2024屆北京市順義區(qū)楊鎮(zhèn)一中數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末預(yù)測(cè)試題含解析

2024屆北京市順義區(qū)楊鎮(zhèn)一中數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末預(yù)測(cè)試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知函數(shù)的最小正周期是，其圖象向右平移個(gè)單位后得到的函數(shù)為奇函數(shù).有下列結(jié)論：①函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；②函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱；③函數(shù)在上是減函數(shù)；④函數(shù)在上的值域?yàn)?其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．42．若直線y=x+b與曲線有公共點(diǎn)，則b的取值范圍是A．B．C．D．3．已知向量，，如果向量與平行，則實(shí)數(shù)的值為（）A． B． C． D．4．如圖，程序框圖所進(jìn)行的求和運(yùn)算是（）A． B．C． D．5．設(shè)點(diǎn)M是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，M的橫坐標(biāo)為，若在圓上存在點(diǎn)N，使得，則的取值范圍是（）A． B． C． D．6．已知等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為和，．若，則的取值集合為（）A． B．C． D．7．若變量滿足約束條件，則的最大值是()A．0 B．2 C．5 D．68．如圖，向量，，，則向量可以表示為（）A．B．C．D．9．在中，角所對(duì)的邊分別為，已知下列條件，只有一個(gè)解的是()A．，， B．，，C．，， D．，，10．設(shè)公差不為零的等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.若a2+A．10 B．11 C．12 D．13二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知，，，則的最小值為______．12．已知，為銳角，且，則__________．13．若當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_____.14．若數(shù)列{an}滿足a1=2，a15．已知cosθ，θ∈（π，2π），則sinθ＝_____，tan_____.16．已知，，，的等比中項(xiàng)是1，且，，則的最小值是______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．某制造商月生產(chǎn)了一批乒乓球，隨機(jī)抽樣個(gè)進(jìn)行檢查，測(cè)得每個(gè)球的直徑(單位：mm)，將數(shù)據(jù)分組如下表分組頻數(shù)頻率10205020合計(jì)100(1)請(qǐng)?jiān)谏媳碇醒a(bǔ)充完成頻率分布表(結(jié)果保留兩位小數(shù))，并在上圖中畫出頻率分布直方圖；(2)統(tǒng)計(jì)方法中，同一組數(shù)據(jù)常用該組區(qū)間的中點(diǎn)值(例如區(qū)間的中點(diǎn)值是作為代表.據(jù)此估計(jì)這批乒乓球直徑的平均值(結(jié)果保留兩位小數(shù)).18．已知冪函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn).（1）求函數(shù)的解析式；（2）設(shè)函數(shù)在是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．PM2.5是指空氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物（也稱可入肺顆粒物）.為了探究車流量與PM2.5的濃度是否相關(guān)，現(xiàn)采集到某城市周一至周五某一時(shí)間段車流量與PM2.5的數(shù)據(jù)如下表：時(shí)間周一周二周三周四周五車流量×（萬(wàn)輛）5051545758PM2.5的濃度（微克/立方米）6070747879（1）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程；（2）若周六同一時(shí)間段的車流量是25萬(wàn)輛，試根據(jù)（1）求出的線性回歸方程，預(yù)測(cè)此時(shí)PM2.5的濃度為多少（保留整數(shù)）？參考公式：由最小二乘法所得回歸直線的方程是：，其中，20．已知是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量，其中為單位向量.(Ⅰ)若//，求的坐標(biāo)；(Ⅱ)若與垂直，求與的夾角.21．已知函數(shù)滿足且.（1）當(dāng)時(shí)，求的表達(dá)式；（2）設(shè)，求證：；

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解題分析】

根據(jù)函數(shù)最小正周期可求得,由函數(shù)圖象平移后為奇函數(shù),可求得,即可得函數(shù)的解析式.再根據(jù)正弦函數(shù)的對(duì)稱性判斷①②,利用函數(shù)的單調(diào)區(qū)間判斷③,由正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)判斷④即可.【題目詳解】函數(shù)的最小正周期是則,即向右平移個(gè)單位可得由為奇函數(shù),可知解得因?yàn)樗援?dāng)時(shí),則對(duì)于①,當(dāng)時(shí),代入解析式可得,即點(diǎn)不為對(duì)稱中心,所以①錯(cuò)誤;對(duì)于②,當(dāng)時(shí)帶入的解析式可得,所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,所以②正確;對(duì)于③,的單調(diào)遞減區(qū)間為解得當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減區(qū)間為,而,所以函數(shù)在上是減函數(shù),故③正確;對(duì)于④,當(dāng)時(shí),由正弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)可知,,故④正確.綜上可知,正確的為②③④故選:C【題目點(diǎn)撥】本題考查根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)和平移變換求得解析式,再根據(jù)正弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)判斷選項(xiàng),屬于基礎(chǔ)題.2、C【解題分析】

試題分析：如圖所示：曲線即（x-2）2+（y-3）2=4（-1≤y≤3），表示以A（2，3）為圓心，以2為半徑的一個(gè)半圓，直線與圓相切時(shí)，圓心到直線y=x+b的距離等于半徑2，可得=2，∴b=1+2，b=1-2當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)（4，3）時(shí)，直線與曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)b=-1結(jié)合圖象可得≤b≤3故答案為C3、B【解題分析】

根據(jù)坐標(biāo)運(yùn)算求出和，利用平行關(guān)系得到方程，解方程求得結(jié)果.【題目詳解】由題意得：，，解得：本題正確選項(xiàng)：【題目點(diǎn)撥】本題考查向量平行的坐標(biāo)表示問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.4、A【解題分析】

根據(jù)當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)，依次代入計(jì)算的值，即可得輸出的表達(dá)式.【題目詳解】根據(jù)循環(huán)結(jié)構(gòu)程序框圖可知，，，，…，，跳出循環(huán)體，所以結(jié)果為，故選：A.【題目點(diǎn)撥】本題考查了當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)的應(yīng)用，執(zhí)行循環(huán)體計(jì)算輸出值，屬于基礎(chǔ)題.5、D【解題分析】

由題意畫出圖形，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系可得相切，設(shè)切點(diǎn)為P,數(shù)形結(jié)合找出M點(diǎn)滿足|MP|≤|OP|的范圍,從而得到答案．【題目詳解】由題意可知直線與圓相切，如圖，設(shè)直線x+y?2=0與圓相切于點(diǎn)P，要使在圓上存在點(diǎn)N,使得，使得最大值大于或等于時(shí)一定存在點(diǎn)N，使得，而當(dāng)MN與圓相切時(shí)，此時(shí)|MP|取得最大值，則有|MP|≤|OP|才能滿足題意，圖中只有在M1、M2之間才可滿足，∴的取值范圍是[0,2].故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，根據(jù)數(shù)形結(jié)合思想，畫圖進(jìn)行分析可得，屬于中等題.6、D【解題分析】

首先根據(jù)即可得出，再根據(jù)前n項(xiàng)的公式計(jì)算出即可。【題目詳解】，選D.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查等差數(shù)列的求和公式及等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于難題.等差數(shù)列的常用性質(zhì)有：（1）通項(xiàng)公式的推廣：

（2）若

為等差數(shù)列，

；（3）若是等差數(shù)列，公差為，

，則是公差

的等差數(shù)列；7、C【解題分析】

由題意作出不等式組所表示的平面區(qū)域，將化為，相當(dāng)于直線的縱截距，由幾何意義可得結(jié)果．【題目詳解】由題意作出其平面區(qū)域，令，化為，相當(dāng)于直線的縱截距，由圖可知，，解得，，則的最大值是，故選C．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查線性規(guī)劃中利用可行域求目標(biāo)函數(shù)的最值，屬簡(jiǎn)單題.求目標(biāo)函數(shù)最值的一般步驟是“一畫、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是實(shí)線還是虛線）；（2）找到目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的最優(yōu)解對(duì)應(yīng)點(diǎn)（在可行域內(nèi)平移變形后的目標(biāo)函數(shù)，最先通過(guò)或最后通過(guò)的頂點(diǎn)就是最優(yōu)解）；（3）將最優(yōu)解坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求出最值.8、C【解題分析】

利用平面向量加法和減法的運(yùn)算，求得的線性表示.【題目詳解】依題意，即，故選C.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查平面向量加法和減法的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.9、D【解題分析】

首先根據(jù)正弦定理得到，比較與的大小關(guān)系即可判定A，B錯(cuò)誤，再根據(jù)大邊對(duì)大角即可判定C錯(cuò)誤，根據(jù)勾股定理即可判定D正確.【題目詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，，所以，有兩個(gè)解，故A錯(cuò)誤.對(duì)于B，因?yàn)?，，所以，無(wú)解，故B錯(cuò)誤.對(duì)于C，因?yàn)椋裕?，，所以無(wú)解，故C錯(cuò)誤.對(duì)于D，，為直角三角形，故D正確.故選：D【題目點(diǎn)撥】本題主要考查三角形個(gè)數(shù)的判斷，利用正弦定理判斷為解題的關(guān)鍵，屬于簡(jiǎn)單題.10、C【解題分析】

由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式Sn=n(a1+an)【題目詳解】∵S13=117，∴13a1+a132=117，∴a1【題目點(diǎn)撥】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)求和前n項(xiàng)和公式及等差數(shù)列下標(biāo)和的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題。二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

將所求的式子變形為，展開后可利用基本不等式求得最小值.【題目詳解】解：，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．故答案為1．【題目點(diǎn)撥】本題考查了“乘1法”和基本不等式，屬于基礎(chǔ)題．由于已知條件和所求的式子都是和的形式，不能直接用基本不等式求得最值，使用“乘1法”之后，就可以利用基本不等式來(lái)求得最小值了.12、【解題分析】

由題意求得，再利用兩角和的正切公式求得的值，可得的值．【題目詳解】，為銳角，且，即，．再結(jié)合，則，故答案為．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查兩角和的正切公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．13、【解題分析】

用換元法把不等式轉(zhuǎn)化為二次不等式．然后用分離參數(shù)法轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值．【題目詳解】設(shè)，是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，不等式化為，即，不等式在上恒成立，時(shí)，顯然成立，，對(duì)上恒成立，由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)知在是減函數(shù)，時(shí)，，∴，即．綜上，．故答案為：．【題目點(diǎn)撥】本題考查不等式恒成立問(wèn)題，解題方法是轉(zhuǎn)化與化歸，首先用換元法化指數(shù)型不等式為一元二次不等式，再用分離參數(shù)法轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值．14、2×【解題分析】

判斷數(shù)列是等比數(shù)列，然后求出通項(xiàng)公式．【題目詳解】數(shù)列{an}中，a可得數(shù)列是等比數(shù)列，等比為3，an故答案為：2×3【題目點(diǎn)撥】本題考查等比數(shù)列的判斷以及通項(xiàng)公式的求法，考查計(jì)算能力．15、﹣2.【解題分析】

由題意利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，二倍角公式，求得式子的值.【題目詳解】由，，知，則，.故答案為：，.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，二倍角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.16、4【解題分析】

，的等比中項(xiàng)是1，再用均值不等式得到答案.【題目詳解】，的等比中項(xiàng)是1當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故答案為4【題目點(diǎn)撥】本題考查了等比中項(xiàng)，均值不等式，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)見解析；(2)40.00(mm)【解題分析】解：(1)頻率分布表如下：分組

頻數(shù)

頻率

[39.95,39.97)

10

0.10

5

[39.97,39.99)

20

0.20

10

[39.99,40.01)

50

0.50

25

[40.01,40.03]

20

0.20

10

合計(jì)

100

1

注：頻率分布表可不要最后一列，這里列出，只是為畫頻率分布直方圖方便．頻率分布直方圖如下：(2)整體數(shù)據(jù)的平均值約為39.96×0.10＋39.98×0.20＋40.00×0.50＋40.02×0.20≈40.00(mm)．18、（1）；（2）.【解題分析】

（1）利用冪函數(shù)過(guò)點(diǎn)即可求出函數(shù)的解析式；（2）利用二次函數(shù)對(duì)稱軸與區(qū)間的位置，即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【題目詳解】（1）因?yàn)榈膱D像過(guò)點(diǎn)，所以，則，所以函數(shù)的解析式為：；（2）由（1）得，所以函數(shù)的對(duì)稱軸為，若函數(shù)在是單調(diào)函數(shù)，則或，即或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.【題目點(diǎn)撥】本題考查了冪函數(shù)解析式的求解，二次函數(shù)單調(diào)區(qū)間與對(duì)稱軸的位置關(guān)系，屬于一般題.19、（1）；（2）37【解題分析】

（1）根據(jù)題中所給公式分別求出相關(guān)數(shù)據(jù)即可得解；（2）將代入（1）所得直線方程即可得解.【題目詳解】（1），故y關(guān)于x的線性回歸方程是：（2）當(dāng)時(shí)，所以可以預(yù)測(cè)此時(shí)PM2.5的濃度約為37.【題目點(diǎn)撥】此題考查根據(jù)已知數(shù)據(jù)求回歸直線的方程，根據(jù)公式直接求解，利用所得回歸直線方程進(jìn)行預(yù)測(cè).20、（Ⅰ）或（Ⅱ）【解題分析】

（Ⅰ）設(shè)，根據(jù)向量的模和共線向量的條件，列出方程組，即可求解．（Ⅱ）由，根據(jù)向量的運(yùn)算求得，再利用向量的夾角公式，即可求解．【題目詳解】（Ⅰ）設(shè)由題則有解得或，．（Ⅱ）由題即，．【題目點(diǎn)撥】本題