初高中數(shù)學(xué)銜接教材7講含作業(yè)答案

第一講數(shù)與式的運(yùn)算

在初中，我們已學(xué)習(xí)了實(shí)數(shù)，知道字母可以表示數(shù)用代數(shù)式也可以表示數(shù)，我們把實(shí)數(shù)和代

數(shù)式簡(jiǎn)稱(chēng)為數(shù)與式.代數(shù)式中有整式(多項(xiàng)式、單項(xiàng)式)、分式、根式.它們具有實(shí)數(shù)的屬性，

可以進(jìn)行運(yùn)算.在多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算中，我們學(xué)習(xí)了乘法公式(平方差公式與完全平方公式)，

并且知道乘法公式可以使多項(xiàng)式的運(yùn)算簡(jiǎn)便.由于在高中學(xué)習(xí)中還會(huì)遇到更復(fù)雜的多項(xiàng)式乘法運(yùn)

算，因此本節(jié)中將拓展乘法公式的內(nèi)容，補(bǔ)充三個(gè)數(shù)和的完全平方公式、立方和、立方差公式.在

根式的運(yùn)算中，我們已學(xué)過(guò)被開(kāi)方數(shù)是實(shí)數(shù)的根式運(yùn)算，而在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，經(jīng)常會(huì)接觸到被

開(kāi)方數(shù)是字母的情形，但在初中卻沒(méi)有涉及，因此本節(jié)中要補(bǔ)充.基于同樣的原因，還要補(bǔ)充“繁

分式”等有關(guān)內(nèi)容.

一、乘法公式

【公式1](a+b+c)2=a2+b2+c2+lab+2bc+2ca

證明：；(a+6+c)2=[(a+>)+c]2=(a+b)2+2(a+b)c+c2

—a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca

：.等式成立

【例1】計(jì)算：(x2—JIr+g)2

解：原式=[>+(-+—F

=(一)2+(-V2%)2+(1)2+2/(—行)x+2x2x1+2x|x(-V2x)

-U+，2_"+J.

339

說(shuō)明：多項(xiàng)式乘法的結(jié)果一般是按某個(gè)字母的降基或升塞排列.

【公式2](a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3(立方和公式)

證明：(a+b)(a2-ah+b2)-/-a2b+ab2+a2b-ah2+/=a3+b^

說(shuō)明:請(qǐng)同學(xué)用文字語(yǔ)言表述公式2.

【例2】計(jì)算：(a-b)(a2+ab+b2)

解：原式=3+(-份][。2一。(_3+(_切2]=/+(—與3=。3一/

我們得到：

【公式3](a-b\a2+ab+〃)=/—〃(立方差公式)

請(qǐng)同學(xué)觀察立方和、立方差公式的區(qū)別與聯(lián)系，公式1、2、3均稱(chēng)為乘法公式.

【例3】計(jì)算：

,111,11,

(1)(4+根)(16—4根+根)(2)(—m——〃)(一m~+-mn+—n}

5225104

(3)(。+2)(。一2)(。4+4。2+16)(4)(x2+2xy+y2)(x2-xy+y2)2

解：(1)原式=4'+〃/=64+m,

1ala1231a3

(2)原式=(—加)3-(一〃產(chǎn)=一m——n

521258

(3)(a2-4)(?4+4?2+42)=(a2)3-43=a6-64

(4)原式=(x+y)232-xy+y2)2=[(%+j)(%2-Ay+y2)]2

=(x3+y3)2=x6+2x3y3+y6

說(shuō)明：(1)在進(jìn)行代數(shù)式的乘法、除法運(yùn)算時(shí)，要觀察代數(shù)式的結(jié)構(gòu)是否滿(mǎn)足乘法公式的結(jié)

構(gòu).

(2)為了更好地使用乘法公式，記住I、2、3、4、…、20的平方數(shù)和1、2、3、4、…、

10的立方數(shù)，是非常有好處的.

【例4】已知3%=1=0,求/+二的值.

X

解：*/x2-3x=1=0「.xwO/.x+—=3

x

原式=(x+-)(x2一1+=(x+1)[(x+‘)2—3]=3(32—3)=18

XX-XX

說(shuō)明：本題若先從方程3x=l=0中解出X的值后，再代入代數(shù)式求值，則計(jì)算較煩瑣.本

題是根據(jù)條件式與求值式的聯(lián)系，用整體代換的方法計(jì)算，簡(jiǎn)化了計(jì)算.請(qǐng)注意整體代換法.本

題的解法，體現(xiàn)了“正難則反”的解題策略，根據(jù)題求利用題知，是明智之舉.

【例5】已知Q+〃+C=0,求々(』+4)+伏工+4)+以,+工)的值.

bccaab

解：。+Z?+c=0,a+〃=—c,b+c=-a,c+a=-h

b+ca+ca+b

/.原式=a-----+Zf7-----+c------

beacah

_a(-a)+b(-b)+c(-c)_a2+b2+c2①

beacababc

?/a3+b3=(a+/?)[(a+8)2-3ab]=-c(c2-3ab)=-c3+3abc

：.a3+b3+c3=3abe②，把②代入①得原式=—2如=-3

abc

說(shuō)明：注意字母的整體代換技巧的應(yīng)用.

引申：同學(xué)可以探求并證明：

a3+/-3abc=(a+O+cX。？+/?2+c2-ab-bc-cd)

二、根式

式子&（a20）叫做二次根式，其性質(zhì)如下:

(1)(風(fēng)=a(aNO)(2)=|a|

(3)\[ab=4a■\[b(a>0,b>0)(4)噲=手3>0,/?20)

［例6］化簡(jiǎn)下列各式:

(1)J(6-2)2+J?1)2(2)yl(l-x)2+J(2-x)2(x>l)

解：（1）原式=|班一2|+|石一1|=2-出+g-l=l

(x—1)+(x—2)=2x—3(x>2)

(2)原式=|x-l|+|x_2|=

(x—1)—(x—2)=1(1WXW2)

說(shuō)明：請(qǐng)注意性質(zhì)的使用：當(dāng)化去絕對(duì)值符號(hào)但字母的范圍未知時(shí)，要對(duì)字母的

取值分類(lèi)討論.

【例7】計(jì)算（沒(méi)有特殊說(shuō)明，本節(jié)中出現(xiàn)的字母均為正數(shù)）:

（1）

言⑵(3)

3(2-6)3(2-6)

解：（1）原式==6-3x/3

(2+6)(2-百)-22-3

a-vb\la2b+ab2

⑵原式=

⑶原式=——x2+A/2X22X=42x-x4x+2A/2X=35/2x一x4x

N2x2

說(shuō)明：（D二次根式的化簡(jiǎn)結(jié)果應(yīng)滿(mǎn)足：①被開(kāi)方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；②被開(kāi)方

數(shù)不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式.

（2）二次根式的化簡(jiǎn)常見(jiàn)類(lèi)型有下列兩種：①被開(kāi)方數(shù)是整數(shù)或整式.化簡(jiǎn)時(shí)，先將它分解因數(shù)

或因式，然后把開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式開(kāi)出來(lái)；②分母中有根式（如一^）或被開(kāi)方數(shù)有分母（如

2+V3

I）.這時(shí)可將其化為坐形式（如5可化為胃），轉(zhuǎn)化為“分母中有根式”的情況.化簡(jiǎn)時(shí),

3

要把分母中的根式化為有理式，采取分子、分母同乘以一個(gè)根式進(jìn)行化簡(jiǎn).（如化為

2+6

—3（^Z^）其中2+6與2-g叫做互為有理化因式）.

（2+73）（2-73）

【例8】計(jì)算:

(1)(夜+揚(yáng)+1)(1-&+歷-(6+揚(yáng)2⑵斗+*

a-y/aba+'ab

解：(1)原式=(1+\[b^——(a+2ylab+b)=—2a—2qab+2A/^+1

\fa1

（2）原式:--------------1--------------=----------1----------

y/a(4ay[a(y!a+\[b)\[a-y[b\[a+4b

{\[a+y/b)4--\[h)_2\[a

(&+&)(?_&)a-b

說(shuō)明：有理數(shù)的的運(yùn)算法則都適用于加法、乘法的運(yùn)算律以及多項(xiàng)式的乘法公式、分式二次

根式的運(yùn)算.

【例9】設(shè)X=2±噌,y=2z坐，求V+y3的值.

2-V32+V3

解：方=2+省也)=7+4班,y=7-4gx+y=14,xy=\

2-5/322-3

2

原式二(x+y)(x一孫+/)=a+y)[Q+刃2_3盯]=14(142-3)=2702

說(shuō)明：有關(guān)代數(shù)式的求值問(wèn)題：（1）先化簡(jiǎn)后求值；（2）當(dāng)直接代入運(yùn)算較復(fù)雜時(shí)，可根據(jù)結(jié)

論的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，倒推幾步，再代入條件，有時(shí)整體代入可簡(jiǎn)化計(jì)算量.

三、分式

AA

當(dāng)分式j(luò)的分子、分母中至少有一個(gè)是分式時(shí)，2就叫做繁分式，繁分式的化簡(jiǎn)常用以下兩

BB

種方法：（1）利用除法法則；（2）利用分式的基本性質(zhì).

【例10】化簡(jiǎn)一7—

1-%

X+1

X—

X

XXXX(X+1)X+1

解法一：原式=—V—

22

1-XXX+x-XxX

x+^7X+x-

廠(chǎng)-1(x+l)(x-l)X+1X+1

X

XXXx(x+1)X+1

解法一：原式=—

一_9

(1一x)?x―工武1一工)Xx+X-XX

X+1XX-

x2-1X+1

(x--)-x

X

說(shuō)明：解法一的運(yùn)算方法是從最內(nèi)部的分式入手，采取通分的方式逐步脫掉繁分式，解法二

則是利用分式的基本性質(zhì)4=々％進(jìn)行化簡(jiǎn).一般根據(jù)題目特點(diǎn)綜合使用兩種方法.

BBxm

X2+3x+96xx—1

【例1?；?jiǎn)x2-21+9x-x2

6+2x

公+3x+96xx-1_16x-1

解:原式=+

(x-3)(x2+3x+9)x(9-x2)2(3+x)x-3(x+3)(x-3)2(x-3)

2(%+3)—12—(x—l)(x—3)—(%—3尸3—x

2(x+3)(x-3)-2(x+3)(x-3)-2(x+3)

說(shuō)明：（1）分式的乘除運(yùn)算一般化為乘法進(jìn)行，當(dāng)分子、分母為多項(xiàng)式時(shí)，應(yīng)先因式分解再

進(jìn)行約分化簡(jiǎn)；（2）分式的計(jì)算結(jié)果應(yīng)是最簡(jiǎn)分式或整式.

練習(xí)

組

1.二次根式J/=—a成立的條件是()

A.a>0B.a<0C.a<0D.a是任意實(shí)數(shù)

若則的值是(

2.x<3,,9—6x+f-|x-6|)

A.-3B.3C.-9D.9

3.計(jì)算：

(1)(x-3y-4z)2(2)(2a+1—b)~—(o—b)(a+2b)

(3)(a+b)(a2-ab+b2)-(a+by(4)(a-4/?)(—a2+4Z?2+ah')

4

4.化簡(jiǎn)(下列。的取值范圍均使根式有意義)：

B組

11_.3x+xy-3y,,,.?

1.若-----=2,則------的值為()：

xyx一盯一y

5

D.

3

2.計(jì)算：

(1)(5A/+\[b——\[b—\[c)(2)1+—

..22

3.設(shè)“=蘇工"=際’求代數(shù)式”::;'的值.

j212

4.當(dāng)3a2+。匕-2〃=0(070,/,￥0),求色+-的值.

haah

5.設(shè)x、y為實(shí)數(shù)，旦孫=3,

6.已知Q=工尤+20,〃=-5-X+19,C='x+21,求代數(shù)式/+/+。2—QC的值.

202020

7.設(shè)》=更二1,求J+x2+2x—1的值.

2

8.展開(kāi)（x—2六

9.計(jì)算(x-l)(x-2)(x-3)(x-4)

10.計(jì)算(x+y+z)(—x+y+z)(x—y+z)(x+y—z)

IL化簡(jiǎn)或計(jì)算：

(1)(V18-4.1^+-廣)十￡~

\2V2-V33

(2)-V2—J(2―6y+—

V3V5+2

(3)X6+xGX+而+)'

孫_y2xG->,77

第一講習(xí)題答案

A組

1.C2.A

3.(1)x2+9y2+16z2-6xy-Sxz+24yz(2)36r—5ab+3b~+4。—2Z?+1

(3)-3crb-3abi(4)-a3-16b3

4

4.一2。收一口2(G+歷一在一

a-b2

5.mjm2y[xy

B組

__13

1.D2.Q+C—h—2^3A/2+2>/33.-----s/3

6

4.-3,25.±266.37.3—6

8.x4-8x3+24x2-32x+16

9.X4-10X3+35X2-50X+24

10.-x4—y4—z4+2x2y2+2x2z2+2y2z2

第二講因式分解

因式分解是代數(shù)式的一種重要的恒等變形，它與整式乘法是相反方向的變形.在分式運(yùn)算、

解方程及各種恒等變形中起著重要的作用.是一種重要的基本技能.

因式分解的方法較多，除了初中課本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平

方公式)外，還有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分組分解法等等.

一、公式法(立方和、立方差公式)

在第一講里，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了乘法公式中的立方和、立方差公式：

(a+b\a2-ab+h2)-a3+h3(立方和公式)

(a-b\a2+ah+b2)=a"'-Z?3(立方差公式)

由于因式分解與整式乘法正好是互為逆變形，所以把整式乘法公式反過(guò)來(lái)寫(xiě)，就得到：

/+〃=(。+-ab+護(hù))

a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)

這就是說(shuō)，兩個(gè)數(shù)的立方和(差)，等于這兩個(gè)數(shù)的和(差)乘以它們的平方和與它們積的差(和).

運(yùn)用這兩個(gè)公式，可以把形式是立方和或立方差的多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解.

【例1】用立方和或立方差公式分解下列各多項(xiàng)式：

(1)8+?(2)0.125-27^

分析：(1)中，8=23,(2)中0.125=0.53,27^3=(36)3.

解：⑴8+丁=2,+/=(2+幻(4-2x+f)

(2)0.125-27/=0.53-(3b)3=(0.5-3b)[0.52+0.5x3b+(3b)2]

=(0.5-38)(0.25+1.5b+9h2)

說(shuō)明：(1)在運(yùn)用立方和(差)公式分解因式時(shí)，經(jīng)常要逆用基的運(yùn)算法則，如8//=(2aZ?)3,

這里逆用了法則(。與"="為"；(2)在運(yùn)用立方和(差)公式分解因式時(shí)，一定要看準(zhǔn)因式中各項(xiàng)的

符號(hào).

【例2】分解因式：

(1)3a3b-8\b4(2)a1-ab6

分析：(1)中應(yīng)先提取公因式再進(jìn)一步分解；(2)中提取公因式后，括號(hào)內(nèi)出現(xiàn)可

看著是(/)2—(/)2或(4)3一(/)3.

解：⑴3a3/7—81"=3伏/-27/）=3伏a-3加（/+3"+9從）.

766

(2)a-ab=a(a一戶(hù))=a(/+6)(/一〃)

=a(a+Z?)(<72-ab+b2)(a—b)(a2+ab+h2)

=a(a+b)(a-0)(/+ab+b2)(?2-ab+b2)

二、分組分解法

從前面可以看出，能夠直接運(yùn)用公式法分解的多項(xiàng)式，主要是二項(xiàng)式和三項(xiàng)式.而對(duì)于四項(xiàng)

以上的多項(xiàng)式，如加。+近+水/+，仍既沒(méi)有公式可用，也沒(méi)有公因式可以提取.因此，可以先

將多項(xiàng)式分組處理.這種利用分組來(lái)因式分解的方法叫做分組分解法.分組分解法的關(guān)鍵在于如

何分組.

1.分組后能提取公因式

【例3】把2數(shù)一10。)，+5力一區(qū)分解因式.

分析：把多項(xiàng)式的四項(xiàng)按前兩項(xiàng)與后兩項(xiàng)分成兩組，并使兩組的項(xiàng)按x的降基排列，然后從

兩組分別提出公因式2a與-從這時(shí)另一個(gè)因式正好都是x-5y,這樣可以繼續(xù)提取公因式.

解：2ax—10ay+5by-bx-2a(x—5y)-b(x-5y)—(x—5y)(2a—人)

說(shuō)明：用分組分解法，一定要想想分組后能否繼續(xù)完成因式分解，由此合理選擇分組的方

法.本題也可以將一、四項(xiàng)為一組，二、三項(xiàng)為一組，同學(xué)不妨一試.

【例4】把"d—1)—畫(huà)一/)〃分解因式.

分析：按照原先分組方式，無(wú)公因式可提，需要把括號(hào)打開(kāi)后重新分組，然后再分解因式.

解：ab(c2-d2)-(a2-b2)cd=abc2-abd2-a2cd+b2cd

=(abc2-a2cd)+(b2cd-abd2)

=ac(bc-ad)+bd(be-ad)=(be-ad\ac+bd)

說(shuō)明：由例3、例4可以看出，分組時(shí)運(yùn)用了加法結(jié)合律，而為了合理分組，先運(yùn)用了加法

交換律，分組后，為了提公因式，又運(yùn)用了分配律.由此可以看出運(yùn)算律在因式分解中所起的作

用.

2.分組后能直接運(yùn)用公式

［例5］把f-y2+ax+ay分解因式.

分析：把第一、二項(xiàng)為一組，這兩項(xiàng)雖然沒(méi)有公因式，但可以運(yùn)用平方差公式分解因式，其

中一個(gè)因式是x+y；把第三、四項(xiàng)作為另一組，在提出公因式a后，另一個(gè)因式也是x+y.

解：x1-y2+ax+ay={x+y)(x-y)+a(x+y)=(x+y)(x-y+a)

【例6】把21+4孫+2/_822分解因式.

分析：先將系數(shù)2提出后，得到V+2盯+V-4z2,其中前三項(xiàng)作為一組，它是一個(gè)完全

平方式，再和第四項(xiàng)形成平方差形式，可繼續(xù)分解因式.

解：2x2+4xy+2y2-8z2=2(x2+2xy+j2-4z2)

=2[(x+y)?-(2z)2]=2(x+y+2z)(x+y—2z)

說(shuō)明：從例5、例6可以看出：如果一個(gè)多項(xiàng)式的項(xiàng)分組后，各組都能直接運(yùn)用公式或提取

公因式進(jìn)行分解，并且各組在分解后，它們之間又能運(yùn)用公式或有公因式，那么這個(gè)多項(xiàng)式就可

以分組分解法來(lái)分解因式.

三、十字相乘法

1.—+(p+q)x+?7型的因式分解

這類(lèi)式子在許多問(wèn)題中經(jīng)常出現(xiàn)，其特點(diǎn)是：

(1)二次項(xiàng)系數(shù)是1;(2)常數(shù)項(xiàng)是兩個(gè)數(shù)之積；(3)一次項(xiàng)系數(shù)是常數(shù)項(xiàng)的兩個(gè)因數(shù)之和.

X2+(p+q)x+pq=x2+px+qx+pq=x(x+p)+q(x+p)=(x+p)(x+q)

因此，x2+(/?+q)x+pq=(x+p)(x+q)

運(yùn)用這個(gè)公式，可以把某些二次項(xiàng)系數(shù)為1的二次三項(xiàng)式分解因式.

【例7)把下列各式因式分解：

(1)X?—7x+6(2)+13x+36

解：⑴6=(-l)x(-6),(-l)+(-6)=-7

x2-7x+6=[x+(-l)][x+(-6)]=(x-l)(x-6).

(2)36=4x9,4+9=13

x2+13x+36=(x+4)(x+9)

說(shuō)明：此例可以看出，常數(shù)項(xiàng)為正數(shù)時(shí)，應(yīng)分解為兩個(gè)同號(hào)因數(shù)，它們的符號(hào)與一次項(xiàng)系數(shù)

的符號(hào)相同.

【例8】把下列各式因式分解：

⑴X?+5x—24⑵犬—2x—15

解：(1)-24=(―3)x8,(—3)+8=5

V+5x-24=[x+(-3)1(%+8)=(x-3)(%+8)

(2),/—15=(—5)x3,(—5)+3=—2

x2-2x-15=+(-5)](x+3)=(x-5)(x+3)

說(shuō)明：此例可以看出，常數(shù)項(xiàng)為負(fù)數(shù)時(shí)，應(yīng)分解為兩個(gè)異號(hào)的因數(shù)，其中絕對(duì)值較大的因數(shù)

與一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)相同.

練：(l)x2+6x+5(2)/-4%一21(3)x2—1lx+30(4)x2-x-12

【例9】把下列各式因式分解：

(1)+xy—6y~(2)(x?+x)~-8(x~+x)+12

分析：(1)把/+町-看成區(qū)的二次三項(xiàng)式，這時(shí)常數(shù)項(xiàng)是-69，一次項(xiàng)系數(shù)是y,

把-6丁分解成3y與-2y的積，而3y+(-2y)=y,正好是一次項(xiàng)系數(shù).

(2)由換元思想，只要把d+x整體看作一個(gè)字母〃，可不必寫(xiě)出，只當(dāng)作分解二次三

項(xiàng)式。2—8。+12.

解：(1)x2-i-xy-6y2=x2+yx-62=(x4-3y)(x—2y)

(2)(x2+工)2—8(x?+x)+12=(r+x—6)(x?4-x—2)

=(x+3)(x-2)(x+2)(x—1)

練：(1)X4-7X2-18(2)a6-a3-12

2.一般二次三項(xiàng)式打2+法+。型的因式分解

大家知道，(。]龍+。1)(。2%+。2)=4。2工2+(4。2+a2C\)X+C1C2-

2

反過(guò)來(lái)，就得到：a[a2x+(OjC2+)x+qc2={axx+cx)(a2x+c2)

我們發(fā)現(xiàn)，二次項(xiàng)系數(shù)。分解成《出，常數(shù)項(xiàng)c分解成qq，把囚，出，。，。2寫(xiě)成'"X。，這

與c2

里按斜線(xiàn)交叉相乘，再相加，就得到如果它正好等于以2+陵+。的一次項(xiàng)系數(shù)。，

那么以2+A+C就可以分解成(qx+C])(“2%+。2)，其中q,C]位于上一行，4,位于下一行.

這種借助畫(huà)十字交叉線(xiàn)分解系數(shù)，從而將二次三項(xiàng)式分解因式的方法，叫做十字相乘法.

必須注意，分解因數(shù)及十字相乘都有多種可能情況，所以往往要經(jīng)過(guò)多次嘗試，才能確定一

個(gè)二次三項(xiàng)式能否用十字相乘法分解.

【例10]把下列各式因式分解：

(1)12x?—5x—2(2)5x2+6jcy-8y2

3義一2

解：(1)12x~—5x—2—(3x—2)(4x+1)4X1

2y

(2)5x2+6xy-8y之=(x+2y)(5x-4y)

說(shuō)明：用十字相乘法分解二次三項(xiàng)式很重要.當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)不是1時(shí)較困難，具體分解時(shí)，

為提高速度，可先對(duì)有關(guān)常數(shù)分解，交叉相乘后，若原常數(shù)為負(fù)數(shù)，用減法“湊"，看是否符合一

次項(xiàng)系數(shù)，否則用加法'‘湊"，先"湊''絕對(duì)值，然后調(diào)整，添加正、負(fù)號(hào).

練:(1)12x~—5x—2(2)—4x~+5%—1(3)3x~—1Ox+3(4)—x2—3%+18

【例11】因式分解：

(1)(f+2x)2-7(f+2x)—8(2)x2+2x-15-ax-5a

分析：用十字相乘法分解因式也要注意分解徹底，有時(shí)可能會(huì)多次使用十字相乘法，并且對(duì)

于項(xiàng)數(shù)較多的多項(xiàng)式，應(yīng)合理使用分組分解法，找公因式，如五項(xiàng)可以三、二組合.

解：(1)原式=(/+2%+1)(/+2彳-8)=(》+1)2(》一2)(彳+4).

(2)原式=(/+2x-15)-(ax+5a)=(x-3)(%+5)-a(x+5)=(x+5)(x-3-a).

練：(1)12/n4—lm2n2+n4(2)2x2+ax+a-2

四、其它因式分解的方法

1.配方法

【例12】分解因式V+6x—16

解：X2+6X-16=X2+2X%X3+32-32-16=(X+3)2-52

=(x+3+5)(%+3-5)=(x+8)(x-2)

說(shuō)明：這種設(shè)法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后將二次三項(xiàng)式化為兩個(gè)平方式,

然后用平方差公式分解.當(dāng)然，本題還有其它方法，請(qǐng)大家試驗(yàn).

2.拆、添項(xiàng)法

【例13】分解因式V—3/+4

分析：此多項(xiàng)式顯然不能直接提取公因式或運(yùn)用公式，分組也不易進(jìn)行.細(xì)查式中無(wú)一次項(xiàng),

如果它能分解成幾個(gè)因式的積，那么進(jìn)行乘法運(yùn)算時(shí)，必是把一次項(xiàng)系數(shù)合并為0了，可考慮通

過(guò)添項(xiàng)或拆項(xiàng)解決.

解：x3-3x2+4=(x3+1)-(3x2-3)

=(x+l)(x2_x+1)-3(尤+l)(x-1)=(x+l)[(x2-x+1)-3(x-1)]

=(x+l)(x2-4x+4)=(x+l)(x-2)2

說(shuō)明：本解法把原常數(shù)4拆成1與3的和，將多項(xiàng)式分成兩組，滿(mǎn)足系數(shù)對(duì)應(yīng)成比例，造成

可以用公式法及提取公因式的條件.本題還可以將-3/拆成/一4V,將多項(xiàng)式分成兩組

(%3+尤2)和-4x2+4.

一般地，把一個(gè)多項(xiàng)式因式分解，可以按照下列步驟進(jìn)行：

(1)如果多項(xiàng)式各項(xiàng)有公因式，那么先提取公因式；

(2)如果各項(xiàng)沒(méi)有公因式，那么可以嘗試運(yùn)用公式來(lái)分解；

(3)如果用上述方法不能分解，那么可以嘗試用分組或其它方法(如十字相乘法)來(lái)分解；

(4)分解因式，必須進(jìn)行到每一個(gè)多項(xiàng)式因式都不能再分解為止.

A組

1.把下列各式分解因式:

(1)a3+27⑵8-/(3)-27?+8

131313313

yq(5)8x3/--(6)——xy+—c

125216-27

2.把下列各式分解因式:

(1)xy3+x4(2)xn+3-x"y3

(3)a2(m+n)3-a2b3(4)y2(x2-2x)3+y2

3.把下列各式分解因式：

(1)—3x+2(2)x?+37x+36(3)x24-1lx—26

(4)x2-6x-27(5)nt2—4mn-5n2(6)(6?—b)2+11(〃—Z?)+28

4.把下列各式分解因式:

(1)ox5-10ox4+16ax3(2)an+2+afl+lb-6anb2(3)(x2-2x)2-9

(4)d—7%2—18(5)6x?—7x—3(6)8尤？+26?xy—15y~

(7)7(〃+b)~—5(〃+0)—2(8)(6f-7x)2—25

5.把下列各式分解因式：

(1)3ax—3ay+xy-y2(2)8x^4-4x~—2x—1(3)5x~—15x+2xy—6y

(4)4/一20次7+25必一36(5)4xy+1-4x2-y2(6)a4b+a3b2-a2b2-ab4

(7)—y6—2爐+1(8)(x+1)-y(xy+x)

B組

1.把下列各式分解因式：

(1)abd-虐)+cdd-)(2)x2—4mx+Smn—4/

(3)x"+64(4)—1lx?+3lx—21(5)—4Ay2—2x2y+8y

2

2.已知Q+〃=—,加;=2,求代數(shù)式/〃+2/02+〃〃的值.

3

3.證明：當(dāng)孔為大于2的整數(shù)時(shí)，54+4〃能被120整除.

4.已知a+Z?+c=0,求證：a3,+a2c+b2c-abc+Z?3=0.

第二講因式分解答案

A組

1.(a+3)(〃-3a+9),(2-m)(4+2m+nr),(2一3x)(4+6x+9x2),

一占(2p+q)(4,2—2，。+/),(2旬-：)(4x2y2+]孫+]),上(肛+2。)(—>2_2劃。+4c2)

64552521o

2.x(x+y)(y2—xy+jc\xft(x-y)(x2+xy+y2),

a2(m+n-Z?)[(m+n)2+b(m+〃)+〃],y2(x-1)2(x4-4x3+3x2+2x+l)

3.(x-2)(x—1),(x+36)(尤+1),(x+13)(x—2),(x—9)(x+3)

(x-9)(x+3),(m-5n)(m+n),(a-b+4)(。一〃+7)

4.ax3(x-2)(x-8),Q"(a+3b)(a-2/?),(x-3)(x+l)(x2-2x+3),(x-3)(x+3)(x2+2)

(2x-3)(3x4-l),(2x-y)(4x+15y),(7Q+7〃+2)(〃+〃-1),(2x+1)(3%-5)(6/-7x+5)5.

(x—y)(3a+y),(2x+1)2(2x-1),(^-3)(5x+2y),(2a-5b-6)(2。-5/7+6)

(1—2x+y)(l+2x—y),+b*(a-Z?),—1—)(d—1+y，),x(x—y)(x+y+1).

B組

1.(be+ad)(ac-bd),(x-4m+2n)(x-2n),(x2-4x+8)(x2+4x+8),

(x-l)(x_3)(x-7),(x-2y產(chǎn)(x+2y).

2.啰

3

3.n5—5n3+4〃=(〃-2)(〃—l)n(n+1)(〃+2)

4.Q'+c+h~c—cthc4~b=(Q~—ah+h~)(a+Z?+c)

第三講一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

現(xiàn)行初中數(shù)學(xué)教材主要要求學(xué)生掌握一元二次方程的概念、解法及應(yīng)用，而一元二次方程的

根的判斷式及根與系數(shù)的關(guān)系，在高中教材中的二次函數(shù)、不等式及解析幾何等章節(jié)有著許多應(yīng)

用.本節(jié)將對(duì)一元二次方程根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行闡述.

一、一元二次方程的根的判斷式

一元二次方程以2+區(qū)+c=03聲0),用配方法將其變形為：

(1)當(dāng)。2—4ac>0時(shí)，右端是正數(shù).因此，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根：

-b+y/b2-4ac

X=—

b

(2)當(dāng)//-4ac=0時(shí)，右端是零.因此，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根：X=~—

,l-222a

(3)當(dāng)/一4的<0時(shí),右端是負(fù)數(shù).因此,方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.

由于可以用。2—4ac的取值情況來(lái)判定一元二次方程的根的情況.因此，把。2—4ac叫做一

元二次方程依2+法+。=0(。中0)的根的判別式，表示為：△=〃-4或

［例1］不解方程，判斷下列方程的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)：

(1)2*2-3x+l=0(2)4y?+9=12y(3)5(x2+3)-6x=0

解：(1)v△=(—3)2-4x2x1=l>0,原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

(2)原方程可化為：4/-12>'+9=0

△=(—12)2—4x4x9=0,原方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根.

(3)原方程可化為：5f—6x+15=0

2

VA=(-6)-4X5X15=-264<0,A原方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.

說(shuō)明：在求判斷式時(shí)，務(wù)必先把方程變形為一元二次方程的一般形式.

練：說(shuō)出下列各方程的根的情況

(1)X?—x+3(2)4x~—4x+1(3)x~+x—2

【例2】已知關(guān)于x的一元二次方程3f—2x+女=0,根據(jù)下列條件，分別求出攵的范圍:

(1)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;(2)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

(3)方程有實(shí)數(shù)根：(4)方程無(wú)實(shí)數(shù)根.

解：△=(-2)2-4x3x4=4-12左

(1)4—12%>0n左<—；(2)4—12%=0nZ='；

33

(3)4-12A:>0=>^>-;(4)4-12%<0nZ<L

33

二、一元二次方程的根解法

進(jìn)一步地，在一元二次方程。<：2+加+。=0(4聲())有實(shí)數(shù)根的前提下，該實(shí)數(shù)根具體是

多？這就涉及到一元二次方程的根的求法

解法一(因式分解法)若or?+法+c可分解為(px+g)(/nx+〃)，

那么由ax2+hx+c-0可得++=0從而得到x=-2"或%=一二

pm

【典例】解一元二次方程V+x—2=0

解：原方程可化為(x-l)(x+2)=0故x=l或一2

練：解一元二次方程(1)X2-4X-12=0(2)2X2+X-6=0(3)-4X2+5%-1=0

解法二(配方法)一元二次方程以2+法+。=0gw。)，用配方法將其變形為：

(%+—)2兩邊開(kāi)方即可得到方程的根

2a4a2

【典例】解一元二次方程f+x—2=0

1Q1O

解：原方程可化為(X+—)2—==0即(X+—)2=乙

2424

1313

故x+—=±—從而x=一一±-即尤=1或一2

2222

練：解一元二次方程(1)x2-4x-12=0(2)2x2+x-6=0(3)-4x2+5x-l=0

解法三(公式法)對(duì)于一元二次方程以2+加+。=03A0),

(1)當(dāng)4ac>0時(shí)，右端是正數(shù).因此，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根：

-b±yJb2-4ac

x=

2a

o-b

(2)當(dāng)〃—4ac=0時(shí)，右端是零.因此，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根：%,=——

2a

【典例】解一元二次方程f+x—2=0

解：由△=b?-4ac=9>0所以原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

2

rrrl-b±\]b-4ac-1±79-1±3小

所以％=---------------=--------=------即尤=1或一2

2a22

練：解一元二次方程(1)/—4%-12=0(2)2/+*一6=0(3)-4x2+5x-l=0

三、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

一元二次方程+加+c=0(a#0)的兩個(gè)根為：

-b+ylb2-4ac-b7護(hù)一4ac

X=-------------,x=--------------

2a2a

-b+J/?2-4ac-b-db2一4acb

--------1--------=—，

-b+\/b~-4ac-b-ylb?-4ac(-by-4acc

x.-x=----------------------------=----------；----=-r=—

22a2a(2a)24a2a

定理：如果一元二次方程ax?+法+c=o(Q，o)的兩個(gè)根為,那么：

說(shuō)明：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系由十六世紀(jì)的法國(guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá)發(fā)現(xiàn)，所以通常把此定理

稱(chēng)為“韋達(dá)定理”.上述定理成立的前提是ANO.

【例3】若3/2是方程12+2%―2007=0的兩個(gè)根，試求下列各式的值：

(1)工：+9？；(2)—+—;(3)(%1—5)(X2-5)；(4)|%]-x2I-

Mx2

分析：本題若直接用求根公式求出方程的兩根，再代入求值，將會(huì)出現(xiàn)復(fù)雜的計(jì)算.這里,

可以利用韋達(dá)定理來(lái)解答.

解：由題意，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得：玉+工2=-2,玉％2=-2007

2222

(1)x)+x2=(X)+x2)-2xtx2=(―2)—2(—2007)=4018

11x.+x-22

(2)1---=---2-=---=---

%x2xxx2-20072007

(3)(x,-5)(X2-5)=X,X2-5(M+馬)+25=-2007-5(-2)+25=-1972

2

(4)|%]-%2|=yj(xt-%2)-J(X]+工2)2-4芭々-J(-2)2-4(-2007)-2J2008

說(shuō)明：利用根與系數(shù)的關(guān)系求值，要熟練掌握以下等式變形：

io111Ii

X1-4~X9~=(X|+%2)—2Xj%2f---1----=-------，(X|—X)廠(chǎng)=(X|4~%2)~-4X1%2f

X]x2XxX2

XX=2XXXXX

\\~2l+X2)-4玉龍2，\2+X；*2=\2(\+工2)，

33

X,+X2=(%+%)3-3X/2(M+%2)等等.韋達(dá)定理體現(xiàn)了整體思想.

練:若為,馬是方程2元2+51—3=0的兩個(gè)根，試求下列各式的值

22

(1)%+冗2(2)x1x2(3)Xj+x2；

(3)--1---；(4)(X,-5)(X2-5)；(5)IXj—x2|

%x2

練