4.3等比數(shù)列（十四大題型）（原卷版）

4．3等比數(shù)列課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)1、通過(guò)生活中的實(shí)例，理解等比數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式的意義．2、探索并掌握等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，理解等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式的關(guān)系．3、能在具體的問(wèn)題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等比關(guān)系，并解決相應(yīng)的問(wèn)題．4、體會(huì)等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系．1、能根據(jù)等比數(shù)列的定義判斷一個(gè)數(shù)列是否為等比數(shù)列，并能進(jìn)行簡(jiǎn)單的求值．2、能根據(jù)等比數(shù)列的定義推導(dǎo)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式．3、掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的結(jié)構(gòu)特征并能進(jìn)行基本的運(yùn)算．4、掌握等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及公式證明思路．5、會(huì)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式解決有關(guān)等比數(shù)列的一些簡(jiǎn)單問(wèn)題．知識(shí)點(diǎn)01等比數(shù)列的定義一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列．這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比；公比通常用字母表示（），即：．知識(shí)點(diǎn)詮釋：①由于等比數(shù)列每一項(xiàng)都可能作分母，故每一項(xiàng)均不為0，因此q可不能是0；②“從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)”，這里的項(xiàng)具有任意性和有序性，常數(shù)是同一個(gè)；③隱含條件：任一項(xiàng)且；“”是數(shù)列成等比數(shù)列的必要非充分條件；④常數(shù)列都是等差數(shù)列，但不一定是等比數(shù)列．不為0的常數(shù)列是公比為1的等比數(shù)列；⑤證明一個(gè)數(shù)列為等比數(shù)列，其依據(jù)．利用這種形式來(lái)判定，就便于操作了．【即學(xué)即練1】（2023·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）將公比為q的等比數(shù)列，，，，…依次取相鄰兩項(xiàng)的乘積組成新的數(shù)列，，，…．此數(shù)列是（

）．A．公比為q的等比數(shù)列 B．公比為的等比數(shù)列C．公比為的等比數(shù)列 D．不一定是等比數(shù)列知識(shí)點(diǎn)02等比中項(xiàng)如果三個(gè)數(shù)、、成等比數(shù)列，那么稱數(shù)為與的等比中項(xiàng)．其中．知識(shí)點(diǎn)詮釋：①只有當(dāng)與同號(hào)即時(shí)，與才有等比中項(xiàng)，且與有兩個(gè)互為相反數(shù)的等比中項(xiàng)．當(dāng)與異號(hào)或有一個(gè)為零即時(shí)，與沒(méi)有等比中項(xiàng)．②任意兩個(gè)實(shí)數(shù)與都有等差中項(xiàng)，且當(dāng)與確定時(shí)，等差中項(xiàng)唯一．但任意兩個(gè)實(shí)數(shù)與不一定有等比中項(xiàng)，且當(dāng)與有等比中項(xiàng)時(shí)，等比中項(xiàng)不唯一．③當(dāng)時(shí)，、、成等比數(shù)列．④是、、成等比數(shù)列的必要不充分條件．【即學(xué)即練2】（2023·廣西桂林·高二?？计谥校┮阎?和4的等差中項(xiàng)，正數(shù)是和的等比中項(xiàng)，則等于.知識(shí)點(diǎn)03等比數(shù)列的通項(xiàng)公式等比數(shù)列的通項(xiàng)公式首相為，公比為的等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為：推導(dǎo)過(guò)程：（1）歸納法：根據(jù)等比數(shù)列的定義可得：∴；；；……當(dāng)n=1時(shí)，上式也成立∴歸納得出：（2）疊乘法：根據(jù)等比數(shù)列的定義可得：，，，……，把以上個(gè)等式的左邊與右邊分別相乘（疊乘），并化簡(jiǎn)得：，即又a1也符合上式∴．（3）迭代法：∴．知識(shí)點(diǎn)詮釋：①通項(xiàng)公式由首項(xiàng)和公比完全確定，一旦一個(gè)等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比確定，該等比數(shù)列就唯一確定了．②通項(xiàng)公式中共涉及、、、四個(gè)量，已知其中任意三個(gè)量，通過(guò)解方程，便可求出第四個(gè)量．等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的推廣已知等比數(shù)列中，第項(xiàng)為，公比為，則：證明：∵，∴∴由上可知，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可以用數(shù)列中的任一項(xiàng)與公比來(lái)表示，通項(xiàng)公式可以看成是時(shí)的特殊情況．【即學(xué)即練3】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則的通項(xiàng)公式（

）A． B．C． D．知識(shí)點(diǎn)04等比數(shù)列的性質(zhì)設(shè)等比數(shù)列的公比為①若，且，則，特別地，當(dāng)時(shí)．②下標(biāo)成等差數(shù)列且公差為的項(xiàng)，，，…組成的新數(shù)列仍為等比數(shù)列，公比為．③若，是項(xiàng)數(shù)相同的等比數(shù)列，則、、（是常數(shù)且）、、（，是常數(shù)）、、也是等比數(shù)列；④連續(xù)項(xiàng)和（不為零）仍是等比數(shù)列．即，，，…成等比數(shù)列．【即學(xué)即練4】（2023·廣西欽州·高二欽州一中?？计谥校┰诘缺葦?shù)列中，若、是方程的兩根，則的值是.知識(shí)點(diǎn)05等比數(shù)列中的函數(shù)關(guān)系等比數(shù)列中，，若設(shè)，則：（1）當(dāng)時(shí)，，等比數(shù)列是非零常數(shù)列．它的圖象是在直線上均勻排列的一群孤立的點(diǎn)．（2）當(dāng)時(shí)，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于的指數(shù)型函數(shù)；它的圖象是分布在曲線（）上的一些孤立的點(diǎn)．①當(dāng)且時(shí)，等比數(shù)列是遞增數(shù)列；②當(dāng)且時(shí)，等比數(shù)列是遞減數(shù)列；③當(dāng)且時(shí)，等比數(shù)列是遞減數(shù)列；④當(dāng)且時(shí)，等比數(shù)列是遞增數(shù)列．（3）當(dāng)時(shí)，等比數(shù)列是擺動(dòng)數(shù)列．知識(shí)點(diǎn)詮釋：常數(shù)列不一定是等比數(shù)列，只有非零常數(shù)列才是公比為1的等比數(shù)列．【即學(xué)即練5】（2023·河南信陽(yáng)·高二統(tǒng)考期末）已知等差數(shù)列、等比數(shù)列的前項(xiàng)和之積為，設(shè)等差數(shù)列的公差為、等比數(shù)列的公比為，以下正確的所有序號(hào)為.①；②；③；④.知識(shí)點(diǎn)06等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式推導(dǎo)過(guò)程：（1）利用等比性質(zhì)由等比數(shù)列的定義，有根據(jù)等比性質(zhì)，有所以當(dāng)時(shí)，或．（2）錯(cuò)位相減法等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，①當(dāng)時(shí)，，；②當(dāng)時(shí)，由得：所以或．即知識(shí)點(diǎn)詮釋：①錯(cuò)位相減法是一種非常常見和重要的數(shù)列求和方法，適用于一個(gè)等比數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)的積組成的數(shù)列求和問(wèn)題，要求理解并掌握此法．②在求等比數(shù)列前項(xiàng)和時(shí)，要注意區(qū)分和．③當(dāng)時(shí)，等比數(shù)列的兩個(gè)求和公式，共涉及、、、、五個(gè)量，已知其中任意三個(gè)量，通過(guò)解方程組，便可求出其余兩個(gè)量．【即學(xué)即練6】（2023·上海虹口·高二上外附中?？茧A段練習(xí)）若等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，求.知識(shí)點(diǎn)07等比數(shù)列前n項(xiàng)和的函數(shù)特征1、與的關(guān)系（1）當(dāng)公比時(shí)，等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式是，它可以變形為，設(shè)，則上式可以寫成的形式，由此可見，數(shù)列的圖象是函數(shù)圖象上的一群孤立的點(diǎn)；（2）當(dāng)公比時(shí)，等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式是，則數(shù)列的圖象是函數(shù)圖象上的一群孤立的點(diǎn)．2、與的關(guān)系當(dāng)公比時(shí)，等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式是，它可以變形為設(shè)，，則上式可寫成的形式，則是的一次函數(shù)．【即學(xué)即練7】（2023·江蘇南通·高二期末）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（

）A． B． C． D．知識(shí)點(diǎn)08等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)1、等比數(shù)列中，若項(xiàng)數(shù)為，則；若項(xiàng)數(shù)為，則．2、若等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則，，…成等比數(shù)列（其中，，…均不為0）．3、若一個(gè)非常數(shù)列的前n項(xiàng)和，則數(shù)列為等比數(shù)列．【即學(xué)即練8】（2023·江蘇蘇州·高二吳江中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為45，前2n項(xiàng)和為60，則其前3n項(xiàng)和為（

）A．65 B．80 C．90 D．105【方法技巧與總結(jié)】等比數(shù)列常用的兩種解題方法1、基本量法（基本方法）（1）基本步驟：運(yùn)用方程思想列出基本量和的方程組，然后利用通項(xiàng)公式求解；（2）優(yōu)缺點(diǎn)：適應(yīng)面廣，入手簡(jiǎn)單，思路清晰，但有時(shí)運(yùn)算稍繁．2、性質(zhì)法（利用等比數(shù)列的性質(zhì)解題）（1）基本思想：充分發(fā)揮項(xiàng)的“下標(biāo)”的指導(dǎo)作用，分析等比數(shù)列項(xiàng)與項(xiàng)之間的關(guān)系，選擇恰當(dāng)?shù)男再|(zhì)解題；（2）優(yōu)缺點(diǎn)：簡(jiǎn)單快捷，但是適應(yīng)面窄，有一定的思維含量．題型一：等比數(shù)列的判斷例1．（2023·新疆伊犁·高二統(tǒng)考期中）如果某地某天某病毒患者的確診數(shù)量為，且每個(gè)患者的傳染力為2（即一人可以造成2人感染），則3天后的患者人數(shù)將會(huì)是原來(lái)的（

）A．8倍 B．15倍 C．16倍 D．31倍例2．（2023·遼寧鞍山·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）數(shù)列的前n項(xiàng)和，則（

）A．是等差數(shù)列 B．是等差數(shù)列也是等比數(shù)列C．是等比數(shù)列 D．既不是等差數(shù)列又不是等比數(shù)列例3．（2023·遼寧撫順·高二校聯(lián)考期末）已知數(shù)列，則“”是“為等比數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件變式1．（2023·上海浦東新·高二統(tǒng)考期末）“一個(gè)數(shù)列是常數(shù)列”是“這個(gè)數(shù)列是公比為1的等比數(shù)列”的（

）A．充分非必要條件；B．必要非充分條件；C．充要條件；D．既不充分又非必要條件．變式2．（2023·江西宜春·高二上高二中?？茧A段練習(xí)）已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則（

）A． B．5 C． D．【方法技巧與總結(jié)】一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列．這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比；公比通常用字母表示（），即：．題型二：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其應(yīng)用例4．（2023·河南許昌·高二校考階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，則的通項(xiàng)公式（

）A． B． C． D．例5．（2023·福建漳州·高二校考階段練習(xí)）在等比數(shù)列中，，，則首項(xiàng)等于（

）A．2 B．1 C． D．例6．（2023·甘肅金昌·高二永昌縣第一高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在等比數(shù)列中，，，則（

）A． B． C．32 D．64變式3．（2023·福建龍巖·高二福建省連城縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在等比數(shù)列中，，，則（

）A．8 B．6 C．4 D．2變式4．（2023·廣東佛山·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，，則的公比（

）A．2 B． C．2或 D．或變式5．（2023·黑龍江大慶·高二校考期末）已如公比不為1的等比數(shù)列中，存在，滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．【方法技巧與總結(jié)】等比數(shù)列的通項(xiàng)公式涉及4個(gè)量，，，，只要知道其中任意三個(gè)就能求出另外一個(gè)，在這四個(gè)量中，和是等比數(shù)列的基本量，只要求出這兩個(gè)基本量，問(wèn)題便迎刃而解．題型三：等比數(shù)列的證明例7．（2023·黑龍江鶴崗·高二鶴崗一中?？计谥校┮阎獢?shù)列滿足，

(1)求(2)若，求證數(shù)列是等比數(shù)列并求數(shù)列的通項(xiàng)公式(3)求數(shù)列的通項(xiàng)公式例8．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列滿足：，．(1)求證：為等比數(shù)列；(2)求的通項(xiàng)公式．例9．（2023·天津北辰·高二?？计谀┮阎獢?shù)列的前項(xiàng)和為，且.在數(shù)列中，，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：是等比數(shù)列.變式6．（2023·福建福州·高二?？计谥校┰跀?shù)列中，已知，，記為的前n項(xiàng)和，，．(1)判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列，并寫出其通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式．變式7．（2023·上海浦東新·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且N(1)求證:數(shù)列是等比數(shù)列;(2)數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【方法技巧與總結(jié)】1、定義法：（常數(shù)）為等比數(shù)列；2、中項(xiàng)法：（）為等比數(shù)列；3、通項(xiàng)公式法：（，為常數(shù)）為等比數(shù)列．4、構(gòu)造法：在條件中出現(xiàn)關(guān)系時(shí)，往往構(gòu)造數(shù)列，方法是把與對(duì)照，求出即可．題型四：等比中項(xiàng)及應(yīng)用例10．（2023·吉林·高二校聯(lián)考期末）在等比數(shù)列中，，，則與的等比中項(xiàng)為例11．（2023·天津?qū)幒印じ叨旖蚴袑幒訁^(qū)蘆臺(tái)第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）5和15的等比中項(xiàng)是.例12．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）在等比數(shù)列中，，則和的等比中項(xiàng)為．變式8．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）與的等比中項(xiàng)為．變式9．（2023·高二?？颊n時(shí)練習(xí)）已知成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，則.【方法技巧與總結(jié)】（1）由等比中項(xiàng)的定義可知，所以只有a，b同號(hào)時(shí)，a，b的等比中項(xiàng)有兩個(gè)，異號(hào)時(shí)，沒(méi)有等比中項(xiàng)．（2）在一個(gè)等比數(shù)列中，從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)（有窮數(shù)列的末項(xiàng)除外）都是它的前一項(xiàng)和后一項(xiàng)的等比中項(xiàng)．（3）a，G，b成等比數(shù)列等價(jià)于．題型五：等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用例13．（2023·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）計(jì)算機(jī)的價(jià)格不斷降低，若每年計(jì)算機(jī)的價(jià)格降低，現(xiàn)在價(jià)格為8100元的計(jì)算機(jī)3年后的價(jià)格可降低為（

）．A．300元 B．900元 C．2400元 D．3600元例14．（2023·北京·高二?？计谥校┪覈?guó)古代哲學(xué)著作《莊子》中有一句話：“一尺之捶，日取其半，萬(wàn)世不竭.”這句話的意思是：一尺長(zhǎng)的木棍，每天截去一半，永遠(yuǎn)也截不完.從數(shù)學(xué)上來(lái)說(shuō)，如果木棍初始長(zhǎng)度為1，記第n天截去一半之后木棍剩余的長(zhǎng)度為，則數(shù)列的各項(xiàng)依次為（

）A．1，，，，… B．，，，，…C．，，，，… D．，，，，…例15．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）黨的十九大明確把精準(zhǔn)脫貧作為決勝全面建成小康社會(huì)必須打好的三大攻堅(jiān)戰(zhàn)之一，作出了新的部署．某地區(qū)現(xiàn)有28萬(wàn)農(nóng)村貧困人口，如果計(jì)劃在未來(lái)3年時(shí)間內(nèi)完成脫貧任務(wù)，并且后一年的脫貧任務(wù)是前一年任務(wù)的一半，為了按時(shí)完成脫貧攻堅(jiān)任務(wù)，那么第一年需要完成的脫貧任務(wù)是（

）A．10萬(wàn)人 B．12萬(wàn)人 C．14萬(wàn)人 D．16萬(wàn)人變式10．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）“巴赫十二平均律”是世界上通用的音樂(lè)律制，它與五度相生律、純律并稱三大律制．“十二平均律”將一個(gè)純八度音程分成十二份，依次得到十三個(gè)單音，從第二個(gè)單音起，每一個(gè)單音的頻率與它的前一個(gè)單音的頻率的比都等于．而早在16世紀(jì)，明代朱載最早用精湛的數(shù)學(xué)方法近似計(jì)算出這個(gè)比例，為這個(gè)理論的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn)．若第一個(gè)單音的頻率為，則第四個(gè)單音的頻率為（

）A． B． C． D．變式11．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）科赫曲線因形似雪花，又被稱為雪花曲線.其構(gòu)成方式如下：如圖1將線段等分為線段，如圖2.以為底向外作等邊三角形，并去掉線段，將以上的操作稱為第一次操作；繼續(xù)在圖2的各條線段上重復(fù)上述操作，當(dāng)進(jìn)行三次操作后形成如圖3的曲線.設(shè)線段的長(zhǎng)度為1，則圖3中曲線的長(zhǎng)度為（

）A．2 B． C． D．3【方法技巧與總結(jié)】等比數(shù)列實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的關(guān)鍵是：建立數(shù)學(xué)模型即將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成等比數(shù)列的問(wèn)題，解數(shù)學(xué)模型即解等比數(shù)列問(wèn)題．題型六：等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用例16．（2023·甘肅白銀·高二校考階段練習(xí)）正項(xiàng)等比數(shù)列中，，則的值是．例17．（2023·新疆喀什·高二?？茧A段練習(xí)）在等比數(shù)列中，，則.例18．（2023·福建寧德·高二福建省寧德第一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若，則．變式12．（2023·新疆·高二校考期中）已知遞增等比數(shù)列的第三項(xiàng)、第五項(xiàng)、第七項(xiàng)的積為512，且這三項(xiàng)分別減去后成等差數(shù)列.則的公比為.變式13．（2023·山東青島·高二校聯(lián)考期中）正項(xiàng)等比數(shù)列中，，是方程的兩個(gè)根，則.變式14．（2023·上海黃浦·高二統(tǒng)考期末）在正項(xiàng)等比數(shù)列中，有，則；變式15．（2023·江西撫州·高二江西省臨川第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）正項(xiàng)等比數(shù)列中，若，則.變式16．（2023·遼寧阜新·高二?？计谥校┤舻缺葦?shù)列滿足，，則．變式17．（2023·安徽滁州·高二?？计谀┰诘缺葦?shù)列中，，，則等于．變式18．（2023·北京·高二中央民族大學(xué)附屬中學(xué)校考期末）在等比數(shù)列中，若，，則.【方法技巧與總結(jié)】利用等比數(shù)列的性質(zhì)解題（1）基本思路：充分發(fā)揮項(xiàng)的“下標(biāo)”的指導(dǎo)作用，分析等比數(shù)列項(xiàng)與項(xiàng)之間的關(guān)系，選擇恰當(dāng)?shù)男再|(zhì)解題．（2）優(yōu)缺點(diǎn)：簡(jiǎn)便快捷，但是適用面窄，有一定的思維含量．題型七：靈活設(shè)元求解等比數(shù)列問(wèn)題例19．（2023·寧夏·石嘴山市第三中學(xué)高二階段練習(xí)）有四個(gè)正數(shù)，前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，其和為48，后三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，且最后一個(gè)數(shù)是25，求此四個(gè)數(shù)．例20．（2023·陜西·西安市鄠邑區(qū)第二中學(xué)高二階段練習(xí)）依次排列的四個(gè)數(shù)，其和為13，第四個(gè)數(shù)是第二個(gè)數(shù)的3倍，前三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，后三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，求這四個(gè)數(shù).例21．（2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）四個(gè)數(shù)中前三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，后三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，若首末兩數(shù)之和為14，中間兩數(shù)之和為12，求這四個(gè)數(shù)．變式19．（2023·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）已知三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，它們的積為，它們的平方和為，求這三個(gè)數(shù)．變式20．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）有四個(gè)數(shù)，前三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，后三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，第一個(gè)數(shù)與第四個(gè)數(shù)的和為，中間兩個(gè)數(shù)的和為，求這四個(gè)數(shù).變式21．（2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知四個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，其乘積為1，第2項(xiàng)與第3項(xiàng)之和為－，求這四個(gè)數(shù)．【方法技巧與總結(jié)】幾個(gè)數(shù)成等比數(shù)列的設(shè)法（1）三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列設(shè)為．推廣到一般：奇數(shù)個(gè)數(shù)成等比數(shù)列設(shè)為，（2）四個(gè)符號(hào)相同的數(shù)成等比數(shù)列設(shè)為．推廣到一般：偶數(shù)個(gè)符號(hào)相同的數(shù)成等比數(shù)列設(shè)為，（3）四個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，不能確定它們的符號(hào)是否相同時(shí)，可設(shè)為．題型八：等比數(shù)列前項(xiàng)和的有關(guān)計(jì)算例22．（2023·上海靜安·高二?？茧A段練習(xí)）求和：.例23．（2023·甘肅白銀·高二?？茧A段練習(xí)）若數(shù)列為首項(xiàng)為3，公比為2的等比數(shù)列，則．例24．（2023·福建龍巖·高二福建省連城縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則變式22．（2023·江西宜春·高二江西省宜豐中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，則的值為.變式23．（2023·遼寧沈陽(yáng)·高二校聯(lián)考期中）在等比數(shù)列中，已知，，，則的值為．【方法技巧與總結(jié)】等比數(shù)列前n項(xiàng)和運(yùn)算的技巧（1）在等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式中，共涉及五個(gè)量：、、、、，其中首項(xiàng)和公比為基本量，且“知三求二”，常常列方程組來(lái)解答．（2）對(duì)于基本量的計(jì)算，列方程組求解是基本方法，通常用約分或兩式相除的方法進(jìn)行消元，有時(shí)會(huì)用到整體代換，如，都可看作一個(gè)整體．（3）在解決與前項(xiàng)和有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，首先要對(duì)公比或進(jìn)行判斷，若兩種情況都有可能，則要分類討論．題型九：等比數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)例25．（2023·江西吉安·高二吉安三中?？计谀┑缺葦?shù)列的前項(xiàng)和，則的值為.例26．（2023·廣東·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）若等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，則．例27．（2023·河北保定·高二定興中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）若等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，則．變式24．（2023·江西萍鄉(xiāng)·高二統(tǒng)考期中）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則.【方法技巧與總結(jié)】處理等比數(shù)列前項(xiàng)和有關(guān)問(wèn)題的常用方法（1）運(yùn)用等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，要注意公比和兩種情形，在解有關(guān)的方程（組）時(shí)，通常用約分或兩式相除的方法進(jìn)行消元．（2）靈活運(yùn)用等比數(shù)列前項(xiàng)和的有關(guān)性質(zhì)．題型十：遞推公式在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用例28．（2023·湖南·高二期末）年月日日，備受矚目的年中國(guó)國(guó)際軌道交通和裝備制造產(chǎn)業(yè)博覽會(huì)（軌博會(huì)）在湖南株洲成功舉行．假設(shè)年株洲軌道產(chǎn)業(yè)的年利潤(rùn)為百億元，預(yù)計(jì)從年開始，軌道產(chǎn)業(yè)每年的年利潤(rùn)將在前一年翻一番的基礎(chǔ)上減少百億元，設(shè)從年開始，每年株洲軌道產(chǎn)業(yè)的年利潤(rùn)（單位：百億元）依次為、、、.(1)請(qǐng)用一個(gè)遞推關(guān)系式表示與之間的關(guān)系．(2)證明：數(shù)列為等比數(shù)列．(3)預(yù)計(jì)哪一年株洲軌道產(chǎn)業(yè)的年利潤(rùn)將首次突破千億元大關(guān)．例29．（2023·全國(guó)·高二單元測(cè)試）某企業(yè)為一個(gè)高科技項(xiàng)目注入了啟動(dòng)資金1000萬(wàn)元，已知每年可獲利，但由于競(jìng)爭(zhēng)激烈，每年年底需從利潤(rùn)中抽取200萬(wàn)元資金進(jìn)行科研、技術(shù)改造與廣告投入，方能保持原有的利潤(rùn)增長(zhǎng)率．設(shè)經(jīng)過(guò)年之后，該項(xiàng)目的資金為萬(wàn)元．（1）設(shè)，證明數(shù)列為等比數(shù)列，并求出至少要經(jīng)過(guò)多少年，該項(xiàng)目的資金才可以達(dá)到或超過(guò)翻兩番（即為原來(lái)的4倍）的目標(biāo)（取）；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．例30．（2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）某工廠2019年初有資金1000萬(wàn)元，資金年平均增長(zhǎng)率可達(dá)到20％，但每年年底要扣除萬(wàn)元用于獎(jiǎng)勵(lì)優(yōu)秀職工，剩余資金投入再生產(chǎn)．（1）以第2019年為第一年，設(shè)第年初有資金萬(wàn)元，用和表示，并證明數(shù)列為等比數(shù)列；（2）為實(shí)現(xiàn)2029年初資金翻再現(xiàn)兩番的目標(biāo)，求的最大值（精確到萬(wàn)元）．（參考數(shù)據(jù)：，，）變式25．（2023·寧夏·銀川一中高三階段練習(xí)（理））“綠水青山就是金山銀山”是時(shí)任浙江省委書記習(xí)近平同志于2005年8月15日在浙江湖州安吉考察時(shí)提出的科學(xué)論斷，2017年10月18日，該理論寫入中共19大報(bào)告，為響應(yīng)總書記號(hào)召，我國(guó)某西部地區(qū)進(jìn)行沙漠治理，該地區(qū)有土地1萬(wàn)平方公里，其中70%是沙漠，從今年起，該地區(qū)進(jìn)行綠化改造，每年把原有沙漠的16%改造為綠洲，同時(shí)原有綠洲的4%被沙漠所侵蝕又變成沙漠，設(shè)從今年起第年綠洲面積為萬(wàn)平方公里，則第年綠洲面積與上一年綠洲面積的關(guān)系如下：；(1)證明是等比數(shù)列并求通項(xiàng)公式；(2)至少經(jīng)過(guò)幾年，綠洲面積可超過(guò)60%？（）變式26．（2023·上海市松江二中高一期末）在一次招聘會(huì)上，甲、乙兩家公司分別給出了它們的工資標(biāo)準(zhǔn).甲公司允諾：第一年的年薪為萬(wàn)元，以后每年的年薪比上一年增加元；乙公司的工資標(biāo)準(zhǔn)如下：①第一年的年薪為萬(wàn)元；②從第二年起，每年的年薪除比上一年增加外，還另外發(fā)放（為大于的常數(shù)）萬(wàn)元的交通補(bǔ)貼作為當(dāng)年年薪的一部分.設(shè)甲、乙兩家公司第年的年薪依次為萬(wàn)元和萬(wàn)元.(1)證明數(shù)列為等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；(2)小李年初被這兩家公司同時(shí)意向錄取，他打算選擇一家公司連續(xù)工作至少年.若僅從前年工資收入總量較多作為選擇的標(biāo)準(zhǔn)（不記其它因素），為了吸引小李的加盟，乙公司從第二年起，每年應(yīng)至少發(fā)放多少元的交通補(bǔ)貼？（結(jié)果精確到元）【方法技巧與總結(jié)】用數(shù)列知識(shí)解相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題，關(guān)鍵是列出相關(guān)信息，合理建立數(shù)學(xué)模型——數(shù)列模型，判斷是等差數(shù)列還是等比數(shù)列模型；求解時(shí)，要明確目標(biāo)，即搞清是求和、求通項(xiàng)、還是解遞推關(guān)系問(wèn)題，所求結(jié)論對(duì)應(yīng)的解方程問(wèn)題、解不等式問(wèn)題、還是最值問(wèn)題，然后經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)推理與計(jì)算得出的結(jié)果，放回到實(shí)際問(wèn)題中進(jìn)行檢驗(yàn)，最終得出結(jié)論．題型十一：利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前項(xiàng)和例31．（2023·新疆烏魯木齊·高二?？计谥校┮阎炔顢?shù)列滿足，，公比不為的等比數(shù)列滿足，.(1)求與的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求的前項(xiàng)和.例32．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·高二江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)?？计谥校┮阎獢?shù)列滿足：，，設(shè)．(1)求證：是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(3)求數(shù)列的前項(xiàng)和．例33．（2023·福建寧德·高二福鼎市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.變式27．（2023·吉林長(zhǎng)春·高二長(zhǎng)春市解放大路學(xué)校?？计谀┮阎獢?shù)列滿足，且數(shù)列的前n項(xiàng)和.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.變式28．（2023·河南南陽(yáng)·高二南陽(yáng)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．變式29．（2023·福建泉州·高二校聯(lián)考期中）已知數(shù)列滿足（）(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式：(2)設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和【方法技巧與總結(jié)】錯(cuò)位相減法的適用范圍及注意事項(xiàng)（1）適用范圍：它主要適用于是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和．（2）注意事項(xiàng)：①利用“錯(cuò)位相減法”時(shí)，在寫出與的表達(dá)式時(shí)，應(yīng)注意使兩式交錯(cuò)對(duì)齊，以便于作差，正確寫出的表達(dá)式．②利用此法時(shí)要注意討論公比是否等于1的情況．題型十二：等比數(shù)列中與的關(guān)系例34．（2023·遼寧大連·高二大連八中校考階段練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和分別為，且，(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式(2)求的通項(xiàng)公式例35．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，．證明：(1)數(shù)列為等比數(shù)列；(2)當(dāng)時(shí)，．例36．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．變式30．（2023·吉林遼源·高二校聯(lián)考期末）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，.(1)證明：為等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.變式31．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，從下面①②③中選擇兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立.①，②，③.變式32．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，．(1)證明：為等比數(shù)列，并寫出它的通項(xiàng)公式：(2)若正整數(shù)m滿足不等式，求m的最大值．變式33．（2023·吉林長(zhǎng)春·高二長(zhǎng)春外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【方法技巧與總結(jié)】與的關(guān)系當(dāng)公比時(shí)，等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式是，它可以變形為設(shè)，，則上式可寫成的形式，則是的一次函數(shù)．題型十三：等比數(shù)列片段和的性質(zhì)例37．（2023·貴州黔南·高二統(tǒng)考期末）已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為．若，則（

）A．13 B．16 C．9 D．12例38．（2023·河南洛陽(yáng)·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（

）A． B． C． D．3例39．（2023·福建寧德·高二福建省寧德第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）記為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則（

）．A．120 B．85 C． D．變式34．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和，前項(xiàng)和，則前項(xiàng)和（

）A．64 B．66 C． D．變式35．（2023·新疆阿勒泰·高二統(tǒng)考期末）已知為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，，，則的值為（

）A．85 B．64 C．84 D．21變式36．（2023·河南南陽(yáng)·高二統(tǒng)考期中）設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為10，前項(xiàng)和為60，則該數(shù)列的前項(xiàng)和為（）A．360 B．720C．1560 D．1800【方法技巧與總結(jié)】若等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則，，…成等比數(shù)列（其中，，…均不為0）．題型十四：等比數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)和例40．（2023·高二單元測(cè)試）已知一個(gè)等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是是偶數(shù)，其奇數(shù)項(xiàng)之和1011，偶數(shù)項(xiàng)之和為2022，則這個(gè)數(shù)列的公比為（

）.A．8 B． C．4 D．2例41．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知一個(gè)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)的等比數(shù)列，所有項(xiàng)之和為所有偶數(shù)項(xiàng)之和的倍，前項(xiàng)之積為，則（）A． B．C． D．例42．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知等比數(shù)列的公比，前項(xiàng)和為，則其偶數(shù)項(xiàng)為（

）A．15 B．30C．45 D．60變式37．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知一個(gè)等比數(shù)列首項(xiàng)為1，項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)，其奇數(shù)項(xiàng)之和為85，偶數(shù)項(xiàng)之和為170，則這個(gè)數(shù)列的公比和項(xiàng)數(shù)分別為（）A．8，2 B．2，4 C．4，10 D．2，8變式38．（2023·江西南昌·高一南昌二中階段練習(xí)）已知一個(gè)等比數(shù)列首項(xiàng)為1，項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)，其奇數(shù)項(xiàng)之和為85，偶數(shù)項(xiàng)之和為170，則這個(gè)數(shù)列的公比和項(xiàng)數(shù)分別為（

）A．8，2 B．2，4 C．4，10 D．2，8【方法技巧與總結(jié)】等比數(shù)列中，若項(xiàng)數(shù)為，則；若項(xiàng)數(shù)為，則．一、單選題1．（2023·甘肅定西·高二甘肅省臨洮中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為．若，則等于（

）A． B．C． D．2．（2023·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）某超市去年的銷售額為a萬(wàn)元，計(jì)劃在今后10年內(nèi)每年比上一年增加10%．從今年起10年內(nèi)這家超市的總銷售額為（

）萬(wàn)元．A． B． C． D．3．（2023·江蘇蘇州·高二江蘇省蘇州實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）在等比數(shù)列中，，則其公比q的值為（

）A． B． C．1或 D．﹣1或4．（2023·西藏拉薩·高二?？计谥校┮阎缺葦?shù)列的前n項(xiàng)和為，，.則公比q等于（

）A．或 B． C．1 D．1或5．（2023·江蘇蘇州·高二南京航空航天大學(xué)蘇州附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）等比數(shù)列滿足，，數(shù)列滿足，時(shí)，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（）A． B． C． D．6．（2023·福建寧德·高二福鼎市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，且成等差數(shù)列，則（

）A．126 B．128 C．254 D．2567．（2023·天津津南·高二?？计谀┮阎獢?shù)列滿足，，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（

）A． B．C． D．8．（2023·黑龍江齊齊哈爾·高二齊齊哈爾市恒昌中學(xué)校?？计谀┰O(shè)等比數(shù)列的公比為q，前n項(xiàng)積為，并且滿足條件，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．沒(méi)有最大值二、多選題9．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·高二江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)校考期中）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，關(guān)于數(shù)列，下列命題中正確的是（

）A．若，則既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列B．若（A，B為常數(shù)），則是等差數(shù)列C．若，則是等比數(shù)列D．若是等比數(shù)列，則也成等比數(shù)列10．（2023·江蘇蘇州·高二吳江中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在數(shù)列中，，，下列結(jié)論正確的是（

）A．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列B．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列C．D．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列11．（2023·甘肅金昌·高二永昌縣第一高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）某高中通