江蘇省徐州市睢寧高級(jí)中學(xué)南校2024屆數(shù)學(xué)高一下期末檢測(cè)試題含解析

江蘇省徐州市睢寧高級(jí)中學(xué)南校2024屆數(shù)學(xué)高一下期末檢測(cè)試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，且，則的面積的最大值為()A． B． C． D．2．甲、乙兩人下棋，甲獲勝的概率為40%，甲不輸?shù)母怕蕿?0%，則甲、乙下成平局的概率為（）A．50% B．30% C．10% D．60%3．已知向量，且，則的值為()A．6 B．－6 C． D．4．為了解名學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，采用系統(tǒng)抽樣的方法，從中抽取容量為的樣本，則分段的間隔為（）A． B． C． D．5．角α的終邊上有一點(diǎn)P（a，|a|），a∈R且a≠0，則sinα值為（）A． B． C．1 D．或6．設(shè)△的內(nèi)角所對(duì)的邊為，，，，則（）A． B．或 C． D．或7．在中，若，那么是（）A．直角三角形 B．鈍角三角形 C．銳角三角形 D．不能確定8．已知，，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，則（）A． B． C． D．9．《九章算術(shù)》中有如下問(wèn)題：今有蒲生一日，長(zhǎng)三尺，莞生一日，長(zhǎng)1尺．蒲生日自半，莞生日自倍．問(wèn)幾何日而長(zhǎng)等？意思是：今有蒲第一天長(zhǎng)高3尺，莞第一天長(zhǎng)高1尺，以后蒲每天長(zhǎng)高前一天的一半，莞每天長(zhǎng)高前一天的2倍．若蒲、莞長(zhǎng)度相等，則所需時(shí)間為（）（結(jié)果精確到0.1．參考數(shù)據(jù)：lg2＝0.3010，lg3＝0.2．）A．2.6天 B．2.2天 C．2.4天 D．2.8天10．設(shè)點(diǎn)是函數(shù)圖象士的任意一點(diǎn)，點(diǎn)滿足，則的最小值為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知圓的圓心在直線上，半徑為，若圓上存在點(diǎn)，它到定點(diǎn)的距離與到原點(diǎn)的距離之比為，則圓心的縱坐標(biāo)的取值范圍是__________．12．點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則直線的方程為_(kāi)_____．13．化簡(jiǎn)sin2α＋sin2β－sin2αsin2β＋cos2αcos2β＝______.14．在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，，則___________.15．已知直線與軸、軸相交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在圓上移動(dòng)，則面積的最大值和最小值之差為．16．底面邊長(zhǎng)為，高為的直三棱柱形容器內(nèi)放置一氣球，使氣球充氣且盡可能的膨脹（保持球的形狀），則氣球表面積的最大值為_(kāi)______．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．如圖，四棱柱的底面是菱形，平面，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)．（1）求證：直線平面；（2）求證：平面；（3）求直線與平面所成的角的正切值．18．設(shè)向量、滿足，，.（1）求的值；（2）若，求實(shí)數(shù)的值.19．已知三棱柱中，平面ABC，，，M為AC中點(diǎn).（1）證明:直線平面；（2）求異面直線與所成角的大小.20．某中學(xué)從高三男生中隨機(jī)抽取100名學(xué)生，將他們的身高數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，得到下側(cè)的頻率分布表.組號(hào)分組頻率第1組[160，165）0.05第2組0.35第3組0.3第4組0.2第5組0.1合計(jì)1.00（Ⅰ）為了能對(duì)學(xué)生的體能做進(jìn)一步了解，該校決定在第3，4，5組中用分層抽樣的方法抽取6名學(xué)生進(jìn)行體能測(cè)試，問(wèn)第3，4，5組每組各應(yīng)抽取多少名學(xué)生進(jìn)行測(cè)試；（Ⅱ）在（Ⅰ）的前提下，學(xué)校決定在6名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生進(jìn)行引體向上測(cè)試，求第3組中至少有一名學(xué)生被抽中的概率；（Ⅲ）試估計(jì)該中學(xué)高三年級(jí)男生身高的中位數(shù)位于第幾組中，并說(shuō)明理由.21．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，.（1）求角A的大??；（2）若，求的周長(zhǎng).

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解題分析】

由以及，結(jié)合二倍角的正切公式，可得，根據(jù)三角形的內(nèi)角的范圍可得，由余弦定理以及基本不等式可得，再根據(jù)面積公式可得答案.【題目詳解】因?yàn)?，且，所以，所以，則.由于為定值，由余弦定理得，即.根據(jù)基本不等式得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.所以.故選：A【題目點(diǎn)撥】本題考查了二倍角的正切公式，考查了余弦定理，考查了基本不等式，考查了三角形的面積公式，屬于中檔題.2、A【解題分析】

甲不輸?shù)母怕实扔诩撰@勝或者平局的概率相加，計(jì)算得到答案.【題目詳解】甲不輸?shù)母怕实扔诩撰@勝或者平局的概率相加甲、乙下成平局的概率為：故答案選A【題目點(diǎn)撥】本題考查了互斥事件的概率，意在考查學(xué)生對(duì)于概率的理解.3、A【解題分析】

兩向量平行，內(nèi)積等于外積?！绢}目詳解】，所以選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查兩向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題。4、C【解題分析】試題分析：由題意知，分段間隔為，故選C.考點(diǎn)：本題考查系統(tǒng)抽樣的定義，屬于中等題.5、B【解題分析】

根據(jù)三角函數(shù)的定義，求出OP，即可求出的值．【題目詳解】因?yàn)?，所以，故選B．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查三角函數(shù)的定義應(yīng)用．6、B【解題分析】試題分析：因?yàn)?，，，由正弦定理，因?yàn)槭侨切蔚膬?nèi)角，且，所以，故選B．考點(diǎn)：正弦定理7、C【解題分析】

由tanAtanB>1可得A，B都是銳角，故tanA和tanB都是正數(shù)，可得tan（A+B）<0，故A+B為鈍角，C為銳角，可得結(jié)論.【題目詳解】由△ABC中，A，B，C為三個(gè)內(nèi)角，若tanAtanB>1，可得A，B都是銳角，故tanA和tanB都是正數(shù)，∴tan（A+B）0，故A+B為鈍角．由三角形內(nèi)角和為180°可得，C為銳角，故△ABC是銳角三角形，故選C．【題目點(diǎn)撥】本題考查根據(jù)三角函數(shù)值的符號(hào)判斷角所在的范圍，兩角和的正切公式的應(yīng)用，判斷A+B為鈍角，是解題的關(guān)鍵．8、D【解題分析】

根據(jù)向量線性運(yùn)算可得，由坐標(biāo)可得結(jié)果.【題目詳解】故選：【題目點(diǎn)撥】本題考查平面向量的線性運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.9、A【解題分析】

設(shè)蒲的長(zhǎng)度組成等比數(shù)列{an}，其a1＝3，公比為，其前n項(xiàng)和為An．莞的長(zhǎng)度組成等比數(shù)列{bn}，其b1＝1，公比為2，其前n項(xiàng)和為Bn．利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及其對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可得出．．【題目詳解】設(shè)蒲的長(zhǎng)度組成等比數(shù)列{an}，其a1＝3，公比為，其前n項(xiàng)和為An．莞的長(zhǎng)度組成等比數(shù)列{bn}，其b1＝1，公比為2，其前n項(xiàng)和為Bn．則An，Bn，由題意可得：，化為：2n7，解得2n＝3，2n＝1（舍去）．∴n12.3．∴估計(jì)2.3日蒲、莞長(zhǎng)度相等，故選：A．【題目點(diǎn)撥】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式在實(shí)際中的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．10、B【解題分析】

函數(shù)表示圓位于x軸下面的部分。利用點(diǎn)到直線的距離公式，求出最小值。【題目詳解】函數(shù)化簡(jiǎn)得。圓心坐標(biāo),半徑為2.所以【題目點(diǎn)撥】本題考查點(diǎn)到直線的距離公式，屬于基礎(chǔ)題。二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】因?yàn)閳A心在直線上，設(shè)圓心，則圓的方程為，設(shè)點(diǎn)，因?yàn)?，所以，化?jiǎn)得，即，所以點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，則，即，整理得，由，得，由，得，所以圓心的縱坐標(biāo)的取值范圍是.點(diǎn)睛：本題主要考查了圓的方程，動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程、兩圓的位置關(guān)系、解不等式等知識(shí)的綜合運(yùn)用，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想和學(xué)生的運(yùn)算求解能力，解答中根據(jù)題設(shè)條件得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，利用兩圓的位置關(guān)系，列出不等式上解答的關(guān)鍵.對(duì)于直線與圓的位置關(guān)系問(wèn)題，要熟記有關(guān)圓的性質(zhì)，同時(shí)注意數(shù)形結(jié)合思想的靈活運(yùn)用.12、【解題分析】

根據(jù)和關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)可得直線和直線垂直且中點(diǎn)在直線上，從而可求得直線的斜率，利用點(diǎn)斜式可得直線方程.【題目詳解】由，得：且中點(diǎn)坐標(biāo)為和關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)且在上的方程為：，即：本題正確結(jié)果：【題目點(diǎn)撥】本題考查根據(jù)兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)求解直線方程的問(wèn)題，關(guān)鍵是明確兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)則連線與對(duì)稱(chēng)軸垂直，且中點(diǎn)必在對(duì)稱(chēng)軸上，屬于常考題型.13、1【解題分析】原式＝sin2α(1－sin2β)＋sin2β＋cos2αcos2β＝sin2αcos2β＋cos2αcos2β＋sin2β＝cos2β(sin2α＋cos2α)＋sin2β＝1.14、8【解題分析】

根據(jù)題中數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)，得到，即可得出結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)閿?shù)列為各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，，，所以.故答案為【題目點(diǎn)撥】本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，熟記等比數(shù)列的性質(zhì)即可，屬于基礎(chǔ)題型.15、15【解題分析】

解：設(shè)作出與已知直線平行且與圓相切的直線，

切點(diǎn)分別為，如圖所示

則動(dòng)點(diǎn)C在圓上移動(dòng)時(shí)，若C與點(diǎn)重合時(shí)，

△ABC面積達(dá)到最小值；而C與點(diǎn)重合時(shí)，△ABC面積達(dá)到最大值

∵直線3x＋4y?12＝0與x軸、y軸相交于A（4，0）、B（0，3）兩點(diǎn)

可得∴△ABC面積的最大值和最小值之差為

，

其中分別為點(diǎn)、點(diǎn)到直線AB的距離

∵是圓（x?5）2＋（y?6）2＝9的兩條平行切線與圓的切點(diǎn)

∴點(diǎn)、點(diǎn)到直線AB的距離之差等于圓的直徑，即

因此△ABC面積的最大值和最小值之差為

故答案為：1516、【解題分析】由題意，氣球充氣且盡可能地膨脹時(shí)，氣球的半徑為底面三角形內(nèi)切圓的半徑

∵底面三角形的邊長(zhǎng)分別為，∴底面三角形的邊長(zhǎng)為直角三角形,利用等面積可求得∴氣球表面積為4π.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）【解題分析】

（1）只需證明PO∥BD1，即可得BD1∥平面PAC；（2）只需證明AC⊥BD．DD1⊥AC．即可證明AC⊥平面BDD1B1（3）∠CPO就是直線CP與平面BDD1B1所成的角，在Rt△CPO中，tan∠CPO即可求解【題目詳解】（1）設(shè)和交于點(diǎn)，連結(jié)，由于，分別是，的中點(diǎn)，故，∵平面，平面所以直線平面．（2）在四棱柱中，底面是菱形，則又平面，且平面，則，∵平面，平面，∴平面．（3）由（2）知平面．∴在平面內(nèi)的射影為∴是與平面所成的角因?yàn)椋詾檎切巍?，在中，．∴與平面所成的角的正切值為．【題目點(diǎn)撥】本題考查了線面垂直、線面平行的判定定理、線面角，屬于中檔題．18、（1）；（2）.【解題分析】

（1）將等式兩邊平方，利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律可計(jì)算出的值；（2）由轉(zhuǎn)化為，然后利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律可求出實(shí)數(shù)的值.【題目詳解】（1）在等式兩邊平方得，即，即，解得；（2），，即，解得.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用平面向量的模求數(shù)量積，同時(shí)也考查了利用平面向量數(shù)量積來(lái)處理平面向量垂直的問(wèn)題，考查化歸與轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題.19、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解題分析】

（1）連接交于點(diǎn)O，再證明，得證；（2）先求，可得.再結(jié)合即可得解.【題目詳解】證明：（1）連接交于點(diǎn)O，連接OM，為平行四邊形，為的中點(diǎn)，又M為AC的中點(diǎn)，.又平面，平面.平面.（2）平面ABC，，.又，由M為AC中點(diǎn)，，，又O為的中點(diǎn)，.，.所以異面直線與所成角的大小為.【題目點(diǎn)撥】本題考查了線面平行的判定定理，重點(diǎn)考查了異面直線所成角的求法，屬基礎(chǔ)題.20、（1）3人，2人，1人.（2）0.8.（3）第3組【解題分析】分析：（Ⅰ）由分層抽樣方法可得第組：＝人；第組：＝人；第組：＝人；（Ⅱ）利用列舉法可得個(gè)人抽取兩人共有中不同的結(jié)果，其中第組的兩位同學(xué)至少有一位同學(xué)被選中的情況有種，利用古典概型概率公式可得結(jié)果；（Ⅲ）由前兩組頻率和為，中位數(shù)可得在第組.詳解：（Ⅰ）因?yàn)榈?，4，5組共有60名學(xué)生，所以利用分層抽樣在60名學(xué)生中抽取6名學(xué)生，每組學(xué)生人數(shù)分別為：第3組：＝3人；第4組：＝2人；第5組：＝1人.所以第3，4，5組分別抽取3人，2人，1人.（Ⅱ）設(shè)第3組3位同學(xué)為A1，A2，A3，第4組2位同學(xué)為B1，B2，第5組1位同學(xué)為C1，則從6位同學(xué)中抽兩位同學(xué)的情況分別為：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，C1），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，C1），（A3，B1），（A3，B2），（A3，C1），（B1，B2），（B1，C1），（B2，C1）.共有15種.其中第4組的兩位同學(xué)至少有一位同學(xué)被選中的情況分別為：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，C1），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，C1），（A3，B1），（A3，B2），（A3，C1），共有12種可能.所以，第4組中至少有一名學(xué)生被抽中的概率為0.8.答：第4組中至少有一名學(xué)生被抽中的概率為0.8.（Ⅲ）第3組點(diǎn)睛：本題主要考查分層抽樣以及古典概型概率公式的應(yīng)用，屬于難題，利用古典概型概率公式求概率時(shí)，找準(zhǔn)基本事件個(gè)數(shù)是解題的關(guān)鍵，基本亊件的探求方法有(1)枚舉法：適合給定的基本事件個(gè)數(shù)較少且易一一列舉出的；(2)樹(shù)狀圖法：適合于