2024屆江蘇省常州市奔牛高級中學(xué)高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末統(tǒng)考試題含解析

2024屆江蘇省常州市奔牛高級中學(xué)高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末統(tǒng)考試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．如圖，將邊長為的正方形沿對角線折成大小等于的二面角分別為的中點，若，則線段長度的取值范圍為（）A． B．C． D．2．在正方體中，為棱的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．3．把函數(shù)，圖象上所有的點向右平行移動個單位長度，橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為（）A． B．C． D．4．已知數(shù)列是等差數(shù)列，，則(

)A．36 B．30 C．24

D．15．設(shè)、、為平面，為、、直線，則下列判斷正確的是（）A．若，，，則B．若，，，則C．若，，，則D．若，，，則6．若雙曲線的漸近線與直線所圍成的三角形面積為2，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．7．已知是偶函數(shù)，且時.若時，的最大值為，最小值為，則（）A．2 B．1 C．3 D．8．函數(shù)的最小值為(

)A．6 B．7 C．8 D．99．在區(qū)間上隨機地取一個數(shù).則的值介于0到之間的概率為（）.A． B． C． D．10．在中，若，，，則等于（）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．過點且在坐標(biāo)軸上的截距相等的直線的一般式方程是________.12．已知圓的圓心在直線，與y軸相切，且被直線截得的弦長為，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為________.13．若采用系統(tǒng)抽樣的方法從420人中抽取21人做問卷調(diào)查，為此將他們隨機編號為1,2，…，420，則抽取的21人中，編號在區(qū)間[241,360]內(nèi)的人數(shù)是______14．在中，，是線段上的點，，若的面積為，當(dāng)取到最大值時，___________.15．若函數(shù)，的最大值為，則的值是________.16．直棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分別是A1B1，A1C1的中點，BC=CA=CC1，則BM與AN所成的角的余弦值為．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知偶函數(shù).（1）若方程有兩不等實根，求的范圍；（2）若在上的最小值為2，求的值.18．已知（且）是R上的奇函數(shù)，且.（1）求的解析式；（2）若關(guān)于x的方程在區(qū)間內(nèi)只有一個解，求m的取值集合；（3）設(shè)，記，是否存在正整數(shù)n，使不得式對一切均成立？若存在，求出所有n的值，若不存在，說明理由.19．已知數(shù)列的前項和為，.（1）求數(shù)列的通項公式（2）數(shù)列的前項和為，若存在，使得成立，求范圍?20．甲、乙兩臺機床同時加工直徑為10cm的零件，為了檢驗零件的質(zhì)量，從零件中各隨機抽取6件測量，測得數(shù)據(jù)如下（單位：mm）：甲：99，100，98，100，100，103；乙：99，100，102，99，100，100.（1）分別計算上述兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差（2）根據(jù)（1）的計算結(jié)果，說明哪一臺機床加工的零件更符合要求.21．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點，直線，設(shè)圓的半徑為1，圓心在上.（1）若圓心也在直線上，過點作圓的切線，求切線方程；（2）若圓上存在點，使，求圓心的橫坐標(biāo)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解題分析】

連接和，由二面角的定義得出，由結(jié)合為的中點，可知是的角平分線且，由的范圍可得出的范圍，于是得出的取值范圍．【題目詳解】連接，可得，即有為二面角的平面角，且，在等腰中，，且，，則，故答案為，故選A．【題目點撥】本題考查線段長度的取值范圍，考查二面角的定義以及銳角三角函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵在于充分研究圖形的幾何特征，將所求線段與角建立關(guān)系，借助三角函數(shù)來求解，考查推理能力與計算能力，屬于中等題．2、D【解題分析】

利用，得出異面直線與所成的角為，然后在中利用銳角三角函數(shù)求出.【題目詳解】如下圖所示，設(shè)正方體的棱長為，四邊形為正方形，所以，，所以，異面直線與所成的角為，在正方體中，平面，平面，，，，，在中，，，因此，異面直線與所成角的余弦值為，故選D.【題目點撥】本題考查異面直線所成角的計算，一般利用平移直線，選擇合適的三角形，利用銳角三角函數(shù)或余弦定理求解，考查推理能力與計算能力，屬于中等題．3、C【解題分析】

利用二倍角的余弦公式以及輔助角公式將函數(shù)化為的形式，然后再利用三角函數(shù)的圖像變換即可求解.【題目詳解】函數(shù)，函數(shù)圖象上所有的點向右平行移動個單位長度可得，在將橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，可得.故選：C【題目點撥】本題考查了二倍角的余弦公式、輔助角公式以及三角函數(shù)的圖像平移伸縮變換，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.4、B【解題分析】

通過等差中項的性質(zhì)即可得到答案.【題目詳解】由于，故，故選B.【題目點撥】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)，難度較小.5、D【解題分析】

根據(jù)線面、面面有關(guān)的定理，對四個選項逐一分析，由此得出正確選項.【題目詳解】A選項不正確，因為根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，需要加上：在平面內(nèi)或者平行于，這個條件，才能判定.B選項不正確，因為可能平行于.C選項不正確，因為當(dāng)時，或者.D選項正確，根據(jù)垂直于同一條直線的兩個平面平行，得到，直線，則可得到.綜上所述，本小題選D.【題目點撥】本小題主要考查空間線面、面面位置關(guān)系有關(guān)命題真假性的判斷，屬于基礎(chǔ)題.6、A【解題分析】漸近線為，時，，所以，即，，，故選A．7、B【解題分析】

根據(jù)函數(shù)的對稱性得到原題轉(zhuǎn)化為直接求的最大和最小值即可.【題目詳解】因為函數(shù)是偶函數(shù)，函數(shù)圖像關(guān)于y軸對稱，故得到時，的最大值和最小值，與時的最大值和最小值是相同的，故直接求的最大和最小值即可；根據(jù)對勾函數(shù)的單調(diào)性得到函數(shù)的最小值為，，故最大值為，此時故答案為：B.【題目點撥】這個題目考查了函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題。對于函數(shù)的奇偶性，主要是體現(xiàn)函數(shù)的對稱性，這樣可以根據(jù)對稱性得到函數(shù)在對稱區(qū)間上的函數(shù)值的關(guān)系，使得問題簡化.8、C【解題分析】

直接利用均值不等式得到答案.【題目詳解】，時等號成立.故答案選C【題目點撥】本題考查了均值不等式，屬于簡單題.9、D【解題分析】

由，得.由函數(shù)的圖像知，使的值介于0到之間的落在和之內(nèi).于是，所求概率為.故答案為D10、D【解題分析】

直接運用正弦定理求解即可.【題目詳解】由正弦定理可知中：，故本題選D.【題目點撥】本題考查了正弦定理的應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)運算能力.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、或【解題分析】

討論直線過原點和直線不過原點兩種情況，分別計算得到答案.【題目詳解】當(dāng)直線過原點時，設(shè)，過點，則，即；當(dāng)直線不過原點時，設(shè)，過點，則，即；綜上所述：直線方程為或.故答案為：或.【題目點撥】本題考查了直線方程，漏解是容易發(fā)生的錯誤.12、或【解題分析】

由圓心在直線x﹣3y＝0上，設(shè)出圓心坐標(biāo)，再根據(jù)圓與y軸相切，得到圓心到y(tǒng)軸的距離即圓心橫坐標(biāo)的絕對值等于圓的半徑，表示出半徑r，距離d，由圓的半徑r及表示出的d利用勾股定理列出關(guān)于t的方程，求出方程的解得到t的值，從而得到圓心坐標(biāo)和半徑，根據(jù)圓心和半徑寫出圓的方程即可．【題目詳解】設(shè)圓心為（3t，t），半徑為r＝|3t|，則圓心到直線y＝x的距離d|t|，而（）2＝r2﹣d2，9t2﹣2t2＝7，t＝±1，∴圓心是（3，1）或（-3，-1）故答案為或．【題目點撥】本題綜合考查了垂徑定理，勾股定理及點到直線的距離公式．根據(jù)題意設(shè)出圓心坐標(biāo)，找出圓的半徑是解本題的關(guān)鍵．13、6【解題分析】試題分析：由題意得，編號為，由得共6個.考點：系統(tǒng)抽樣14、【解題分析】

由三角形的面積公式得出，設(shè)，由可得出，利用基本不等式可求出的值，利用等號成立可得出、的值，再利用余弦利用可得出的值.【題目詳解】由題意可得，解得，設(shè)，則，可得，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最大值，，，由余弦定理得，解得．故答案為．【題目點撥】本題考查余弦定理解三角形，同時也考查了三角形的面積公式以及利用基本不等式求最值，在利用基本不等式求最值時，需要結(jié)合已知條件得出定值條件，同時要注意等號成立的條件，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.15、【解題分析】

利用兩角差的正弦公式化簡函數(shù)的解析式為，由的范圍可得的范圍，根據(jù)最大值可得的值.【題目詳解】∵函數(shù)＝2（）＝，∵，∴∈[，]，又∵的最大值為，所以的最大值為，即=，解得.故答案為【題目點撥】本題主要考查兩角差的正弦公式的應(yīng)用，正弦函數(shù)的定義域和最值，屬于基礎(chǔ)題．16、【解題分析】試題分析：畫出圖形，找出BM與AN所成角的平面角，利用解三角形求出BM與AN所成角的余弦值．解：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分別是A1B1，A1C1的中點，如圖：BC的中點為O，連結(jié)ON，MN，OB，∴MNOB，∴MN0B是平行四邊形，∴BM與AN所成角就是∠ANO，∵BC=CA=CC1，設(shè)BC=CA=CC1=2，∴CO=1，AO=，AN=，MB==，在△ANO中，由余弦定理得：cos∠ANO===．故答案為．考點：異面直線及其所成的角．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）或.【解題分析】

（1）由偶函數(shù)的定義，利用，求得的值，再由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合題設(shè)條件，即可求解實數(shù)的范圍；（2）利用換元法和對勾函數(shù)的單調(diào)性，以及二次函數(shù)的閉區(qū)間上的求法，分類討論對稱軸和區(qū)間的關(guān)系，即可求解.【題目詳解】（1）因為，所以的定義域為，因為是偶函數(shù)，即，所以，故，所以，即方程的解為一切實數(shù)，所以，因為，且，所以原方程轉(zhuǎn)化為，令，，所以所以在上是減函數(shù)，是增函數(shù)，當(dāng)時，使成立的有兩個，又由知，與一一對應(yīng)，故當(dāng)時，有兩不等實根；（2）因為，所以，所以，令，則，令，設(shè)，則，因為，所以，即在上是增函數(shù)，所以，設(shè)，則.（i）當(dāng)時，的最小值為，所以，解得，或4（舍去）；（ii）當(dāng)時，的最小值為，不合題意；（iii）當(dāng)時，的最小值為，所以，解得，或（舍去）.綜上知，或.【題目點撥】本題主要考查了函數(shù)的綜合應(yīng)用，其中解答中涉及到函數(shù)的奇偶性，對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及換元法和分類討論思想的應(yīng)用，試題綜合性強，屬于難題，著重考查了分析問題和解答問題的能力，以及推理與運算能力.18、（1）；（2）m的取值集合或}（3）存在，【解題分析】

（1）利用奇函數(shù)的性質(zhì)得到關(guān)于實數(shù)k的方程，解方程即可，注意驗證所得的結(jié)果；（2）結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的奇偶性脫去f的符號即可；（3）可得，即可得：即可.【題目詳解】（1）由奇函數(shù)的性質(zhì)可得：，解方程可得：.此時，滿足，即為奇函數(shù).的解析式為：；（2）函數(shù)的解析式為：，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得：在區(qū)間內(nèi)只有一個解.即：在區(qū)間內(nèi)只有一個解.（i）當(dāng)時，，符合題意.（ii）當(dāng)時,只需且時，，此時，符合題意綜上，m的取值集合或}（3）函數(shù)為奇函數(shù)關(guān)于對稱又當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立所以存在正整數(shù)n，使不得式對一切均成立.【題目點撥】本題考查了復(fù)合型指數(shù)函數(shù)綜合，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)形結(jié)合，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于難題.19、（1）；（2）【解題分析】

（1）根據(jù)之間關(guān)系，可得結(jié)果（2）利用錯位相減法，可得，然后使用分離參數(shù)的方法，根據(jù)單調(diào)性，計算其范圍，可得結(jié)果.【題目詳解】（1）當(dāng)時，兩式相減得：當(dāng)時，，不符合上式所以（2）令，所以所以令①②所以①-②：則化簡可得故，若存在，使得成立即存在，成立故，由，則所以可知數(shù)列在單調(diào)遞增所以，故【題目點撥】本題考查了之間關(guān)系，還考查了錯位相減法求和，本題難點在于的求法，重點在于錯位相減法的應(yīng)用，屬中檔題.20、（1）見解析；（2）乙機床加工的零件更符合要求.【解題分析】

(1)直接由平均數(shù)和方差的計算公式代入數(shù)據(jù)進行計算即可.

(2)由平均數(shù)和方差各自說明數(shù)據(jù)的特征，做出判斷.【題目詳解】（1），，，.（2）因為，，說明甲、乙機床加工的零件的直徑長度的平均值相同.且甲機床加工的零件的直徑長度波動比較大，

因此乙機床加工的零件更符合要求.【題目點撥】本題考查計算數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差以及根據(jù)數(shù)據(jù)的平均數(shù)和