2024屆江蘇省南通市海安縣海安高級中學(xué)數(shù)學(xué)高一下期末檢測模擬試題含解析

2024屆江蘇省南通市海安縣海安高級中學(xué)數(shù)學(xué)高一下期末檢測模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．長方體共頂點的三個相鄰面面積分別為，這個長方體的頂點在同一個球面上，則這個球的表面積為（）A． B． C． D．2．在等腰梯形ABCD中，，點E是線段BC的中點，若，則A． B． C． D．3．在平行四邊形中，,,則點的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．4．如圖，測量河對岸的塔高AB時可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個測點C與D，測得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在點C測得塔頂A的仰角為60°，則塔高AB等于（）A． B． C． D．5．在區(qū)間內(nèi)任取一個實數(shù)，則此數(shù)大于2的概率為（）A． B． C． D．6．已知點，直線方程為，且直線與線段相交，求直線的斜率k的取值范圍為（）A．或 B．或C． D．7．設(shè)，若關(guān)于的不等式在區(qū)間上有解，則（）A． B． C． D．8．在中，若，則下列結(jié)論錯誤的是（）A．當(dāng)時，是直角三角形 B．當(dāng)時，是銳角三角形C．當(dāng)時，是鈍角三角形 D．當(dāng)時，是鈍角三角形9．已知a，b，c滿足，那么下列選項一定正確的是（）A． B． C． D．10．已知點O是邊長為2的正三角形ABC的中心，則（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知向量與的夾角為，且，；則__________．12．已知函數(shù)，若，則的取值圍為_________.13．經(jīng)過點，且在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為2的直線的一般式方程為________.14．已知圓錐的表面積等于，其側(cè)面展開圖是一個半圓，則底面圓的半徑為__________.15．在三棱錐中，已知，，則三棱錐內(nèi)切球的表面積為______.16．設(shè)，，，若，則實數(shù)的值為______三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．近年來,鄭州經(jīng)濟(jì)快速發(fā)展,躋身新一線城市行列,備受全國矚目．無論是市內(nèi)的井字形快速交通網(wǎng),還是輻射全國的米字形高鐵路網(wǎng),鄭州的交通優(yōu)勢在同級別的城市內(nèi)無能出其右．為了調(diào)查鄭州市民對出行的滿意程度,研究人員隨機(jī)抽取了1000名市民進(jìn)行調(diào)查,并將滿意程度以分?jǐn)?shù)的形式統(tǒng)計成如下的頻率分布直方圖,其中．（I）求的值；（Ⅱ）求被調(diào)查的市民的滿意程度的平均數(shù),眾數(shù),中位數(shù)；（Ⅲ）若按照分層抽樣從,中隨機(jī)抽取8人,再從這8人中隨機(jī)抽取2人,求至少有1人的分?jǐn)?shù)在的概率．18．已知,函數(shù).(1)當(dāng)時,解不等式;(2)若對,不等式恒成立,求a的取值范圍.19．如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面，，.（1）求直線與平面所成角的正弦值；（2）若點分別在上，且平面，試確定點的位置20．已知函數(shù)的圖象與軸正半軸的交點為，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）令（為正整數(shù)），問是否存在非零整數(shù)，使得對任意正整數(shù)，都有？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由．21．已知α,β為銳角，tanα=（1）求sin2α（2）求tanβ

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解題分析】

設(shè)長方體的棱長為，球的半徑為，根據(jù)題意有，再根據(jù)球的直徑是長方體的體對角線求解.【題目詳解】設(shè)長方體的棱長為，球的半徑為，根據(jù)題意，，解得，所以，所以外接球的表面積，故選：A【題目點撥】本題主要考查了球的組合體問題，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.2、B【解題分析】

利用平面向量的幾何運(yùn)算，將用和表示，根據(jù)平面向量基本定理得，的值，即可求解．【題目詳解】取AB的中點F，連CF，則四邊形AFCD是平行四邊形，所以，且因為，，，∴故選B．【題目點撥】本題主要考查了平面向量的基本定理的應(yīng)用，其中解答中根據(jù)平面向量的基本定理，將用和進(jìn)行表示，求得的值是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．3、A【解題分析】

先求,再求,即可求D坐標(biāo)【題目詳解】，∴，則D(6,1)故選A【題目點撥】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，熟記運(yùn)算法則，準(zhǔn)確計算是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題4、D【解題分析】

在三角形中，利用正弦定理求得，然后在三角形中求得.【題目詳解】在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°.由正弦定理得＝，所以BC＝.在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝15×＝15.故選：D【題目點撥】本小題主要考查正弦定理解三角形，考查解直角三角形，屬于基礎(chǔ)題.5、D【解題分析】

根據(jù)幾何概型長度型直接求解即可.【題目詳解】根據(jù)幾何概型可知，所求概率為：本題正確選項：【題目點撥】本題考查幾何概型概率問題的求解，屬于基礎(chǔ)題.6、A【解題分析】

先求出線段的方程，得出，在直線的方程中得到，將代入的表達(dá)式，利用不等式的性質(zhì)求出的取值范圍．【題目詳解】易求得線段的方程為，得，由直線的方程得，當(dāng)時，，此時，；當(dāng)時，，此時，．因此，實數(shù)的取值范圍是或，故選A．【題目點撥】本題考查斜率取值范圍的計算，可以利用數(shù)形結(jié)合思想，觀察傾斜角的變化得出斜率的取值范圍，也可以利用參變量分離，得出斜率的表達(dá)式，利用不等式的性質(zhì)得出斜率的取值范圍，考查計算能力，屬于中等題．7、D【解題分析】

根據(jù)題意得不等式對應(yīng)的二次函數(shù)開口向上，分別討論三種情況即可．【題目詳解】由題意得：當(dāng)當(dāng)當(dāng)綜上所述：,選D.【題目點撥】本題主要考查了含參一元二次不等式中參數(shù)的取值范圍．解這類題通常分三種情況：．有時還需要結(jié)合韋達(dá)定理進(jìn)行解決．8、D【解題分析】

由正弦定理化簡已知可得，利用余弦定理，勾股定理，三角形兩邊之和大于第三邊等知識逐一分析各個選項即可得解．【題目詳解】解：為非零實數(shù)），可得：，由正弦定理，可得：，對于A，時，可得：，可得，即為直角，可得是直角三角形，故正確；對于B，時，可得：，可得為最大角，由余弦定理可得，可得是銳角三角形，故正確；對于C，時，可得：，可得為最大角，由余弦定理可得，可得是鈍角三角形，故正確；對于D，時，可得：，可得，這樣的三角形不存在，故錯誤．故選：D．【題目點撥】本題主要考查了正弦定理，余弦定理，勾股定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了分類討論思想，屬于基礎(chǔ)題．9、D【解題分析】

c＜b＜a，且ac＜1，可得c＜1且a>1．利用不等式的基本性質(zhì)即可得出．【題目詳解】∵c＜b＜a，且ac＜1，∴c＜1且a>1，b與1的大小關(guān)系不定．∴滿足bc＞ac，ac＜ab，故選D．【題目點撥】本題考查了不等式的基本性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．10、B【解題分析】

直接由正三角形的性質(zhì)求出兩向量的模和夾角，由數(shù)量積定義計算．【題目詳解】∵點O是邊長為2的正三角形ABC的中心，∴，，∴．故選：B.【題目點撥】本題考查平面向量的數(shù)量積，掌握數(shù)量積的定義是解題關(guān)鍵．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

已知向量與的夾角為，則，已知模長和夾角代入式子即可得到結(jié)果為故答案為1．12、【解題分析】

由函數(shù)，根據(jù)，得到，再由，得到，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【題目詳解】由題意，函數(shù)，又由，即，即，因為，則，所以或，即或，所以實數(shù)的取值圍為.故答案為：.【題目點撥】本題主要考查了余弦的倍角公式，以及三角不等式的求解，其中解答中熟練應(yīng)用余弦函數(shù)的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.13、【解題分析】

由題可知，直線在x上軸截距為-3，再利用截距式可直接求得直線方程【題目詳解】∵直線過（0，5），∴直線在y軸上的截距為5，又直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為2，∴直線在x軸上的截距為2-5=-3∴直線方程為,即5x-3y+15=0【題目點撥】直線方程有五種基本形式，在只知道橫縱截距的情況下，截距式是最快捷的一種方式14、【解題分析】

設(shè)出底面圓的半徑，用半徑表示出圓錐的母線，再利用表面積，解出半徑?！绢}目詳解】設(shè)圓錐的底面圓的半徑為，母線為，則底面圓面積為，周長為，則解得故填2【題目點撥】本題考查根據(jù)圓錐的表面積求底面圓半徑，屬于基礎(chǔ)題。15、【解題分析】

先計算出三棱錐的體積，利用等體積法求出三棱錐的內(nèi)切球的半徑，再求出內(nèi)切球的表面積。【題目詳解】取CD中點為E，并連接AE、BE在中，由等腰三角形的性質(zhì)可得,同理則在中點A到邊BE的距離即為點A到平面BCD的距離h,在中，【題目點撥】本題綜合考查了三棱錐的體積、三棱錐內(nèi)切圓的求法、球的表面積，屬于中檔題.16、【解題分析】

根據(jù)題意，可以求出，根據(jù)可得出，進(jìn)行數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可求出的值.【題目詳解】故答案為：【題目點撥】本題考查向量垂直的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ)(Ⅱ)平均數(shù)74.9,眾數(shù)75.14,中位數(shù)75；(Ш)【解題分析】

（I）根據(jù)頻率之和為列方程，結(jié)合求出的值.（II）利用各組中點值乘以頻率然后相加，求得平均數(shù).利用中位數(shù)是面積之和為的地方，列式求得中位數(shù).以頻率分布直方圖最高一組的中點作為中位數(shù).（III）先計算出從,中分別抽取人和人，再利用列舉法和古典概型概率計算公式，計算出所求的概率.【題目詳解】解：(I)依題意得,所以,又,所以．(Ⅱ)平均數(shù)為中位數(shù)為眾數(shù)為(Ш)依題意,知分?jǐn)?shù)在的市民抽取了2人,記為,分?jǐn)?shù)在的市民抽取了6人,記為1,2,3,4,5,6,所以從這8人中隨機(jī)抽取2人所有的情況為：,共28種,其中滿足條件的為,共13種,設(shè)“至少有1人的分?jǐn)?shù)在”的事件為,則【題目點撥】本小題主要考查求解頻率分布直方圖上的未知數(shù)，考查利用頻率分布直方圖估計平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的方法，考查利用古典概型求概率.屬于中檔題.18、(1)或;(2)或.【解題分析】

（1）代入，把項都移到左邊，合并同類項再因式分解，即可得到本題答案；（2）等價于，考慮的圖象不在圖象的上方，利用數(shù)形結(jié)合的方法，即可得到本題答案.【題目詳解】(1)當(dāng)時,由得，即,解得,或，所以,所求不等式的解集為或；(2)等價于,所以當(dāng)時，的圖象在圖象的下方，所以或所以,,或.【題目點撥】本題主要考查一元二次不等式以及利用數(shù)形結(jié)合的方法解決不等式的恒成立問題.19、（1）；（2）M為AB的中點，N為PC的中點【解題分析】

（1）由題意知，AB，AD，AP兩兩垂直．以為正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系，求平面PCD的一個法向量為，由空間向量的線面角公式求解即可；（2）設(shè)，利用平面PCD，所以∥，得到的方程，求解即可確定M,N的位置【題目詳解】（1）由題意知，AB，AD，AP兩兩垂直．以為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則從而設(shè)平面PCD的法向量則即不妨取則．所以平面PCD的一個法向量為．設(shè)直線PB與平面PCD所成角為所以即直線PB與平面PCD所成角的正弦值為．（2）設(shè)則設(shè)則而所以．由（1）知，平面PCD的一個法向量為，因為平面PCD，所以∥．所以解得，．所以M為AB的中點，N為PC的中點．【題目點撥】本題考查空間向量的應(yīng)用，求線面角，探索性問題求點位置，熟練掌握空間向量的運(yùn)算是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題20、（1）；（2）存在，.【解題分析】

（1）把點A帶入即可（2）根據(jù)（1）的計算出、，再解不等式即可【題目詳解】（1）設(shè)，得，．所以；（2），若存在，滿足恒成立即：，恒成立當(dāng)為奇數(shù)時，當(dāng)為偶數(shù)時，所以，故：.【題目點撥】本題考查了數(shù)列通項的求法，以及不等式恒成立的