光學(xué)信息技術(shù)原理及應(yīng)用課后重點(diǎn)習(xí)題答案

光學(xué)信息技術(shù)原理與應(yīng)用

第一章習(xí)題解答

1.1已知不變線性系統(tǒng)的輸入為g(x)=comb(x),系統(tǒng)的傳遞函數(shù)若b取(1)6=0.5⑵b=1.5,

求系統(tǒng)的輸出g'(x)o并畫出輸出函數(shù)及其頻譜的圖形。

答(1)g(x)=F{5(x)H圖形從略，

一叫19+1)b1+|,

(2)g(x)=F■cos(2nx)圖形從略。

3

1.2若限帶函數(shù)/(x,y)的傅里葉變換在長(zhǎng)度L為寬度W的矩形之外恒為零,

(1)如果同＜、，問＜A，試證明

向sine俳噬卜的)=心)

,-F{/(x,y)}=F{f(x,y^rect

K傘＞「{f(x,y)}rect(afx心

證明：

{F{/(3)}rect(flfx0丫)＞嬴

⑵如果|a|＞Lw＞」-,還能得出以上結(jié)論嗎?

答：不能。因?yàn)檫@時(shí)F{/(x,y)}recf

1.3對(duì)一個(gè)空間不變線性系統(tǒng)，脈沖響應(yīng)為

h(x,y)=7sinc(7xM(y)

試用頻域方法對(duì)下面每一個(gè)輸入力(x,y),求其輸出&(x,y)。(必要時(shí)，可取合理近似)

(1)/](x,y)=cos4辦

g](x，)')=F{F{/,(x,y)}F%(“)}卜Ft{F{COS4JIX}F{7si〃(7x?(y)}}

答:

=FtrF{COS4JIx}rec《寧)卜Ft{F{COS4JIX}}^COS4)

F7TX

y

(2)/2(x,y)=cav(47ix)recty-^\rect\

75

答:

g2(3)=F?{F{/；(x,y)}F{Mx,y昨F，F(xiàn)<COS(4TIx)n?cf\rect\F{7si〃(7x?(y)}>

3)

(((y

=F-<F{COS4Rx}*75-75sinc75fx)sinc75fy^jrect=COS(4Rx)recv^-^\rect\

75

&(x，y)=[l+cos(&x)卜

g3(x,y)=F，F(xiàn)“+cos(&x)]rec7^j|-F{7si〃(7x?(y)}■

=Ft<(F{l+cos(8;tx)}*75sinc(7?；W(fv))rea(3]]

答：I)

=FT的(x)+k9-4收(A+4“*75用c(7肌位)卜c恰)

1X

+475.加(7凱)8億).佶>=F{75sinc(75fx)B(fy)}=recz|

75

(4)于4(x,y)=comb(x)*(rect(2x)rect(2y))

答：

,

g2(x,y)=F'{F{comh(x)*(recZ(2x)recZ(2>))}F{7s%(7x)5(y)}}

=F[曲(f"v卜0.637業(yè)「1J》0.637泣+l,/)0.212加-3,/)…)卜c佶11.4

=F-'{0.258(fx,fyXO.1595(/A-1,/v卜0.15免(/,+l,/)0.05384-3J)0.05354+39,)}

=0.25+0.318C6?5(2^X)-0.106COS(6TTX)

給定一個(gè)不變線性系統(tǒng)，輸入函數(shù)為有限延伸的三角波

g,.(X)=；CO〃力(；卜￡7位)*A(X)

對(duì)下述傳遞函數(shù)利用圖解方法確定系統(tǒng)的輸出。

⑴H(/)=rectUI

(2)”(/)=rec(q)-rect(4)

答：圖解方法是在頻域里進(jìn)行的，首先要計(jì)算輸入函數(shù)的頻譜，并繪成圖形

G(f)=F{gj(x)}=<F*Fjre-c?(^)j{A(x)}>

=[comb(3f)*50sinc(50/)]sinc2f

方括號(hào)內(nèi)函數(shù)頻譜圖形為：

圖1.4(1)

sin02/圖形為:

圖1.4(2)

因?yàn)閟ine?/的分辨力太低，上面兩個(gè)圖縱坐標(biāo)的單位相差50倍。兩者相乘時(shí)忽略中心五個(gè)分量以外的其他分

量，因?yàn)榇藭r(shí)sine?/的最大值小于0.04%。故圖解G(f)頻譜結(jié)果為:

G(f)

50

50*0.685

50*0.171

2

~33

圖1.4(3)

傳遞函數(shù)(1)形為:

圖1.4(4)

因?yàn)榻坪蟮妮斎牒瘮?shù)頻譜與該傳遞函數(shù)相乘后，保持不變，得到輸出函數(shù)頻譜表達(dá)式為：

,)+網(wǎng)吟切叱/5。血.)+0.呻("**)］｝

其反變換，即輸出函數(shù)為：

X2x

1+1.37COS2TT—+0.342cos2^r—jrrect(—)

L33J50

該函數(shù)為限制在［-25,25］區(qū)間內(nèi)，平均值為1,周期為3,振幅為1.37的一個(gè)余弦函數(shù)與周期為1.5,振幅為

0.342的另?個(gè)余弦函數(shù)的疊加。

傳遞函數(shù)(2)形為：

八1

A

圖1.4(5)

此時(shí)，輸出函數(shù)僅剩下在［-2,-1］及「2］兩個(gè)區(qū)間內(nèi)分量，盡管在這兩個(gè)區(qū)間內(nèi)輸入函數(shù)的頻譜很小，相對(duì)于

傳遞函數(shù)(2)在［-1,1］的零值也是不能忽略的，由于

sinc2(1)=0.043sinc2(|)=0.027

可以解得，通過傳遞函數(shù)(2)得到的輸出函數(shù)為：

'45~\x

0.043cos171-X+0.027cos2萬一xrecti.—)

L33J50

該函數(shù)依然限制在［-25,25］區(qū)間內(nèi)，但其平均值為零，是振幅為0.043,周期為0.75,的一個(gè)余弦函數(shù)與振幅

為0.027,周期為0.6的另一個(gè)余弦函數(shù)的疊加。

1.5若對(duì)二維函數(shù)

/?(x,y)=asine2(ax)

抽樣，求允許的最大抽樣間隔并對(duì)具體抽樣方法進(jìn)行說明。

答：:F{6(x,y)}=F(6f.wnc2(ax))=A

：.x<-=—；y<oo

2BX2a

也就是說，在X方向允許的最大抽樣間隔小于l/2a,在y方向抽樣間隔無限制。

1.6若只能用axb表示的有限區(qū)域上的脈沖點(diǎn)陣對(duì)函數(shù)進(jìn)行抽樣，即

g,（X，y）=g（x，y）comb修卜）mb（］rl]rect（3rect（f）

試說明，即使采用奈魁斯特間隔抽樣，也不能用一個(gè)理想低通濾波器精確恢復(fù)g(尤

答：因?yàn)閍xb表示的有限區(qū)域以外的函數(shù)抽樣對(duì)精確恢復(fù)g(x,y)也有貢獻(xiàn)，不可省略。

第二章習(xí)題解答

2.1一列波長(zhǎng)為；I的單位振幅平面光波，波矢量％與x軸的夾角為45°,與y軸夾角為60°,試寫出其空間頻

率及z=平面上的復(fù)振幅表達(dá)式。

答：A-><=:|，U（x,y,zJ=exp（jkz*xpj2兀：巴+陽

U（0,0,0）

ZKZ/t12入2X)

2.2尺寸為aXb的不透明矩形屏被單位振幅的單色平面波垂直照明，求出緊靠屏后的平面上的透射光場(chǎng)的角

譜。

答：心介可沙心），A（贄?卜加比C0箋卜

2.3波長(zhǎng)為4的單位振幅平面波垂直入射到一孔徑平面上，在孔徑平面上有一個(gè)足夠大的模板，其振幅透過率

為t（xQ）=0.5（1+cos及"%）,求緊靠孔徑透射場(chǎng)的角譜。

答::

/cosacos'B).(cosacos。、?Jcosa

Al,-y2-1=0.5bIl+0-25l——"+次bj

2.4參看圖2.13,邊長(zhǎng)為2a的正方形孔徑內(nèi)再放置一個(gè)邊長(zhǎng)為。的正方形掩模，其中心落在位,77）點(diǎn)。采用單

位振幅的單色平面波垂直照明，求出與它相距為z的觀察平面上夫瑯和費(fèi)衍射圖樣的光場(chǎng)分布。畫出

4=7=0時(shí)，孔徑頻譜在x方向上的截面圖。

圖2.4題

答：魚卜ec(卓卜《答:

22

F1(4,y0^4asinc(2afx)sinc(2afy)-asinc(afx)sinc(afy上空(■必ra(fx+fv))

^(x,y)=--exp(jkz)exp2+V|X

22x

4asmc\I2a—2a-asinc\a\sinc\a—\exp\-J2兀a\.力看

4a2sinc-a^sinc\a—\sinc\a\exp\-J2TIa

人zIXJI：

2.5圖2-14所示的孔徑由兩個(gè)相同的矩形組成，它們的寬度為。，長(zhǎng)度為6,中心相距為d。采用單位振幅

的單色平面波垂直照明，求與它相距為z的觀察平面上夫瑯和費(fèi)衍射圖樣的強(qiáng)度分布。假定。=4。及

d=L5a,畫出沿x和y方向上強(qiáng)度分布的截面圖。如果對(duì)其中一個(gè)矩形引入位相差乃，上述結(jié)果有何

變化?

圖題2.5(1)

答：如圖所示，雙縫的振幅透射率是兩個(gè)中心在（0,4）及（0,-4）的矩形孔徑振幅透射率之和:

22

dd

yX0-^y5+萬

A

t(x,y0)=rect(—)rect(-—-')+rect(^-)rect(—產(chǎn))(1)

nabab

由于是單位振幅平面波垂直照明，孔徑平面上入射光場(chǎng)

00（%0，、0）=1，

透射光場(chǎng)

dd

x%一不x%+不

u(X。，%)=U()(/，y。)，%)=rect(-^-)rect(―-^-)+rect(-^-)rect(——^)(2)

abab

由夫瑯和費(fèi)衍射方程，在夫瑯和費(fèi)區(qū)中離孔徑距離z的觀察平面上得到夫瑯和費(fèi)衍射圖樣U（x,y）,它正比于

孔徑上場(chǎng)分布的傅立葉變換式（頻率坐標(biāo)力=—,f=—），即

Az-vAz

exp（az）expj^（x2+y2）

U（x，y）=------------------------xF{U（Xo,%）}(3)

利用傅立葉變換的相移定理，得到

dcl

xyo+弓

F{U(xQ,y0)}=F\rect(^)rect(——)>+F<rect(-)rect(----—)>

abab

=absinc(afx)sinc(bfy)x[exp(-j^fyd)+exp(j7cfyd)]

.,ax.by7rdy

=o2absinc(---)sinc(--)xcos(——)

Az

把它帶入(3)式，則有

exp(/Xz)exp/

〃/、2zc,?,ax、.力}'、/兀dy、

U(x,y)=-------------------------x2absinc(——)sinc(——)xcos(—)

j^z2zAz

強(qiáng)度分

不難看出，這一強(qiáng)度分布是矩孔徑衍射圖樣和雙光束干涉圖樣相互調(diào)制的結(jié)果。

雙縫的振幅透射率也可以寫成下述形式：

心。，）,。）=%以（十卜以償）**0，%-9++0,%+'）（4）

它和（1）式本質(zhì)上是相同的。由（4）式可以利用卷積定理直接求出其傅立葉變換式，導(dǎo)出與上述同樣的結(jié)果。

代入所給條件b=4a,d=1.5a

沿x軸，此時(shí)力=0

22

Kfx,fy)=Sasinc(afx)

中心光強(qiáng)：I(0,0)=8a2

n

極小值位置為：f=-(”=±1,±2,…)

xa

x方向上強(qiáng)度分布的截面圖示意如下：

沿y軸：

此時(shí)，=0,故

22

1(￡/,)=8a2sinc(4afy)cos(1.5通)

中心光強(qiáng)：I(0,0)=8a2

n]+2〃

極小值位置：<=一及—(〃=±1,±2,…)

4a3a

y方向上強(qiáng)度分布的截面圖示意如下：

__

1O￡

語

圖題2.5(3)

t(x,y)=rect光（）rectA*卜xp[—/乃]+

a0b4J]

工0*《Xo，yo-1^exp[—"]+3(Xo，%J

rectrectA+

、b

d}d、

、y'-2y'+2

rectrectexp[-"]+reef土rect

a7bb

/7

由于是單位振幅平面波垂直照明，孔徑平面上入射光場(chǎng)

UoCWi)=l，

透射光場(chǎng),b=4a,d=l.5a時(shí)

U(XI，X)=UO(X|，M)f(X1,y)

d}d}

y

'-2xy+—

rectrectexp[-j7r]+rectirect?2(2)

abab

77

rect(工卜cf[%:，exp[-/4]+rect五])1+；75a)

由夫瑯和費(fèi)衍射方程，在夫瑯和費(fèi)區(qū)中離孔徑距離z的觀察平面上得到夫瑯和費(fèi)衍射圖樣U（x,y）,它正比于

孔徑上場(chǎng)分布的傅立葉變換式(頻率坐標(biāo)<=二，0=上)，即

A，zZz

exp(左)exp嚀(Y+y2)

U(x,y)=-----------------------^xF{U(Xo，%)}⑶

J^Z

利用傅立葉變換的相移定理，得到

F[U(x,y。)}=F?rect—rect―—”留]exp[-"]>+F<

0如㈤如3耳

I\a)\4a)I?Jl4a)

22

=[8asinc(afjsinc(4afy)exp(-1.5j兀exp(-))]+8asinc(afx)sinc(4蛆)exp(l.5)萬4)

2

=8asinc(afx)sinc(4afy)x(exp(-1.5j7tfy-j^)+exp(1.5j^/v))

把它帶入（3）式，則有

exp(人)exp邑(八丁)

2

U(x,y)—x8asinc(o/v)sinc(4ofv)

j^z

x(exp(—1.5"f，一")+exp(l.5力rfj)

exp(欣)exp/工，+/)

x8a2sine(竺-)sine

加

-1.5jnyj兀、.1-5/乃)'1j兀

xexpexp(-彳)+exp(

Az2

exp(咫)exp卷，+)/)

x8a2sinc(-^-)sinc(

1.5〃y+)

xexpj兀cos

22z2

強(qiáng)度分布

2.6試證明如下列陣定理：假設(shè)在衍射屏上有N個(gè)形狀和方位都相同的全等形開孔，在每一個(gè)開孔內(nèi)取一個(gè)

相對(duì)開孔來講方位一樣的點(diǎn)代表孔的位置，那末該衍射屏生成的夫瑯和費(fèi)衍射場(chǎng)是下列兩個(gè)因子的乘積:

(1)置于原點(diǎn)的一個(gè)孔徑的夫瑯和費(fèi)衍射(該衍射屏的原點(diǎn)處不一定有開孔)；(2)N個(gè)處于代表孔位

置的點(diǎn)上的點(diǎn)光源在觀察面上的干涉。

證明：假設(shè)置于原點(diǎn)的一個(gè)孔徑表示為，N個(gè)處于代表孔位置的點(diǎn)上的點(diǎn)光源表示為

》(x-x.j-y.),則衍射屏的透過率可表示為

N

也,打R(/’為行(frx)-

N

其傅里葉變換可表示為

F依。，人)W[(x0,y0)}-F10(XT,，廣分)]?

IMJ

該式右邊第一項(xiàng)對(duì)應(yīng)于置于原點(diǎn)的一個(gè)孔徑的夫瑯和費(fèi)衍射，第二項(xiàng)對(duì)應(yīng)于N個(gè)處于代表孔位置的點(diǎn)上的點(diǎn)光

源在觀察面上的干涉，因此該衍射屏生成的夫瑯和費(fèi)衍射場(chǎng)是這兩個(gè)因子的乘積。

2

2.7一個(gè)衍射屏具有下述圓對(duì)稱振幅透過率函數(shù)為r(r)=^1+lcosarJcircf-J

(1)這個(gè)屏的作用在什么方面像一個(gè)透鏡？

(2)給出此屏的焦距表達(dá)式。

(3)什么特性會(huì)嚴(yán)重的限制這種屏用做成像裝置(特別是對(duì)于彩色物體)？

答：(1)解

衍射屏的復(fù)振幅投射率如圖所示，也可以把它表示為直角坐標(biāo)的形式：

t(x,y)={g+gcos[aC?+y2)]卜

fl1「.，2-22I(1)

=<—+—exn|-/a(x'+y"')]^--exp[ja(x+y)]\xcirc\"十)

[244J11\

(1)式大括號(hào)中第?項(xiàng)僅僅是使直接透射光振幅衰減，其他兩項(xiàng)指數(shù)項(xiàng)與透鏡位相變換因子

exp—(x2+/)比較，可見形式相同。當(dāng)平面波垂直照射時(shí),這兩項(xiàng)的作用是分別產(chǎn)生會(huì)聚球面波和發(fā)

「2/」

散球面波。因此在成像性質(zhì)和傅立葉變換性質(zhì)上該衍射屏都有些類似與透鏡,因子circ〉"表明該屏

11\

具有半徑為/的圓形孔徑。

(2)解

得到相應(yīng)的焦距，對(duì)于』exp[—"z(x2+y2)]

把衍射屏復(fù)振幅透射率中的復(fù)指數(shù)項(xiàng)與透鏡位相變換因子相比較,

4

項(xiàng)，令a=工,則有

2工

r_k_乃

12a2a

1cc-k

焦距力為正，其作用相當(dāng)于會(huì)聚透鏡,對(duì)于一exp[ja(x+y)]項(xiàng)，令。=——,則有

42fz

k7T

fl=------=-------

2aXa

對(duì)于“_L”這一項(xiàng)來說，平行光波直接透過，僅振幅衰減，可看作是

焦距力為負(fù)，其作用相當(dāng)于發(fā)散透鏡,

2

力=8

(3)由于該衍射屏有三重焦距，用作成像裝置時(shí)，對(duì)同一物體它可以形成三個(gè)像，例如對(duì)于無窮遠(yuǎn)的點(diǎn)光源,

分別在屏兩側(cè)對(duì)稱位置形成實(shí)像和虛像，另?個(gè)像在無窮遠(yuǎn)(直接透射光)(參看圖4.12)。當(dāng)觀察者觀察其中

一個(gè)像時(shí)，同時(shí)會(huì)看到另外的離焦像，無法分離開。如用接收屏接收，在任何一個(gè)像面上都會(huì)有其它的離焦像

形成的背景干擾。除此以外，對(duì)于多色物體來說，嚴(yán)重的色差也是一個(gè)重要的限制。因?yàn)榻咕喽寂c波長(zhǎng)九成反

比。例如取4d=6900A,^,lue=4000A,則有

f_4000f?

Jred_6900‘?/Jblue

這樣大的色差是無法用作成像裝置的，若采用白光作光源，在像面上可以看到嚴(yán)重的色散現(xiàn)象。

這種衍射屏實(shí)際就是同軸形式的點(diǎn)源全息圖，即伽柏全息圖。

2.8用波長(zhǎng)為2=6328A的平面光波垂直照明半徑為2機(jī)機(jī)的衍射孔，若觀察范圍是與衍射孔共軸，半徑為

30/nzn的圓域，試求菲涅耳衍射和夫瑯和費(fèi)衍射的范圍。

答：由式⑵55)丁〉〉弓J4+片)2及式(2-57)Z〉〉g%(x；+/)有菲涅耳衍射和夫瑯和費(fèi)衍射分別要求

一空?；?即z〉〉Lo.6嬴0-4+15?=398.7.

出火+*片感而^=4964.6〃〃〃

2.9單位振幅的單色平面波垂直入射到一半徑為”的圓形孔徑上，試求菲涅耳衍射圖樣在軸上的強(qiáng)度分布。

答：圓形孔徑的透過率可表示為

而產(chǎn)）

1)

根據(jù)式(2.53)有

〃;+巾、

"""'P［，2ZQ2+廠力

a7

?exp小寸斤卜卬一底(xx°+?。）dxodyo

軸上的振幅分布為

u(o,o☆誓詞與*P仁

-（S2+V）丸也

17

=迦匈1%中「，幺，2>d〃o=exp(jkz^l-exp/卷

及z篇L2zJ

軸上的強(qiáng)度分布為

、2

i化2

U(0,0,z)=exp(jkzy-expj-a1=2

/

=4si”|一a~

(4z

2.10余弦型振幅光柵的復(fù)振幅透過率為

/(x0)=a+bcos2n寸

2d2

式中，d為光柵周期，a>b>0。觀察平面與光柵相距z。當(dāng)z分別取下列各數(shù)值：（1）z=z7-

⑵z告小⑶zd2

z=^-=_（式中z7稱作泰伯距離）時(shí)，確定單色平面波垂直照明光柵，在觀察

平面上產(chǎn)生的強(qiáng)度分布。

答：根據(jù)式⑵31）單色平面波垂直照明下余弦型振幅光柵的復(fù)振幅分布為

U（%,y0）=a+bcos2it}

強(qiáng)度分布為

，（XOG"C°S吟）

角譜為

熊(fx,fy)=\\[a+bcos2tyjexp(-j27t(xQfx+yofy^xodyQ

=而伍￡磔,[，/，卜GY))

傳播距離Z后，根據(jù)式(2.40)得到角譜

A&,，人，J為伍J,強(qiáng)小21-(")2—"月

=曲(九“(5(/,f卜(，+%加加前—(入小"J]

=疝(/,,/v]exp[jkz]+^>■小卜(/1?+:/，))exp\jkzjl一e)

利用二項(xiàng)式近似有

exp及zjO卜e印jkz1+(')j="p("z)exp(-j^~)

故

4fx,fy,z)=exp［咫,3(fx,fy卜生(/1—［J、卜(<+［'4)卜P—,展］)

,、2d2

(1)z=z=---時(shí)

T2

A(fx,fy,z)=expj竽(而("?VfJWfJ)

與4)(/；，/J僅相差一個(gè)常數(shù)位相因子，因而觀察平面上產(chǎn)生的強(qiáng)度分布與單色平面波垂直照明下剛剛透過余

弦型振幅光柵產(chǎn)生的強(qiáng)度分布完全相同。

(2)z=—=--時(shí)

22

，，一將

4fxfyz)=exp(“3(A，/v.)-^8(/*］，fJ('+：/,)))

對(duì)應(yīng)復(fù)振幅分布為

xx-di2

U(x,y)=a-hcosln—=a+bcos2n---------

dd

因而觀察平面上產(chǎn)生的強(qiáng)度分布為平移半個(gè)周期的單色平面波垂直照明下剛剛透過余弦型振幅光柵產(chǎn)生的強(qiáng)度

分布。

z_cl2

(3)T

T=22

\exP-Jy

4fx,fy,z)虎(/”,用3(工一/卜］/,+%

7

對(duì)應(yīng)復(fù)振幅分布為

t/(x,y)=exp(jkz),X

a-jbcos2n-^

強(qiáng)度分布為

/Q卜/+/72cos2及亍

第三章習(xí)題解答

3.1參看圖3.5,在推導(dǎo)相干成像系統(tǒng)點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)（3.35）式時(shí)，對(duì)于積分號(hào)前的相位因子

「氏Ifk（x2+v2W

expJ—+?exPJTT,----rn-

12doJ2doiM）\

試問

（1）物平面上半徑多大時(shí)，相位因子

exp+城)

2do

相對(duì)于它在原點(diǎn)之值正好改變“弧度？

（2）設(shè)光瞳函數(shù)是一個(gè)半徑為a的圓，那么在物平面上相應(yīng)h的第一個(gè)零點(diǎn)的半徑是多少？

（3）由這些結(jié)果，設(shè)觀察是在透鏡光軸附近進(jìn)行，那么a,入和d.之間存在什么關(guān)系時(shí)可以棄去相位因子

ex力合如.

2

解（1）由于原點(diǎn)的相位為零，于是與原點(diǎn)位相位差為萬的條件是」L（xk：+y；）="-k=r乃，石=，河i-----

2do2do

（2）根據(jù)（3.1.5）式，相干成像系統(tǒng)的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)是透鏡光瞳函數(shù)的夫瑯禾費(fèi)衍射圖樣，其中心位于理

想像點(diǎn)（吊，丸）

?g27r

h,%；示P】-/石[(X,一&)2+(K-%力>dxdy

(x0Xi,yi)=7J[P(x，y)ex

0i—co

-^—B\circ1aJ^nap)

a~4)4p

式中r=J%2+y2,而

苔一/）2?（?一%）2(1)

必必

在點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的第一個(gè)零點(diǎn)處，”（2萬年）=0,此時(shí)應(yīng)有230=3.83,即

0.61

Po=-----(2)

a

將（2）式代入（1）式，并注意觀察點(diǎn)在原點(diǎn)（七=%=0）,于是得

釬如也⑶

a

（3）根據(jù)線性系統(tǒng)理論，像面上原點(diǎn)處的場(chǎng)分布，必須是物面上所有點(diǎn)在像面上的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)對(duì)于原點(diǎn)的

貢獻(xiàn)〃。0，%；0,0）。按照上面的分析，如果略去h第一個(gè)零點(diǎn)以外的影響，即只考慮h的中央亮斑對(duì)原點(diǎn)

的貢獻(xiàn)，那么這個(gè)貢獻(xiàn)僅僅來自于物平面原點(diǎn)附近為W0.61/14）/。范圍內(nèi)的小區(qū)域。當(dāng)這個(gè)小區(qū)域內(nèi)各點(diǎn)

的相位因子exp[p^/24,]變化不大，就可認(rèn)為（3.1.3）式的近似成立，而將它棄去，假設(shè)小區(qū)域內(nèi)相

位變化不大于幾分之一弧度（例如萬/16）就滿足以上要求，則依*2do42，44241/16,也即

16

a22.44“^（4）

例如a=600〃機(jī)，4）=600〃機(jī)，則光瞳半徑a21.46機(jī)機(jī)，顯然這一條件是極易滿足的。

3.2-個(gè)余弦型振幅光柵，復(fù)振幅透過率為

心。,凡）=g+gcos2或

放在圖3.5所示的成像系統(tǒng)的物面上，用單色平面波傾斜照明，平面波的傳播方向在x°z平面內(nèi)，與z軸夾角

為9。透鏡焦距為f,孔徑為D。

（1）求物體透射光場(chǎng)的頻譜；

（2）使像平面出現(xiàn)條紋的最大9角等于多少？求此時(shí)像面強(qiáng)度分布；

（3）若。采用上述極大值，使像面上出現(xiàn)條紋的最大光柵頻率是多少？與。=0時(shí)的截止頻率比較，結(jié)論

如何？

解（1）斜入射的單色平面波在物平面上產(chǎn)生的場(chǎng)為Aexp（欣才。sin夕），為確定起見設(shè)?！?,則物平面

上的透射光場(chǎng)為

為）=Aexp（，kx（,sin0）t（xo,y0）

A（_sin。）1「//sin。、]1「八”sin。

-iexpj2^-x——+-expj27rx（f+--）+-exp-j27rx（f———

Z[\0A/Z|_00/tJZ|_00A

其頻譜為

A(^,r])=F{U0(x0,y0)}

=A-b(4-sin6+占邛。++京人+sin6

2r22

由此可見，相對(duì)于垂直入射照明，物頻譜沿J軸整體平移了sin。/%距離。

（2）欲使像面有強(qiáng)度變化,至少要有兩個(gè)頻譜分量通過系統(tǒng)，系統(tǒng)的截止頻率4=。/4/1/,于是要求

D

4-九+

Z42/42/242/

由此得“方鵬日

(1)

D\

0角的最大值為4x=arcsin(2)

raVJ

此時(shí)像面上的復(fù)振幅分布和強(qiáng)度分布為

AD1U+；exp(—J2g/))]

U,(%，X)=*yexpj27rxi

A2D5

4(七,丫)=彳—+cos27rf0x

4

（3）照明光束的傾角取最大值時(shí)，由（1）式和（2）式可得

D,D

九人一——"一<——”

DD

即人或/omax?

22/

6=0時(shí)，系統(tǒng)的截止頻率為2,=0/42/,因此光柵的最大頻率

D

?^Omax-Pc—(4)

42/

比較（3）和（4）式可知，當(dāng)采用9=繪；吹傾角的平面波照明時(shí)系統(tǒng)的截止頻率提高了一倍，也就提高了

系統(tǒng)的極限分辨率，但系統(tǒng)的通帶寬度不變。

3.3光學(xué)傳遞函數(shù)在f*=f,=0處都等于1,這是為什么？光學(xué)傳遞函數(shù)的值可能大于1嗎？如果光學(xué)系統(tǒng)

真的實(shí)現(xiàn)了點(diǎn)物成點(diǎn)像，這時(shí)的光學(xué)傳遞函數(shù)怎樣?

(1)在(3.4.5)式中，令3,y)=s似如)”——

j\ht(xi,yi)dxidyi

-co

為歸一化強(qiáng)度點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)，因此(3.4.5)式可寫成

8

H《,〃)=JJ//(x,.，M)exp[-，2乃(“+〃M)Mx/X

—00

而//(0,0)=1=|yJdXjdyj

-00

即不考慮系統(tǒng)光能損失時(shí)，認(rèn)定物面上單位強(qiáng)度點(diǎn)源的總光通量將全部彌漫在像面上，這便是歸一化點(diǎn)擴(kuò)

散函數(shù)的意義(2)不能大于1。

(3)對(duì)于理想成像，歸一化點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)是b函數(shù)，其頻譜為常數(shù)1,即系統(tǒng)對(duì)任何頻率的傳遞都是無損的。

3.4當(dāng)非相干成像系統(tǒng)的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)hi(Xi,yi)成點(diǎn)對(duì)稱時(shí)，則其光學(xué)傳遞函數(shù)是實(shí)函數(shù)。

解：由于％(看,凹)是實(shí)函數(shù)并且是中心對(duì)稱的，即有也(七,》)=/2；(毛,%)，力=%(-4一%)，應(yīng)用

光學(xué)傳遞函數(shù)的定義式(3.4.5)易于證明“(,〃)=//,(4,〃)，即為實(shí)函數(shù)。

3.5非相干成像系統(tǒng)的出瞳是由大量隨機(jī)分布的小圓孔組成。小圓孔的直徑都為2a,出瞳到像面的距離

為由,光波長(zhǎng)為入，這種系統(tǒng)可用來實(shí)現(xiàn)非相干低通濾波。系統(tǒng)的截止頻率近似為多大？

解：用公式(3.4.15)來分析。首先，由于出瞳上的小圓孔是隨機(jī)排列的，因此無論沿哪個(gè)方向移動(dòng)出瞳

計(jì)算重疊面積，其結(jié)果都一樣，即系統(tǒng)的截止頻率在任何方向上均相同。其次，作為近似估計(jì)，只考慮每個(gè)小

孔自身的重置情況，而不計(jì)及和其它小孔的重疊，這時(shí)N個(gè)小孔的重疊面積除以N個(gè)小孔的總面積，其結(jié)果與

單個(gè)小孔的重疊情況是一樣的，即截止頻率約為2。/九4，由于2a很小，所以系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)了低通濾波。

第五章習(xí)題解答

5.1兩束夾角為G=45°的平面波在記錄平面上產(chǎn)生干涉，已知光波波長(zhǎng)為632.8nm,求對(duì)稱情況下(兩

平面波的入射角相等)該平面上記錄的全息光柵的空間頻率。

答：已知：。=45°,X=632.8nm,根據(jù)平面波相干原理，干涉條紋的空間分布滿足關(guān)系式2dsin(。/2)=

X,其中d是干涉條紋間隔。由于兩平面波相對(duì)于全息干板是對(duì)稱入射的，故記錄在干板上的全息光柵空間頻

率為

fx=(.l/d)=(1/X)-2sin(0/2)=1209.5//mm

故全息光柵的空間頻率為1209.5〃mm。

5.2如圖5.33所示，點(diǎn)光源A(0,-40,-150)和B(0,30,-100)發(fā)出的球面波在記錄平面上產(chǎn)生干

涉:

X

y

圖5.33(5.2題圖)

(1)寫出兩個(gè)球面波在記錄平面上復(fù)振幅分布的表達(dá)式;

答：設(shè)：點(diǎn)源A、B發(fā)出的球面波在記錄平面上的復(fù)振幅分布分別為UA和UB，

22

則有UA=^-exp(jkzA)exp{(jk/2zA)\{x-xA)+(y-yA)]}

4=￡expO%)exp{(火/2zMxf)2+(y-%)2]}

其中：XA=XB=0,>A=-40,zA=-150,>B=30,zB=-100;

aA、OB分別是球面波的振幅；k為波數(shù)。

(2)寫出干涉條紋強(qiáng)度分布的表達(dá)式；

/=IUA+UB?=UA-UA*+UB-UB*+以*?5+UA?UB*

="A-:血一+%；"且bxp(-/"zA+j%)exp{-(1k/乂(x-)2+(y-)2]

22

+(jk/2ZB)[(%-)+(y-yB)]}}

jkz2z力>]

+{exp(/S-B)exp{("/A)[(x-->+(y-(3)設(shè)全息干

22

-(jk/2zB)\{x-xB)+(y-yB)]}}

板的尺寸為100x100mn?,九=632.8nm,求全息圖上最高和最低空間頻率；說明這對(duì)記錄介質(zhì)的分辨

率有何要求？

解答：設(shè)全息干板對(duì)于坐標(biāo)軸是對(duì)稱的，設(shè)點(diǎn)源A與點(diǎn)源B到達(dá)干板的光線的最大和最小夾角分別為

。咿和。.而，A、B發(fā)出的到達(dá)干板兩個(gè)邊緣的光線與干板的夾角分別為。八隆、?！负腿?/p>

'。J

°miny

,

oA=tg'[zA/（-JA-50）],eB=tg-[zB/（-yB-50）]

?A'=tg'[zA/（JA-50）]，OB'=tg'[ZB/（＞'B-5O）]

，

91rax=9A-°B，6min=OB*-6A

根據(jù)全息光柵記錄原理，全息圖上所記錄的

最高空間頻率篩x=（2/1）Sin（0max。）-cosai

最低空間頻率/min=（2/X）sin（omin/2）-cosa2

其中a角表示全息干板相對(duì)于對(duì)稱記錄情況的偏離角，由幾何關(guān)系可知

cosa?=sin（9A+0B）/2,cosa2=sin（9A'+0B'）/2

將數(shù)據(jù)代入公式得工nax=882〃mm,/min=503l/mm

故全息圖的空間頻率最高為882l/mm,最低為503l/mm,要求記錄介質(zhì)的分辨率不得低于900〃mm。

5.3請(qǐng)依據(jù)全息照相原理說明一個(gè)漫反射物體的菲涅