第26章 二次函數(shù)（壓軸題）-2021-2022學(xué)年九年級數(shù)學(xué)期中考試滿分全攻略（滬教版）教師版

第26章二次函數(shù)壓軸題專練

能力提升

一、填空題

1.(2019?上海市嘉定區(qū)唐行九年制學(xué)校九年級二模)如圖，曲線AB是頂點為B,與y軸交于

點A的拋物線y=-x2+4x+2的一部分，曲線BC是雙曲線y=4的一部分，由點C開始不斷重復(fù)

X

“A-B-C”的過程，形成一組波浪線.點P(2017,m)與Q(2020,n)均在該波浪線上，機(jī)

【答案】15

【詳解］解：Vy=-x2+4x+2=-(x-2)2+6,

.,.當(dāng)x=0時，y=2,

.?.點A的坐標(biāo)為(0,2)，點B的坐標(biāo)為(2,6),

?.?點B(2,6)在丫=幺的圖象上，

X

：.k=12,

?.?點C在yk=2的圖象上，點C的橫坐標(biāo)為6,

X

.?.點C的縱坐標(biāo)是2,

...點C的坐標(biāo)為(6,2),

V2017-？6=336-1,

Z.P(2017,m)在拋物線y=-x、4x+2的圖象上，

m=-l2+4X1+2=5,

；2020+6=336…4,

12

???點Q(2020,n)在反比例函數(shù)y二一上，

*.mn=5X3=15,

故答案為15.

2.(2018?上海普陀?)二次函數(shù)尸(x-2m)當(dāng)Xx(研1時，遍x的增大而減小，則如

的取值范圍是.

【答案】m>l

【詳解】由條件可知二次函數(shù)對稱軸為x=2m,且開口向上，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知在對稱軸

的左側(cè)時y隨x的增大而減小，可求得即m>L

故答案為m>l.

點睛：本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握當(dāng)拋物線開口向卜時，在對稱軸右側(cè)y隨x的增大

而減小是解題的關(guān)鍵.

3.(2021?上海)已知函數(shù)/(力=丁-2(a+2)x+/,g(x)=-x2+2(a-2)x-a2+8.

設(shè)q(x)=max{f(x),g(x)},4(x)=min{/(x),g(x)},max{p,q}表示p,q中的較大值，min{p,q}

表示p,q中的較小值，回(x)記得最小值A(chǔ),q(x)得最大值為B,貝以-B=________.

【答案】-16

【詳解】因為/(》)=x2-2(a+2)x+a2-(x-a-2y-4a-4,

g(x)=-x2+2(a-2)x-i?2+8=-(x-?+2)2-4?+12.

所以當(dāng)x=a+2時，f(x)=g(x)=-4a-4；當(dāng)*=2-2時，f(x)=g(x)=-4a+12,

而g??=g(a-2)=-4a+12,所以H?(x)Wg(x)又f1d產(chǎn)f(a+2)=-4a-4,所以Hi(x)(x)Nfm?,

所以A=-4a-4,B=-4a+12,則A-B=T6,故答案為T6.

4.(2016?上海中考模擬)不等式(x+1乂V-4x+3)>0有多種解法，其中有一種方法如下，

在同一直角坐標(biāo)系中做出X=x+1和%=f-4x+3的圖像然后進(jìn)行求解，請類比求解以下問

題：設(shè)a,6為整數(shù)，若對任意xWO,都有3+2心2+吻40成立，貝必+。=.

【答案】-1

【分析】若對任意yWO,都有(ax+2)(x2+2b)W0成立，則ymax+2應(yīng)為增函數(shù)，y2=x、2b的

圖象頂點應(yīng)在x軸下方，且函數(shù)與x軸負(fù)半軸交于同一點，結(jié)合a,b為整數(shù)，可得答案.

【詳解】觀察圖象可知：然aWO,由于x的負(fù)半軸上ax+2與x?+2b不同號=ax+2與x「+2b在x負(fù)半

軸上交點相同，推出-K=-J萬，

a

Va,b為整數(shù),

a=l,b二一2,

/.a+b--l.

故答案為T.

5.(2021?上海九年級專題練習(xí))在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x?+x+2上有一動點P,直線

y=-x-2上有一動線段AB,當(dāng)P點坐標(biāo)為時，4PAB的面積最小.

【答案】(-1,2)

【分析】因為線段AB是定值，故拋物線上的點到直線的距離最短，則面積最小，平移直線與

拋物線的切點即為P點，然后求得平移后的直線，聯(lián)立方程，解方程即可.

【詳解】因為線段AB是定值，故拋物線上的點到直線的距離最短，則面積最小，

若直線向上平移與拋物線相切，切點即為P點，

設(shè)平移后的直線為y=-x-2+b,

直線y=-x-2+b與拋物線y=x'+x+2相切，

/.x2+x+2=-x-2+b,即x2+2x+4-b=0,

則4=4-4(4-b)=0,

；.b=3,

.?.平移后的直線為y=-x+l,

解lfz+—x++12得xry=2,

.?.P點坐標(biāo)為(-1,2),

故答案為(-1,2).

【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，三角形的面積以及解方程等，理解

直線向上平移與拋物線相切，切點即為P點是解題的關(guān)鍵.

6.(2021?上海九年級專題練習(xí))若關(guān)于x的函數(shù)y=(a-2)f-(4a-5)x+4a的圖象與坐標(biāo)軸

有兩個交點，則a的值為

【答案】2,0,—

O

【分析】根據(jù)函數(shù)這一條件分兩種情況討論：一次函數(shù)和二次函數(shù)，又因為與縱軸必有一個

交點，再根據(jù)與坐標(biāo)軸有兩個交點分情況討論，即可得出結(jié)論.

【詳解】解：①當(dāng)a=2時，原函數(shù)解析式為

y=-3x+8

此時b=8W0

故一次函數(shù)圖象不過原點，則該函數(shù)與坐標(biāo)軸有兩個交點

②當(dāng)ar2時，原函數(shù)為二次函數(shù)

故該函數(shù)一定與y軸有個交點，且僅有一個交點，其坐標(biāo)為(0,4a)

當(dāng)該交點是原點時，a=0,此時函數(shù)解析式為

y--2x2+5x

方程一2x?+5x=O的判別式△=25>0

故此時函數(shù)圖象與x軸有兩個交點，其中一個點是原點，即與坐標(biāo)軸有兩個交點

當(dāng)該交點不是原點時，aWO

因為該函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸有兩個交點

所以該函數(shù)與x軸有且僅有一個交點

則方程(a-2)x2-(4a-5)x+4a=0有兩個相等的實數(shù)根，可得

△=(4”5)2-4〃-)在？

整理，得

8a-25=0

解，得

25

25

綜上可知a=2,0,

8

25

故答案為：2,0,

O

【點睛】本題考查?次函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)，分類討論的思想解決本題，需要注意兩個詞:

①函數(shù)，②與坐標(biāo)軸的交點.

二、解答題

7.(2020?上海市建平中學(xué)西校九年級月考)如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線

y=??+2x+c與x軸交于點A(-1,0)和點B,與y軸相交于點C(0,3),拋物線的對稱軸

為直線/.

(1)求這條拋物線的關(guān)系式，并寫出其對稱軸和頂點M的坐標(biāo)；

(2)如果直線丫=1?+1)經(jīng)過C、M兩點，且與x軸交于點D,點C關(guān)于直線/的對稱點為N,試證明

四邊形CDAN是平行四邊形；

(3)點P在直線/上，且以點P為圓心的圓經(jīng)過A、B兩點，并且與直線CD相切，求點P的坐標(biāo).

【答案】(1)y=-x2+2x+3,對稱軸為直線x=l,頂點M(1,4)；(2)證明見解析；(3)P.

(11-4+2底),P(1,-4-2\/6).

【分析】(1)相力、C兩點坐標(biāo)代入解析式即可求出。，。，將解析式配成頂點式即可得到對稱

軸方程和頂點坐標(biāo)；

(2)先由a/兩點坐標(biāo)求出直線c嫌用析式，進(jìn)而求出，點坐標(biāo)，由于a八兩點關(guān)于拋物線對

稱軸對稱，則av〃/1。，同時可求出力點坐標(biāo)，然后得出◎為〃，結(jié)論顯然；

(3)設(shè)出。點縱坐標(biāo)，表示出〃的長度，過點H乍PHLDM于從表示出7%的長度，在I*△加打

中中用勾股定理列出方程，解之即得答案.

【詳解】解：(1)：拋物線丫=/+2》+，經(jīng)過點4(-1,0)和點。(0,3),

Ja-2+c=0[a=-\

[c=3,[c=3,

/.y=-x2+2x4-3=-(x-I)2+4

對稱軸為直線產(chǎn)1,頂點加1,4)；

圖1

?.?點C關(guān)于直線/的對稱點為N,

AM2,3),

?.?直線產(chǎn)在戶推過G，倆點,

.""=3

*'\k+b=4,

，4[=k3=,\

.’.尸戶3,

尸A+3與游由交于點D,

."(■3,0),

：.AD-2=CN

又,：AD/1CN,

...物A是平行四邊形；

(3)設(shè)2(1,a),過點雁”〃_〃仔〃，連接應(yīng)、PB,如圖2,

貝力―，

又NMWP=45；

口△/心中，AP2=AE2+PE2,

：.樞1,-4+2屈,鳥（1,Y-2廂

【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)與一次函數(shù)解析式、求

拋物線的對稱軸及頂點坐標(biāo)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、圓的切線

性質(zhì)、勾股定理、解一元二次方程等知識點，綜合性較強(qiáng)，難度適中.第（3）間的直線與圓

相切問題往往轉(zhuǎn)化為點到直線的距離與半徑相等來解決.

8.（2021?上海浦東新區(qū)?九年級其他模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，我們把以拋物線y=f

上的動點4為頂點的拋物線叫做這條拋物線的“子拋物線”.如圖，已知某條“子拋物線”的

3

二次項系數(shù)為5,且與辟由交于點C設(shè)點4的橫坐標(biāo)為加（力＞0）,過點掰乍y軸的垂線交辟由于

點B.

(1)當(dāng)〃=1時，求這條“子拋物線”的解析式;

(2)用含點J代數(shù)式表示//行的余切值；

(3)如果/力。=135°,求旅J值.

【答案】(1)y=-U-D2+l；(2)cotZACfi=-;n；(3)0的值為2

【分析】(1)先求出m=1時點A的坐標(biāo)，進(jìn)而可得到這條“子拋物線”的解析式；

(2)先根據(jù)A點坐標(biāo)求出“子拋物線”的解析式和AB,OB的長度，然后令x=0求出y值即可得

到C點坐標(biāo)，進(jìn)而可求出BC的長度，最后利用cot4c8=空即可求解；

(3)過。點作如工。的延長線于點〃，過點加乍削的平行線分別交朋的延長線于點區(qū)交*軸于

點久首先證明△/￡7以則有4￡物；DE=OF,設(shè)AE=n,那么"'=〃，BE=m+n=OF=ED,

通過如協(xié)得到>=機(jī)+2〃，然后再通過cotZADE=器得到竺±="，將兩個關(guān)于m,n的方程聯(lián)

AEn2

立即可求出m的值.

【詳解】

解：(1),??點A在y=/上，點/的橫坐標(biāo)為處

.\A(/Z7,/),

當(dāng)0=1時，療=1,

：.A(1,1),

這條“子拋物線”的解析式為y=|(x-1>+L

(2)由力(加，/),且481諭，可得力定〃/,0B=nr.

???“子拋物線”的解析式為尸*X-,")2+病.

令x=0,y=-/n2,

，點的坐標(biāo)（0,|?。琽c=g/,

3

JBC=OC-OB=-m2.

2

在RI△45件，

32

cotZ.ACB==——=—m'

ABm2

（3）如圖，過，點作血勿的延長線于點〃過點加乍諭的平行線分別交物的延長線于點￡,

交制于點尸.

：.ZOAD=45°.

又?:0D1CA,

/.ADO=90°

：.ZAOD=ZOAD-45°,

:.AD=0D,

?/ZEAD+ZADE=90。,NODF+ZADE=90°,

...NEAD=NODF.

-ZDEA=ZDFO=90°,

,△/I反貶△研2,

：.AE=DF.DE=0F.

設(shè)力￡=〃，那么DF=n,BE=m+n=0F=ED.

又?：OB=EF,

?**nr=m+2n.

又EF//OC,

???/BCA二NADE,

DEm+n3

cotZADE==-m

n2

nr=m+2n

解方程組〈m+n3，得叫=2,??,=--(舍去)

----——mJ

n2

工卬的值為2.

【點睛】本題主要考查全等三角形的判定及性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，子拋物線的定義，

掌握全等三角形的判定及性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

9.(2020?上海九年級專題練習(xí))如圖，已知拋物線與x軸交于A(-1,0)、B(3,0)兩

點,與y軸交于點C(0,3).

(1)求拋物線的解析式；

(2)點D是第一象限內(nèi)拋物線上的一個動點(與點C、B不重合)，過點D作DF，x軸于點F,交

直線BC于點E,連接BD、CD.設(shè)點D的橫坐標(biāo)為m,aBCD的面積為S.求S關(guān)于m的函數(shù)解析式及

自變量m的取值范圍，并求出S的最大值；

(3)已知M為拋物線對稱軸上一動點，若△MBC是以BC為直角邊的直角三角形，請直接寫出點

M的坐標(biāo).

(1,4)

【分析】(1)拋物線解析式為y=a(x+1)(x3)=a(x'NxT),將點C坐標(biāo)代入即可求

解；

(2)先求出直線BC的解析式，設(shè)D(m,-m-+2m+3),E(m,-m+3),得到DE=(-m2+2m+3)

-(-m+3)=-m2+3m,再利用S,即可求解；

2

(3)分MC是斜邊、MB是斜邊兩種情況，分別求解即可.

【詳解】解：(1)拋物線解析式為y=a(x+1)(x-3)=a(x2-2x^),

將點C坐標(biāo)代入，得

-3a=3,解得：a=T,

拋物線解析式為丫=-x2+2x+3；

(2)設(shè)直線BC的函數(shù)解析式為丫=1?+k

二直線BC過點B(3,0),C(0,3),

0=3)1+/?k=-T

,解得

3=bb=3

/.y=-x+3,

設(shè)D(m,-nr+2m+3),E(m,-m+3),

???DE=(-m2+2m+3)-(-m+3)=-m2+3m,

22V7222l2)8

...當(dāng)m=：3時，S有最大值，最大值S=2?7；

2o

(3)拋物線y=-x2+2x+3的對稱軸為直線x=l

設(shè)點M(1,m),

22

則Mfi2=m2+4,MC=1+(m-3)%BC=18；

①當(dāng)MC是斜邊時，

1+(in-3)2=m'+4+18；

解得：m=-2；

②當(dāng)MB是斜邊時，

同理可得：m=4,

故點M的坐標(biāo)為：(1,-2),(1,4).

【點睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到一次函數(shù)的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、面

積的計算等，其中(3),要注意分類求解，避免遺漏.

10.(2021?上海九年級專題練習(xí))某企業(yè)接到了一批零件加工任務(wù)，要求在20天內(nèi)完成，

這批零件的出廠價為每個6元，為按時完成任務(wù)，該企業(yè)招收了新工人.6天的培訓(xùn)期內(nèi)，新

工人小李第x天能加工80x個零件；培訓(xùn)后小李第x天加工的零件數(shù)量為(50X+200)個.

(1)小李第幾天加工零件數(shù)量為650個？

(2)如圖，設(shè)第x天每個零件的加工成本是p元，尸與x之間的關(guān)系可用圖中的函數(shù)圖象來

刻畫.若小李第x天創(chuàng)造的利潤為w元，求w與x的函數(shù)表達(dá)式，并求出第幾天的利潤最大,

最大利潤是多少？(利潤=出廠價一成本價)

【答案】（1）小李第9天加工零件數(shù)量為650個；（2）04x46時，w=64x；6<x412時,

w=40x+160；12<x<20ff,f,w=-5x?+80x+400；第12天的利潤最大，最大利潤是640兀.

【分析】（1）設(shè)小李第〃天加工零件數(shù)量為650個，根據(jù)題意列方程，解方程即可求得；

（2）先根據(jù)圖象求得成本P與x之間的關(guān)系式，再根據(jù)利潤等于出廠價減去成本價，整理即可

得到w與x之間的函數(shù)表達(dá)式；再根據(jù)一次函數(shù)的增減性和二次函數(shù)的增減性分別求出w的最

大值，比較即可.

【詳解】解：（1）設(shè)小李第〃天加工零件數(shù)量為650個,

由題意可知：50/7+200-650,解得"=9.

答：小李第9天加工零件數(shù)量為650個.

（2）由圖象得，當(dāng)04x412時，P=5.2；

當(dāng)12<x420時，設(shè)P=h+6,

把點（12,5.2）,（20,6）代入得,

12k+匕=5.2k=0A

,解得

20Z+b=6b=4

所以P=0.1x+4.

①04x46時，w=(6-5.2)x80x=64x；

當(dāng)x=6時，％大=384(元)；

②6<xV12時，w=(6-5.2)x(50x+200)=40x+160；

當(dāng)x=12時,卬以火=640(元)；

③12<x420時，W=(6-0.1J:-4)X(50x+200)=-5x2+80A:+400=-5(x-8)2+720,

a=—5<0,x是整數(shù)，

...當(dāng)X=13時，/大=599（元）

綜上，當(dāng)x=12時，w有最大值，最大值為640.

答：第12天的利潤最大，最大利潤是640元.

【點睛】本題考查的是一元一次方程的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)在實際生活中的應(yīng)

用，主要是利用二次函數(shù)的增減性求最值問題，利用一次函數(shù)的增減性求最值，難點在于讀

懂題目信息，列出相關(guān)的函數(shù)關(guān)系式.

11.（2017?上海九年級期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系X。沖，已知拋物線〉=/+法+。的

對稱軸是直線x=3,且拋物線與直線/竣于力、力兩點，其中1（1,3）,B（6,加.

（1）求拋物線的表達(dá)式和點虎勺坐標(biāo)；

（2）設(shè)拋物線與旌由交于點4在拋物線上是否存在一點也滿足S配,“=2SMBC，若存在，請

求出點脫勺坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【答案】(1)y=x2-6x+S,B(6,8)；(2)存在，M(3+M，18)或1/(3-曬，18).

試題分析：(1)由對稱軸為3,可求出6的值，把力的坐標(biāo)代入，即可得到c的值，從而得到拋

物線的解析式；

(2)聯(lián)結(jié)恕、BC,過掰乍垂足為點。，過力作儂L3C,垂足為點反

由5(6,8)、C(0,8),得到1%〃斕M由“BCM=2SMBC，得到ME=2A￡)=10,從而得到”

的縱坐標(biāo)為18或-2設(shè)"(x,18)或V(x,-2),把傭坐標(biāo)代入拋物線解析式，即可求出x

的值，從而得到結(jié)論.

試題解析：解：(1)?.?拋物線y=/+6x+c的對稱軸是：直線x=3,

b=-6.

又???拋物線經(jīng)過點力(1,3),

；?1—6+c=3,c=8.

二,拋物線表達(dá)式為：y=x2—6x+8.

又,：B(6,〃)在拋物線上，代入得

77=36—36+8.

〃=8.

：.B(6,8).

(2)存在.

聯(lián)結(jié)力。、BC,過4作垂足為點〃，過M乍觀工況；

垂足為點反

,:B(6,8)、C(0,8),

：.BC//x^A.

又,/2ABe與△加，侗底，Sga=2s4ABe，ADLBC,MELBC,

./.ME=2AD.

又（1,3）,

AD=5,

：.ME=10.

."峭縱坐標(biāo)為18或-2.

解法一：設(shè)材（x,18）或材（必-2）

：J疫拋物線y=f—6x+8的圖像上，

.?.令y=18,解得x=3土M，

令'=-2,方程無解，

點也的坐標(biāo)是（3+炳，18）或（3-M，18）.

解法二：；拋物線y=x2-6x+8的頂點坐標(biāo)為（3,-1）

剛縱坐標(biāo)等于-2這種情況舍去.

.瘡拋物線y=/-6x+8的圖像上，

，代入y=18,解得x=3土M，

，點,麻J坐標(biāo)是（3+M，18）或（3-J歷，18）.

12.（2018?上海虹口區(qū)?九年級期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系x如中，拋物線與蚌由相交于

點4（-2,0）、B（4,0）,與碎由交于點C（0,-4）,比與拋物線的對稱軸相交于點〃.

（1）求該拋物線的表達(dá)式，并直接寫出點曲）坐標(biāo)；

（2）過點4作力EL4茂拋物線于點￡,求點珊坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，點碓射線4區(qū)匕若/XADFs^ABC,求點尸的坐標(biāo).

(3)F嶺3或尸(1亍4二12).

【詳解】分析：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+2）（x-4）,將C（0,-4）代入求解即可；記拋

物線的對稱軸與x軸交點坐標(biāo)為F,先求得拋物線的對稱軸，則可得到FB的長，然后再證明△

BFD為等腰直角三角形，從而可得到FD寸B=3,故此可得到點D的坐標(biāo)；⑵過點E作EUAB,

垂為II.先證tan/EAH=tanNACO=T，設(shè)EH=t,則AH=2t,從而可得到E(-2+2t,t)，最后，將點E

的坐標(biāo)代入拋物線的解析式求解即可；(3)記AE與拋物線的對稱軸的交點為F,記對稱軸與x

軸的交點為G.由相似三角形的性質(zhì)可得到NADF=NABC=45°,然后再證明NADF=45°,然后

證明△AFGS/\AEH,最后，依據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求得FG的.

本題解析：解：設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+2)(x-4),C(0,-4)代入得：-8a=-4,

解：a='.?.拋物線的解析式為y=3x>x-4.

如下圖所示：記拋物線的對稱軸與x軸交點坐標(biāo)為F.

:拋物線的對稱軸為x=-?=l,.,.BF=OB-OF=3>VBO=OC=4(/B0C=90。，AZ

2a

0BC=45..?.△BFD為等腰直角三角形，，F(xiàn)D=FB=3,.,.D(l,-3)

(2)如下圖：過點E作EH_LAB,垂為如

VZEAB+ZBAC=90°,ZBAC+ZAC0=90°,AZEAH=ZACO,AtanZEAH=tanZACO=

，設(shè)EH=t,則AH=2t,...點E的坐標(biāo)為(-2+2t,t),將02+2t,t)代入拋物線的解析式

為：3(-2+2tM-(-2+2t)-4=t,解得：t=g或t=0(舍去)，

7

AE(5,-).

2

(3)如下圖所示:

VAADF^AABC,二NADF=NABC=45°，由(2)知/BDF=45°,,點A與點B關(guān)于DF對

稱，NADF=NABC,.?.點F在拋物線的對稱軸上，VFG^EH,.,.AAFG^AAEH.二

FG3

笥=祭，即〒=7解得：FG=|,.?.F(1,1).

匕HAn2ZZ

13.(2021?上海)如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知直線y=-gx+4與y軸交于A點，與x軸交于B點,

C點坐標(biāo)為(-2,0).

(1)求經(jīng)過A,B,C三點的拋物線的解析式；

(2)如果M為拋物線的頂點,聯(lián)結(jié)AM、BM,求四邊形AOBM的面積.

13

【答案】(1)y=—xH—x+4(2)31

42

【詳解】分析：(1)先利用一次函數(shù)解析式確定A(0,4),B(8,0),再設(shè)交點式

y=a(x+2)(x-8),然后把A點坐標(biāo)代入求出a即可得到拋物線解析式；

(2)先利用配方法得到y(tǒng)=\(x-3)2+y,則M(3,9),作MD，x軸于D,如圖，

然后根據(jù)梯形面積公式和三角形面積公式，利用四邊形A0BM的面積=Sw+S"進(jìn)行計

算即可.

詳解：

(1)當(dāng)x=0時，y=-1x+4=4,貝IJA(0,4),

當(dāng)y=0時，x+4=0,解得x=8,則B(8,0),

設(shè)拋物線解析式為y=a(x+2)(x-8),

把A（。，4）代入得a?2?（-8）=4,解得x=1

...拋物線解析式為尸］（x+2）（x-8）,

1

(2)?「y=-丁(x-3)2+2一5，

44

25

???M(3,—),

4

作MD_Lx軸于D,如圖，

四邊形AOBM的面積二S梯形AODM+SMDM

二X(4+§)X3+1x5X^

2424

=31.

點睛：考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時，要

根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解.一般地，當(dāng)已知拋

物線上三點時，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當(dāng)已知拋物線的頂

點或?qū)ΨQ軸時，常設(shè)其解析式為頂點式來求解；當(dāng)已知拋物線與X軸有兩個交點時，可選擇設(shè)

其解析式為交點式來求解.

14.（2018?上海奉賢?九年級二模）平面直角坐標(biāo)系xOy（如圖），拋物線y=-x2+2mx+3m-（m

>0）與x軸交于點A、B（點A在點B左側(cè)），與y軸交于點C,頂點為D,對稱軸為直線1,過點C作直

線1的垂線，垂足為點E,聯(lián)結(jié)DC、BC.

（1）當(dāng)點C（0,3）時，

①求這條拋物線的表達(dá)式和頂點坐標(biāo)：

②求證：ZDCE=ZBCE；

（2）當(dāng)CB平分NDCO時，求m的值.

【答案】⑴y=-x2+2x+3；D(1,4)；(2)證明見解析；(3)m=3；

(分析］(1)①把C點坐標(biāo)代入y=-x"+2mx+3m可求出m的值，從而得到拋物線解析式，

然后把一般式配成頂點式得到D點坐標(biāo)；

②如圖1,先解方程-x，2x+3=0得B(3,0),則可判斷△OCB為等腰直角三角形得到/

0BC=45°,再證明aCDE為等腰直角三角形得到/DCE=45°,從而得到/DCE=/BCE；

(2)拋物線的對稱軸交x軸于F點，交直線BC于G點，如圖2,把一般式配成頂點式得

到拋物線的對稱軸為直線x=m,頂點D的坐標(biāo)為(m,4nr'),通過解方程-x，2mx+3m三0

得B(3m,0),同時確定C(0,3m2),再利用相似比表示出GF=2n『，則DG=2m'，接著證

明NDCG=NDGC得到DODG,所以n?+(4m?-3m?)Mm1,然后解方程可求出m.

【詳解】

(1)①把C(0,3)代入廣-x，2mx+3m2得3m2=3,解得m1=1,m2=-1(舍去)，

???拋物線解析式為y=-x?+2x+3；

y=—f+2x+3=—(x—l)~+4,

???頂點D為(1,4)；

②證明：如圖1,當(dāng)尸0時，-x2+2x+3=0,解得前二-1,X2=3,貝IJB(3,0),

V0C=0B,

??.△OCB為等腰直角三角形，

AZ0BC=45°,

??七￡_1直線桿1,

ZBCE=45°,

VDE=1,CE=1,

???△CDE為等腰直角三角形，

AZDCE=45°,

AZDCE=ZBCE；

(2)解：拋物線的對稱軸交x軸于F點，交直線BC于G點，如圖2,

y=-x2+2inx+3w2=一(%一機(jī))~+

???拋物線的對稱軸為直線x二m,頂點D的坐標(biāo)為(m,4m2),

2

當(dāng)y=0時,-x+2mx+3m=0,解得Xi=-m,x2=3m,則B(3m,0),

當(dāng)x=0時，y=-x2+2mx+3m2=3m2,則C(0,3m2),

VGF//0C,

.GFBFGF2m立力"?八

'?元=而’n即n彳=藐'解得GF=2m;

.,.DG=4m2-2m2=2m2,

YCB平分NDCO,

/.ZDCB=ZOCB,

ZOCB=ZDGC,

AZDCG=ZDGC,

ADC=DG,

即m二+(4m2-3m2)J4m’,

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)

的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)；會利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；靈活應(yīng)用等腰直角三角形的

性質(zhì)進(jìn)行幾何計算；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，記住兩點間的距離公式.

15.（2018?上海寶山?九年級期末）如圖，已知，二次函數(shù)、=/+"的圖像交x軸正半軸

于點A,頂點為P,一次函數(shù)丁=（工-3的圖像交x軸于點凡交y軸于點C,NOC4的正切值

為|.

（1）求二次函數(shù)的解析式與頂點P坐標(biāo)；

（2）將二次函數(shù)圖像向下平移用個單位，設(shè)平移后拋物線頂點為P,若兀的，=S'w，求，"的

值.

【答案】（1）二次函數(shù)解析式為y=x"-2x,頂點P的坐標(biāo)是（1,一1）；（2）

O

【分析】（1）先根據(jù)題中所給條件求出A點坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，將求

出的函數(shù)解析式化為頂點式，即可得到頂點P的坐標(biāo)；（2）用含m的代數(shù)式表示出P'的坐標(biāo),

用含m的代數(shù)式表示S/XABP，和SZJKP,根據(jù)SA?=SABCP,求出m的值即可.

【詳解】（1）..?一次函數(shù)解析式為y=gx—3,

，0C=3,

???tanN0CA=g=；,

OC3

???0A=2,

???A點坐標(biāo)為（2,0）,將A點坐標(biāo)代入函數(shù)解析式得4+2b=0,

解得b=-2,

???二次函數(shù)解析式為y=x'—2x,

將二次函數(shù)解析式化為頂點式，得丫=（x-l）-1,

???頂點P的坐標(biāo)為（1,-1）.

（2）如圖所示，其中1為拋物線的對稱軸，D為1與x軸的交點，

當(dāng)y=0時，yx—3=0.解得x=6,

r.B點坐標(biāo)為（6,0）,

，AB=6—2=4,

在RtZXBOC中，BC=yloB2+OC2=存存=3百，

VP,是將二次函數(shù)圖像向下平移用個單位后得到的拋物線的頂點，

...P'的坐標(biāo)為(1,-1-m),...DP'=l+m

1

ASAABPXABXDP=7X4X(1+m)=2+2m,

當(dāng)P'在直線y=gx-3的左側(cè)時，

1119

SABCP*=SABOC—(S種例獷C+S「)--X6?[—+$+m=7—3m,

2222

?SAABP'=SABCP7,

9,1

.\2+2m=——3m,解得111=5,

當(dāng)P'在直線y=gx—3的右側(cè)時，

1?1,19

SABCF-=(S^owC+SABDP)—S△眥=%?+加@初5?6?+m--=--+3m,

=

?SaABP'SABCEZ，

913

；?2+2m=--+m,解得m=萬，

綜上，m=g或

【點睛】本題主要考查一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)、二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)、圖像的平移、三角

形面積公式，解題的關(guān)鍵是：（1）求出二次函數(shù)解析式；（2）用含m的代數(shù)式表示S△所和S

△BCP.,

16.（2020?上海九年級專題練習(xí)）已知拋物線丫=乂^^+。經(jīng)過點人（0,6）,點8（1,3）,直線

L:y=kx（kW0）,直線L:y=-x-2,直線L經(jīng)過拋物線y=x、bx+c的頂點P,且L與L相交于點C,

直線k與x軸、y軸分別交于點D、E.若把拋物線上下平移，使拋物線的頂點在直線k上（此時

拋物線的頂點記為M）,再把拋物線左右平移，使拋物線的頂點在直線L上（此時拋物線的頂

點記為N）.

（1）求拋物y=x'+bx+c線的解析式.

（2）判斷以點N為圓心，半徑長為4的圓與直線L的位置關(guān)系，并說明理由.

（3）設(shè)點F、H在直線L上（點H在點F的下方），當(dāng)△MHF與AOAB相似時，求點F、H的坐標(biāo)（直

接寫出結(jié)果）.

【答案】（1）y=V-4x+6；（2）以點N為圓心，半徑長為4的圓與直線《相離；理由見解析:

⑶點H、尸的坐標(biāo)分別為尸（8,8）、H（—10,—10）或尸（8,8）、4（3,3）或尸（-5,-5）、//（-10-10）.

【分析】（1）分別把A,B點坐標(biāo)帶入函數(shù)解析式可求得b,c即可得到二次函數(shù)解析式

（2）先求出頂點戶的坐標(biāo)，得到直線4解析式，再分別求得MN的坐標(biāo)，再求L1NC比較其與4的

大小可得圓與直線4的位置關(guān)系.

（3）由題得出tanNBAO=g,分情況討論求得F,H坐標(biāo).

6=c

【詳解】（1）把點4（0,6）、8（1,3）代入卜=/+瓜+,得

3=l+b+c'

b=-4

解得,

c=6

：.拋物線的解析式為y=*2_4x+6.

（2）由丫=/一?+6得y=（x-2y+2,，頂點P的坐標(biāo)為P（2,2）,

把尸（2,2）代入乙得2=2左解得&=1,.?.直線4解析式為丫=》，

設(shè)點M（2,m）,代入？得m=-4,.?.得M（2,-4）,

設(shè)點N（〃,T）,代入4得〃=Y,??.得N（Y,-4）,

由于直線4與*軸、y軸分別交于點。、E

易得。(-2,0)、￡(0.-2),

22

/.OC=+(-1-0)2=近，CE=>/(-1-0)+(-1+2)=應(yīng)

OC=CE,*.?點c在直線y=x上，

NCOE=45。，

/.NOEC=45。，NOCE=180-45。-45。=9。即NC_L乙，

?/NC=卜1+4)。(7+4)2=3垃>4,

：.以點N為圓心，半徑長為4的圓與直線4相離.

(3)點H、尸的坐標(biāo)分別為尸(8,8)、”(TO,—10)或尸(8,8)、”(3,3)或尸(—5,-5)、//(-10,-10).

C(-l,-l)IA(0)6),B(l,3)

可得tanNBAO二g,

CMi「

情況1：tan/CFM=?e-CF尸90,

"13

MF尸6石，.??HE=5亞，，F(xiàn).(8,8),H.(3,3);

情況2：Fz(-5,-5),%(-10,-10)(與情況1關(guān)于Lz對稱于

情況3：F3(8,8),H3(-10,-10)(此時F3與FI重合,乩與乩重合).

【點睛】本題考查的知識點是二次函數(shù)綜合題，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握二次函數(shù)綜合題.

17.(2019?上海徐匯區(qū)?中考模擬)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線丁=-：/+法+。

與直線y=；x-3分別交于x軸、y軸上的反c兩點，設(shè)該拋物線與x軸的另一個交點為點A,

頂點為點D,聯(lián)結(jié)CZ)交X軸于點E.

(1)求該拋物線的表達(dá)式及點D的坐標(biāo)；

(2)求NOCB的正切值；

(3)如果點尸在了軸上，且NFBC=NDBA+NDCB,求點尸的坐標(biāo).

【答案】(1)y=-；x%2x-3,。(4,1)；(2)(3)①尸(0,2)：②瑪(0,-18)

【分析】(1)y=：x-3,令y=0,則x=6,令x=0,貝Uy=-3,求則點B、C的坐標(biāo)，將點B、C坐

標(biāo)代入拋物線y=-4(+bx+c,即可求解；

(3)分點F在y軸負(fù)半軸和在y軸正半軸兩種情況，分別求解即可.

【詳解】(1)y=-x-3,令y=0,則x=6,令x=0,貝?。輞=-3,

則點B、C的坐標(biāo)分別為(6,0)、(0,-3)-3,

將點B坐標(biāo)代入拋物線丫=-!x2+bx-3得：0=-!X36-6b-3,

44

解得：b=2,

故拋物線的表達(dá)式為：y=-；x?+2x-3,

4

令y=0,則x=6或-2,

即點A(2,0),

y=--xJ+2x-3z：-—(x-4)2+1

44

則點D(4,1)；

(2)過點E作EHJ_BC交于點H,

\

C、D的坐標(biāo)分別為：(0,-3)、(4,1),

直線CD的表達(dá)式為:y=x-3,則點E(3,0),

八2OC31

tanZ0BC-——=7=—，

OB62

則sin/OBC=H，

貝IJEH=EB?sinN0BC=R

CE=3啦，貝IJCH=H，

FH1

則tanNDCB=Ry=g；

Co3

(3)點A、B、C、D、E的坐標(biāo)分別為(2,0)、(6,0)、(0,-3)、(4,1)、(3,0),

貝i」BC=3逐，

V0E=0C,

AZAEC=45°，

tanZDBE=

6-42

故：ZDBE=Z0BC,

則NFBONDBA+NDCB=NAEO45。，

①當(dāng)點F在y軸負(fù)半軸時，

過點F作FG_LBG交BC的延長線與點G,

則/GFC=NOBC=a,

設(shè)：GF=2m,則CG=CGtan。=m,

VZCBF=45°,

ABG=GF,

即：36+m二2nb解得：m-3逐,

CF=7GF2+CG2=V5m=15,

故點F(0,-18)；

②當(dāng)點F在y軸正半軸時，

同理可得：點F(0,2)；

故：點F坐標(biāo)為(0,2)或(0,-18).

【點睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到一次函數(shù)、解直角三角形等相關(guān)知識，其

中(3),確定NFBC=/DBA+NDCB=NAEC=45°,是本題的突破口.

18.(2017?上海徐匯?九年級二模)如圖，已知拋物線y=af+4(aWO)與游由交于點/和點

B(2,0),與封山交于點C,點〃是拋物線在第一象限的點.

(1)當(dāng)劭的面積為4時，

①求點〃的坐標(biāo)；

②聯(lián)結(jié)如，點,力是拋物線上的點，旦ZMDO=NBOD,求點,物的坐標(biāo);

(2)直線加、4〃分別與苗由交于點￡F,那么循例的值是否變化，請說明理由.

【答案】⑴①。(夜,2)；②〃(-也2)；(2)不變化，值為8,理由見解析

【分析】(1)先將已知點B坐標(biāo)代入解析式求出a,再根據(jù)aABD的面積，求出D的縱坐標(biāo)，將

其代入拋物線求出D點坐標(biāo)，根據(jù)/MDO=/BOD分兩種情況討論，并求出M坐標(biāo)

(2)設(shè)出點D的坐標(biāo)，利用平行線分線段成比例定理表示出OE、OF求和即可得出結(jié)論

【詳解】(1)I?拋物線丫=2乂2+4(a#0)與x軸交于點A和點B(2,0),

AA(-2,0),4a+4=0,

Aa=-1,AB=4,

拋物線的解析式為y=-x2+4,

①設(shè)D(m,-m"+4),

Z\ABD的面積為4,

4=4(w2+4)

m=+5/2,

?.?點D在第一象限，

力(夜,2),

②如圖I,點M在0D上方時，

,/NMD0=ZBOD,；.DM〃AB,

M（-72,2）,當(dāng)M在OD下方時,

設(shè)DM交x軸于G,設(shè)G（n,0）,

.\0G=n,

???。（立2）,

/.DG=J（〃-&j+4,

VZMDO=ZBOD,

.\OG=DG,

**?-a)+4=n,

???”逑，

2

；?G翳'噂,

?；力(&,2),

直線DG的解析式為y=-2&x+6①，

?..拋物線的解析式為y=-x?+4②，

聯(lián)立①②得，x=近,y=2,此時交點剛好是D點,

所以在0D下方不存在點.M.

(2)OE+OF的值不發(fā)生變化,

理由：如圖2,過點D作DH_LAB于H,

...OF〃DH,

.OF_OA

*-DH-AH'

設(shè)D(b,-b2+4),

；.AH=b+2,DH=-b2+4,

V0A=2,

.OF_2

,2(-從+4)

-?DF=-------------=2(2-b)，

b+2

同理：0E=2(2+b),

AOE+OF=2(2-b)+2(2+b)=8.

【點睛】本題(1)的關(guān)鍵是求出拋物線解析式，難點是分情況求出點M的坐標(biāo)，(2)的關(guān)鍵

是做出輔助線

19.(2018?上海金山?)平面直角坐標(biāo)系xOy中(如圖)，已知拋物線+云+c經(jīng)過點

A(1,O)和3(3,0),與屏由相交于點c,頂點為a

(1)求這條拋物線的表達(dá)式和頂點/的坐標(biāo)；

(2)點￡在拋物線的對稱軸上，且E4=EC,求點解I坐標(biāo)；

(3)在(2)的條件下，記拋物線的對稱軸為直線膨V,點臨直線腑,右側(cè)的拋物線上，

NMEQ^NNEB,求點施勺坐標(biāo).

【答案】(1)y=l-4x+3,頂點邢J坐標(biāo)為(2,-1)；(2)￡點坐標(biāo)為(2,2)；(3)。點的坐標(biāo)

為6,8).

【分析】(1)利用交點式寫出拋物線解析式，把一般式配成頂點式得到頂點P的坐標(biāo)；

(2)設(shè)E(2,D,根據(jù)兩點間的距離公式,利用E4=EC得到(2-據(jù)+產(chǎn)=22+6-3)2,然后解方

程求出t即可得到E點坐標(biāo)；

(3)直線廠立交x軸于尸，作MH1直線-2于H,如圖，利用tanANEB=1得到g,

設(shè)a〃2，m2一4m+3),則"七=療-4〃?+1,QH=in-2,再在RMQ”石中利用正切的定義得到

tanN"EQ=g-1，即病一4帆+1=2(療2),然后解方程求出m即可得到Q點坐標(biāo).

HE2

【詳解】解：(1)拋物線解析式為尸(尸1)(￡3),

即y=x2-4x+3,

y=(x-2)2-l,

頂點P的坐標(biāo)為(2,-1)；

(2)拋物線的對稱軸為直線

設(shè)E(2,t),

???EA=EC,

二(2-1>+產(chǎn)=2?+53>,解得f=2,

；.E點坐標(biāo)為(2,2)；

(3)直線后交x軸于F,作MNJ_直線x=2于H,如圖，

1.?ZMEQ=ZNEB,

BF1

而tan/NE3=—=-,

EF2

/.tanZ.MEQ=；,

設(shè)QCm,m2-4m+3）,則HE=m2-^m+3-2=TW2-4/T?+1,QH=tn-2,

在RfaQHE中,tanZHEQ=^=-,

HE2

m2-4m+l—2C/n-2），

整理得nr-6m+5=0,解得叫=1（舍去），嗎=5,

，Q點的坐標(biāo)為6,8）.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)

的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)的定義；會利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，記

住兩點間的距離公式.

20.(2019?上海市天山初級中學(xué)九年級期中)已知一次函數(shù)＞=丘+2的圖像經(jīng)過點r1,|),

與X軸相交于點A,與y軸相交于點8,二次函數(shù)了="2+加(。＞0)的圖像經(jīng)過點A和點P,

頂點為"，對稱軸與一次函數(shù)的圖像相交于點N.

(1)求一次函數(shù)的解析式以及A點，B點的坐標(biāo)；

(2)求頂點M的坐標(biāo)；

(3)在丁軸上求一點Q,使得APMW和A/WQ相似.

【答案】（1）y=：x+2,4（Y,0）,8（0,2）；（2）”（-2,-2）；（3）2（0,1）

【分析】（1）將P點坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式求出k,得到次函數(shù)解析式，再求交點坐標(biāo)；

（2）把A、P代入二次函數(shù)求出a,b的值，得到二次函數(shù)解析式，再配成頂點式得到頂點坐標(biāo);

（3）因為相似三角形對應(yīng)角不明確，所以分兩種情況討論①=②

ZPBQ=ZPMN.

【詳解】（1）把夕［1，外，代入一次函數(shù)得：k+24k=；,所以y=；x+2,當(dāng)

y=0,x=-4,A（-4,0）,x=0,y=2,B（0,2）.

（2）把A（<0）和代入二次函數(shù)得

16?-4Z?=0

<；5,

a+b=一

［2

解得］=5,

b=2

所以加（-2,-2）.

（3）由題得:N（-2,l）；設(shè)。（0,y）.

因為MN〃），軸，NP=NP

設(shè)丫=米+以將2（1尚）加（一2,-2）代入得y=|x+l,

①若NPBQ=NPNM

所以MN〃BQ,Q點為PM與y軸的交點，所以。（0,1）

②若NPBQ=NPMN

因為Q點在y軸上，所以BQ始終平行于MN,不存在NP3Q=NPMV這種情況，舍去.綜上Q點坐

標(biāo)為（0,1）

【點睛】本題考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，拋物線頂點坐標(biāo)，拋物線中的相似二角形，難

度不大，掌握基本知識即可解決.

21.（2018?上海民辦蘭生復(fù)旦中學(xué)九年級月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，有一條

拋物線、=加￥--（,">1）,和x軸交于。和A兩點.直線《：y=x,4：y=-x分別和拋物線交于

除了原點以外的8和C兩點.已知：A04B和AOAC相似.

(1)試求拋物線的解析式.

(2)在x軸上是否存在點P,使得AO8P和AABC相似.如果存在，請直接寫出點P的坐標(biāo);

如果不存在，請證明你的結(jié)論.

【答案】