于平面曲線p(u)=[x(u)y(u)]，因采用絕對(duì)曲率κ不能反映其彎曲方向，特引進(jìn)相對(duì)曲率（又稱為帶符號(hào)曲率）κτ。κτ與κ絕對(duì)值相同，但κτ可正可負(fù)。κτ大于小于0分別意味著曲線沿正向前進(jìn)時(shí)逆時(shí)針（或向左轉(zhuǎn)）與順時(shí)針（或向右轉(zhuǎn)）。平面曲線上相對(duì)曲率變號(hào)點(diǎn)κτ=0稱為拐點(diǎn)。（P45）相對(duì)曲率計(jì)算公式……………..（2.12）式中表示轉(zhuǎn)置后取行列式值，如果其中矢量用列陣表示，則不必轉(zhuǎn)置。雖然平面參數(shù)曲線與非參數(shù)曲線y=y(x)存在含義相同的拐點(diǎn)，但仍有差別。y=y(x)上的拐點(diǎn)由決定，而p=p(u)上的拐點(diǎn)可能由決定，從而導(dǎo)致拐點(diǎn)數(shù)量上的差別。(P46)在微分幾何里，研究的曲線（與曲面）都是整體解析的。分別有關(guān)于平面曲線論語空間曲線論的兩個(gè)基本定理。其一、兩條有向平面曲線可重合的充要條件是：在適當(dāng)?shù)剡x擇自然參數(shù)s的始點(diǎn)與取向后，它們有相同的相對(duì)曲率函數(shù)。②兩條不含逗留點(diǎn)（即曲線上一階導(dǎo)矢與二階導(dǎo)矢叉積為零矢量的點(diǎn)）的空間曲線可重合的充要條件是：在適當(dāng)?shù)剡x擇自然參數(shù)s后，它們有相同的曲率函數(shù)與撓率函數(shù)。其二、兩條有向平面曲線可重合的充要條件是：在適當(dāng)?shù)剡x擇自然參數(shù)s的始點(diǎn)與取向后，它們有相同的相對(duì)曲率函數(shù)與連續(xù)的弗朗內(nèi)特標(biāo)架。兩條不含逗留點(diǎn)（即曲線上一階導(dǎo)矢與二階導(dǎo)矢叉積為零矢量的點(diǎn)）的空間曲線可重合的充要條件是：在適當(dāng)?shù)剡x擇自然參數(shù)s后，它們有相同的曲率函數(shù)與撓率函數(shù)與連續(xù)的弗朗內(nèi)特標(biāo)架。（P47）位置矢量如圖3.1.1所示，曲線上任一點(diǎn)的位置矢量可表示為：；其一階、二階和k階導(dǎo)數(shù)矢量（如果存在的話）可分別表示為：

切矢量若曲線上R、Q兩點(diǎn)的參數(shù)分別是t和，矢量

，其大小以連接RQ的弦長表示。如果在R處有確定的切線，則當(dāng)Q趨向于R，即

時(shí)，導(dǎo)數(shù)矢量趨向于該點(diǎn)的切線方向。如選擇弧長s作為參數(shù)

是單位切矢量。因?yàn)椋鶕?jù)弧長微分公式有：

引入?yún)?shù)t，上式可改寫為：

考慮到矢量的模非負(fù)，所以：

故弧長s是t的單調(diào)增函數(shù)，其反函數(shù)t(s)存在，且一一對(duì)應(yīng)，得

于是：

即T是單位切矢量。

法矢量：對(duì)于空間參數(shù)曲線任意一點(diǎn)，所有垂直切矢量T的矢量有一束，且位于同一平面上，該平面稱為法平面，若對(duì)曲線上任一點(diǎn)的單位切矢為T，因?yàn)?/p>

，兩邊對(duì)s求導(dǎo)矢得：

，可見是一個(gè)與T垂直的矢量。與平行的法矢稱為曲線在該點(diǎn)的主法矢，主法矢的單位矢量稱為單位主法矢量，記為N。矢量積

是第三個(gè)單位矢量，它垂直于T和N。把平行于矢量B的法矢稱為曲線的副法矢，B則稱為單位副法失量。對(duì)于一般參數(shù)t，我們可以推導(dǎo)出：

T(切矢)、N(主法矢)和B(副法矢)構(gòu)成了曲線上的活動(dòng)坐標(biāo)架，且N、B構(gòu)成的平面稱為法平面，N、T構(gòu)成的平面稱為密切平面，B、T構(gòu)成的平面稱為從切平面。

曲率和撓率我們已經(jīng)知道

與N平行，令,,即稱為曲率，其幾何意義是曲線的單位切矢對(duì)弧長的轉(zhuǎn)動(dòng)率（如圖3.1.3(a)），與主法矢同向。曲率的倒數(shù)，稱為曲率半徑。又，兩邊對(duì)s求導(dǎo)矢得：,將代入上式，并注意到.因?yàn)?，所以兩?/p>

對(duì)s求導(dǎo)得到：可見，既垂直于T(s)，又垂直于B(s)，故有，再令，所以撓率的絕對(duì)值等于副法線方向(或密切平面)對(duì)于弧長的轉(zhuǎn)動(dòng)率（如圖3.1.3(b)）。撓率大于0、等于0和小于0分別表示曲線為右旋空間曲線、平面曲線和左旋空間曲線。

插值、逼近和擬合

給定一組有序的數(shù)據(jù)點(diǎn)Pi，i=0,1,…,n，構(gòu)造一條曲線順序通過這些數(shù)據(jù)點(diǎn)，稱為對(duì)這些數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行插值，所構(gòu)造的曲線稱為插值曲線。

線性插值假設(shè)給定函數(shù)f(x)在兩個(gè)不同點(diǎn)x1和x2的值，用一個(gè)線形函數(shù)：，近似代替f(x)，稱為f(x)的線性插值函數(shù)。其中線性函數(shù)函數(shù)的系數(shù)a,b，通過條件確定。如圖3.1.4（a）所示。

拋物線插值拋物線插值又稱為二次插值。設(shè)已知f(x)在三個(gè)互異點(diǎn)x1,x2,x3的函數(shù)值為y1,y2,y3，要求構(gòu)造一個(gè)函數(shù)：，使在結(jié)點(diǎn)xi(i=1,2,3)處與f(x)在xi處的值相等，如圖3.1.4（b）所示。由此可構(gòu)造在結(jié)點(diǎn)xi(i=1,2,3)處與f(x)在xi處的值相等，由此可構(gòu)造的插值函數(shù)。構(gòu)造一條曲線使之在某種意義下最接近給定的數(shù)據(jù)點(diǎn)，稱為對(duì)這些數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行逼近，所構(gòu)造的曲線為逼近曲線。插值和逼近則統(tǒng)稱為擬合。光順(Firing)光順通俗的含義是指曲線的拐點(diǎn)不能太多，曲線拐來拐去，就會(huì)不順眼，對(duì)平面曲線而言，相對(duì)光順的條件是：a.具有二階幾何連續(xù)性(G2)；b.不存在多余拐點(diǎn)和奇異點(diǎn)；c.曲率變化較小。參數(shù)化過三點(diǎn)P0、P1和P2構(gòu)造參數(shù)多項(xiàng)式插值拋物線可以有無數(shù)條，其原因是：參數(shù)t,在[0,1]區(qū)間的分割可以有無數(shù)種。因?yàn)镻0、P1和P2可對(duì)應(yīng)：

其中每個(gè)參數(shù)值稱為節(jié)點(diǎn)(knot)。對(duì)于一條插值曲線，型值點(diǎn)P0，P1，…，Pn與其參數(shù)域內(nèi)的節(jié)點(diǎn)之間有一種對(duì)應(yīng)關(guān)系。對(duì)于一組有序的型值點(diǎn)，確定一種參數(shù)分割，稱之對(duì)這組型值點(diǎn)參數(shù)化。對(duì)一組型值點(diǎn)(P0,P1,…，Pn)參數(shù)化常用方法有以下幾種。均勻參數(shù)化(等距參數(shù)化)使每個(gè)節(jié)點(diǎn)區(qū)間長度正常數(shù)，i=0,1,…,n-1為正常數(shù)，節(jié)點(diǎn)在參數(shù)軸上呈等距分布，

+正常數(shù)。累加弦長參數(shù)化

其中向前差分矢量，即弦邊矢量。這種參數(shù)法此如實(shí)反映了型值點(diǎn)按弦長的分布情況，能夠克服型值點(diǎn)按弦長分布不均勻的情況下采用均勻參數(shù)化所出現(xiàn)的問題。

向心參數(shù)化法

累加弦長法沒有考慮相鄰弦邊的拐折情況，而向心參數(shù)化法假設(shè)在一段曲線弧上的向心力與曲線切矢從該弧段始端至末端的轉(zhuǎn)角成正比，加上一些簡化假設(shè)，得到向心參數(shù)化法。此法尤其適用于非均勻型值點(diǎn)分布。修正弦長參數(shù)化法

其中：

弦長修正系數(shù)。從公式可知，與前后鄰弦長及相比，若越小，且與前后鄰弦邊夾角的外角i-1和i(不超過時(shí))越大，則修正系數(shù)就Ki就越大。2.4曲面論如果u向切矢與v向切矢不平行，則pu(u0,v0)×pv(u0,v0)≠0。于是得到曲面在點(diǎn)p(u0,v0)處的切平面的單位法矢…（2.14）其方向隨叉乘的兩個(gè)偏導(dǎo)矢互換位置而取反，那是人為的。曲面上一點(diǎn)處兩個(gè)一階偏導(dǎo)矢不平行即pu×pv≠0的點(diǎn)稱為曲面的正則點(diǎn)。曲面上pu×pv=0的點(diǎn)是曲面上的一種奇點(diǎn)，由曲線的重新參數(shù)化可能消除不了。沿曲面p=p(u,v)上每一點(diǎn)的法矢正向（或負(fù)向）移動(dòng)一個(gè)固定距離d，就得到該曲面的等距面ρ(u,v)=p(u,v)±dn………….(2.15)(P49)沿準(zhǔn)線上每個(gè)點(diǎn)的母線方向給定一個(gè)非零矢量τ(u)，則直紋面方程可寫為p(u,v)=p(u)±vτ(u)….(2.16)當(dāng)τ(u)為固定矢量時(shí)，直紋面為柱面。當(dāng)τ(u)為變矢量，但準(zhǔn)線縮成一點(diǎn)時(shí)，直紋面稱為錐面。（P50）直紋面為可展曲面的充要條件是：…………(2.17)可展曲面包括錐面、柱面和切線曲面三種類型?；￠L微分公式可得ds2=dp2=pu2du2+2pupvdudv+pv2dv2令E=pu2,F=pupv,G=pv2….(2.19)稱為第一類基本量。則I=ds2=dp2=Edu2+2Fdudv+Gdv2……(2.20)稱為曲面p(u,v)的第一基本形式。（P50）曲面上對(duì)應(yīng)uv參數(shù)平面上一個(gè)區(qū)域的部分面積可由如下積分得到………………..(2.21)法曲率對(duì)表示方向的比值或求導(dǎo)，令其等于零，可得如下確定主曲率的方程……………..(2.29)和所在主方向的方程……………...(2.30)就可導(dǎo)出兩個(gè)主曲率及其所在的兩個(gè)主方向。這兩個(gè)方程都是二次方程，主曲率與主方向分別就是它們的實(shí)根。這兩個(gè)主方向互相垂直。求出曲面在一點(diǎn)的兩個(gè)主曲率與，就可由歐拉（Euler）公式………………..(2.31)求出曲面在該點(diǎn)沿任意方向的法曲率，其中為所選取方向與主曲率所在主方向的夾角。兩個(gè)主曲率的乘積與中值分別為高斯（Gaussian）曲率（或全曲率，或總曲率）K與平均曲率（或中曲率）H?！?2.32)…………(2.33)(P53)K>0K=0K<0雙曲點(diǎn)拋物點(diǎn)橢圓點(diǎn)高斯曲率K≥0是曲面在該點(diǎn)為局部凸的充要條件。按照所采用的基函數(shù)具有怎樣的規(guī)范性，基表示可以分為3種類型：①規(guī)范基表示滿足，稱為柯西（Cauchy）條件（又稱為權(quán)性或一的分割。例如，線性插值p(u)=(1-u)p0+up1。②部分規(guī)范基表示滿足，其中0≤k＜n。例如，p(u)=a0+a1u。③非規(guī)范基表示上述兩種情況以外的情況。例如，p(u)=(1-u)2p0+u2p1。凡與規(guī)范基表示或部分規(guī)范基表示中具有規(guī)范性的那些基函數(shù)相聯(lián)系的系數(shù)矢量為絕對(duì)矢量，否則為相對(duì)矢量。(P55)規(guī)范基具有幾何不變性，對(duì)于部分規(guī)范基表示，可先將其改寫為其中，；a0,a1,…,ak為絕對(duì)矢量；ak+1,ak+2,…,an為相對(duì)矢量。作旋轉(zhuǎn)平移變換就有于是其中(i=1,2,…,k)為原表示中的絕對(duì)矢量經(jīng)旋轉(zhuǎn)平移變換后的絕對(duì)矢量，(i=k+1,k+2,…n)為原表示中的相對(duì)矢量經(jīng)變換后的相對(duì)矢量。證明了部分規(guī)范基表示也具有幾何不變性。但人們更愿意采用規(guī)范基表示。非規(guī)范基表示不具有幾何不變性。（P57）u=u(t)是對(duì)曲線進(jìn)行的參數(shù)變換，將曲線對(duì)新參數(shù)t求導(dǎo)，由鏈?zhǔn)椒▌t因在老參數(shù)u下，曲線是正則的，即有，故保證變換后的曲線也是正則的。如果，曲線取向不變；如果，則取向相反。但是不合適的參數(shù)變換，可能遇到兩種情況：一是出現(xiàn)；另一是可能某個(gè)老參數(shù)對(duì)應(yīng)多個(gè)新參數(shù)。兩種情況均引起變換后的曲線出現(xiàn)奇異。給定一正則曲面p=p(u,v)其中(u,v),令，滿足雅可比（Jacobi）行列式不為零的條件且則得到一個(gè)以為參數(shù)的曲面，這一過程稱之為曲面的重新參數(shù)化，雅可比行列式不為零的條件保證變換后得到的曲面也是正則的。這時(shí)有曲面法矢用不同方程描述同一曲面，其間差別在于曲面上的點(diǎn)與參數(shù)域內(nèi)的點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系不同。（P62）曲面表示曲面的范圍常用兩個(gè)參數(shù)的變化區(qū)間所表示的。uv參數(shù)平面上的一個(gè)矩形區(qū)域,給出。這樣就相應(yīng)得到具有四條邊界的曲面即四邊曲面。曲面也可定義在uv參數(shù)平面的某一區(qū)域上。正常情況下，參數(shù)域內(nèi)的點(diǎn)與曲面上的點(diǎn)構(gòu)成一一對(duì)應(yīng)的映射關(guān)系。曲面上這種映射關(guān)系不成立的點(diǎn)稱為曲面的奇點(diǎn)。給定一個(gè)具體的曲面方程，稱之為給定了一個(gè)曲面參數(shù)化。它既決定了所表示的由面的形狀，也決定了該曲而上的點(diǎn)與其參數(shù)域內(nèi)的點(diǎn)的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系。同樣地，曲面的參數(shù)化不是惟一的。沿曲面上每一點(diǎn)的法矢正向(或負(fù)向)移動(dòng)一個(gè)固定距離d就得到該曲面的等距面直紋面與可展曲面如果曲面p(u,v)的兩族等參數(shù)線u線與v線中，有一族是直線,則該曲面稱為直紋面。它可看成直線段在空間連續(xù)運(yùn)動(dòng)掃出的軌跡。直紋面上的這族直線稱為母線。柱面(母線互相平行)、錐面〔母線都經(jīng)過同一點(diǎn))都是直紋面。在直紋面上取一條曲線和所有母線相交，稱之為準(zhǔn)線。沿準(zhǔn)線上每個(gè)點(diǎn)的母線方向給定一個(gè)非零矢量，則直紋面方程可寫為曲線曲面的幾何不變性曲線曲面的幾何不變性是指它們的數(shù)學(xué)表示及其所表達(dá)的形狀不依賴于坐標(biāo)系的選擇或者說在旋轉(zhuǎn)與平移變換下不變的性質(zhì)。不失一般性，假定坐標(biāo)系固定，曲線、曲面相對(duì)于坐標(biāo)系先旋轉(zhuǎn)后平移，旋轉(zhuǎn)矩陣和平移矢量分別為M與c。又設(shè)經(jīng)旋轉(zhuǎn)與平移后，曲線、曲面上點(diǎn)的位置矢量為。對(duì)于規(guī)范基表示則有于是可見，對(duì)于規(guī)范基表示，欲獲得經(jīng)旋轉(zhuǎn)平移變換后的曲線、曲面表示，僅需將表示中的系數(shù)矢量(都是絕對(duì)矢量)作相同的旋轉(zhuǎn)平移變換即可。這就證明了規(guī)范基表示具有幾何不變性。在規(guī)范基表示里，把作為絕對(duì)矢量的系數(shù)矢量看做質(zhì)點(diǎn)，基函數(shù)看做配置在相應(yīng)質(zhì)點(diǎn)處的重量，則曲線就可看做質(zhì)點(diǎn)系的重心隨參數(shù)變化的軌跡。這給出了規(guī)范基表示曲線的物理解釋。由此也可以得出結(jié)論:規(guī)范基表示的曲線不隨坐標(biāo)系選取而改變，因而具有幾何不變性。對(duì)于非規(guī)范基表示，因不能判定其中的系數(shù)矢量為絕對(duì)欠量還是相對(duì)量，對(duì)它們的旋轉(zhuǎn)平移變換無法執(zhí)行。因此，非規(guī)范基表示不具有幾何不變性。然而，人們總可以經(jīng)過簡單的處理將非規(guī)范基表示改寫成等價(jià)的部分規(guī)范基表示或規(guī)范基表示。例如，叮在非規(guī)范基表示中加上一項(xiàng)零矢量。這樣，該項(xiàng)的基函數(shù)就可取成任意值。如取成1或與其他若干項(xiàng)的基函數(shù)的和為1就成了部分規(guī)范基表示。如取成與其他所有項(xiàng)的基函數(shù)的和為}t就成了規(guī)范基表示。因此，也就具有了幾何不變性。曲線、曲面的幾何不變性有其理論和實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。首先，如前所述，它是形狀描述的基本要求。應(yīng)用幾何不變性就可視需要與方便任意選取合適的坐標(biāo)系從而保證獲得不變的形狀。這樣，在實(shí)物測(cè)量造型中，在不同的測(cè)量坐標(biāo)系中測(cè)量得的同一組數(shù)據(jù)點(diǎn)，采用相同的具有幾何不變性的數(shù)學(xué)方法處理，就可以得到同樣的形狀，另外，對(duì)于組合幾何體（例如飛機(jī))而言，有其總體坐標(biāo)系。而其中某一特定部件或部位形狀(如翼型曲線)有其方便的局部坐標(biāo)系。應(yīng)用幾何不變性就可將在局部坐標(biāo)系里的曲線、曲面表示經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖儞Q而得到在總體坐標(biāo)系里的表示。其次，應(yīng)用幾何不變性，可將位于坐標(biāo)系里規(guī)范位置的形狀(例如平面上圓心在原點(diǎn)的圓;中心在原點(diǎn)，長短軸分別與二軸l軸重合的橢圓。以及其他各種初等曲線、曲面)方便地變換到空間任意位置。其次，可應(yīng)用于曲線曲面的幾何特征分析。最后，在生成任意方向的投影視圖與軸測(cè)圖時(shí)，不必計(jì)算并變換所有需繪制或顯示的點(diǎn)，而僅需變換基表示中那些系數(shù)矢量，再計(jì)算需繪制或顯示的點(diǎn)，這就節(jié)省了大量的變換計(jì)算，提高了圖形的生成速度。參數(shù)化與參數(shù)變換設(shè)給定一正則曲線其中。若令，滿足，且，則，曲線從表示為參數(shù)u的矢函數(shù)變成參數(shù)t的矢函數(shù)，稱為重新參數(shù)化。這里是對(duì)曲線進(jìn)行的參數(shù)變換。曲線經(jīng)重新參數(shù)化后，其形狀保持不變:描述同一條曲線的不同曲線方程由其間的參數(shù)變換聯(lián)系起來。一般地，用不同方程描述同一條曲線其間差別在于，曲線上的點(diǎn)與參數(shù)域內(nèi)的點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系不同。特殊地，僅在方向不變的域變換下，這種對(duì)應(yīng)關(guān)系保持不變。從上可以清楚地看到，曲線的各階導(dǎo)矢是與參數(shù)有關(guān)的。人們希望找到反映曲線內(nèi)在性質(zhì)的參數(shù)，這就是前面敘述中提到的弧長參數(shù)。曲線取自身弧長為參數(shù)，稱為弧長參數(shù)化?；￠L參數(shù)化及以弧長的線性函數(shù)為參數(shù)的曲線參數(shù)化都是均勻的曲線參數(shù)化，即參數(shù)域內(nèi)均勻分布的點(diǎn)對(duì)應(yīng)曲線上沿曲線弧長均勻分布的點(diǎn)?；￠L參數(shù)化引出曲線的一個(gè)重要性質(zhì)，切矢成為單位矢量。由此簡化了微分幾何中一系列重要公式及其導(dǎo)出過程。曲線曲面形狀上的點(diǎn)用位置矢量表示，CAGD中的曲線和曲面分別采用單參數(shù)和雙參數(shù)的基表示矢函數(shù)形式。其中的基函數(shù)決定了曲線曲面的性質(zhì)，系數(shù)矢量決定了曲線曲面的形狀。盡管曲線曲面與所取坐標(biāo)系相對(duì)位置關(guān)系改變時(shí)，各個(gè)坐標(biāo)及坐標(biāo)函數(shù)都發(fā)生了變化。它們的基表示及所表達(dá)的形狀都應(yīng)與所取的坐標(biāo)系無關(guān)。在理論上，分析研究曲線曲面的微分性質(zhì)和整體性質(zhì)時(shí)，總是把形狀上點(diǎn)的位置矢量與表示曲線曲面形狀的矢函數(shù)看成一個(gè)整體。這反映形狀本來就是與所取坐標(biāo)系無關(guān)的實(shí)際情況。但在計(jì)算和編程時(shí)，作為手段，要在各個(gè)分量上分別進(jìn)行，然后將結(jié)果合在一起。曲線曲面采用基表示的矢函數(shù)形式后，就出現(xiàn)了許多與用非參數(shù)表示的曲線曲面不同的性質(zhì)，較好地滿足了工業(yè)產(chǎn)品形狀數(shù)學(xué)描述的要求，從而成為形狀數(shù)學(xué)描述的標(biāo)準(zhǔn)形式。曲線論的基本公式和引出的曲率與撓率對(duì)曲線在一點(diǎn)鄰近的性態(tài)給出定量描述。無論是曲面的度量性質(zhì)還是曲率性質(zhì)，都是由由面上的曲線引人的。法曲率、主曲率、高斯曲率給出了曲面在一點(diǎn)鄰近的性態(tài)的描述。在曲線曲面的3種基表示形式中，具有幾何不變性的規(guī)范基表示，是人們?cè)贑AGD實(shí)踐中最愿意采用的。正則的參數(shù)變換不改變曲線曲面的形狀，但改變了形狀上的點(diǎn)與參數(shù)域內(nèi)的點(diǎn)間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。盡管曲線引人弧長參數(shù)給微分幾何的研究帶來莫大的方便，但是在CAGD中廣泛應(yīng)用的參數(shù)多項(xiàng)式曲線.與有理參數(shù)多項(xiàng)式曲線卻不能取自身弧一長為參數(shù)。第三章NURBS曲線3.1曲線應(yīng)用概述眾所周知，工業(yè)產(chǎn)品的形狀大致可分為兩類或由這兩類組成，一類僅由初等解析曲線曲面如二次曲線、二次曲面等組成。大多數(shù)機(jī)械零件屬于這一類，可以用畫法幾何與機(jī)械制圖完全表達(dá)清楚和傳遞所包含的全部形狀信息。第二類是不能由初等解析曲線曲面組成，而是由以復(fù)雜方式自由地變化的曲線曲面組成—即所謂的自由型曲線曲面。例如象飛機(jī)、汽車、船舶等的外形零件。顯然，這后一類曲線曲面不能單純用畫法幾何與機(jī)械制圖完全表達(dá)清楚，而必須采用參數(shù)多項(xiàng)式樣條曲線曲面方法。由于這兩種類型的曲線曲面其數(shù)學(xué)上的表示完全不同，這就給CAD/CAM系統(tǒng)的開發(fā)與研制帶來困難和麻煩。一個(gè)商品化的CAD/CAM系統(tǒng)應(yīng)能滿足工業(yè)設(shè)計(jì)的各種需求，無論什么類型的曲線曲面都能精確表示。由于參數(shù)多項(xiàng)式樣條曲線曲面無法精確表示除拋物線外的初等解析曲線曲面，只能近似地逼近，因此若采用參數(shù)多項(xiàng)式曲線曲面作為幾何造型的工具，則使得外形的設(shè)計(jì)“精度”大大降低。因?yàn)閷?duì)CAD/CAM而言，除了計(jì)算機(jī)數(shù)值表示引起的誤差外，形狀的表示應(yīng)當(dāng)是精確的。而采用參數(shù)多項(xiàng)式樣條曲線曲面和初等解析曲線曲面的混合模型，由于這兩類方法數(shù)學(xué)表示上的不統(tǒng)一，則給編程帶來了麻煩。進(jìn)而，采用混合模型的CAD/CAM系統(tǒng)會(huì)隨著所處理幾何元素的增加，其所需的時(shí)間與空間冪次增加。對(duì)于采用單一模型的CAD/CAM系統(tǒng)，這種計(jì)算量的增加只是線性的。因此，為了建立一種既能包含參數(shù)多項(xiàng)式樣條曲線曲面，又能精確表示初等解析曲線曲面的單一幾何模型，人們提出了新的曲線曲面表示與設(shè)計(jì)方法，這就是NURBS曲線曲面。最早嘗試在幾何形狀設(shè)計(jì)中使用NURBS曲線曲面方法的是Boeing公司的Rowin’64和MIT的Coons’67，就其應(yīng)用而言，他們的主要興趣是把二次曲線和參數(shù)三次多項(xiàng)式曲線統(tǒng)一到參數(shù)有理三次曲線之中，以解決前兩種曲線因算式不統(tǒng)一而引起的編程麻煩。而真正面向CAD/CAM實(shí)際應(yīng)用的研究則始于美國SDRC（StructureDynamicsResearchCorporation）的Till’83，他是第一位采用NURBS曲線曲面方法解決曲線曲面的表示和設(shè)計(jì)問題的，并將其用于該公司的GEOMOD系統(tǒng)和I－DEAS系統(tǒng)之中。鑒于NURBS技術(shù)在形狀定義方面的強(qiáng)大功能和潛力，不等該技術(shù)完全成熟，美國國家標(biāo)準(zhǔn)局在1983年制訂的初始圖形交換規(guī)范IGES（InitialGraphicsExchangeSpecification）第二版中就將NUTBS列為優(yōu)化類型。1988年頒布的產(chǎn)品定義交換規(guī)范STEP/PDES（1.0版）只規(guī)定了惟一的一種自由型參數(shù)曲線曲面，即NURBS。1991年國際標(biāo)準(zhǔn)化委員會(huì)正式頒布了工業(yè)產(chǎn)品數(shù)據(jù)交換于表達(dá)的國際標(biāo)準(zhǔn)STEP。在STEP中，NURBS作為定義工業(yè)產(chǎn)品幾何形狀的惟一數(shù)學(xué)方法。3.2參數(shù)有理曲線3.2.1參數(shù)有理曲線的定義參數(shù)有理多項(xiàng)式曲線曲面方法是參數(shù)多項(xiàng)式曲線曲面的直接推廣。從數(shù)學(xué)角度看，它的定義以齊次坐標(biāo)為基礎(chǔ)，即用中的點(diǎn)表示中的點(diǎn)。齊次坐標(biāo)對(duì)于點(diǎn)，它的齊次坐標(biāo)是滿足關(guān)系（3.2.1）的四元有序組。如果是的齊次坐標(biāo)，那么對(duì)任意非零常數(shù)，四元有序組亦是的齊次坐標(biāo)。顯然，要使式（3.2.1）有意義，必有。而當(dāng)時(shí)，點(diǎn)沿向徑方向趨于無窮遠(yuǎn)。因而，點(diǎn)表示了向徑方向上的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，該點(diǎn)可用中的方向矢量表示之。式（3.2.1）的本質(zhì)是一個(gè)的原點(diǎn)到超平面的透視映射（3.2.2）因此，中任一點(diǎn)在中都有惟一的映射像，它或者是中的點(diǎn)，或者是中的一個(gè)向量。反之，中任一點(diǎn)都是中一點(diǎn)的映射像，例如就是，一般地有()?；谶@一討論，我們便可用中的參數(shù)多項(xiàng)式曲線來定義中的參數(shù)有理多項(xiàng)式曲線，其中應(yīng)用最廣泛的參數(shù)有理多項(xiàng)式曲線有有理Bézier曲線和NURBS曲線兩種，下面分別給出其定義。定義在射影空間中給定個(gè)點(diǎn)，則一條參數(shù)次的有理Bézier曲線定義為下述的參數(shù)次有理多項(xiàng)式矢值函數(shù)： 其中稱為曲線的Bézier點(diǎn)，稱為權(quán)因子。實(shí)際應(yīng)用中，為了保證曲線不出現(xiàn)漸近線，通常取。定義在射影空間中給定個(gè)點(diǎn)并給定一節(jié)點(diǎn)矢量,則一條參數(shù)次NURBS曲線定義為如下的參數(shù)分段次有理多項(xiàng)式矢值函數(shù)：中稱為曲線的deBoor點(diǎn)，亦稱為權(quán)因子。3.2.2參數(shù)有理曲線的性質(zhì)參數(shù)有理多項(xiàng)式曲線除了具有參數(shù)多項(xiàng)式曲線的全部性質(zhì)之外，還具有以下重要的性質(zhì)：當(dāng)時(shí)，參數(shù)有理多項(xiàng)式曲線即為參數(shù)多項(xiàng)式曲線；能夠精確表示初等二次曲線（圓錐曲線）；權(quán)因子的引入增加了曲線設(shè)計(jì)的靈活性。權(quán)因子不是一數(shù)值而是幾何量—四點(diǎn)的交比，它是射影不變量，因而在控制多邊形不變的情況下，借助于圖形輸入設(shè)備可以以幾何的方式進(jìn)行交互修改；參數(shù)有理多項(xiàng)式具有射影不變性。例如，參數(shù)有理多項(xiàng)式的透視投影還是參數(shù)有理多項(xiàng)式，這一點(diǎn)對(duì)于圖形顯示來說非常重要。要觀察一個(gè)形體的透視圖時(shí)，只需對(duì)定義它的控制頂點(diǎn)進(jìn)行相應(yīng)的透視變換，并適當(dāng)?shù)匦薷臋?quán)因子，然后在觀察平面上計(jì)算其點(diǎn)即可，這大大減少了計(jì)算量，提高了顯示速度。參數(shù)有理多項(xiàng)式方法能直接嵌入到已有的非有理設(shè)計(jì)程序之中，需要增加的存儲(chǔ)和計(jì)算要求最少。3.3權(quán)因子的幾何意義權(quán)因子是四點(diǎn)和的交比，即交比是射影不變量。由射影幾何，共線四點(diǎn)的交比定義為：它等于點(diǎn)分成兩段的長度之比與點(diǎn)分成兩段的長度比的比值，這里的線段均為有向線段，因此線段長度為代數(shù)長度。我們知道，直線段被分成兩子段的長度比在仿射變換下保持不變，然而在射影變換下就不再保持不變，但卻保持上述的交比不變。如圖，有ABABCDabcdO圖6.1四點(diǎn)交比因?yàn)樗钥梢姡簿€四點(diǎn)的交比僅與在投影中心的角度有關(guān)，從發(fā)出的四條射線可與任一直線相交，所得四個(gè)交點(diǎn)將有相同的交比，不管該直線怎樣選擇。下面我們證明權(quán)因子確實(shí)為交比。令那么，由式（6.1.3）可知所以同理于是由此可以看出，權(quán)因子明確的幾何意義：權(quán)因子等于過控制頂點(diǎn)的一條直線上分別具有權(quán)因子，和0的那四個(gè)點(diǎn)的交比。弄清了權(quán)因子的幾何意義之后，就可以容易地分析權(quán)因子對(duì)曲線形狀的影響：若固定所有控制頂點(diǎn)，除外的所有其他權(quán)因子保持不變，那么當(dāng)變化時(shí)，點(diǎn)隨之移動(dòng)，它在空間掃出一條過控制頂點(diǎn)的直線。當(dāng)時(shí)，趨于；當(dāng)時(shí)，對(duì)曲線不產(chǎn)生任何影響。若增大，則隨之增大，曲線被拉向控制頂點(diǎn)；若減小，則隨之減小，曲線被推離控制頂點(diǎn)，即權(quán)因子的減小與增大起到了對(duì)曲線相對(duì)于控制頂點(diǎn)的推拉作用。3.4二次曲線的NURBS表示3.4.1二次曲線的隱式方程二次曲線又稱為圓錐截線，為平面曲線，其一般方程為它含有六個(gè)系數(shù)，但只有五個(gè)是獨(dú)立的。也就是說，一條二次曲線由五個(gè)獨(dú)立的條件確定，然而這些系數(shù)的幾何意義不明確。對(duì)實(shí)際工程應(yīng)用來說，直接采用這種隱式方程顯然是不方便的。因此，需要尋求有明顯幾何意義的、適合工程應(yīng)用的條件和表示形式。既然二次曲線的隱式方程中含有五個(gè)獨(dú)立的自由量，那么最簡單的條件是給定平面上五個(gè)獨(dú)立的點(diǎn)來確定一條二次曲線。由于任意給定的五個(gè)點(diǎn)不一定能確定一條二次曲線（比如五點(diǎn)共線），因而通常用直線族首先定義一二次曲線族，然后再指定一點(diǎn)以確定惟一的一條二次曲線。給定直線：那么這四條直線便定義了一二次曲線族：它通過直線對(duì)與直線對(duì)的四個(gè)交點(diǎn)，再給定第五個(gè)點(diǎn)，就可確定出族參數(shù)的值，從而確定了一條二次曲線。EPAD圖6.3二次曲線的工程定義BCADP圖6.2二次曲線的直線族定義如果點(diǎn)分別趨于點(diǎn)與，那么弦線與EPAD圖6.3二次曲線的工程定義BCADP圖6.2二次曲線的直線族定義表示一族過與兩點(diǎn)。且在與處的切線分別為的二次曲線。若兩切線不平行，則有交點(diǎn)，再給定曲線上另一點(diǎn)就可確定參數(shù)與。如果點(diǎn)落在三角形內(nèi)，則二次曲線在三角形內(nèi)總是一段連續(xù)的曲線弧，那么兩端點(diǎn)、及其切線的交點(diǎn)，加上曲線上的位于三角形內(nèi)的一點(diǎn)，便是工程上定義一段二次曲線弧的五個(gè)獨(dú)立條件?，F(xiàn)在的問題是怎樣找出它的NURBS表示？3.4.2二次曲線的有理Bézier表示給定平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，則以過，在處分別與、相切為條件，可定義一二次曲線族。若記、、的方程分別為，則二次曲線族的方程為現(xiàn)以為原點(diǎn)，為點(diǎn)，為點(diǎn)建立平面斜坐標(biāo)系。在該坐標(biāo)系下，平面上任一點(diǎn)可表示為直線、、的方程分別為。因此，二次曲線族的方程為這里的方程取為，而不是，其原因是當(dāng)確定二次曲線的第五個(gè)點(diǎn)位于三角形內(nèi)時(shí)，對(duì)應(yīng)的族參數(shù)。設(shè)是二次曲線上任一點(diǎn)，那么曲線在該點(diǎn)處的切線分別交、與。當(dāng)沿直線、變動(dòng)時(shí)，則沿曲線變動(dòng)。因此，比率可看作是點(diǎn)處的參數(shù)。由方程可求出曲線在的切線與和交點(diǎn)的坐標(biāo)。點(diǎn)的切線方程為其中，，。交點(diǎn)的坐標(biāo)為，將代入上式，有所以同理因此這表明，對(duì)任一二次曲線，是常量，且當(dāng)?shù)谖妩c(diǎn)位于三角形內(nèi)時(shí)，。此時(shí)，點(diǎn)可以按參數(shù)表示。由的表示式可知：再由的表達(dá)式，便有現(xiàn)令代入上式，便有這便是一有理二次Bézier曲線，且反之，有理二次Bézier曲線又是什么呢？設(shè)是一理二次Bézier曲線，那么按照重心坐標(biāo)形式可將改寫如下：由中心坐標(biāo)的定義，有，，另一方面，由的表達(dá)式可知：消去參數(shù)，則有這表明，的隱式方程是的二次方程，即為二次曲線。因而圓錐曲線與理二次Bézier曲線等價(jià)。6.3.3有理二次Bézier曲線的形狀分類給定有理二次Bézier曲線之后，既然它就是圓錐曲線，那么我們要問當(dāng)權(quán)因子滿足什么條件時(shí)，給定的有理二次Bézier曲線分別是拋物線、雙曲線和橢圓，這就是有理二次Bézier曲線的形狀分類。在回答這個(gè)問題之前，我們先討論圓錐曲線的補(bǔ)弧。設(shè)為一圓錐曲線，其中。那么曲線也是一條由相同控制頂點(diǎn)定義的二次曲線。由于與具有相同的隱式方程，所以它們同屬于一條二次曲線。顯然，對(duì)給定的參數(shù)，點(diǎn)，和共線，因而，的行為便決定了二次曲線的類型。當(dāng)在內(nèi)無奇點(diǎn)時(shí)，二次曲線為橢圓；如果在內(nèi)有一個(gè)奇點(diǎn)，則二次曲線是拋物線；而當(dāng)有兩個(gè)奇點(diǎn)時(shí)，二次曲線是雙曲線。的奇點(diǎn)就是的無限遠(yuǎn)點(diǎn)，它由在內(nèi)的分母在內(nèi)的根所決定。它在內(nèi)的根最多有兩個(gè)，其表達(dá)式為因此，有理二次Bézier曲線的形狀分類如下：（6.3.4）特別，當(dāng)時(shí)，為連接與的直線段；當(dāng)時(shí)，則退化為直線對(duì)和3.4.3圓的NURBS表示圓弧是非常特殊的圓錐曲線，也是工程設(shè)計(jì)中最常用的曲線之一，如曲線間的圓角過渡、倒圓角等都用到圓弧。所以，有必要對(duì)圓弧的NURBS表示問題作以專門討論。給定有理二次Bézier曲線由于在處分別相切于邊和，所以為圓弧的必要條件是，其原因是由圓外一點(diǎn)向圓做的兩條切線長度相等。我們的目的是尋找充分必要條件，對(duì)此有以下結(jié)論：一條有理二次Bézier曲線為圓弧的充要條件是其中為向量和之間的夾角。設(shè)為一圓弧，則其圓心為圖6.4圓弧的有理二次B圖6.4圓弧的有理二次Bézier表示四分之一圓弧：取，則。三分之一圓?。喝。瑒t半圓：令，則。由于此時(shí)兩切線的交點(diǎn)在無窮遠(yuǎn)處，按照齊次坐標(biāo)與非齊次坐標(biāo)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，齊次分量為零的點(diǎn)表示非齊次空間一矢量?？刂祈旤c(diǎn)的齊次坐標(biāo)分別為：所以，半圓的齊次表示是：相應(yīng)的非齊次表示如下：當(dāng)然，可以通過插入節(jié)點(diǎn)的方式消去無限遠(yuǎn)點(diǎn)。例如，半圓弧插入節(jié)點(diǎn)后可表示為入下的二次NURBS曲線：其中，，由節(jié)點(diǎn)矢量所確定。圓心角大于的圓弧的表示問題對(duì)于這種情況，若用一段有理二次Bézier曲線段表示之，那么由條件可知，權(quán)因子為負(fù)值，不符合有理曲線定義中關(guān)于權(quán)因子非負(fù)的約定。因而需將圓弧分割成若干段，使其每一段的圓心角均小于，然后求得每一段的有理二次Bézier表示，最后再合并成NURBS表示形式。整圓的NURBS表示由于整圓的圓心角為，所以按照4.之討論，需將整圓分割成幾段才能獲得要求的NURBS表示。圖6.5整圓的二次NURBS表示此時(shí)的控制頂點(diǎn)及權(quán)因子如圖6.5所示。二次B樣條基函數(shù)由下列節(jié)點(diǎn)矢量所確定：曲線的表示式為：20三段構(gòu)成的圓此時(shí)的控制頂點(diǎn)及權(quán)因子如圖6.6所示。二次B樣條基函數(shù)由下列節(jié)點(diǎn)矢量所確定：圖6.6整圓的二次NURBS表示曲線的表示式為：整圓的這兩種表示方式非常有趣，重節(jié)點(diǎn)的使用意味著基函數(shù)僅為連續(xù)，但曲線卻處處連續(xù)非連續(xù)，僅為連續(xù)，其原因何在呢？實(shí)際上，作為它們對(duì)應(yīng)的齊次坐標(biāo)表示的高一維空間的參數(shù)多項(xiàng)式曲線，即確為連續(xù)。這表明射影變換改變了曲線的特性，因?yàn)檫B續(xù)性不是射影不變量。這給我們提出了一個(gè)問題：有理曲線的連續(xù)性與它的齊次坐標(biāo)曲線的連續(xù)性之間有什么聯(lián)系？如何借助于齊次曲線度量有理曲線的連續(xù)性？由上面的討論可以看出，要想用有理二次曲線段表示一整圓最少需要二段，即兩個(gè)半圓。如果不采用無限遠(yuǎn)點(diǎn)，那么用有理二次曲線表示整圓至少需要六個(gè)控制頂點(diǎn)，其節(jié)點(diǎn)矢量中最少有一個(gè)二重節(jié)點(diǎn)。當(dāng)然，另外一種表示整圓的方法是采用補(bǔ)弧。設(shè)為一圓弧，那么曲線則為整圓除段外的剩余部分。這里采用了小于零的權(quán)因子，一般很少在CAD/CAM中采用。3.4.4有理Bézier曲線的參數(shù)變換我們?cè)缫阎?，同一條參數(shù)曲線的表示式不惟一，可以通過正則參數(shù)變換，將曲線重新參數(shù)化。由老參數(shù)表示的改變?yōu)樾聟?shù)表示的，這一參數(shù)變換不改變曲線的形狀，但改變了參數(shù)化，即曲線上點(diǎn)與參數(shù)域內(nèi)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系的形狀。那么，對(duì)有理Bézier曲線應(yīng)進(jìn)行怎樣的參數(shù)變換以改變曲線的參數(shù)化，同時(shí)又保持曲線的次數(shù)及定義域不變呢？這種參數(shù)變換對(duì)權(quán)因子產(chǎn)生怎樣的影響呢？下面就這些問題進(jìn)行討論。有理線性變換由于四共線點(diǎn)的交比在射影變換下不變，通過交比可在兩條直線間建立起射影變換關(guān)系，它刊物用有理分式表示。因而，有理線性變換可用于有理Bézier曲線的重新參數(shù)化。令為要求的有理線性變換，那么根據(jù)條件可得，從而有其中為任意常數(shù)。對(duì)于給定的有理次Bézier曲線做上述參數(shù)變換，對(duì)其重新參數(shù)化后，有這等價(jià)于給出了一組特殊的新權(quán)因子：由和所定義的曲線與曲線完全相同，唯一的區(qū)別在于曲線上點(diǎn)的分布。既然對(duì)有理Bézier曲線進(jìn)行參數(shù)變換等價(jià)于重新選擇權(quán)因子，那么我們要問：有理Bézier曲線中獨(dú)立的權(quán)因子的個(gè)數(shù)有多少？有理次Bézier曲線中獨(dú)立權(quán)因子的個(gè)數(shù)若令，對(duì)做參數(shù)變換，則有此時(shí)，新權(quán)因子滿足條件：特別，。對(duì)曲線的分子分母同除以，便得到新的權(quán)因子由此可見，對(duì)任意給定的個(gè)權(quán)因子，我們總可以對(duì)相應(yīng)的曲線進(jìn)行重新參數(shù)化，使其首末兩個(gè)權(quán)因子為1，因而對(duì)立權(quán)因子的個(gè)數(shù)只有個(gè)。為了區(qū)分起見，我們稱首末權(quán)因子為1的有理次Bézier曲線為標(biāo)準(zhǔn)型有理次Bézier曲線。有理線性變換表明，所有非標(biāo)準(zhǔn)型有理次Bézier曲線都可以轉(zhuǎn)換成標(biāo)準(zhǔn)型。3.4.5有理二次Bézier曲線的確定根據(jù)前面的討論可知，有理二次Bézier曲線就是初等二次曲線。一條初等二次曲線由五個(gè)獨(dú)立的條件所確定，通常確定一條二次曲線的方法是基于Pascal定理。圖6.7Pascal定理圖示【Pascal定理】圖6.7Pascal定理圖示給定五個(gè)互不相同且任意三個(gè)均不共線的點(diǎn)，可按Pascal定理構(gòu)造出由其確定的二次曲線上任一點(diǎn)。構(gòu)造過程如下：連接，，，，求與的交點(diǎn)。給定過的任一直線，求與，的交點(diǎn)那么，那么直線與之交點(diǎn)即為二次曲線上的點(diǎn)。當(dāng)繞旋轉(zhuǎn)時(shí)，點(diǎn)便掃出要求的二次曲線。下面我們以有理二次Bézier曲線的標(biāo)準(zhǔn)型為例，討論有理二次Bézier曲線的確定問題。給定曲線上三點(diǎn)及處的切線，求其確定的二次曲線設(shè)處切線的交點(diǎn)為，那么由此確定的二次曲線具有以下有理參數(shù)表示：方法1：求點(diǎn)關(guān)于三角形的重心坐標(biāo)。設(shè)那么，由上式可知消去參數(shù)，則于，即方法2：過做直線交邊于點(diǎn)，可求得點(diǎn)分邊為兩段的比值。因點(diǎn)與具有相同的參數(shù)，由此點(diǎn)的參數(shù)為由所求參數(shù)，按非有理deCastljau算法求出上一點(diǎn)，此時(shí)直線上四點(diǎn)所在的有理二次Bézier曲線分別具有內(nèi)權(quán)因子。根據(jù)權(quán)因子的幾何意義，可知給定曲線上兩點(diǎn)，處的切線，及曲線的另一條切線，求其確定的二次曲線設(shè)處切線的交點(diǎn)為，那么由此確定的二次曲線具有以下的有理參數(shù)表示：設(shè)另一條切線與之交點(diǎn)分別為和，記，。由于。因此下面，我們作為本章的結(jié)束，考察一個(gè)例子。給定不共線的三個(gè)控制頂點(diǎn)及兩組非零權(quán)因子與滿足條件，求證：①這兩組權(quán)因子定義同一條二次曲線；②求曲線從權(quán)因子變換為權(quán)因子時(shí)相應(yīng)的參數(shù)變換。證明設(shè)分別表示曲線上同一點(diǎn)相應(yīng)權(quán)因子與之參數(shù)，那么由有理曲線的參數(shù)變換可知：我們只需確定出參數(shù)即可。為此，考察曲線上離弦距離最大的點(diǎn)。該點(diǎn)處之切線必平行于弦線，于是。因而點(diǎn)為，之中點(diǎn)。由于所以點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為代入?yún)?shù)變換公式，有第四章曲線的幾何處理技術(shù)前面我們已經(jīng)介紹了CAD/CAM中常用的曲線表示方法及其相關(guān)理論，這些曲線在外形設(shè)計(jì)和制造中的有效使用很大程度上依賴于能否方便地對(duì)其進(jìn)行各種幾何操作，或許設(shè)計(jì)者要求按一定的光滑約束將多段曲線連接在一起，或許兩曲線的交點(diǎn)是工程設(shè)計(jì)中的一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)等等。著就是曲線的幾何處理，常用的幾何處理包括：求交點(diǎn)（intersecting）、過渡（filleting）、延拓（extension）、混合（blending）、等距線計(jì)算（offseting）等。我們這里重點(diǎn)討論求交、等距線計(jì)算以及過渡三種操作。4.1曲線求交求交是最為重要的曲線運(yùn)算，它是圖形裁剪、消隱的基礎(chǔ)。按照曲線的類型，可以將曲線求交分為以下三類：4.1.1兩直線段相交空間兩直線段如果排除相互平行與異面，它們的相交有兩種情況：或相交于一點(diǎn)，或重疊（部分或全部）。令兩條直線段的參數(shù)方程分別為：則其交點(diǎn)為，即因?yàn)?，那么：由此可得交點(diǎn)：當(dāng)然，這里所求出的交點(diǎn)并不一定是所要求的交點(diǎn)，因?yàn)槲覀兲幚淼氖侵本€段。因此，為了保證交點(diǎn)的有效性，還必須進(jìn)行有效性檢查，即對(duì)條件進(jìn)行判斷。若條件真，則為有效交點(diǎn)，否則為無效交點(diǎn)。4.1.2直線段與曲線段相交設(shè)直線段的方程為為一曲線段（），它可以是Bézier曲線、B樣條曲線、NURBS曲線等，那么與的交點(diǎn)為或者如果是分段的次多項(xiàng)式或分段有理多項(xiàng)式，則交點(diǎn)所滿足方程的一般形式是：經(jīng)矢量運(yùn)算可得用數(shù)值方法求解上述方程，即可求得參數(shù)，再通過有效性檢查方可求出要求的交點(diǎn)。4.1.3曲線與曲線相交設(shè)有空間曲線段（）和（），那么其交點(diǎn)滿足的方程是：它是兩個(gè)未知量的非線性方程組。對(duì)于平面曲線來說，兩條曲線要么相交，要么不相交。上述方程組恰有兩個(gè)方程，可以直接求解。常用的方法是Newton-Raphson迭代方法。將上述方程寫成分量形式，則有設(shè)真正的交點(diǎn)是，如果我們已經(jīng)求得的近似交點(diǎn)為，記則由Taylor展開可得忽略二階以上的高階項(xiàng)，則有：即：求解此方程組，解出。如果（與真正交點(diǎn)的誤差）滿足精度要求，則交點(diǎn)參數(shù)為：如果迭代不收斂，則兩曲線不相交，否則有交。該方法的特點(diǎn)是交點(diǎn)精確，且不依賴于曲線的類型。然而，如果曲線是Bézier曲線或B樣條曲線，則可采用較為方便的離散求交。下面，我們以Bézier曲線為例介紹離散求交算法的基本原理。我們知道，Bézier曲線完全位于它的控制頂點(diǎn)的凸包之中，因此對(duì)兩條Bézier曲線來說，其交點(diǎn)的計(jì)算可轉(zhuǎn)化為控制多邊形凸包的相交性判斷及曲線的分割。如果兩控制多邊形的凸包不相交，則曲線一定不相交；否則，將兩曲線一分為二，再對(duì)子曲線的控制多邊形的凸包的相交性進(jìn)行判斷。如此重復(fù)，直至獲得明確的結(jié)果：要么相交，求出交點(diǎn)；要么不相交。其算法過程如下：4.1.4Bézier曲線的離散求交算法a算法步驟：Step1判斷兩曲線和的控制多